COLLEGAMENTI IN FIBRA OTTICA

CORSO DI SISTEMI DI TELECOMUNICAZIONE ANNO ACCADEMICO 011-01 COLLEGAMENTI IN FIBRA OTTICA Prof. Carlo Regazzoni D.I.B.E.-Università di Genova 1

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI [1] P. Mandarini, Comunicazioni Elettriche, Vol. I e II, Editrice Ingegneria 000, Roma: 1989. [] M. Luise, Sistemi di Trasmissione su fibra ottica, Edizioni ETS, Pisa: 1996. [3] G. Bonaventura, Verso una rete tutta ottica, Mondo Digitale, anno IV n.3, settembre 005, pp. 3-43 D.I.B.E.-Università di Genova

PARTE PRIMA: GENERALITA SULLA TRASMISSIONE A FIBRA OTTICA D.I.B.E.-Università di Genova 3

FIBRE OTTICHE: GENERALITA La trasmissione di segnali elettrici mediante fibre ottiche è realizzabile applicando ad un estremo della fibra una sorgente di luce (infrarosso: 0.5.0µm di lunghezza d onda) in grado di variare la potenza istantanea di emissione proporzionalmente al segnale da trasmettere, e collegando l altro estremo della fibra ad un fotodiodo, in grado di generare una corrente proporzionale alla potenza luminosa (istantanea) ricevuta. Fibra ottica s(t) Sorgente Fotodiodo i(t)=k W R (t) R W T (t)=k s(t) W R (t) D.I.B.E.-Università di Genova 4

Note Storiche sulle Fibre Ottiche 1500 : Murano(Venezia) utilizzo della propagazione guidata della luce nel vetro per fini artistici 1950 : Van Heel,Hopkins e Kanapy della Corning Glass (U.S.A) sviluppano il fiberscope per usi medicali; Kanapy introduce in letteratura il termine fibra ottica 1960 : sviluppo delle sorgenti ottiche LED e LASER 1970 : Corning Glass commercializza le prime fibre ottiche stepindex multimodo, attenuazione 0dB/km 1980 : uso massivo delle comunicazioni ottiche D.I.B.E.-Università di Genova 5

Canale di comunicazione in Fibra Ottica -Propagazione guidata,segnale ottico, trasmissione digitale- Caratteristiche fondamentali di una linea di trasmissione in fibra ottica Mezzo di trasmissione: fibra in vetro-silice plastica(tipo nylon) o fibra di Diametro fibra 15 micron (standard) Attenuazione 0. -5 db/km ( fibra in vetro-silice monomultinodo) indipendente dalla frequenza di modulazione; elevata distanza fra amplificatori di linea per rigenerare il segnale (> 100km per fibre in vetro-silice monomodo). D.I.B.E.-Università di Genova 6

a) Vantaggi: Elevata capacità di trasmissione ( alcune decine di Gbit/s); Immunità da interferenze elettromagnetiche; Elevata sicurezza dei dati trasmessi (bassa probabilità di intercettazione). b) Svantaggi: Trasmissione di informazioni (segnali ottici), non di potenza. Gli amplificatori di linea dovrebbero essere alimentati tramite linea di alimentazione (ottica o elettrica) separata dalla fibra ottica di comunicazione, oppure tramite batteria. D.I.B.E.-Università di Genova 7

Comunicazione in Fibra Ottica -Onde el.m. nelle T.L.C.- 10 3 10 8 10 11 10 15 10 0 f[hz] VLF VHF EHF ottica raggi X Telefonia radio,tv radar Rosso arancio giallo verde blu violetto Segnale f[10 15 Hz] ottico Infrarosso (I.R.) visibile UltraVioletto(U.V.) λ=c/f[10-6 m=µm] D.I.B.E.-Università di Genova 8

Efficienza di una linea in fibra ottica Un parametro di efficienza globale di una linea di trasmissione è dato dal prodotto tra la velocità massima di trasmissione ottenibile su un dato canale B, utilizzando una data tecnica di modulazione e la massima distanza L che è possibile coprire a tale velocità: δ = BL Grafico di δ al variare delle tecnologie D.I.B.E.-Università di Genova 9

