Calcolo differenziale II

Calcolo differenziale II Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi Matematica 1 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 1 / 36

Massimi e minimi Definizione Sia A R, f : A R, x 0 A. Si dice che x 0 è un punto di massimo RELATIVO, se esiste un intorno I ε (x 0 ) di x 0 tale che I ε (x 0 ) : x A I ε (x 0 ) si ha f (x) f (x 0 ). x 0 è un punto di minimo RELATIVO se esiste un intorno I ε (x 0 ) di x 0 tale che I ε (x 0 ) : x A I ε (x 0 ) si ha f (x) f (x 0 ). x 0 è un punto di estremo relativo se è punto di massimo o di minimo relativo. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 2 / 36

Definizione Sia A R, f : A R, x 0 A. Si dice che x 0 è un punto di massimo ASSOLUTO, se x A : f (x) f (x 0 ). x 0 è un punto di minimo ASSOLUTO se x A : f (x) f (x 0 ). N.B.: Se x 0 è punto di massimo (risp. minimo) assoluto, allora x 0 è anche punto di massimo (risp. minimo) relativo. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 3 / 36

Teorema di Fermat Siano f : A R e x 0 un punto interno a A. Se f è derivabile in x 0 e se x 0 è un punto di estremo relativo per f, allora f (x 0 ) = 0. Dimostrazione: Supponiamo che x 0 sia un punto di minimo relativo per f. Allora δ > 0 tale che x 0 δ < x < x 0 + δ f (x) f (x 0 ) 0. Quindi f (x) f (x 0 ) x x 0 { 0 se x 0 δ < x < x 0 0 se x 0 + δ > x > x 0 Dunque passando al limite per x x 0 ± si ha f (x 0 ) 0, f +(x 0 ) 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 4 / 36

Siccome f è derivabile in x 0 vale f (x 0 ) = f +(x 0 ). Quindi deve essere f (x 0 ) = 0. Il caso del massimo relativo: esercizio. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 5 / 36

Definizione Sia f : A R e x 0 punto interno ad A. Diciamo che x 0 è punto stazionario (o critico) per f se f è derivabile in x 0 e f (x 0 ) = 0. Quindi, condizione necessaria perché x 0, punto di derivabilità, sia punto di estremo relativo, è che x 0 sia un punto stazionario per f. Esempio f (x) = x 2, x R Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 6 / 36

Il teorema di Fermat fornisce solo una condizione necessaria, ma non sufficiente per avere in x 0 un punto di estremo relativo. Esempio Sia f : R R data da f (x) = x 3, dom f = R. Allora f (0) = 0, ma non è punto di estremo relativo. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 7 / 36

Candidati a punti di estremo relativo Sia f : [a, b] R. Per il Teor. di Fermat, i punti candidati a essere di estremo relativo ricadono, in queste tre categorie: 1 gli estremi a, b dell intervallo di definizione; 2 i punti interni x (a, b) tali che f (x); 3 i punti interni x (a, b) tali che esiste f (x) = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 8 / 36

Teorema di Rolle Sia f : [a, b] R una funzione 1 continua in [a, b], 2 derivabile in (a, b), 3 tale che f (a) = f (b). Allora esiste un punto c (a, b) tale che f (c) = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 9 / 36

Dimostrazione: Per il teorema di Weierstrass f ammette un punto di minimo assoluto x min [a, b], e un punto di massimo assoluto x max [a, b]. Consideriamo le seguenti possibilità : 1 se x min {a, b}, allora f (x min ) = 0, per il Teorema di Fermat, da cui la tesi. 2 se x min {a, b} e x max {a, b}, allora per il Teorema di Fermat, vale f (x max ) = 0, da cui la tesi. 3 se x min {a, b} e x max {a, b}, allora per ipotesi del Teorema si ha f (x max ) = f (x min ). Quindi f è costante e f (x) = 0 per ogni x (a, b) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 10 / 36

N.B.: non si può indebolire l ipotesi di derivabilità in (a, b): la funzione f data Esempio f (x) = 1 x, x [ 1, 1] soddisfa f ( 1) = f (1), ma non esiste alcun c ( 1, 1) per cui f (c) = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 11 / 36

