STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA

Capitolo zero: STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA La STATISTICA è la scienza che si occupa di fenomeni collettivi che richiedono lo studio di un grande numero di dati. Il termine STATISTICA deriva dalla parola STATO, già gli antichi Romani facevano censimenti per contare gli abitanti e per conoscere le loro caratteristiche: età, professione,ecc. I censimenti sono indagini statistiche che riguardano l intera popolazione residente nello stato. Si chiama POPOLAZIONE STATISTICA l insieme su cui si fa l indagine statistica. Il termine popolazione si usa anche quando tale insieme non è costituito da persone, ad esempio le auto immatricolate in Italia nel 2011 potrebbero essere oggetto di una indagine statistica e quindi costituire la popolazione oggetto dell indagine. Per ragioni economiche spesso, le indagini statistiche riguardano un CAMPIONE e non l intera popolazione, in tal caso è essenziale che il campione sia rappresentativo altrimenti l indagine statistica darebbe risultati errati. Per effettuare una INDAGINE STATISTICA bisogna: rilevare i dati, fare lo spoglio dei dati e correggere, se possibile, eventuali errori, elaborare i dati con strumenti matematici adatti interpretare i risultati ottenuti Il nostro studio riguarda prevalentemente gli ultimi due punti dell indagine statistica: l elaborazione dei dati con strumenti matematici e l interpretazione dei risultati dell indagine statistica. Si dice UNITA STATISTICA ogni elemento della popolazione, di ciascuna unità statistica si studia almeno un CARATTERE, il carattere può essere qualitativo o quantitativo : CARATTERE QUALITATIVO è espresso con attributi: maschio / femmina o castano, rosso, biondo, un CARATTERE QUANTITATIVO è frutto di un conteggio o di una misura ed è espresso con un numero intero o con un numero reale Per studiare i dati statistici si costruiscono delle tabelle di frequenza dove, accanto ad ogni modalità di un carattere, si riporta la frequenza della modalità. Tali tabelle si chiamano: SERIE se vi sono caratteri qualitativi, SERIAZIONI se vi sono caratteri quantitativi. Tra le serie statistiche, le più importanti e diffuse sono le serie storiche. Sono esempi di serie statistiche, la serie che descrive l andamento del costo della benzina negli ultimi dieci anni, la serie che descrive il numero di multe date dai vigili urbani nei primi sette giorni dell anno in corso, ecc. è una serie, quella che descrive il colore degli occhi degli studenti della III a A. Esempio: serie storica della produzione annua di olio, in quintali, e rappresentazione grafica con un grafico cartesiano : 1

2 Anno Produzione In quintali 2003 2.508.084 2004 2.678.201 2005 2.458.396 2006 1.914.535 Esempio : serie delle materie scolastiche preferite dai ragazzi e dalle ragazze e loro rappresentazione con diagramma a colonne Materia preferita maschi femmine Italiano 5 3 Storia 4 7 Geografia 4 2 Matematica 2 3 Scienze 6 4 Ed. Fisica 5 5 totale 26 24 LE SERIAZIONI Esempio 1 Con uno strumento, si è rilevato, per 40 minuti consecutivi, il numero delle particelle cosmiche al minuto: 0 2 1 4 3 1 2 3 8 2 5 2 1 3 3 1 3 2 2 5 4 4 4 2 3 5 5 1 1 2 4 4 2 3 3 3 3 3 3 2 Possiamo chiederci: Qual è il minor numero di particelle rilevato in un minuto? Qual è il maggior numero di particelle rilevato in un minuto? Quale numero di particelle è stato rilevato più frequentemente? Per quanti minuti sono state rilevate meno di 5 particelle al minuto? Qual è il numero medio di particelle rilevate al minuto? Ad alcune domande si può rispondere anche con i dati grezzi, ad altre no. La variabile statistica che dobbiamo studiare la indichiamo con X. X è uguale al numero di particelle cosmiche rilevate al minuto, essa può assumere i valori interi da 0 ( il valore minore rilevato) a 8 ( il valore massimo rilevato ). Il RANGE dei valori è 8-0=8 Ad ogni valore di X corrisponde una frequenza assoluta f a ( il numero di volte che si è ottenuto quel valore) Ad ogni valore di X corrisponde una frequenza relativa f r = f a /n, n è il numero dei dati, in questo caso n=40. La frequenza può anche essere espressa in modo percentuale f r *100 % Molto interessante è la frequenza cumulata: per ogni valore della variabile X, la frequenza cumulata é la somma delle frequenze assolute minori o uguali al valore di X considerato. In modo analogo si può costruire la tabella delle frequenze relative cumulate o di quelle percentuali cumulate.

