Esercizio 1 All interno di una sfera di raggio posta nel vuoto esiste una densità di carica ρ = ρ r distanza dal centro della sfera e ρ. Determinare: 1. La carica totale della sfera. Il campo elettrico in tutto lo spazio dove r è la 3. Il valore della densità superficiale di carica σ uniforme da disporre sulla superficie della sfera affinché il campo elettrico esterno alla sfera risulti nullo 1. La carica totale all interno della sfera si ottiene integrando la densità di carica sul volume Q = ρdτ r = ρ 4πr dr = 4πρ r4 dr = 4πρ 3 5. Essendo la carica distribuita nel volume dotato di simmetria sferica, il campo elettrico è in ogni punto radiale e dipende dalla distanza dal centro. Applicando Gauss utilizzando una superficie sferica (4πr ) otteniamo: E4πr = r ρdτ = 4πρ r 5 ε E = ρ r 3 5ε 5 ε E4πr = { ρdτ = 4πρ 3 E = ρ 3 ε 5ε 5ε r r < r > 3. Una densità di carica σ superficiale disposta sulla sfera produce un campo che è calcolabile sempre con Gauss utilizzando una superficie sferica E = { E4πr = σds ε r < (non c è carica) = σ4π E = σ ε ε r r > Affinché il campo elettrico complessivo si annulli all esterno della sfera sarà sufficiente imporre che per r > la somma dei due campi sia pari a zero, pertanto: σ ε r + ρ 3 5ε r = σ = ρ 5
Esercizio Un cilindro infinito di raggio =1 cm e carico con densità uniforme ρ=.1 C/m 3 ha al suo interno, una cavità sferica di raggio / il cui centro giace sull asse del cilindro. Si calcoli sul piano equatoriale della sfera perpendicolare all asse del cilindro: 1. Il campo elettrico nel punto P distante 3 dal centro della sfera. La velocità che deve avere una particella di massa m=1-5 Kg e carica q=1-4 C lanciata dal punto P per arrivare con velocità nulla sul bordo del cilindro. 1. Possiamo immaginare il sistema composto da un cilindro pieno con densità di carica ρ ed una sfera con densità ρ. Il campo in ogni punto del piano equatoriale può essere calcolato come sovrapposizione dei due contributi, sfera e cilindro, diretti entrambi radialmente. Applicando Gauss per r> e prendendo una superficie sferica per la sfera e una superficie cilindrica per il cilindro otteniamo: { E sfera 4πr = ρ4π( )3 3ε E cilindro πrh = ρπ h ε Nel punto P distante r=3 il campo totale è pari a E sfera = ρ3 4ε r E cilindro = ρ ε r E = E sfera + E cilindro = ρ 16ε + ρ 6ε = 35ρ 16ε = 1.83 1 8 V/m. Per la conservazione dell energia possiamo affermare che 1 mv + qv(3) = qv() v = q (V() V(3)) m Bisogna quindi calcolare la variazione di potenziale tra e 3. Integriamo il campo elettrico tra questi due punti: (V() V(3)) = 3 ( ρ3 4ε r + ρ ε r )dr = ρ3 4ε ( 1 3 1 ) + ρ ε ln(3) = ρ 36ε + ρ ε ln(3) Di conseguenza la velocità iniziale della particella è v = 1.6 1 5 m/s
Esercizio 3 Due fili infiniti con densità di carica lineare λ= 1-9 C/m sono posti ad angolo retto l uno rispetto all altro. Una carica q= 1-3 C e massa m=.1 g è ferma nel punto P(L,L) con L=1m. Calcolare la forza in modulo cha agisce sulla carica. La carica è quindi lasciata libera di muoversi. Calcolare la velocità con cui arriva nel punto B (L, L) I due fili generano dei campi radiali rispettivamente lungo l asse y e lungo l asse x. La forza che agisce sulla carica è data dalla sovrapposizione dei campi generati dai due fili infiniti qλ F = qe tot ( 1 X + 1 Y ) > F = πε X Y qλ πε 1 L + 1 L = qλ πε L =.5 1 N Possiamo calcolare la velocità utilizzando la conservazione dell energia totale elettrostatica qv(l, L) = 1 mv + qv(l, 3L) v = q (V(L, L) V(L, L)) m La differenza di potenziale tra i due punti è calcolabile tramite l equazioneδv = Edl, scegliendo un qualsiasi percorso che lega il punto (L,L) con il punto (L,L). Scegliamo un percorso parallelo all asse x tra L e L ed uno parallelo all asse delle y tra L e L V(L, L) V(L, 3L) = L L λ dx + πε x Pertanto la velocità della particella è v =.3 m/s L L λ dy = λ ln() = 4.9 V πε y πε
