SOLUZIONI COMPITO del 0/07/009 ANALISI - INFORMATICA CFU + AUTOMATICA 5+5 CFU ANLISI I MODULO) - INFORMATICA + AUTOMATICA 5 CFU Esercizio Osserviamo che possiamo scrivere 0 = z 6 TEMA A + i ) z = [ z richieste saranno date dall unione delle soluzioni delle due equazioni z + )] i z. Pertanto, le soluzioni + ) i = 0 e z = 0; la seconda ha come soluzione z = 0, mentre la prima ha come soluzioni le radici quarte del numero complesso + i. Poiché + i = eiπ/, si ricava + i = e iπ/ = {e i π ; e i 7 π ; e i π ; e i 9 π }. Quindi le soluzioni cercate saranno z = 0, z = e i π, z = e i 7 π, z = e i π, z 5 = e i 9 π. Esercizio La funzione proposta è una funzione continua su tutto R \ {0} e derivabile su tutto R \ {, 0, }, in quanto ottenuta attraverso operazioni algebriche e composizione di funzioni continue e derivabili. Pertanto, cominciamo a studiare la continuità in = 0. Utilizzando lo sviluppo asintotico e, otteniamo f) 0 + 0 + = ; + e ) = f ha un salto in = 0. f) 0 0 0 = ; Poiché f non è continua in = 0, essa non sarà neppure derivabile in tale punto. Resta, quindi, da studiare la derivabilità di f nei punti = e =. Calcolando la derivata in R \ {, 0, } si ottiene [sign + )e ) + + e ] + e ) f ) = <, < < 0; 0 < <, >. ) Pertanto, f ) = e ) = = è punto angoloso; ± f ) = + = = è punto di flesso a tangente verticale. ± Esercizio Utilizzando lo sviluppo di Mc Laurin al secondo ordine per la funzione e, con = /n, otteniamo ) e /n = + n + ) n + o/n ) = n + 8 n + o/n ). [ e Pertanto, si ricava a n := n /n ) n ) n + 8 n n = 8 n. Dal criterio del confronto asintotico con la serie armonica otteniamo che la serie proposta è divergente. n ] Domanda L unica affermazione corretta è la ) poiché, come conseguenza del Teorema dei Carabinieri, si ottiene che il prodotto di una successione infinitesima nel nostro caso {a n }) e di una successione itata nel nostro caso {b n}) dà luogo ad una successione infinitesima. Prendendo, invece, a n = /n e b n = /n si contraddice l affermazione ), mentre prendendo a n = / n e b n si contraddice la ).
Esercizio Osserviamo che la primitiva richiesta sarà data da ϕ) = 0 arctane t ) + e t e t dt = arctane ) π/ s ds = s arctane ) π/ = [arctane )] π 6, dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo utilizzato il cambiamento di variabile s = arctane t ), da cui ds = et +e t dt, s0) = π/, s) = arctane ). Esercizio 5 Calcoliamo,y),0) e y + y + =,y),0) y ) + y ρ sin θ ρ 0 + ρ ρ 0 sin θ =, + dove, nella prima uguaglianza, abbiamo utilizzato lo sviluppo asintotico e y y, per y 0, e nella seconda, abbiamo effettuato un cambiamento di variabile in coordinate polari centrate nel punto, 0). Poiché il ite non esiste, in quanto dipende da θ cioè dalla direzione lungo la quale lo si calcola), si ricava che la funzione non può essere prolungata con continuità in P 0. Esercizio 6 Osserviamo che il problema di Cauchy proposto è relativo ad un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, che può essere riscritta nella forma y ) = ey). Tale equazione non ammette soluzioni singolari; separando le variabili si ottiene e y = e y dy = d = + C = e y) = + C. Quindi l integrale generale è y) = log ). + C Imponendo la condizione iniziale si ricava log/) = y0) = log C) = C = ; pertanto la soluzione cercata sarà y) = log ). + Domanda La soluzione del problema di Cauchy proposto non può avere punti di massimo per 0. Infatti, per ipotesi, y0) = > 0 e y 0) = arctan > 0, quindi la soluzione parte da = 0 con segno positivo e monotonia crescente e, dall equazione, si ricava che il segno della derivata prima è concorde con quello di y). Quindi la soluzione non cambia monotonia fintanto che non diventa negativa, ma la funzione diventa negativa sono dove decresce. Pertanto, per tutti i valori di 0 per cui la soluzione è definita, essa resterà positiva e strettamente crescente.