Banda a disposizione in una linea a fibra ottica La banda a disposizione in una fibra ottica è dell ordine di alcuni terahertz (ovvero 10 1 Hz), circa dieci volte superiore a quella disponibile nelle comunicazioni radio. Questa grande disponibilità di banda consente di trasmettere ad altissima velocità e questo giustifica il grafico riportato nella slide precedente (in teoria è possibile arrivare a trasmettere ad un rate pari ad alcuni Tb/s). La trasmissione su collegamento hertziano subisce minori attenuazioni rispetto alla trasmissione su fibra ottica per lunghe distanze (e quindi si può trasmettere al rate atteso a maggiore distanza), ma la velocità consentita su fibra è così elevata da far sì che il prodottoδsia considerevolmente più elevato. D.I.B.E.-Università di Genova 10

Schema generale di un sistema di trasmissione numerica su fibra La modulazione-dati è impressa con la tecnica On-Off-Keying (OOK), ovvero presenza/assenza di segnale in uscita dal modulatore, a seconda che venga trasmesso un bit a 1 o un bit a 0. La sorgente luminosa è in questo caso un diodo LASER, che viene acceso alla massima potenza, oppure spento. D.I.B.E.-Università di Genova 11

Schema generale di un sistema di trasmissione numerica su fibra (continuazione) Il segnale ottico prodotto dal LASER ad una certa lunghezza d ondaλ 0 viene quindi accoppiato alla fibra ottica. La fibra si comporta come una guida d onda ottica. Il segnale trasmesso viene quindi raccolto dall estremità terminale della fibra da un dispositivo detto fotorivelatore, che è un altro diodo a semiconduttore, il quale restituisce una corrente elettrica proporzionale all intensità del segnale luminoso ricevuto. Il segnale viene poi amplificato, integrato (onde eliminare i disturbi indotti dal processo di fotorivelazione) ed infine rigenerato da un sogliatore (hard limiter), che restituisce il segnale trasmesso. Questo tipo di sistema è detto a rivelazione diretta e costituisce lo schema-base della quasi totalità dei sistemi di trasmissione in fibra attualmente in esercizio. D.I.B.E.-Università di Genova 1

Generazione di sistemi ottici di trasmissione La prima generazione di sistemi ottici (fine anni 70) faceva uso di componenti optoelettronici in GaAs (Arseniuro di Gallio), che funzionavano alla lunghezza d onda di 0.85µm (prima finestra) e di fibre ottiche di tipo multimodo, ossia in grado di far transitare il segnale secondo diverse modalità di propagazione. La seconda generazione di sistemi ottici (anni 80) è caratterizzata da una lunghezza d onda di 1.3µm (II finestra) e da fibre il cui modo di propagazione è unico (fibre monomodo). La terza generazione di sistemi ottici (anni 90) utilizza la zona di funzionamento della fibra ottica a minima attenuazione (III finestra, λ 0 = 1.55µm per un attenuazione di 0.5dB/Km). D.I.B.E.-Università di Genova 13

La quarta generazione di sistemi ottici (attualmente in uso) mira ad incrementare la capacità aumentando la sensibilità dei ricevitori attraverso diverse tecniche di rivelazione del segnale (sistemi coerenti, o sistemi con amplificatore ottico). I sistemi futuri di quinta generazione (sistemi solitonici) si avvarranno delle proprietà di propagazione non lineare del segnale ottico per controbattere la distorsione cromatica ed aumentare la banda utile di trasmissione. Finestre di funzionamento dei sistemi di trasmissione su fibra D.I.B.E.-Università di Genova 14

PARTE SECONDA: CARATTERISTICHE TRASMISSIVE DELLE FIBRE OTTICHE D.I.B.E.-Università di Genova 15

Segnale Ottico a) monocromatico distribuzione spettrale : Φ(λ) Φ 0 δ(λ 0 ) λ=c/f potenza ottica : P = Φ( λ) dλ Φ(λ)[W/µm] λ 0 λ[µm] b)policromatico distribuzione spettrale Φ(λ) potenza ottica : P = Φ( λ) dλ Φ(λ) λ 0 λ[µm] λ D.I.B.E.-Università di Genova 16