Esercizio 4 Due sfere di raggio disposte come in figura sono cariche uniformemente con densità di carica uguale e opposta ρ. Determinare: 1. Il dipolo equivalente del sistema. Il campo elettrico nel punto di contatto (x=) e nel centro della sfera di destra (x=) e nel punto x=/. 1. La carica totale di una sfera è Q = ρdτ = ρ 4 3 π3 La distanza tra le due sfere è, quindi il sistema è visto come un dipolo caratterizzato da un momento p = Q = ρ 8 3 π5. Il campo elettrico nel punto di contatto è pari alla somma dei campi generati dalle due sfere Q E(x = ) = 4πε Q 4πε = Q πε Mentre nel centro della sfera di destra, il campo elettrico è solo dato dalla distribuzione di carica sferica della sfera di sinistra E(x = ) = Q 4πε () = Q 16πε Nel punto x=/, esiste campo elettrico anche della sfera negativa che è calcolabile con Gauss Il campo elettrico totale vale E(x = /) = E s 4π(/) = ρ4π( )3 3ε E s = ρ 6ε Q πε 9 + ρ 6ε = 4ρ 7ε + ρ 6ε = 17ρ 54ε
Esercizio 5 Una distribuzione di carica sferica in figura ha densità uniforme ρ=1-6 C/m 3 e raggio =1 m e al suo interno è presente una regione anch essa sferica di raggio / priva di carica, nel cui centro viene posta con velocità nulla una carica puntiforme di carica q=1-6 C e massa m=1-6 Kg. Calcolare: 1. Il campo elettrico lungo la direzione x all interno della regione vuota. Il tempo che impiega la carica a raggiungere il bordo della superficie sferica vuota. 3. Se nel centro viene posto un dipolo con momento di dipolo p= 1-8 Cm parallelo all asse x, calcolare il lavoro necessario per ruotare il dipolo fino a portarlo in direzione che forma con l asse x un angolo θ = 3 1. All interno della distribuzione di carica il campo elettrico è parallelo e concorde all asse x e pertanto, essendo inizialmente ferma, la particella si muoverà lungo l asse delle x. Il campo elettrico si calcola sovrapponendo l effetto di una sfera senza foro di densità uniforme ρ con centro nell origine e quello di una sfera di carica negativa con densità uniforme -ρ centrata in /. I due contributi in un punto generico interno al foro e lungo x saranno calcolabili applicando Gauss E + 4πx = ρ 4 3 πx3 E ε + = ρx 3ε E { 4π( x) = ρ 4 3 π( x)3 E ε = ρ( x) 3ε Pertanto il campo complessivo è la somma dei due vettori che sono paralleli e concordi lungo l asse delle x E = E + + E = ρ 6ε = 3.8 1 4 V/m. Essendo il campo uniforme all interno del foro, la particella si muove di moto rettilineo uniforme con una accelerazione pari a = qe = qρ. IL moto sarà x = 1 qρ t. Pertanto il tempo m m6ε m6ε impiegato a raggiungere il bordo (x = ) sarà t = m6ε qρ 3. Il lavoro per far ruotare il dipolo è pari a = 7.3 1 3 s W = U = ( p E) i ( p E) f = pe + pe cos θ = pe(cos θ 1) = p ρ (cos θ 1) 6ε = 5 1 5 J (- è giustificato dal fatto che il lavoro deve essere effettuato dall esterno)
