Corso di Laurea in Ingegneria Elettrica Corso di Analisi Matematica - aa 00/0 Docente: Dott Alberto Maria BERSANI ESERCIZI SVOLTI SU LIMITI, CONTINUITÀ, DERIVABILITÀ E DIFFERENZIABILITÀ DI FUNZIONI DI DUE VARIABILI Esercizio ) Calcolare y + y 4 Svolgimento: la funzione non è definita in 0, 0) Calcoliamo il ite per, y) muoventesi su una retta passante per l origine a) lungo l asse delle si ha, y), 0) In tal caso si ha f, 0) 0, da cui f, y) 0,0) 0,0) b) lungo l asse delle y si ha, y) 0, y) In tal caso si ha f0, y) 0, da cui f, y) 0 0,y) 0,0) c) lungo la generica retta y m si ha, y), m) In tal caso si ha f, y) m) + m) 4 m + m 4 4 m + m 4 0 m IR Dunque, lungo qualsiasi retta passante per l origine y + y 4 0 Se però ci muoviamo lungo la parabola y, simmetrica rispetto all asse delle, abbiamo f, y) y 0 y y y ) + y 4 y 0 y 4 y 4 y 0 Abbiamo dunque individuato una curva, lungo la quale, facendo tendere il punto P verso l origine, Conseguentemente, la funzione non ha ite in 0, 0) f, y) 0 Esercizio ) Calcolare + y ) ) sin + y Svolgimento: si è soliti riscrivere le variabili in coordinate polari cosθ) ; y sinθ)), in modo tale che il ite, per, y) 0, 0), si trasformi nel ite per 0: + y ) ) sin + y cos θ sincos θ) ] cos θ sincos θ) cos ) θ cos ) θ sin
Il ite, dipendendo da θ, varia a seconda dell angolo con cui, y) 0, 0) Ad esempio, per θ π, f, θ) 0; per θ 0, f, θ) sin La funzione non ammette ite Esercizio ) Calcolare y log + y + ) Svolgimento: Dalla teoria dei polinomi di Taylor sappiamo che y log + y + ) cos θ sin θ) log + ) quindi f, θ) log + ) + o ) ; cos θ sin θ) Anche in questo caso, il ite dipende da θ: se cos θ sin θ θ π 4 ), allora f, θ) 0 0; se θ 0, allora f, θ) + La funzione non ammette ite cos θ sin θ) Esercizio 4) Studiare la continuità in 0, 0) della funzione f, y) { y ) sin ) +y se, y) 0, 0) 0 se, y) 0, 0) Svolgimento: se, y) 0, 0), cioè se 0, f, θ) cos θ sin θ ) ) sin ) cos θ sin Poiché allora 0 f, θ) cos θ ) sin, f, θ) 0 La funzione è continua in 0, 0) Esercizio 5)
Studiare la continuità e la differenziabilità in 0, 0) della funzione f, y) { y e +y se, y) 0, 0) 0 se, y) 0, 0) Svolgimento: per le proprietà dei moduli, si ha y y + y ; per cui f, y) + y ) e +y cos θ + sin θ ) e e e, conseguentemente, da cui 0 f, y) e 0, f, y) 0 f0, 0) Ne segue che f, y) è continua in 0, 0) Per studiare la differenziabilità, dobbiamo verificare che cioè cioè, ancora, Si ha f 0, 0) f y 0, 0) Conseguentemente, df0, 0) 0 Calcoliamo allora o), 0, f f 0, 0) d + f y 0, 0) dy] f, 0) f0, 0) y 0 f0, y) f0, 0) y e ) y 0 0 ±)e ) 0 ; y y e y) 0 f f, y) f0, 0) cos θ sin θ e e 0 Segue che la f, y) è differenziabile nell origine Il piano tangente nell origine alla superficie grafico della funzione ha equazione z f0, 0) + f 0, 0) + f y 0, 0) y cioè z 0 Esercizio 6)