TEMA B Esercizio ) [ Osserviamo che possiamo scrivere 0 = z + + i z = z + richieste saranno date dall unione delle soluzioni delle due equazioni z + )] + i z. Pertanto, le soluzioni ) + i = 0 e z = 0; la seconda ha come soluzione z = 0, mentre la prima ha come soluzioni le radici terze del numero complesso i. Poiché i = e i5π/, si ricava i = e i5/ π = {e i 5 π ; e i π ; e i π }. Quindi le soluzioni cercate saranno z = 0, z = e i 5π, z = e i π, z = e i π. Esercizio La funzione proposta è una funzione continua su tutto R \ {0} e derivabile su tutto R \ {,, 0}, in quanto ottenuta attraverso operazioni algebriche e composizione di funzioni continue e derivabili. Pertanto, cominciamo a studiare la continuità in = 0. Utilizzando lo sviluppo asintotico log + ), otteniamo f) + + + ) = + ; 0 0 log + ) = f ha un salto in = 0. f) 0 + 0 + 0 + = ; Poiché f non è continua in = 0, essa non sarà neppure derivabile in tale punto. Resta, quindi, da studiare la derivabilità di f nei punti = e =. Calcolando la derivata in R \ {,, 0} si ottiene f ) = sign + ) + + log + ) > 0; + ) / < <, < <, < < 0. Pertanto, ) = ± ± = = è punto angoloso; ) = ± ± = = è punto di cuspide. Esercizio Utilizzando lo sviluppo di Mc Laurin al secondo ordine per la funzione log + ), con = /n, otteniamo log + ) n = n 9 ) n + o/n ) = 9 n 7 n 6 + o/n6 ). Pertanto, si ricava a n := n [ log ) ] + ) n 9 n n 9 n 7 n 9 6 n = 7 n. Dal criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata di esponente >, otteniamo che la serie proposta è convergente. Domanda L unica affermazione corretta è la ) poiché, come conseguenza del Teorema dei Carabinieri, si ottiene che il prodotto di una successione itata nel nostro caso {a n }) e di una successione infinitesima nel nostro caso {/b n }) dà luogo ad una successione infinitesima. Prendendo, invece, a n = /n e b n = n si contraddice l affermazione ), mentre prendendo a n e b n = n si contraddice la ).
Esercizio Osserviamo che la primitiva richiesta sarà data da ϕ) = 0 cos arctan e t) + t e arctan t dt = e arctan cos s ds = sin s e arctan = [sin e arctan ) sin ], dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo utilizzato il cambiamento di variabile s = e arctan t, da cui ds = arctan t e +t dt, s0) =, s) = e arctan. Esercizio 5 Calcoliamo,y) 0,) log + ) + y y + =,y) 0,) + y ) ρ cos θ ρ 0 + ρ ρ 0 cos θ =, + dove, nella prima uguaglianza, abbiamo utilizzato lo sviluppo asintotico log + ), per 0, e nella seconda, abbiamo effettuato un cambiamento di variabile in coordinate polari centrate nel punto 0, ). Poiché il ite non esiste, in quanto dipende da θ cioè dalla direzione lungo la quale lo si calcola), si ricava che la funzione non può essere prolungata con continuità in P 0. Esercizio 6 Osserviamo che il problema di Cauchy proposto è relativo ad un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, che può essere riscritta nella forma y ) = e y). Tale equazione non ammette soluzioni singolari; separando le variabili si ottiene e y = e y dy = d = + C. Quindi l integrale generale è y) = log ). + C Imponendo la condizione iniziale si ricava log) = y0) = log C) = C = / ; pertanto la soluzione cercata sarà y) = log ). + / Domanda La soluzione del problema di Cauchy proposto non può avere punti di massimo per 0. Infatti, per ipotesi, y0) = > 0 e y 0) = log < 0, quindi la soluzione arriva in = 0 con segno positivo e monotonia decrescente e, dall equazione, si ricava che il segno della derivata prima è discorde con quello di y). Quindi la soluzione non cambia monotonia fintanto che non diventa negativa, ma la funzione può diventare negativa solo dove cresce. Pertanto, per tutti i valori di 0 per cui la soluzione è definita, essa resterà positiva e strettamente decrescente.