3 X f a f r f% f a cumulata 0 1 0,025 2,5% 1 1 6 0,15 15% 7 2 10 0,25 25% 17 3 12 0,3 30% 29 4 6 0,15 15% 35 5 4 0,1 10% 39 6 0 0 0% 39 7 0 0 0% 39 8 1 0,025 2,5% 40 Totale: 40 1 100% 40 numero dati vale sempre 1 vale sempre 100 numero dei dati Istogramma che rappresenta la distribuzione della frequenza assoluta del numero di particelle al minuto. Frequenza assoluta cumulata del numero di particelle al minuto rilevate Ora che i dati sono stati ordinati e rappresentati, possiamo rispondere ad alcune domande relative al fenomeno su cui è stata fatta l indagine statistica. Qual è il minor numero di particelle rilevato in un minuto? 0 (nessuna particella) Qual è il maggior numero di particelle rilevato in un minuto? 8 particelle Quale numero di particelle è stato rilevato più frequentemente? 3 particelle Per quanti minuti sono state rilevate meno di 5 particelle? 35 minuti Per quanti minuti sono state rilevate più di 4 particelle al minuto? 40-35= 5 minuti Qual è il numero medio di particelle rilevate al minuto? circa 3 particelle al minuto La variabile X appena studiata è numerica e discreta perché i valori che assume sono il risultato di un conteggio. La variabile Y che, assume come valore l altezza dei giocatori del Novara Calcio, è numerica e continua, perché i valori sono frutto di una misura. La variabile Z che assume come valore il colore degli occhi dei giocatori del Novara Calcio è una variabile qualitativa detta mutabile, perché non assume valori numerici. Talvolta è necessario suddividere in classi, l intervallo dei valori da rappresentare. Divideremo l intervallo in classi della stessa ampiezza, il numero delle classi può variare tra 4 e 15, solo in casi eccezionali il numero delle classi può arrivare a 20. Ci sono regole pratiche che permettono di stimare il numero di classi in cui dividere i dati in modo da ottenere una buona distribuzioni statistica di frequenze. Si può estrarre la radice quadrata del numero N di dati e approssimare il risultato calcolare 1+3,322Log(N) e approssimare il risultato Se i dati sono 80, con la prima formula si ottiene N ~ = 8.9 8 classi,

4 con la seconda formula si ottiene N ~1+3,322*Log(80)=7,32 7 classi Esempio 2 Gli ottanta dati seguenti indicano le emissioni giornaliere di gas inquinante da un impianto industriale espresse nella stessa unità di misura. Il Range dei valori è R=31.8-6.2=25.6 Poiché i dati sono 80 decidiamo di dividere l intervallo [6.2, 31.8] in 7 parti uguali dette classi. L ampiezza di ciascuna classe è a=(32-6.2)/7=3,7 NB: il valore maggiore è stato arrotondato per eccesso. A volte si aggiunge uno per essere certi di avere tutti i dati distribuiti nelle 7 classi. Quando la distribuzione statistica è suddivisa in classi, bisogna calcolare il valore centrale di ogni classe: nella classe [c,d[ Il valore centrale è (c+d)/2 Classe Valore centrale Fa Fr F % F cumulata 8.05 7 0.0875 8.75 7 11.75 10 0.125 12.5 17 15.45 12 0.15 15 29 19.15 23 0.2875 28.75 52 22.85 16 0.2 20 68 26.55 8 0.1 10 76 30.25 4 0.05 5 80 totale 80 1 100 80 Istogramma delle frequenze assolute : i valori sull asse x sono quelli centrali di ogni classe Qual è il valor medio della distribuzione? Grafico delle frequenze cumulate, detto anche ogiva Sull asse x vanno riportati i valori massimi di ogni classe e sull asse y la frequenza cumulativa della rispettiva classe