Esercizio 6 In un tubo da vuoto, gli elettroni (q=-1.6x1-19 C, m=9.1x1-31 Kg sono emessi da un filamento riscaldato e ricevuti da un elettrodo metallico che funge da collettore distante parallelamente d= 5 mm dal filamento. Il potenziale elettrico tra i due segue la legge V(x) = kx 4 3, dove x è la distanza generica dall emettitore e k=3 V/m 4/3. Determinare: 1. La densità superficiale sul collettore. Assumendo che gli elettroni partono da fermi, la velocità con cui arrivano sul collettore 3. L espressione della densità di carica di volume nel punto d/. 1. Dal teorema di Coulomb sappiamo che il campo elettrico sulla superficie di un conduttore è proporzionale alla densità di carica superficiale. Il campo elettrico è calcolabile come gradiente del potenziale cambiato di segno in questo caso, il problema è unidimensionale lungo x E(x) = dv dx = 4 3 kx1 3 Dal teorema di Coulomb σ = ε E(x = d) = 4 3 ε kd 1 3 = 6.1 1 11 C/m. La velocità di arrivo degli elettroni sul collettore può essere calcolata con la conservazione dell energia: qδv = 1 mv v = qkd4 3 m = 9.5 14 m/s 3. La densità di carica di volume tra il collettore ed emettitore può essere invece calcolata applicando la prima legge di Gauss: de ρ(x) = ε E = ε dx = 4 9 kε x 3 ρ (x = d ) = 6.4 1 9 C/m 3
Esercizio 7 In una regione cilindrica dello spazio vuoto è presente un campo elettrico il cui potenziale è dato dalla funzione V(x) = k(x y ) con k costante. Noto il campo elettrico in un punto P (1,,), E(P) = 5 V/m della regione cilindrica, si calcoli: 1. Il valore della costante k. La carica totale contenuta nel cilindro. 1. Utilizzando la relazione E=-gradV, si ottengono le componenti cartesiane del campo elettrico all interno della regione cilindrica { E x = dv dx = kx E y = dv dy = ky E z = dv dz = Di conseguenza il modulo del campo elettrico nel punto P vale E = E x + E y = k x + y = k 5 k = E = 5.59 V/m 5. Utilizzando la forma locale dell equazione di Gauss (I equazione di Maxwell), E = ρ/ε si ottiene ρ = ε ( de x dx + de y dy + de z dz ) = ε ( C + C) =, Pertanto la carica nel cilindro è nulla.
Esercizio 8 Un sottile filo rettilineo infinito di raggio r=.5 mm ha una densità lineare di carica λ=1-9 C/m. Il filo è circondato da una superficie cilindrica di raggio =1 cm con densità superficiale σ. Calcolare: 1. Il valore di σ affinché il campo elettrico all esterno della superficie sia nullo. Il campo elettrico e la differenza di potenziale tra il filo interno e la superficie cilindrica. 1. Il campo elettrico all esterno della superficie cilindrica è dato dalla sovrapposizione di quello generato dal filo e dalla superfice cilindrica. Quest ultima può essere calcolata con il teorema di Gauss utilizzando una superficie cilindrica di raggio r Mentre il campo elettrico del filo è E filo = E cilindro πrh = σπh ε λ πr E cilindro = σ ε r Quindi imponendo E cilindro + E filo = σ + λ λ = σ = = 1.6 ε r πr π 1 8 C/m. Il campo elettrico all interno della superficie cilindrica è solo quello dovuto al campo del filo, perché per Gauss non c è carica dovuta alla superficie cilindro. La differenza di potenziale tra r 1 e vale ΔV = r 1 λ dr = λ πr π ln ( ) = 1 1 V r 1
Esercizio 9 Il centro di una sfera di raggio =5 cm e caratterizzata da una densità di carica uniforme ρ=5x1-7 C/m 3 si trova a distanza da un piano infinito con densità superficiale di carica σ =1-7 C/m. Si calcoli: 1. Dove si annulli il campo elettrico lungo l asse tra il piano e il centro della sfera. La differenza di potenziale tra il centro della sfera (O) ed il bordo della sfera (A) lungo l asse. 1. Bisogna prima distinguere due intervalli: uno fuori la sfera ed una dentro la sfera. Fuori la distribuzione sferica il campo si annulla quando E piano + E sfera = σ ρ 4 3 π3 ε 4πε r = r = ρ3 3σ = 64.5 cm Che corrisponde ad una distanza dall origine x = r = ρ3 3σ = 35.4 cm Dentro la sfera il campo elettrico dato dalla sfera si calcola con Gauss ottenendo 4πr E sfera = ρ4 3 πr3 E ε sfera = ρr 3ε Pertanto il campo totale si annulla se σ ρr ε 3ε = r = 3σ = 3 cm ρ Che corrisponde ad una distanza dall origine pari a x = r = 7 cm. La differenza di potenziale dovuto dal piano tra il punto e 3 si ottiene integrando il campo elettrico costante generato dal piano ΔV piano = 3 σ dr = σ =.8 kv ε ε Mentre la differenza di potenziale tra il centro della sfera dovuto alla sfera ed il suo bordo tra si ottiene integrando il suo elettrico interno alla sfera Da cui ΔV piano + ΔV sfera = 5. kv ΔV sfera = ρr dr = ρ =.35 kv 3ε 6ε
Esercizio 1 Una densità di carica di volume ρ=1-5 C/m 3 è racchiusa in uno strato piano infinito di larghezza d=1 cm. Al centro dello strato carico c è un piano anch esso infinito con densità superficiale σ. Calcolare: 1. Il campo elettrico in tutto lo spazio in funzione della distanza dal piano.. Calcolare il valore della distribuzione σ affinché il valore della differenza di potenziale tra il bordo dello strato piano (x=d/) ed il piano carico (x=) sia ΔV=1kV -d/ d/ 1. Il campo elettrico è la somma del contributo dovuto alla densità volumetrica e di quella di superficie. Data la simmetria del problema il campo è ovunque diretto come l asse x. In un punto generico all interno della distribuzione di volume, il campo elettrico generato dal piano è E = σ ε Invece nella distribuzione volumetrica si calcola applicando Gauss e prendendo una superficie cilindrica di area di base A e altezza x, ottenendo: Di conseguenza E tot = σ ε + ρx ε d > x > d EA = ρax ε E = ρx ε Mentre per x > d, il campo dovuto allo strato piano sarà costante perché dovuto a tutta la carica contenuta nello strato spesso d E tot = σ + ρd ε ε. Calcoliamo la differenza di potenziale tra x=d/ e x= ΔV = d ( σ ε + ρx ε ) dx = σd 4ε + ρd 8ε Pertanto il valore di σ per ottenere una differenza di potenziale pari a 1kV è σ = ρd 4ε ΔV d = 3 1 7 C/m
Esercizio 11 Due anelli di raggio hanno una densità di carica lineare λ e sono disposti coassialmente a distanza d. 1. Calcolare la minima distanza d in modo che il campo elettrico nel punto C lungo l asse risulti nullo.. Calcolare la velocità che una carica negativa (m, q) posta nel dintorno del punto C con velocità nulla passi per il centro di uno dei due anelli. 1. Lungo l asse, il campo elettrico totale è dato dalla sovrapposizione dei campi generati dai due anelli. Ogni anello genera un campo elettrico lungo l asse pari a E(x) = λx ε (x + ) 3 Ogni campo ha un massimo a distanza da proprio centro quando x = Di conseguenza per avere campo nullo bisogna portare i due anelli a distanza d = x = = Per calcolare la velocità con cui la particella partendo con velocità nulla in C arrivi nel centro di uno dei due dischi, imponiamo la conservazione dell energia q (V ( )) = 1 mv q(v() + V( )) Il potenziale di un anello calcolato in un punto P lungo l asse è V(x) = λ ε x + Pertanto la velocità raggiunta dalla particella è v = qλ mε ( 1 + 1 3 1 ) 5 V ( ) = λ ε (5/) V() = λ ε ( ) = λ { ε 3
Esercizio 1 In una zona dello spazio è presente un campo elettrico il cui potenziale vale V(x, y) = 5x 3 + y calcolare: 1. Il vettore campo elettrico in un punto di coordinate (X, Y, Z). La carica complessiva presente in un cubo di lato L con i lati paralleli agli assi e un vertice posto nell origine (,,) 1. Poiché E = gradv, si ha che { E x = dv dx = 15x E y = dv dy = E z = dv dz = E = 15x x y. Utilizzando la prima equazione di Maxwell E = ρ/ε, possiamo ricavare la densità di carica volumetrica ρ = ε de x dx = 3ε x Di conseguenza la carica Q contenuta nel cubo di lato L è Q = ρdτ = L 3xε dx = 15ε L L 4