Riflessione e rifrazione in una fibra ottica Una fibra ottica è sostanzialmente una guida d onda di materiale vetroso, il cui fenomeno di guida avviene sulla base di variazioni dell indice di rifrazione all interno del materiale. Queste variazioni provocano riflessioni e rifrazioni del segnale ottico trasmesso, che ne determinano la propagazione. I fenomeni di propagazione del segnale su fibra ottica possono essere studiati mediante due approcci differenti: Approccio basato sull ottica geometrica (semplificato); Approccio basato sulle equazioni di Maxwell (formale). Vedremo, in seguito, sotto quali condizioni i due approcci sopra elencati possono efficacemente descrivere i fenomeni di propagazione del segnale ottico. D.I.B.E.-Università di Genova 17

Parametri caratteristici dell ottica geometrica Indice di rifrazione c n= ˆ 1 v c = velocità di propagazione del raggio luminoso nel vuoto υ = velocità di propagazione del raggio luminoso nel mezzo L indice di rifrazione è un parametro mezzo di propagazione del segnale ottico. caratteristico del Esempi : aria n 1 acqua n 1.3 vetro-silice n 1 cristallo n 1 diamante n 1 D.I.B.E.-Università di Genova 18

Riflessione e rifrazione di un raggio luminoso Nel caso in cui un raggio luminoso a si trova ad attraversare una supeficie di interfaccia tra due mezzi con una brusca variazione dell indice di rifrazione (es vetro-aria), si ha la situazione schematizzata nella figura sottostante: a = raggio incidente a = raggio riflesso nel mezzo 1 b = raggio rifratto (trasmesso) nel mezzo ϕ 1 = angolo di incidenza ϕ angolo di rifrazione Legge di n 1sinϕ1 = nsinϕ Snell sin ϕ1 / sinϕ = n / n1 D.I.B.E.-Università di Genova 19

Riflessione e rifrazione di un raggio luminoso Riferendosi all esempio della slide precedente, dove n <n 1, si può osservare che il raggio rifratto tende ad allontanarsi dalla normale, poiché: sinϕ1 / sinϕ = n / n1 < 1 e quindi: sin ϕ > sinϕ 1 ϕ > 1 ϕ Aumentando l angolo di incidenza, si dovrebbe arrivare ad una situazione in cui ϕ = π In questo caso, il raggio rifratto non si produce e si ha il fenomeno della riflessione totale; L angolo di incidenza (detto angolo critico) oltre il quale si ha il fenomeno della riflessione totale è quello per cui: ( ) ϕ c = arcsin n n 1 D.I.B.E.-Università di Genova 0

Applicazione dei concetti teorici su riflessione e rifrazione del raggio luminoso alla trasmissione ottica Dai concetti teorici precedentemente espressi, si può intuire grossolanamente il principio di funzionamento della guida d onda in fibra ottica. I raggi in fibra che incidono sull interfaccia vetro-aria (mezzo 1: vetro, mezzo : aria) con un angolo maggiore di ϕ c sono riflessi totalmente e restano confinati indefinitamente all interno della fibra stessa, così come schematizzato nella figura sottostante: D.I.B.E.-Università di Genova 1

Fibre Ottiche a riflessione totale Molti tipi di fibra ottica di utilizzo commerciale non si discostano di molto dal principio di funzionamento ideale precedentemente menzionato. La realizzazione pratica di tali fibre prevede il controllo degli indici di rifrazione di entrambi i mezzi coinvolti nel fenomeno della riflessione totale, quindi uno dei due mezzi non può essere l aria (come ipotizzato in precedenza per il mezzo ). Nella realtà le fibre a riflessione totale sono costituite da un cilindro interno, detto nucleo (core), che corrisponde al materiale 1 dell esempio precedente ed un guscio cilindrico esterno di materiale vetroso, detto mantello (cladding), che corrisponde al materiale. In generale sia il mantello che il nucleo sono costituiti da materiali vetrosi a diverso indice di rifrazione, ma non mancano fibre in materiale plastico, dai costi ridotti, ma con caratteristiche di propagazione peggiori rispetto alle fibre in vetro. D.I.B.E.-Università di Genova

Fibra Ottica a riflessione totale -Strutturaa)sezione trasversale b)sezione longitudinale Cladding (mantello) n Core (nucleo) n 1 >n Diametro mantello 15µm Diametro nucleo 50µm D.I.B.E.-Università di Genova 3

