Corso di laurea in Chimica Matematica Esercizi di ricapitolazione per la prova in itinere (tratti dalle prove in itinere degli anni precedenti) (Gli esercizi segnati con una crocetta sono di livello più di base) Dimostrare che comunque presi z = x + iy e w = α + iβ in C si ha a) z + w 2 = z 2 + 2 Re zw + w 2 2 Calcolare l angolo formato dai vettori: u = 2i j k, v = 2i + ( 2 + 2)j + ( 2 2)k 3 Sia f : [0, + ) R la funzione definita da: + x2 ( + x) 2 f è limitata superiormente e/o inferiormente? f ha massimo e/o minimo assoluti? 4 Dimostrare che sin x x per ogni x 0 (può essere utile considerare la funzione differenza ) 5 Scrivere l eqazione della retta tangente all ellisse di equazione nel suo punto P 0 = ( 2, 2 ) x 2 4 + y2 = 6 Scrivere in forma algebrica i seguenti numeri complessi e calcolarne il modulo: z = ( 3i) 3, w = 3i 4 + 2i 7 Verificare che il seguente sistema lineare ammette una e una sola soluzione e determinarla utilizzando il metodo di Cramer: 2x 3y z = 5 x y z = 0 3x + y 3z = 8
8 Calcolare i seguenti limiti: e 2x 2 x 0 + a) lim ; b) lim x x + 2 2x x 3 x x 2 9 Dire se le seguenti funzioni hanno, nell intervallo < x 3/2, massimo e/o minimo assoluti e in caso affermativo determinarli: x, g(x) = ( f(x) ) 2 0 Calcolare la derivata prima e la derivata seconda delle seguenti funzioni nel punto x = 0 : x 2, g(x) = ex log(2x + ) 2 3x Tracciare un grafico qualitativo della seguente funzione: x 2 + e x2 2 Calcolare l angolo fra le seguenti due rette passanti per l origine: { x 2z = 0 x = 2 6t r : y s: y = (3 2 2 3)t 3z = 0 z = ( (t R) 6 + 6)t 3 Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: z = + i w = 2 3 2i 4 Verificare che la seguente matrice è invertibile e calcolarne l inversa: 2 A = 0 3 /2 0 5 Calcolare la derivata seconda, nel punto x 0 = π, della funzione: x 2 e sin x 2
6 Tracciare un grafico qualitativo della seguente funzione: x4 x 7 Sia r la retta individuata dalle equazioni: { 2x + y + 3z = x + 2y 6z = 0 Quali fra i seguenti piani sono ortogonali a r? 4x + y + z =, 4x + γy z = 0 (γ R) 8 Sia z = 2 ( 3 + i) a) Scrivere in forma algebrica e quindi in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi: z = z 2, z 2 = b) Esiste n N tale che z n = i? 2z 2 z 2 9 Si consideri il seguente sistema lineare, in cui α è un parametro reale fissato: x + 2y 3z = 4 3x + y + αz = 2 4x + 3y 4z = 2 a) Per quali valori di α il sistema ammette una e una sola soluzione? b) Esistono valori di α per i quali il sistema non ammette soluzioni? 20 Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni nel punto x = : ( (log x) 2 + x ) (cos πx) 2, g(x) = ex2 2x x 2 2x 2 Sia α log x x, dove α è un parametro reale positivo a) Quante soluzioni ha l equazione 0 se α = 3? b) Per quali valori di α l equazione 0 non ha soluzione? c) Nel caso α = 2 verificare che vi è un punto in cui la retta tangente al grafico di f è parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante; scrivere l equazione di tale retta tangente 3