5 18,73 Indici di posizione centrale di una distribuzione di frequenze: valori medi MODA: il dato, o la classe di dati, che ha maggiore frequenza. La moda si calcola sia con caratteri qualitativi che con caratteri quantitativi. La moda può non esistere (se tutti i dati o tutte le classi hanno la stessa frequenza) o non essere unica ( se ci sono più dati o più classi con la massima frequenza) la moda può essere molto lontana dal centro della distribuzione la MODA è utile quando è importante conoscere quale sia il valore che si ottiene con maggiore frequenza e si usa se il dato o la classe hanno una frequenza notevolmente superiore agli altri dati o classi. ESEMPIO: In una città l orario dei negozi di alimentari è libero. Uno straniero appena giunto in città chiede quale sia l orario di apertura dei negozi di alimentari. Conviene rispondere indicando la MODA cioè l orario rispettato dalla maggior parte dei negozi di alimentari. MEDIANA: è un valore che divide a metà i dati, ordinati in maniera crescente o decrescente. La mediana si calcola con i caratteri quantitativi o con quelli qualitativi ordinabili ( ad esempio la modalità titolo di studio è ordinabile, la modalità colore degli occhi non è ordinabile). La MEDIANA non risente dei valori estremi perché si determina indicando il valore centrale se la distribuzione ha un numero dispari di dati, oppure indicando la media aritmetica tra i due valori centrali se la distribuzione ha un numero pari di dati. La MEDIANA è l indice centrale da considerare quando c è molta variabilità tra i dati. La MEDIANA è il valore che divide a metà l intervallo della distribuzione statistica e corrisponde al cinquantesimo percentile e anche al secondo quartile. I quartili sono dei punti che dividono l intervallo dei dati in quattro parti, ognuna delle quali contiene il 25% dei dati. ATTENZIONE: se la distribuzione e divisa in classi, per stimare la mediana bisogna calcolare l area A dell istogramma e dividerla a metà, quindi si cerca il valore a che appartiene alla classe in cui cade A/2 e si scrive una equazione per individuare il valore di a che dimezza l area dell istogramma. Esempio classe fa area area cumulata 155-160 3 15 15 160-165 4 20 35 165-170 4 20 55 170-175 3 15 70 175-180 6 30 100 180-185 4 20 120 totale 24 MEDIANA=171,67 a Area istogramma =5*3+5*4+5*4+5*3+5*6+5*4=120 Area/2=60 Osservando la colonna dell area cumulata si vede che 60 appartiene alla classe 170-175. Si scrive quindi l equazione con incognita a

6 5*3+5*4+5*4+(a-170)*3=(175-a)*3+5*3+5*6+5*4 e si ottiene a=171,67 La MEDIA ARITMETICA è quel valore che sostituito a tutti i termini della distribuzioni lascia invariata la somma. La media si calcola solo se i caratteri sono quantitativi. La MEDIA ARITMETICA risente dei valori estremi della distribuzione e non conviene utilizzarla quando c è molta variabilità tra i dati. LA MEDIA PESATA è la media aritmetica calcolata considerando i pesi ( la frequenza ) di ogni xi dove xi è il dato di indice i e pi il suo peso Nel caso in cui i dati siano raggruppati in classi si usa il valore centrale di ogni classe: xi è il valore centrale della classe i-esima ed fi la frequenza della classe i-esima La MEDIA QUADRATICA è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati dei dati Nel caso in cui i dati siano raggruppati in classi si usa il valore centrale di ogni classe: xi è il valore centrale della classe i-esima ed fi la frequenza della classe i-esima Indici di variabilità di una distribuzione di frequenze IL RANGE o CAMPO DI VARIAZIONE: la differenza tra il massimo valore dei dati e il minimo valore dei dati oppure la differenza tra l estremo superiore dell ultima classe e l estremo inferiore della prima classe, se i dati sono suddivisi in classi. NB: se tutti i dati sono uguali RANGE=0 Lo SCARTO è la differenza tra ogni valore della distribuzione e la media aritmetica x i -. Lo SCARTO SEMPLICE MEDIO è la media aritmetica dei valori assoluti degli scarti S= La VARIANZA è il valor medio degli scarti al quadrato o Se i dati sono raggruppati in classi si considera come xi il valore centrale di ogni classe o Lo SCARTO QUADRATICO MEDIO o DEVIAZIONE STANDARD è la radice quadrata della varianza Quando i dati sono suddivisi in classi, si utilizza come xi il valore centrale di ogni classe