Fibre Step-Index Le fibre step-index sono caratterizzate da una discontinuità a gradino dell indice di rifrazione tra nucleo e mantello. E possibile studiare le proprietà di propagazione del segnale mediante le regole dell ottica geometrica, solo per le fibre stepindex a nucleo largo, ovvero caratterizzate da un raggio del nucleo molto maggiore della lunghezza d onda del segnale luminoso (cioèλ<<50µm). La fibra step-index a nucleo largo è il tipo di fibra più semplice da realizzare, ma presenta, come vedremo, alcuni inconvenienti che la rendono poco adatta alle applicazioni pratiche. D.I.B.E.-Università di Genova 4

Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell ottica geometrica Consideriamo una fibra step-index a nucleo largo ed esaminiamo, secondo i principi dell ottica geometrica, la propagazione di un raggio meridionale (ovvero giacente su di un piano passante per l asse della fibra stessa). Consideriamo un raggio proveniente da una sorgente di segnale, che incide l interfaccia nucleo-mantello con un angolo inferiore a ϕ c. Tale raggio sarà parzialmente rifratto nel mantello e la porzione riflessa, a sua volta rifratta, fino a che il raggio non si esaurisce dopo poche riflessioni interne successive In questo caso si dice che il raggio non viene accettato dalla fibra. D.I.B.E.-Università di Genova 5

Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell ottica geometrica Angolo di accettazione della fibra ottica Si definisce pertanto un cono di accettazione della fibra, che contiene tutti i raggi che riescono a propagarsi per riflessione totale del nucleo. Il vertice del cono di accettazione giace su un diametro della sezione del nucleo (vedi figura sottostante) e l angolo al vertice θ a è detto angolo di accettazione della fibra ottica. D.I.B.E.-Università di Genova 6

Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell ottica geometrica Relazione tra angolo di accettazione ed indici di rifrazione (1) Consideriamo un raggio che subisce una riflessione interna totale (ovveroϕ 1 >ϕ c ). Riferendosi alla figura della slide precedente, l angolo θ 1 (complementare di ϕ 1 ) è l angolo sotto cui viene rifratto un raggio meridionale entrato in fibra, e che forma con la medesima un angoloθ tale che: n1 n 0sinθ = n1sinθ1 sin θ = sinθ1 n n 0 è l indice di rifrazione del mezzo esterno alla fibra (aria), che è circa uguale ad 1. Poichèθ 1 è complementare diϕ 1 si avrà che: sin θ = n 1 cosϕ 1 0 D.I.B.E.-Università di Genova 7

Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell ottica geometrica Relazione tra angolo di accettazione ed indici di rifrazione () Poiché deve essereϕ 1 >ϕ c (condizione di riflessione totale), si ha che: da questo consegue che: cosϕ 1 cosϕ c sinθ = n1 cosϕ1 n1 cosϕc = n1 1 sin ϕc = n 1 n da cui: θ arcsin n n 1 = ˆθ a Quindi i raggi che si presentano alla bocca della fibra con un angolo θ minore di θ a, definito sopra, subiranno una riflessione totale da parte della fibra e si propagheranno attraverso la fibra stessa. Altrimenti non saranno accettati dalla fibra e verranno dispersi nel mantello. D.I.B.E.-Università di Genova 8

Fibre Step-Index: analisi della propagazione secondo i principi dell ottica geometrica Apertura numerica di una fibra ottica Sovente, invece di θ a viene fornito il valore del suo seno, valore che è chiamato apertura numerica NA (o semplicemente apertura) ovvero: NA= sinθ a = n 1 n Tanto maggiore è l apertura numerica della fibra, tanto più ampio è il cono di accettazione dei raggi. Con i valori tipici delle fibre per telecomunicazioni, ovvero n 1 = 1.50 ed n = 1.47 si ottiene: NA 0.3 θ a o 17 D.I.B.E.-Università di Genova 9

