La legge di Gauss La legge di Gauss mette in relazione il flusso elettrico Φ attraverso una superficie chiusa e la carica q %& dentro: Se più linee di flusso escono di quante ne entrano, contiene una carica netta positiva Se più linee di flusso entrano di quante ne escono, contiene una carica netta negativa q %& = ε ) Φ 133 Il flusso elettrico Corrisponde al prodotto della superficie A e la componente di E perpendicolare alla superficie: Φ =, E - da vettore superficie da : perpendicolare alla superficie per superficie gaussiana (chiusa): uscente E.g. : cilindro in campo uniforme lato sinistro: Φ 1 = EA cos 180 = EA lato cilindrico: Φ : = EA cos 90 = 0 lato destro: Φ < = EA cos 0 = EA totale: Φ = Φ 1 Φ : Φ < = 0 134 1
Campo elettrico di carica puntiforme Superficie Gaussiana (chiusa): sfera di raggio r intorno a carica q per simmetria, il campo E è uniforme e perpendicolare alla superficie Per il flusso troviamo Φ = AE cos 0 = 4πr A E Gauss: q %& = ε ) Φ q = ε ) 4πr A E q E = 4πε ) r A Così abbiamo ritrovato la legge di Coulomb! Applicando legge di Gauss su gusci sferici si dimostrano i due teoremi del guscio 135 Campo elettrico di carica lineare Bacchetta di lunghezza infinita Densità di carica lineare λ [C m] Racchiudiamo in superficie cilindrica di raggio r, altezza h. Per simmetria, il campo dev essere radiale e orientato verso l esterno Flusso: Φ = AE cos 0 = 2πrh - E -1 Carica interna: q %& = λh Gauss: q %& = ε ) Φ λh = ε ) - 2πrE - h E = λ 2πrε ) 136 2
Campo elettrico di carica superficiale Consideriamo lamina isolante Di dimensione infinita Densità di carica superficiale σ[c m A ] Superficie Gaussiana: cilindro con basi di area A Il lato cilindrico non contribuisce al flusso Φ angolo di 90 gradi tra campo e normale Per i lati, E parallelo a A Φ = EA EA = 2EA Gauss: q %& = ε ) Φ σ A = ε ) - 2EA E = L AM N 137 Campo elettrico tra due piastre Una piastra con carica superficiale σ Un altra con carica superficiale σ Il campo finale corrisponde alla somma (principio di sovrapposizione) Risulta che il campo finale si cancella tranne nello spazio tra le due piastre dove E = L L = L AM N AM N M N Si è creato un campo uniforme. - - 138 3
Potenziale elettrico La forza elettrica è conservativa il lavoro compiuto è indipendente dal cammino Carica q ) ha una energia potenziale elettrica U rispetto ad un punto di riferimento (normalmente ) Definiamo il potenziale elettrico: = R S N Unità di misura: olt () : 1 = 1J / 1C spostare una carica di 1 Coulomb attraverso una differenza di potenziale di 1 impiega un lavoro di 1 Joule 139 Accelerazione di elettroni Esempio: elettrone accelerato attraverso differenza di potenziale di 1000 Conservazione di energia: energia elettrica trasformata in energia cinetica E T, = E T, e 1 2 mv A = e 1 2 mv A eδ = Z A mva v = A[\] = A-Z,^ Z)`ab c-z)))] = T d,z Z)`ea fg 1,88 10 h m s = 18800km/s 140 4
Campo elettrico e potenziale Dal campo elettrico E, si può calcolare la differenza di potenziale tra due punti Una carica esplorativa q ) sente una forza F = q ) E Lavoro dl svolto dal campo per uno piccolo spostamento ds : dl = F - ds Per spostamento da i a f : L = q ) E - ds Lavoro svolto dal campo diminuisce l energia potenziale: ΔU = U U = L q ) q ) = q ) E - ds Δ = = E - ds 141 Campo elettrico e potenziale La differenza di potenziale tra due punti corrisponde a (meno) l integrale del campo elettrico lungo il cammino che li collega: = E - ds forza conservatrice, dunque valida per qualsiasi cammino! Per campo costante = E - s = Es cos θ Per due piastre di distanza d abbiamo Δ = Ed Tra due piastre distante d con differenza di potenziale Δ il campo elettrico ha intensità E = Δ/d e ciascuna piastra ha carica superficiale σ = ε ) E = ε ) \] r 142-5
Potenziale di una carica puntiforme Campo elettrico: E = S r stm N u v Poniamo = 0 a distanza infinita Per spostamento da R a : y z S y stm N z R = E - ds 0 R = r {A dr = q r {Z z y = q 4πε ) 4πε ) R = q 4πε ) R 143 6