7 Il COEFFICIENTE DI VARIABILITA ( che si può calcolare solo se la media non è nulla) è il rapporto tra lo scarto quadratico medio e la media aritmetica in valore assoluto σ/ μ e viene espresso in percentuale. E un numero puro che permette di confrontare tra loro la variabilità, di diverse distribuzioni statistiche. Esempio: Giacomo ha preso questi voti: 5,7,6,8,9,7 il coeff. di variabilità è σ/ μ =1,29/7=0,18=18% Luca ha preso questi voti: 4,5,6,5,6 il coeff. di variabilità è σ/ μ =0,75/5,2=0,14=14% Marco ha preso questi voti : 7,7,7,7,7,7,7 il coeff. di variabilità è σ/ μ =0/7=0 TABELLE CONSIGLIATE PER CALCOLARE LO SCARTO SEMPLICE MEDIO E LO SCARTO QUADRATICO MEDIO X Scarto (xi-μ) Valore assoluto dello scarto xi - μ Scarti al quadrato (xi-μ) 2-8,5 8,5 72,75... Tot. 0 27 189,5 CLASSI fi Xi valore centrale della classe 0-4 5 2 4-8 7 6 tot x i *f i xi μ *fi (xi-μ) 2 *fi SCARTO SEMPLICE MEDIO : S= x 1 - μ + x n - μ = 27/6 =4,5 (6 è il numero dei dati) N SCARTO QUADRATICO MEDIO : = = 5,6 Vediamo in dettaglio tre tipi di distribuzione statistica univariata DISTRIBUZIONE SEMPLICE: un esempio Si rileva la temperatura alle ore 12 ( mezzogiorno) in una certa località, per sette giorni consecutivi. Calcolare:media, mediana,range, scarto semplice medio, deviazione standard, coeff. di variabilità giorni Temperature in C lunedì -3 Media μ=(-3+1+0-1+2-2+3)/7=0 martedì 1 Mediana: (dispongo i dati in ordine crescente: - mercoledì 0 3,-2,-1,0,1,2,3) = 0 giovedì -1 Range: 3-(-3)=6 venerdì 2 S=(3+1+0+1+2+2+3)/7=1,71 sabato -2 σ 2 =(9+1+0+1+4+4+9)/7=4 domenica 3 σ = 2 σ/ μ non si può calcolare, media nulla DISTRIBUZIONE PONDERATA: un esempio Costruire la tabella statistica e determinare la media, la mediana,la moda, il range, lo scarto semplice medio, la varianza, lo scarto quadratico medio e il coefficiente di variabilità relativi alla rilevazione statistica: su un campione di 100 famiglie si studia il numero di automobili di proprietà.

Modalità fa fr f% fc scarto Moda: 1 auto n. auto di Media: μ=(0*15+1*48+2*29+3*8)/ 100 =1.3 proprietà Mediana: è la media tra il 50 esimo e il 51 esimo dato 0 15 0.15 15% 15-1.3 (1+1)/2=1 1 2 48 29 0.48 48% 0.29 29% 63 92-0.3 0.7 Range: min 0, max 3 R=3-0=3 S=[ -1.3 *15+ -0.3 *48+ 0.7 *29+ 1.7 *8] 3 Tot. 8 100 0.8 1 8% 100 100 1.7 /100=0,678 Varianza: σ 2 = =[(-1.3) 2 *15+(-0.3) 2 *48+(0.7) 2 *29+(1.7)2*8]/100=0.67 Scarto quadratico medio σ= 0.67=0.82 ; σ/ μ =0.82/1.3=0,63=63% DISTRIBUZIONE PER CLASSI: un esempio Costruire la tabella statistica delle altezze, suddivise in classi, degli alunni di una classe primaria e calcolare: la media, la moda, la mediana, il range, la varianza,lo scarto quadratico medio il coeff. di variabilità 8 Classi di altezza v.c. fa fr f% scarto Area classi a Area cum. 130-139 134.5 4 0.14 14-9.96 36 36 140-144 142 12 0.43 43-2.46 48 84 145-149 147 9 0.32 32 2.54 36 120 150-170 160 3 0.11 11 15.54 60 180 tot 28 1 100 180 la classe modale è 140-144 Media: (134.5*4+142*12+147*9+160*3)/28= =144.46 Range : R= 170-130=40 Varianza: σ 2 =[(9.96) 2 *4+(2.46) 2 *12+(2.54) 2 *9+(15.54) 2 *3]/28 =42.64 Scarto quadratico medio = 42.64=6.5 Coeff. di variabilità σ/ μ =6.5/144.46=0,045= 4,5% Mediana: l area complessiva delle classi è 180, la metà dell area è 90, 90 sta nella classe 145-149 nella posizione a, scrivo equaz. per calcolare a 36+48+(a-145)*9=(149-a)*9+60 18a= 2622 a= 145.66 LA MEDIANA è 145,66