Data la funzione f, y) { ) y 4 +y se, y) 0, 0) 0 se, y) 0, 0), calcolarne le derivate parziali in 0, 0) f, y) è continua in 0, 0)? È differenziabile in 0, 0)? Svolgimento: Analogamente: f 0, 0) f, 0) f0, 0) f y 0, 0) 0 0 0 0 Nonostante l esistenza di f 0, 0) e di f y 0, 0), f, y) non è però continua in 0, 0) Infatti, consideriamo la successione di punti ) n, n n + 0, 0) Si ha da cui f ) n, n n ) n ) f n n, n n 4 + n 4 ) n 8 n8 4 4 0 f0, 0) Alternativamente, si può procedere calcolando il ite, per, y) 0, 0), lungo la curva y Si noti che la funzione ammette in 0, 0) derivate direzionali lungo qualsiasi direzione Infatti, indicati con α e β i coseni direttori della retta lungo la quale si vuole derivare: df d r P 0,0) t 0 t t 0 t t 0 fαt, βt) f0, 0) t 0 t α t ] βt α 4 t 4 + β t t 0 t α ] β α 4 t + β 0 α4 β β 0 α βt α 4 t + β )t 4 ] purché β 0, cioè per ogni direzione diversa da quella lungo l asse delle, per la quale la derivata è comunque già stata calcolata: f 0, 0) 0 Non essendo continua, la funzione non è differenziabile in 0, 0) Verifichiamo, in ogni caso, come utile esercizio, la differenziabilità di f, y) in modo diretto, cioè calcolando il ite Notando che df0, 0) f 0, 0) d + f y 0, 0) dy 0 ; f0, 0) 0, si ha riportando il quoziente in coordinate cartesiane) y 4 +y ) + y 4 f, y) + y
a) Se, y) 0, 0) lungo una generica retta non verticale y m, si ha y 4 +y ) + y ) m ] m + 4 + m m ] 0 m IR m + m + ) b) Lungo l asse delle y 0), f, y) 0 Di conseguenza, lungo tale asse f, y) + y y 0 0 0 c) Se però il punto P, y) si muove lungo la parabola y, si ha f, y) + y ) 4 + 4 4 4 + + Esiste dunque una curva lunga la quale 0, da cui segue, come previsto, che f, y) non è differenziabile nell origine Esercizio 7) Data la funzione f, y) e y calcolarne le derivate parziali miste f y e f y Svolgimento: si ha f, y) { e y se 0 e y se < 0, { e y se > 0 e y se < 0 ; f y, y) e y ; f y, y) f y, y) { e y se > 0 e y se < 0 ; { e y se > 0 e y se < 0 Esercizio 8) Data la funzione f, y) { y y ) +y se, y) 0, 0) 0 se, y) 0, 0), si calcolino f y 0, 0) e f y 0, 0) 5
Svolgimento: f 0, 0) f, 0) f0, 0) 0 ; f y 0, 0) 0; y ) + y ) y ] ) f, y) y + y ) 4 + 4 y y 4 ] y + y ) ; y ) + y ) y y ] )y f y, y) + y ) 4 4 y y 4 ] + y ) ; f y 0, 0) f y 0, 0) y 0 f 0, y) f 0, 0) y f y, 0) f y 0, 0) y 0 y 0 y) 5 y) 5 ; y) 5 y) 5 Segue che f y 0, 0) f y 0, 0) Questo vuol dire, per il Teorema di Schwarz, che almeno una delle due derivate miste f y e f y non è continua in 0, 0) Anche se non richiesto dall esercizio, ma per completezza, verifichiamo direttamente l ultima affermazione È facile calcolare le derivate f y e f y nei punti, y) 0, 0), per mezzo delle usuali regole di derivazione parziale e verificare che, in tali punti, esse coincidono: f y, y) f y, y) { y ) 4 +0 y +y 4 ) +y ) se, y) 0, 0) se, y) 0, 0), { y ) 4 +0 y +y 4 ) +y ) se, y) 0, 0) se, y) 0, 0), Sarà quindi sufficiente calcolare il ite di una delle due per conoscere il valore anche dell altro ite In coordinate polari f 6 cos θ sin θ)cos 4 θ + 0 cos θ sin θ + sin 4 θ) y, y) 6 cos θ sin θ)cos 4 θ + 0 cos θ sin θ + sin 4 θ) Questo ite dipende dall angolo θ, cioè dalla direzione lungo la quale il punto, y) 0, 0) Pertanto la f y e, analogamente, la f y, non sono continue in 0, 0), come previsto Esercizio 9) Data la funzione stabilire se sia differenziabile f, y) { y +y se, y) 0, 0) 0 se, y) 0, 0), 6