Esempio di core e cladding in vetro : n 0 = n 1.50; n 1 1.48 Cladding n 1 θ m 90 -α c α c Asse ottico Core n Mezzo n 0 < n Angolo di accettazione : θ m = arcsin ( n n 1 / n0 ) Apertura numerica : N.A. = n 0 sin θ a = n n 1 Esempio aria/core e cladding in vetro : n 0 1 ; n 1.50 ; n 1 1.48. N.A. = n n 1 = ( 1.50) (1.48) 0.4 θ a = arcsin 0.4 14 D.I.B.E.-Università di Genova 30 γ m

Esercizio 1 Progettare una fibra ottica con core in vetro (n = 1.48) ed angolo di accettazione θ m = 0 rispetto ad una sorgente ottica operante in aria (n 0 1) aria Cladding n 1 =? θ m α c Asse ottico Core n = 0.48 Mezzo n 0 1 Soluzione : occore utilizzare un cladding con indice di rifrazione n 1.44 D.I.B.E.-Università di Genova 31

La Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index a nucleo largo La dispersione intermodale è l inconveniente delle fibre stepindex a nucleo largo. Supponiamo di avere due raggi meridionali incidenti sulla bocca della fibra, uno con l angolo di incidenza minimo (θ = 0) e l altro massimo (θ =θ a ), come indicato nella figura sottostante. D.I.B.E.-Università di Genova 3

La Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index a nucleo largo I due raggi viaggiano all interno del nucleo alla stessa velocità di propagazione v = c/n 1, ma coprono una stessa distanza L, misurata lungo l asse della fibra, attraverso due percorsi diversi, che hanno lunghezza totale diversa. In particolare, il raggio 1 percorre una traiettoria di lunghezza d 1 = L, mentre la traiettoria del raggio è lunga d = (L / sin ϕ c ). Se i due raggi sono entrati in fibra allo stesso istante, giungono al punto a distanza L sulla fibra negli istanti: t = 1 L v t = L vsin L intervallo di tempo che intercorre tra i due istanti è pari a: ϕ c = ˆ 1 n n 1 t L 1 Ln 1 n1 Ln = t = = t1 1 1 = v sinϕ c c n cn Variazione relativa dell indice di rifrazione D.I.B.E.-Università di Genova 33 1

La Dispersione Intermodale nelle fibre Step-Index a nucleo largo Questo fenomeno di ritardo temporale tra i diversi raggi prende il nome di dispersione intermodale. Infatti i vari cammini percorsi dai raggi possono essere considerati come modi di propagazione dell onda luminosa all interno della fibra. Ad ognuno di questi modi può essere associata una velocità di propagazione lungo l asse della fibra pari a: v g = csinϕ n 1 che dipende dall angolo di incidenza ϕ del raggio sull interfaccia nucleomantello e quindi dalla natura del modo. Per questo motivo le fibre step-index a nucleo largo sono anche fibre multimodo e sono caratterizzate dalla dispersione intermodale. D.I.B.E.-Università di Genova 34

Effetti della Dispersione Intermodale nelle fibre Step- Index Multimodo sulle trasmissioni numeriche La dispersione intermodale si rivela dannosa quando il ritardo relativo massimo t nella propagazione dei modi diviene confrontabile con le costanti di tempo del segnale trasmesso in fibra. Se viene lanciato in fibra un impulso di durata T mediante uno dei raggi più lenti (ovvero con angolo di incidenza esterno θ = θ a ), la durata di tale impulso, osservato alla distanza L sulla fibra sarà pari a T+ t. Quando t diviene confrontabile con T, l impulso trasmesso si allarga e tende ad invadere gli intervalli di segnalazione adiacenti (vedi figura sotto). Si determina quindi interferenza inter-simbolica (ISI) D.I.B.E.-Università di Genova 35

Effetti della Dispersione Intermodale nelle fibre Step- Index Multimodo sulle trasmissioni numeriche La dispersione intermodale impone quindi un limite superiore alla velocità di trasmissione, che deve essere scelta in modo tale da non avere ISI. In pratica: t = Ln1 T = cn Considerando la banda di trasmissione B circa uguale al bit-rate R b, si ottiene inoltre che: B cn 1 Ln Introducendo il parametro di capacitàδ=bl, si ottiene infine: 1 R b δ cn n 1 Con i valori di n 1 ed n usuali (1.50 ed 1.47 rispettivamente) si ottiene un valore della capacità di 10Mb/s*Km, che è un valore alquanto modesto. D.I.B.E.-Università di Genova 36