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10 19) I voti riportati in un compito di matematica sono: 2 4 7 5 4 3 7 5 3 5 7 7 5 5 4 6 6 5 6 6 7 8 8 6 6 8 6 6 5 4 Costruire una tabella con le frequenze assolute, relative, percentuali e cumulate. 20) I dati relativi al numero di componenti per un campione di famiglie sono riportati in tabella: N. componenti N. famiglie 1 160 2 257 3 381 4 478 5 127 6 61 7 37 totale 1501 Calcola la frequenza relativa, la frequenza cumulata e la frequenza percentuale, la deviazione standard e il coefficiente di variabilità. Quante famiglie sono formate da più di 4 persone? Qual è la percentuale di famiglie formate da più di 4 persone? 21 )All esame di stato 45 studenti hanno conseguito i voti seguenti: 62 83 92 100 92 100 92 90 84 86 92 82 77 84 88 96 86 83 88 92 82 84 86 90 83 81 88 79 76 91 96 100 92 90 86 82 78 93 65 69 82 78 93 66 69 Costruire una tabella con le frequenza assolute e relative riportando: a) i dati divisi in 5 classi b) i dati divisi in 9 classi 22) Si considerino i dati relativi alle altezze di 28 studenti : 163 163 175 170 175 171 158 171 162 173 164 180 150 163 177 149 183 183 168 168 178 181 147 164 174 180 158 171 Dopo aver raggruppato i dati in classi di frequenza pari a 10cm ( 140-149 ) costruire i grafici delle frequenze assolute, relative e cumulate. Si chiede inoltre : a. Quanti studenti sono alti meno di 160cm? b. Quale classe contiene il maggior numero di dati? [a. 5; b. 170-179] 23) I dati relativi al peso corporeo di 28 studenti di una classe sono i seguenti: 67 52 74 51 84 52 77 62 52 82 58 88 59 79 48 74 47 61 49 54 81 45 59 50 77 51 60 48 Dopo aver raggruppato in classi di ampiezza pari a 5Kg, calcolare: a)frequenza assoluta, b)frequenza relativa c)frequenza percentuale d)frequenza cumulata

11 e) range, f) scarto semplice medio g) varianza h) deviazione standard i) coefficiente di variabilità 24) Nella corsa dei 200m, 30 ragazzi hanno fatto registrare i tempi misurati sino ai decimi di secondo: 29,3 31,2 28,5 37,6 30,9 26,0 38,0 37,0 22,8 35,2 35,8 37,7 29,6 26,9 36,9 39,6 29,9 30,0 36,6 34,1 38,2 35,0 28,8 37,8 32,4 31,8 38,1 34,0 36,0 36,1 Costruire una tabella raggruppando i dati in 5 classi : determinare frequenza, frequenza relativa e frequenza percentuale, media, moda, mediana, range, scarto semplice medio, varianza,deviazione standard, coefficiente di variabilità. Disegnare il diagramma delle frequenze. Determinare quale percentuale dei ragazzi ha corso i 200 m in meno di 29 secondi. 25) Le temperature massime in gradi Celsius registrate in una località sono Tracciare l istogramma, il poligono delle frequenze, il poligono delle frequenze cumulate. Determinare moda, media, mediana, deviazione standard