Teorema di Lagrange Sia f : [a, b] R una funzione 1 continua in [a, b], 2 derivabile in (a, b). Allora esiste un punto c (a, b) tale che f (c) = f (b) f (a). b a Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 12 / 36

Dimostrazione: Si applica il Teorema di Rolle alla funzione h : [a, b] R h(x) = f (x) (x a) f (b) f (a). b a Infatti, h è continua in [a, b], derivabile in (a, b) e vale h(a) = f (a) = h(b). Quindi esiste c (a, b) tale che h (c) = 0. Siccome la tesi è dimostrata h (c) = f (c) f (b) f (a), b a Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 13 / 36

Conseguenze del Teorema di Lagrange Teorema della derivata nulla Sia I R un intervallo e sia f : I R derivabile in I. Se f (x) = 0 per ogni x I, allora f è costante in I. Dimostrazione: Siano x 1, x 2 I tali che x 1 < x 2. Applicando il Teorema di Lagrange alla funzione f sull intervallo [x 1, x 2 ] si deduce che esiste un c (x 1, x 2 ) tale che f (x 2 ) f (x 1 ) = (x 2 x 1 )f (c). Siccome f (x) = 0 per ogni x I, si ha f (x 1 ) = f (x 2 ) per ogni x 1 < x 2, x 1 x 2 I. Quindi f è costante in I Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 14 / 36

La tesi è falsa se dom(f ) NON è un intervallo!! Esempio Sia f data da f (x) = arctan x + arctan ( ) 1, domf = R \ {0}. x Allora f (x) = 0 x 0, (esercizio) ma f non è costante in R \ {0}: si ha f (x) = π 2 per x > 0 e f (x) = π 2 per x < 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 15 / 36

Teorema su monotonia e derivata Sia f : (a, b) R una funzione derivabile in (a, b). Valgono le seguenti affermazioni: 1 f (x) 0 x (a, b) se e solo se f è crescente in (a, b). 2 f (x) 0 x (a, b) se e solo se f è decrescente in (a, b). 3 Se f (x) > 0 x (a, b), allora f è strettamente crescente in (a, b). 4 Se f (x) < 0 x (a, b), allora f è strettamente decrescente in (a, b). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 16 / 36

Dimostrazione: Per dimostrare l equivalenza (1), supponiamo prima che f (x) 0 x (a, b). Siano x 1 < x 2, x 1, x 2 I. Applicando il Teorema di Lagrange alla funzione f sull intervallo [x 1, x 2 ] si deduce che esiste un c (x 1, x 2 ) tale che f (x 2 ) f (x 1 ) = (x 2 x 1 )f (c) 0. Quindi f è crescente in I. Supponiamo ora che f sia crescente in I. Allora per ogni x I e ogni t R con t sufficientemente piccolo si ha f (x + t) f (x) t 0 Passando al limite per t 0 e usando il teorema di confronto si deduce che f (x) 0. Allora l equivalenza (1) è dimostrata. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 17 / 36

Dimostriamo ora l implicazione (3). Se f (x) > 0 x (a, b), allora per ogni x 1 < x 2, x 1, x 2 I esiste (per il Teorema di Lagrange) un c (x 1, x 2 ) tale che f (x 2 ) f (x 1 ) = (x 2 x 1 )f (c) > 0. Quindi f è strettamente crescente in I. Le dimostrazioni dell equivalenza (2) e dell implicazione (4) sono del tutto analoghe (esercizio) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 18 / 36

ATTENZIONE: f strettamente crescente in (a, b) non implica f (x) > 0 per ogni x (a, b) (analogamente per f strettamente decrescente). Esempio La funzione f : R R data da f (x) = x 3 è strettamente crescente in R, ma f (0) = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 19 / 36