22 Sia γ il piano di equazione x 2y + 3z = a) Scrivere le equazioni di una retta ortogonale a γ b) Scrivere l equazione di un piano ortogonale a γ 23 Calcolare l inversa della matrice 0 2 A = 2 2 5 24 Si considerino il piano α e la retta r di equazioni rispettive: { 5x y + z = 2 α: x y = 0; r : 3x y z = 0 a) Verificare che α e r hanno uno ed un solo punto di intersezione, e determinarlo b) Calcolare l angolo fra la retta r e la normale al piano α 25 Sia w = 3i Calcolare (esprimendoli in forma algebrica) w 3, Risolvere, inoltre, l equazione: z 2 = /w 26 Quanti elementi ha l insieme A = w 2, w 2 w 3 w {( + i 2 ) n : } n N? 27 Sia log 3x + 3x + + Calcolare f () 28 Verificare che e x/e x per ogni x R 29 Si considerino la retta r e il piano π dati da: { x y + z = 4 r : π : x + αy + 3z =, 2x + y 2z = dove α è un parametro reale a) Determinare i valori α per i quali r e π hanno una e una sola intersezione b) Determinare l eventuale valore α per il quale r e π sono fra loro ortogonali [R: α = 4] c) In corrispondenza del valore determinato in (b) calcolare la coordinate del punto di intersezione fra r e π 4
30 Qual è la parte reale di z = ( 3 i) 0? 3 Risolvere l equazione: (3 + 4i)z 2 + (2 4i)z = 0, ponendo le soluzioni in forma algebrica 32 Siano: log 2x x + g(x) = x 2 2x 3 sin x + ( x ) 4 È vero che per x sufficientemente grande f(x) < g(x)? 33 Calcolare i seguenti limiti: a) lim x( e /x2 cos ) sin 2x ; b) lim x + x x 2 + cos(π/x) 34 Sia: Calcolare f () 3 2x2 3x log x 35 Sia x La funzione f ha massimo assoluto? + x2 36 Verificare che le rette r : { x + y z = x y + 3z = s: { x = t y = + 2t (t R) z = + t sono parallele e distinte Individuare poi l equazione del piano che le contiene 37 Siano: A = 0 2 3, B = 2 0 0 0 2 0 0 2 0 0 a) Calcolare l inversa della matrice A b) Determinare la matrice X, quadrata 3 3, tale che XA = B 5
38 a) Calcolare le radici cubiche di 8i b) Se w è una delle suddette radici cubiche, dire se l equazione z z = w ha soluzioni 39 Calcolare i seguenti limiti: a) lim x + sin x x 3 (x 2 log x 2 ) 2, b) lim sin(πx) x x 3, c) lim e x 2 x x 40 Sia x x + a) Individuare gli eventuali punti x 0 in cui la retta tangente al grafico di f è parallela alla retta di equazione y = x/4 b) Individuare gli eventuali punti x 0 in cui la retta tangente al grafico di f passa per il punto (, 0) 4 Sia [ log(x 2 + ) cos 2 (πx) ] 3 Calcolare la derivata di f nel punto x 0 = 42 a) Scrivere le equazioni parametriche della retta r passante per i punti P = (4, 0, 2), P 2 = (7,, 4) b) Determinare l intersezione di r con il piano di equazione x y + 2z = 0 c) Determinare un piano che non interseca la retta r 43 a) Porre in forma algebrica z = 8 + i 3 + 2i b) Verificare che z 3 + 3iz + 5i = 5, dove z è il valore calcolato in (a) 44 Calcolare i seguenti limiti: a) lim x + x x x + x +, b) lim x x + (x log x) 2 x 2 log x x 2, c) lim x x + x 2 log x 6
45 Sia ( 2 x (log x) 2) 3 Calcolare f () Scrivere poi l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x 0 = 46 a) Calcolare le radici quadrate di w = 8 ( 3i) b) Risolvere l equazione: 8( i)z 2 = 3 i( + 3) 47 Si disegnino le seguenti rette nello spazio: r : { x = 0 y z = r 2 : { x = 0 z + y = r 3 : { y = 0 x z = r 4 : { y = 0 x + z = Si calcoli l area del poligono i cui vertici sono le intersezioni di queste rette con il piano z = /2 48 Risolvere il seguente sistema lineare con il metodo di eliminazione: { 2x x 2 + x 3 = 4x + 2x 3 = 2 x 3x 2 + x 3 = 4 49 Calcolare la derivata prima della funzione [2x 3 x 2 + log(2x 2 )] /2 Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x 0 = 7