Svolgimento: poiché la funzione è il quoziente di due polinomi, essa risulta C e quindi differenziabile) in ogni punto, y) 0, 0) Occorre studiare la differenziabilità solo nell origine Quindi Segue che f 0, 0) f, 0) f0, 0) 0 f y 0, 0) df0, 0) f 0, 0) d + f y 0, 0) dy 0 Poiché il ite dipende dall angolo θ, in generale f f, y) cos θ sin θ cos θ sin θ 0 e la funzione non è differenziabile in 0, 0) Questo implica che f, y) e f y, y) non sono continue in 0, 0) Infatti, per, y) 0, 0), da cui Ad esempio, per θ π 4, + y ) ] f, y) y + y ) f, y) y + y ), 4 cos θ sin θ 4 cos θ sin θ f, y) f 0, 0) 0 Analogamente per f y, y) Si noti, infine, che, per ogni direzione r α, β), si ha df d r P 0,0) fαt, βt) f0, 0) t 0 t t 0 α β α + β α β t 0 α t βt α +β )t t si ricordi che i coseni direttori sono tali che α + β ) Ma df d r P 0,0) α β αf 0, 0) + βf y 0, 0) 0 α, β 0 calcolare Esercizio 0) Data la funzione df d r f, y) y, nel punto P 0, ) 7
lungo la direzione parallela alla retta di equazione y Svolgimento: per la retta data si hanno i coseni direttori α, β) cos π 6, sin π ) 6 ), Poiché f, y) y + y ; f y, y) y ; le derivate parziali prime sono continue in P 0 ; quindi si può scrivere df d r P0 αf P 0 ) + βf y P 0 ) 7 6 ] 4 + + ] Esercizio ) Esempio di funzione tale che le derivate seconde miste coincidono dappertutto, ma che non soddisfa il Teorema di Schwarz dappertutto Svolgimento: La funzione f, y) { y sin ) se 0 0 se 0 è definita su tutto il piano È facile verificare, in coordinate cartesiane, che la funzione è continua su tutto IR Come utile esercizio, verifichiamo la continuità in ogni punto dell asse delle y, per mezzo delle coordinate polari decentrate Consideriamo dunque un generico punto P 0 0, y 0 ) Ovviamente, poiché f0, y) 0 y IR, allora Passando in coordinate polari decentrate, abbiamo f0, y) f0, y 0 ) 0 y y 0 { cos θ y y 0 + sin θ e la funzione può essere riscritta, in ogni punto non appartenente all asse delle y, nella forma ) f, θ) cos θ y 0 + sin θ) sin cos θ Poiché f, θ) ) cos θ y 0 + sin θ) sin y 0 + ) 0, cos θ 8
segue che da cui la continuità in ogni punto dell asse delle y In tali punti, inoltre, f, θ) 0, f 0, y) f, y) f0, y) ) y sin 0, mentre, ovviamente, f y 0, y) 0 e pertanto { y sin ) cos )] se 0 f, y) 0 se 0 e { sin ) se 0 f y, y) 0 se 0 Analogamente si determina { sin ) cos ) se 0 f y, y), 0 se 0 mentre f y, y) sin ) cos ) se 0 sin ) sin ) 0 se 0 Le funzioni f y e f y, benché coincidano in ogni punto del piano e, in particolare, lungo l asse delle y, non sono ivi continue Infatti, come noto, il ite sin ) cos )] non esiste L esercizio non contraddice il teorema di Schwarz, il quale rappresenta una condizione solo sufficiente per l eguaglianza delle derivate miste Esercizio ) Soluzione dell Esercizio n 4 p 55 del libro Bramanti, Pagani, Salsa - Matematica : Dimostrare che y 4 + y non esiste Svolgimento: la funzione ammette ite lungo qualsiasi retta passante per l origine Infatti: a) se y m, m f, m) m + ) m m + ) 0 m IR ; b) se 0, f0, y) 0 0 9