Esercizio 13 Un dipolo, di momento elettrico p e momento d inezia I rispetto ad un asse passante per il suo centro e ortogonale a p, è immerso in un campo E uniforme. Descrivere il moto del dipolo quando viene spostato di un piccolo angolo della posizione d equilibrio. Sul dipolo quando è immerso in un campo uniforme viene applicato un momento delle forze elettriche pari a Per angoli piccoli il sin θ ~θ M = pe sin θ Per la seconda equazione cardinale della dinamica M = Iω Sapendo che il momento applicato sul dipolo è tale da riportare il dipolo nella posizione di equilibrio, quindi ruota il dipolo verso angoli minori, il moto del dipolo è peθ = Iθ θ + pe I θ = Il dipolo oscilla di moto armonico con pulsazione ω = pe I
Esercizio 14 Una carica puntiforme di massa m=1-5 Kg e carica q1= - 5 1-6 C è posta in quiete al centro di un anello di raggio =1 cm sul quale è disposta uniformemente una carica q= 1-6 C. Calcolare il periodo delle oscillazioni T che la carica puntiforme compie se spostata di un piccolo tratto in direzione dell asse dell anello. L anello genera sull asse un campo elettrico pari a E(x) = q x 4πε (x + ) 3 In prossimità del centro (x<<), il campo elettrico si può approssimare a E(x) = q 4πε 3 x Pertanto sulla carica, quando essa è spostata di un piccolo tratto rispetto al centro, agisce una forza pari a Applicando l equazione della dinamica F(x) = mx F(x) = q 1 E(x) = q 1q 4πε 3 x Ottengo l equazione del moto della carica x + q 1q 4πmε 3 x = Pertanto il periodo delle oscillazioni che compie la carica è T = π ω = π 4πmε 3 =.3 s q 1 q
Esercizio 15 Metà circonferenza di raggio =5 cm, costituita da un filo carico con carica Q=1-8 C, è disposta come in figura. Calcolare nel punto O(,) del sistema di riferimento riportato in figura 1) il potenziale V e ) il campo elettrico E generato dalla distribuzione di carica. Sapendo che nel centro è posto un dipolo con momento di dipolo p = 1 5 Cm parallelo all asse x, calcolare inoltre il lavoro della forza esterna da applicare al dipolo per allineare il dipolo elettrico all asse delle y. y Q La densità di carca sul filo è pari a λ = Q = 6.4 1 9 π O p x 1) Il potenziale in O della distribuzione di carica è il contributo dei potenziali infinitesimi generati dalle cariche dq presenti sul filo circolare V() = dq = 4πε o π λdθ = λ = 179.8 V 4πε o 4ε o ) Il campo elettrico generato da un tratto infinitesimo della distribuzione di carica in O è de = λdr 4πε o = λdθ 4πε o. de x = Le componenti nel S.. sono { de y = E x = { E y = λ 4πε o λ 4πε o π π cos θ dθ λdθ 4πε o λdθ 4πε o cos θ sin θ E x = sin θ dθ integrando { E y = λ πε o il campo elettrico E = y πε o λ Il lavoro per far ruotare il dipolo vale W = U f U i = ( p E ) f ( p E ) i = pecos(π) = pλ πε o = 4.6 1 3 J
Esercizio 16 Un anello di raggio è uniformemente carico con densità lineare λ1=1-6 C/m. Sull asse dell anello a distanza è disposto una sbarretta di lunghezza L= carica con densità uniforme λ =5 1-7 C/m. Calcolare la forza elettrica sulla sbarretta. x= x= L anello carico genera sull asse un campo elettrico pari a: E(x) = λ 1 x ε (x + ) 3 Pertanto su ogni carica infinitesima dq presente sulla sbarretta agisce una forza in direzione dell asse in modulo pari a df(x) = dqe(x) = λ λ 1 xdx ε (x + ) 3 La forza totale si calcola sommando tutte le forze lungo la sbarretta F = df(x) = λ λ 1 ε xdx (x + ) 3 = λ λ 1 ε [ 1 1 5 ] = 7.3 1 3 N