Teorema (del segno della derivata prima) Sia f : (a, b) R derivabile in (a, b) e sia x 0 (a, b). Valgono le seguenti affermazioni: 1 se esiste ε > 0 tale che f è derivabile sugli intervalli (a, x 0 ) e (x 0, b) e verifica f (x) 0 x (x 0 ε, x 0 ) e f (x) 0 x (x 0, x 0 + ε), allora x 0 è un punto di minimo relativo per f su (a, b). 2 se esiste ε > 0 tale che f è derivabile sugli intervalli (a, x 0 ) e (x 0, b) e verifica f (x) 0 x (x 0 ε, x 0 ) e f (x) 0 x (x 0, x 0 + ε), allora x 0 è un punto di massimo relativo per f su (a, b). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 20 / 36

Derivate di ordine successivo Sia f : I R derivabile su I. Quindi è ben definita la funzione derivata f : I R, x f (x) Definizione: derivata seconda Sia x 0 I punto interno. Se esiste la derivata di f in x 0 I, cioè se esiste f (x 0 + t) f (x 0 ) lim t 0 t allora essa si chiama derivata seconda di f in x 0, e si denota con f (x 0 ) o f (2) (x 0 ). Diciamo f è derivabile due volte in x 0 se f (x 0 ) R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 21 / 36

Definizione: derivata k-esima Sia f : I R. Le sua derivate di ordine k N si definiscono per induzione: derivata 0-ima di f : si definisce f (0) = f ; per k 1, la derivata k-esima f (k) è la derivata (prima) della derivata la (k 1)-esima f (k 1) : f (k) (x 0 ) = D(f (k 1) )(x 0 ). L indice k è detto l ordine di derivazione. Diciamo f è derivabile k volte in x 0 se f (k) (x 0 ) R. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 22 / 36

Esempio: Data f (x) = a x, x R, con a R +, si ha k N f (k) (x) = a x (log(a)) k x R. Esempio: Data f (x) = sin x, x R, Allora k N f (4k) (x) = sin x f (4k+2) (x) = sin x f (4k+1) (x) = cos x f (4k+3) (x) = cos x Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 23 / 36

Proprietà di regolarità Funzioni di classe C k (I ) Sia I intervallo. Per k N, denotiamo con C k (I ) l insieme Quindi: C k (I ) = { f : I R : f è derivabile k volte su I, e f (k) : I R è continua su I. } C 0 (I ) è l insieme delle funzioni continue su I ; C 1 (I ) è l insieme delle funzioni derivabili su I, con f : I R continua su I ; C 2 (I ) è l insieme delle funzioni derivabili due volte su I, con f : I R continua su I... Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 24 / 36

Si ha k N con l inclusione stretta. C k (I ) C k 1 (I ) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 25 / 36

Definizione: C (I ) Sia I intervallo. Per k N, denotiamo con C (I ) C (I ) = C k (I ) = { f : I R : k N f è derivabile k su I, e k N f (k) : I R è continua su I. } I polinomi, la funzioen esponenziale a x (a R + \ {1}), sin x, cos x, appartengono a C (R). La funzione log a x (a R + \ {1}) appartiene a C (R + ). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 26 / 36

Teorema (Criterio della derivata seconda) Sia f C 1 (I ) e sia x 0 I un punto stazionario per f. 1 Se esiste f (x 0 ) > 0, allora x 0 è un punto di minimo relativo per f. 2 Se esiste f (x 0 ) < 0, allora x 0 è un punto di massimo relativo per f. Dimostrazione: dimostriamo (1). Se f f (x) f (x 0 ) f (x) (x 0 ) = lim = lim > 0, x x0 x x 0 x x0 x x 0 allora per il teorema della permanenza del segno esiste ε > 0 tale che f (x) < 0 x (x 0 ε, x 0 ) f (x) > 0 x (x 0, x 0 + ε). Quindi la tesi segue dal Teorema del segno della derivata prima Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 27 / 36

Questo teorema fornisce un metodo per la classificazione dei punti stazionari per funzioni due volte derivabili. Le condizioni sul segno di f sono solo sufficienti e non necessarie: ad esempio la funzione f : R R data da f (x) = x 4 ha un minimo relativo (ed assoluto ) in x 0 = 0, ma f (0) = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 28 / 36