Fibre ad indice graduato (Graded-Index) Per ovviare ai problemi di dispersione intermodale tipici delle fibre step-index multimodali, si possono fabbricare fibre di differente tipo. Restando nell ambito delle fibre a nucleo largo, si sono realizzate fibre il cui indice di rifrazione del nucleo varia gradatamente tra un valore massimo n 1 ed il valore del mantello n, man mano che ci si sposta dal centro della fibra verso il mantello. Questo tipo di fibra è detto ad indice graduato (graded index). D.I.B.E.-Università di Genova 37

Fibre Graded-Index: caratteristiche della propagazione Nelle fibre graded-index i raggi non subiscono una riflessione brusca all interfaccia nucleo-mantello, ma vengono incurvati dalla variazione graduale dell indice di rifrazione del nucleo. La principale legge di variazione di n con la distanza radiale ρ è il cosiddetto profiloα: n n 1 ( ) ( ) = 1 ρ a ρ n α ρ ρ > a (nucleo) a (mantello) a è il raggio del nucleo eα è un parametro definito in sede di lavorazione. Le traiettorie di propagazione possono essere ricavate mediante il principio di Fermat, secondo il quale il percorso scelto da un raggio per propagarsi tra un punto P1 di partenza ed un punto P1 di arrivo è quello che minimizza il tempo totale di percorrenza. D.I.B.E.-Università di Genova 38 n n n1 ρ

Fibre Graded-Index: caratteristiche della propagazione Il tempo dt necessario a percorrere un tratto di lunghezza elementare ds, relativo al generico punto r, caratterizzato da indice di rifrazione n(r) è pari a: dt = ds v = n( r) ds c Considerando il principio di Fermat, la traiettoria seguita dal raggio è tale da minimizzare l integrale curvilineo: P P 1 n( r) ds che è proporzionale al tempo di propagazione totale. D.I.B.E.-Università di Genova 39

Fibre Graded-Index: caratteristiche della propagazione Il principio di Fermat può essere riformulato in maniera differenziale (equazione di Eulero-Lagrange), ovvero: d ds dr n( r) = n( r) ds Adottando un sistema di riferimento come quello della figura sottostante, tale equazione può essere semplificata nella seguente maniera, per ottenere l equazione cartesiana y(z) del raggio luminoso: d y 1 = dz n dn dy ρ = y (distanza radiale) Ove n è funzione di ρ, secondo il profiloα D.I.B.E.-Università di Genova 40

Fibre Graded-Index: caratteristiche della propagazione Sostituendo n(ρ) precedentemente indicata, con α = (profilo parabolico) e considerando <<1 (condizione verificata nella pratica), si trova l equazione di un oscillatore armonico, la cui soluzione è la seguente: ' z y0 y( z) = y0 cos + sin a / a Ove y 0 e y 0 sono la posizione e la direzione iniziale del raggio. Due raggi che partono dalla stessa posizione, ma con direzioni iniziali differenti si propagano seguendo traiettorie diverse, che seguono un andamento sinusoidale con diverse ampiezze (vedi figura slide precedente). In questo modo la dispersione intermodale viene attenuata, in quanto, per effetto della graduazione dell indice di rifrazione, i raggi che si allontanano maggiormente dall asse seguendo traiettorie più lunghe, si trovano a transitare in zone della fibra caratterizzate da un indice di rifrazione più piccolo, rispetto a quello che si ha in vicinanza dell asse. L allungamento della traiettoria è quindi compensato da una maggiore velocità di propagazione. In pratica la risposta della fibra viene equalizzata. D.I.B.E.-Università di Genova 41 z a

Fibre Graded-Index: incremento delle prestazioni rispetto alle fibre step-index Sfortunatamente, i risultati dell analisi mostrata in precedenza, valgono solo per i raggi meridionali, cosicché un certo grado di dispersione è presente anche nelle fibre graded-index. Si può dimostrare che le fibre a profilo α presentano presentano un ritardo differenziale minimo pari a: quando si sceglie: α = t= n 1 8c L ( 1 ) Questo è il motivo per cui si sceglie α=, come già accennato. La dispersione minima conduce ad un valore massimo della capacità per fibra multimodo graduata pari a: 8c δ = Valori tipici: 4Gbit/s*Km n 1 D.I.B.E.-Università di Genova 4