TEMA C Esercizio ) [ Osserviamo che possiamo scrivere 0 = z 7 + i z = z richieste saranno date dall unione delle soluzioni delle due equazioni z )] + i z. Pertanto, le soluzioni ) + i = 0 e z = 0; la seconda ha come soluzione z = 0, mentre la prima ha come soluzioni le radici terze del numero complesso + i. Poiché + i = e iπ/, si ricava + i = e iπ/ = {e i π ; e i 9 π = e i π ; e i 7 π }. Quindi le soluzioni cercate saranno z = 0, z = e i π, z = e i π, z = e i 7 π. Esercizio La funzione proposta è una funzione continua su tutto R \ {0} e derivabile su tutto R \ {,, 0}, in quanto ottenuta attraverso operazioni algebriche e composizione di funzioni continue e derivabili. Pertanto, cominciamo a studiare la continuità in = 0. Utilizzando lo sviluppo asintotico log + ), otteniamo f) + + 5 + ) = + 5 8 ; 0 0 log + ) = f ha un salto in = 0. f) 0 + 0 + 0 + = ; Poiché f non è continua in = 0, essa non sarà neppure derivabile in tale punto. Resta, quindi, da studiare la derivabilità di f nei punti = e =. Calcolando la derivata in R \ {,, 0} si ottiene f ) = sign + ) + 8 + log + ) > 0; 5 + ) /5 < <, < <, < < 0. Pertanto, ) = ± + ± 5 = = è punto angoloso; ) = ± ± = = è punto di cuspide. Esercizio Utilizzando lo sviluppo di Mc Laurin al secondo ordine per la funzione log + ), con = /n /, otteniamo log + ) = n / n ) / n + o/n ) = n 8 n + 9/ o/n9/ ). Pertanto, si ricava a n := n [ 5/ log ) ] + ) n / n n 5/ n 8 n 9/ n = 8 n. Dal criterio del confronto asintotico con la serie armonica generalizzata di esponente >, otteniamo che la serie proposta è convergente. Domanda L unica affermazione corretta è la ) poiché, come conseguenza del Teorema dei Carabinieri, si ottiene che il prodotto di una successione itata nel nostro caso {a n }) e di una successione infinitesima nel nostro caso {/b n }) dà luogo ad una successione infinitesima. Prendendo, invece, a n = /n e b n = n si contraddice l affermazione ), mentre prendendo a n e b n = n si contraddice la ). 5
Esercizio Osserviamo che la primitiva richiesta sarà data da ϕ) = 0 e arctan t + t ) cos e arctan t ) dt = e arctan cos s ds = tan s e arctan = tan e arctan ) tan dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo utilizzato il cambiamento di variabile s = e arctan t, da cui ds = arctan t e +t dt, s0) =, s) = e arctan. Esercizio 5 Calcoliamo,y) 0,) log + ) + y y + ) /,y) 0,) ρ cos θ [ + y ) ] / ρ 0 + ρ cos θ =, ρ 0 + dove, nella prima uguaglianza, abbiamo utilizzato lo sviluppo asintotico log + ), per 0, e nella seconda, abbiamo effettuato un cambiamento di variabile in coordinate polari centrate nel punto 0, ). Poiché il ite non esiste, in quanto dipende da θ cioè dalla direzione lungo la quale lo si calcola), si ricava che la funzione non può essere prolungata con continuità in P 0. Esercizio 6 Osserviamo che il problema di Cauchy proposto è relativo ad un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, che può essere riscritta nella forma y ) = e y). Tale equazione non ammette soluzioni singolari; separando le variabili si ottiene e y = e y dy = d = + C. Quindi l integrale generale è y) = log ). + C Imponendo la condizione iniziale si ricava log) = y0) = log C) = C = / ; pertanto la soluzione cercata sarà y) = log ). + / Domanda La soluzione del problema di Cauchy proposto non può avere punti di massimo per 0. Infatti, per ipotesi, y0) = > 0 e y 0) = log < 0, quindi la soluzione arriva in = 0 con segno positivo e monotonia decrescente e, dall equazione, si ricava che il segno della derivata prima è discorde con quello di y). Quindi la soluzione non cambia monotonia fintanto che non diventa negativa, ma la funzione può diventare negativa solo dove cresce. Pertanto, per tutti i valori di 0 per cui la soluzione è definita, essa resterà positiva e strettamente decrescente., 6