È però sufficiente scegliere una particolare curva, quale y, per scoprire che la funzione non ha ite nell origine Infatti: f, 4 ) 4 + 4 Anche se non richiesto, possiamo, come utile esercizio, stabilire quali siano le curve y α lungo le quali la funzione ha un ite diverso da zero Se consideriamo y > 0, prendiamo la curva y α ; α > 0 Se consideriamo y < 0, prendiamo la curva y α ; α > 0 Si ha f, ± α ) ± α ± +α 4 + α 4 + α Si presentano così vari casi: se α >, allora α o 4 ) e quindi f, ± α ) ± +α 4 ± α 0 Se α, abbiamo il caso già studiato: Se 0 < α <, allora 4 o α ), da cui f, ) f, ± α ) ± +α α ± α 0 Dunque, la funzione ammette ite nullo non solo lungo qualsiasi retta passante per l origine, ma anche lungo qualsiasi curva monomiale, a parte y Infine, studiamo la continuità della funzione per mezzo delle coordinate polari: f, θ) cos θ sin θ cos 4 θ + sin θ) cos θ sin θ sin θ cos 4 θ sin θ + ) f, θ) cos θ sin θ sin θ cos θ sin θ È evidente che, se sin θ, mentre tende a 0, tende anch esso a 0, ci troviamo davanti a una forma indeterminata Potrebbe quidi accadere che la funzione non abbia sempre lo stesso ite e che quindi non sia continua In generale, se il fattore dipendente da θ non risulta itato come in questo caso), si presenta un caso di indeterminazione Se, ad esempio, i punti si muovono lungo la curva θ) sin θ cos θ, si ha fθ), θ) sin θ cos θ cos θ sin θ ) sin sin θ θ cos 4 θ cos4 θ sin θ + Si osservi che la curva θ) sin θ cos θ è l espressione in coordinate polari della curva y Esercizio ) Soluzione dell Esercizio n 5 pag 56 del libro Bramanti, Pagani, Salsa - Matematica : Dimostrare che + y 0
non esiste Svolgimento: la funzione f, y) + y non è definita per 0 Dovremo quindi calcolare il ite in ogni punto dell asse delle y Poiché si ha, per y 0, f, y) + y, y f, y) + 0 + + ; y f, y) 0 Non esiste, dunque, il ite in alcun punto 0, y) ; y 0 Se invece y 0, dobbiamo calcolare f, y) ] + y y È qui evidente che il ite dipende dalla curva lungo la quale il punto tende all origine Infatti, se y m, f, m) m 0 m IR Mouvendoci però lungo una curva di equazione y α, abbiamo f, α ) α ± α ) Se α > : Se α : Se 0 < α < : f, α ) 0 f, ) ; f, ) + f, α ) + La funzione, dunque, non ammette ite neanche nell origine In coordinate polari: f, θ) cos θ cos θ Come nell esercizio precedente, il fattore dipendente da θ è ilitato Dunque si possono avere casi di indeterminazione Se, ad esempio, ci muoviamo lungo la curva cos θ corrispondente, in coordinate polari, alla circonferenza di equazione + y 0, cioè, in forma esplicita, y ±, che, per 0, è approssimata dalla curva y ± : confrontare questa osservazione con i iti della funzione in coordinate cartesiane), avremo fθ), θ) cos θ cos θ, mentre, lungo una qulasiasi curva tale che cos θ non tenda a zero al tenere di a zero, come ad esempio la curva di equazione θ cost π, f, θ) 0