Esercizio 17 Due piani infiniti carichi con densità uniforme superficiale σ1=σ e σ=σ sono posti in un sistema di riferimento rispettivamente in x=-d/ e x=d/. Supponendo che il potenziale in x= sia nullo, calcolare: 1) L andamento del campo elettrico ) L andamento del potenziale 3) La velocità minima che deve avere una particella posta in x=-d per poter superare i due piani. σ1 σ X=-d/ 1) Il campo elettrico generato dai due piani sono rispettivamente E 1 = σ, E ε = σ ε Applicando il principio di sovrapposizione otteniamo X=d/ x 3σ ε σ ε 3σ { ε x < d/ d/ < x < d/ x > d/ ) Il potenziale è calcolabile dall equazione V A V B = E ds Ponendoci in d/ < x < d/ V(x) V(x = ) = In x=-d/ il potenziale vale, V(x = d/) = σd 4ε In x < d/ In x > d/ V(x = d/) V(x) = V(x = d/) V(x) = x d 3σ ε dx x 3σ dx ε d σ dx ε x B A V(x) = σ ε x mentre in x=d/ il potenziale vale V(x = d/) = σd 4ε σd 4ε V(x) = 3σ ε x 3σd 4ε V(x) = 3σ ε x + σd ε σd 4ε V(x) = 3σ ε x 3σd 4ε V(x) = 3σ ε x + σd ε
3) La velocità minima da imprimere alla carica per poter superare i piani è tale che la carica arrivi nella posizione x=d/ con velocità nulla. Pertanto per la conservazione dell energia possiamo scrivere 1 mv + qv(x = d) = qv (x = d ) 1 mv q σd = q σd ε 4ε per cui v = qσd ε m
Esercizio 18 Una sbarretta di lunghezza L carica con densità di carica uniforme λ=1-7 C/m è disposta sull asse delle x di un sistema di riferimento cartesiano (vedi figura). Calcolare il lavoro per spostare una carica positiva q= 1-6 C da un punto A(L,) al punto B(,L). y B A x Il lavoro per spostare la carica q in presenza del campo elettrostatico generato dalla sbarretta è B W = qe ds = q (V A V B ) A Bisogna quindi calcolare il potenziale prodotto dalla sbarretta nei punti A e B. Entrambi calcolabili come somma dei potenziali infinitesimi generati dalle cariche infinitesime dq che costituiscono la sbarretta L dq λdx V A = = 4πε (L x) 4πε (L x) L L dq λdx V B = 4πε (x + L ) 1 = 4πε (x + L ) 1 Per risolvere il secondo integrale si è tenuto conto dell integrale notevole dx (x + L ) 1 = ln (x + x + L ) Il lavoro per spostare la carica q è pari a L = λ 4πε ln () = λ 4πε ln(1 + ) W = qλ 4πε (ln() ln(1 + )) = 3.4 1 4 J
Esercizio 19 Un corona circolare di raggio interno e raggio esterno è carica con densità superficiale σ. Calcolare il campo elettrostatico sull asse della corona. Sapendo che sull asse della corona circolare, a distanza d=3, è presente una carica q. Calcolare l energia elettrostatica della carica. q Per calcolare il campo elettrico sull asse, dividiamo la corona circolare in anelli di raggio r e spessore dr. Su di essi è presente una carica puntiforme dq = σπrdr Il campo elettrico sull asse generato da ogni anello è de = dqx 4πε (x +r ) 3 = σxrdr ε (x +r ) 3 Il campo elettrico totale è la somma degli anelli che costituiscono la corona circolare E(x) = de = σx ε rdr (x + r ) 3 L energia elettrostatica della carica q è U e = qv(x = 3) = σ x [ ε x + x x + 4 ] Pertanto bisogna calcolare il potenziale V(x) sull asse alla corona circolare. V(x) = Edx = σ x [ ε x + x dx x + 4] x x = σ ε [ x + 4 x + ] Stesso risultato si poteva ottenere sommano i contributi del potenziale generato dalle cariche puntiformi dq presenti sugli anelli di raggio variabile r dq σxrdr V(x) = dv = 4πε (x + r ) 1 = ε (x + r ) 1 = σ [ x ε + 4 x + ] Di conseguenza l energia potenziale della carica è U e = q σ ε [ 13 1]