TEMA D Esercizio ) [ )] Osserviamo che possiamo scrivere 0 = z + 5 + i z = z + + i z. Pertanto, le soluzioni richieste ) saranno date dall unione delle soluzioni delle due equazioni z + + i = 0 e z = 0; la seconda ha come soluzione z = 0, mentre la prima ha come soluzioni le radici quarte del numero complesso i. Poiché i = ei7π/6, si ricava i = e i7π/6 = {e i 7 π ; e i 9 π ; e i π ; e i π }. Quindi le soluzioni cercate saranno z = 0, z = e i 7 π, z = e i 9 π, z = e i π, z 5 = e i π. Esercizio La funzione proposta è una funzione continua su tutto R \ {0} e derivabile su tutto R \ {, 0, }, in quanto ottenuta attraverso operazioni algebriche e composizione di funzioni continue e derivabili. Pertanto, cominciamo a studiare la continuità in = 0. Utilizzando lo sviluppo asintotico e, otteniamo f) 0 + 0 + 5 = ; + e ) f) = f ha un salto in = 0. 0 0 0 = ; Poiché f non è continua in = 0, essa non sarà neppure derivabile in tale punto. Resta, quindi, da studiare la derivabilità di f nei punti = e =. Calcolando la derivata in R \ {, 0, } si ottiene [sign + )e ) + + e ] + e ) f ) = <, < < 0; 5 5 0 < <, >. ) Pertanto, e f 8 ) ) = ± = = è punto angoloso; f ) = + = = è punto di flesso a tangente verticale. ± Esercizio Utilizzando lo sviluppo di Mc Laurin al secondo ordine per la funzione e, con = / n, otteniamo ) e /n = + + 9 ) n n + o/n) = 9 n + 7 n + / o/n/ ). Pertanto, si ricava a n := [ ] n e /n ) 9 n n 9 n + ) 7 9 n / n = 7 n. Dal criterio del confronto asintotico con la serie armonica otteniamo che la serie proposta è divergente. Domanda L unica affermazione corretta è la ) poiché, come conseguenza del Teorema dei Carabinieri, si ottiene che il prodotto di una successione infinitesima nel nostro caso {a n }) e di una successione itata nel nostro caso {b n}) dà luogo ad una successione infinitesima. Prendendo, invece, a n = /n e b n = /n si contraddice l affermazione ), mentre prendendo a n = / n e b n si contraddice la ). 7
Esercizio Osserviamo che la primitiva richiesta sarà data da ϕ) = 0 e t + e 6t ) arctane t ) dt = arctane ) π/ s ds = log s arctane π/ ) = log arctane ) ) logπ/) dove, nella seconda uguaglianza, abbiamo utilizzato il cambiamento di variabile s = arctane t ), da cui ds = et +e 6t ) dt, s0) = π/, s) = arctane ). Esercizio 5 Calcoliamo,y),0) e y + y + ) /,y),0) y ρ sin θ [ ) + y ] / ρ 0 + ρ sin θ =, ρ 0 +, dove, nella prima uguaglianza, abbiamo utilizzato lo sviluppo asintotico e y y, per y 0, e nella seconda, abbiamo effettuato un cambiamento di variabile in coordinate polari centrate nel punto, 0). Poiché il ite non esiste, in quanto dipende da θ cioè dalla direzione lungo la quale lo si calcola), si ricava che la funzione non può essere prolungata con continuità in P 0. Esercizio 6 Osserviamo che il problema di Cauchy proposto è relativo ad un equazione differenziale del primo ordine a variabili separabili, che può essere riscritta nella forma y ) = 5 e y). Tale equazione non ammette soluzioni singolari; separando le variabili si ottiene e y = e y dy = d = 5 5 + C = e y) = 5 + C. Quindi l integrale generale è y) = log 5 ). + C Imponendo la condizione iniziale si ricava log/) = y0) = log C) = C = ; pertanto la soluzione cercata sarà y) = log 5 ). + Domanda La soluzione del problema di Cauchy proposto non può avere punti di massimo per 0. Infatti, per ipotesi, y0) = > 0 e y 0) = arctan > 0, quindi la soluzione parte da = 0 con segno positivo e monotonia crescente e, dall equazione, si ricava che il segno della derivata prima è concorde con quello di y). Quindi la soluzione non cambia monotonia fintanto che non diventa negativa, ma la funzione diventa negativa sono dove decresce. Pertanto, per tutti i valori di 0 per cui la soluzione è definita, essa resterà positiva e strettamente crescente. 8