Teorema di de l Hôpital Teorema di de l Hôpital Sia x 0 R e siano f, g due funzioni derivabili in un intorno di x 0 tali che lim f (x) = lim g(x) = L, x x 0 x x0 L {0, +, }. Se g (x) 0 in un intorno di x 0 e se esiste il limite f (x) lim x x 0 g (x) R, allora esiste anche il limite lim x x0 f (x) g(x) e vale f (x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x). Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 29 / 36

Osservazione Notare che l uguaglianza f (x) lim x x 0 g(x) = lim f (x) x x 0 g (x) = è condizionata al fatto che ESISTA il lim x x0 f (x) g (x)! Esempio: Per f, g : ( 1, 1) \ {0} R date da f (x) = x 2 sin 1 x, g(x) = sin x vale ma f (x) lim x 0 g(x) = lim x 2 sin 1 x x 0 sin x f (x) lim x 0 g (x) = lim x 0 x sin 1 x = 0, (esercizio) Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 30 / 36

Applicazione di de l Hôpital I: limiti notevoli sin x lim x 0 x e x 1 lim x 0 x log(1 + x) lim x 0 x 1 cos x lim x 0 x 2 log x lim x + x α (H) = lim x 0 cos x 1 (H) = lim x 0 e x = 1 = 1 (H) 1 = lim x 0 1 + x = 1 (H) sin x = lim x 0 2x = 2 (H) 1 = lim x + α x α = 0 α > 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 31 / 36

A volte è necessario applicare il Teorema di de l Hôpital più volte... Esempio Calcolare il limite Si ha ( 1 lim x 0 x 1 ) sin x ( 1 lim x 0 x 1 ) sin x x = lim sin x x 0 x sin x (H) = lim x 0 cos x 1 sin x + x cos x (H) sin x = lim x 0 2 cos x x sin x = 0. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 32 / 36

Un applicazione teorica del teorema di de l Hôpital Il teorema del limite della derivata Sia f : [a, b[ R continua in [a, b[ derivabile in (a, b). Se ESISTE (finito o no) lim x a + f (x), allora esiste anche f +(a) e vale f +(a) = lim x a + f (x). Dimostrazione: Consideriamo le funzioni h(x) := f (x) f (a) e g(x) = x a. Il Teorema di de l Hôpital implica f +(a) f (x) f (a) h(x) = lim = lim x a+ x a x a+ g(x) = lim f (x) x a+ Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 33 / 36

Differenziabilità Sia I intervallo aperto, f : I R derivabile in x 0 I. L equazione della retta tangente al grafico di f in (x 0, f (x 0 )) è Poniamo y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ). g(x) = f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) differenza tra l ordinata del punto (x, f (x)) graf(f ) e il punto (x, f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 )) appartenente alla retta tangente al grafico di f in (x 0, f (x 0 )). Si ha lim x x 0 Λ(x) x x 0 = lim f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) x x0 x x [ 0 ] f (x) f (x0 ) f (x 0 ) = 0. x x 0 = lim x x0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 34 / 36

Quindi, si commette cioè approssimando f (x) con f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) un errore che è o(x x 0 ) per x x 0 f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) = g(x) = o(x x 0 ) x x 0 Definizione Sia I intervallo, f : I R e x 0 I. Diciamo che f è differenziabile in x 0 quando esiste λ(x 0 ) R tale che si abbia f (x) = f (x 0 ) + λ(x 0 )(x x 0 )+o(x x 0 ) per x x 0, cioè f (x) f (x 0 ) λ(x 0 )(x x 0 ) lim = 0. x x 0 x x 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 35 / 36

Teorema: Sia f : A R e x 0 un punto interno di A. Allora In tal caso λ = f (x 0 ). f è differenziabile in x 0 f derivabile in x 0. Dimostrazione: f (x) = f (x 0 ) + λ(x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ) per x x 0 f (x) f (x 0 ) λ(x 0 )(x x 0 ) lim = 0 x x 0 x x 0 f (x) f (x 0 ) lim = λ(x 0 ) x x 0 x x 0 Hynek Kovarik (Università di Brescia) Derivate (II) Analisi Matematica 1 36 / 36