Fibre monomodali a nucleo stretto Il rimedio più efficace per risolvere il problema della dispersione intermodale sarebbe, teoricamente, quello di inibire la propagazione dei modi multipli in fibra, lasciando un solo modo fondamentale. Sfortunatamente questa condizione, detta di monomodalità, non può essere ricavata mediante l approccio semplificato dato dall ottica geometrica, usato per la fibra multimodo. La monomodalità richiede una configurazione della fibra a nucleo stretto (<<50µm), in modo tale che le dimensioni caratteristiche della fibra risultino confrontabili con la lunghezza d onda del segnale (0.8-1.6µm). In queste condizioni si deve ricorrere ad un approccio più formale per studiare le caratteristiche di propagazione del segnale attraverso la fibra ottica: ovvero l approccio basato sulle equazioni di Maxwell. D.I.B.E.-Università di Genova 43

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Precisiamo innanzitutto la notazione adottata. Adottando il formalismo degli equivalenti in banda-base di segnali passabanda (o inviluppi complessi), un campo elettrico generico può essere espresso come: 0 E( r, t) = Re E( r, t) e j πf t ( x, y z) T r =, Vettore posizione Equivalente in banda-base rispetto alla frequenza f 0 del campo elettrico. Nel caso di campo monocromatico si ha che: E ( r, t) = E( r) D.I.B.E.-Università di Genova 44

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) L analisi della propagazione del segnale ottico in una fibra di tipo step-index parte dalle equazioni di D Alembert delle onde: E= µε E t H = µε H t Riscrivendo tali equazioni attraverso l inviluppo complesso di un campo monocromatico (altrimenti detto fasore) in un materiale dielettrico omogeneo, isotropo e senza perdite, otteniamo la cosiddetta equazione di Helmoltz: ( r) ψ ( r) + n k ψ( r) = 0 ψ è una qualsiasi tra le sei componenti dei vettori complessi k 0 0 E H 0 = πf c è il numero d onda nel vuoto dell oscillazione accoppiata alla fibra. n è l indice di rifrazione nel mezzo. D.I.B.E.-Università di Genova 45

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) In un sistema di riferimento a coordinate cilindriche (ρ,φ,z), avente asse z coincidente con l asse longitudinale della fibra nella direzione di propagazione dell onda, l equazione di Helmoltz diventa: con n=n 1 se ψ + ρ 1 ψ 1 ψ ψ + + + n k 0ψ = ρ ρ ρ φ z 0 ρ < a (nucleo) e n=n se ρ a (mantello) A questo punto si richiede che la soluzione dell equazione (i) abbia la seguente forma: ψ ρ, φ, z = F ρ Φφ exp jβz (ii) ( ) ( ) ( ) ( ) che, in ogni punto della fibra, fissati ρ e φ, rappresenta un onda progressiva lungo l asse z, con coefficiente di propagazioneβda determinarsi. 0 (i) z D.I.B.E.-Università di Genova 46

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Sostituendo (ii) in (i) si ottiene: Φ φ + d F dρ + 1 df + ρ dρ F ρ ( n k β ) 0 F Φ= 0 (iii) Il termine che moltiplica la funzione Φ è una costante rispetto alla coordinata φ. Per cui la (iii) può essere spezzata in due equazioni differenziali ordinarie per le funzioni Φ(φ) e F(ρ). Poiché la funzione Φ deve risultare periodica di periodo π nella variabileφ, l equazione relativa deve essere scritta nella seguente maniera: d Φ + m dφ Φ= ove m è una costante intera arbitraria per rispettare la condizione di periodicità. 0 (iv) D.I.B.E.-Università di Genova 47

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) L equazione per F(ρ) è allora un equazione del secondo ordine di Bessel: d F dρ 1 df m + + n k0 β F ρ dρ ρ = 0 (v) Affinché l onda sia confinata all interno del nucleo (ossia venga guidata), la costante di propagazioneβdeve soddisfare le seguenti due condizioni: β < n 1 k 0 β > n k 0 0 ρ< ρ > E quindi conveniente definire due nuove costanti: (nel nucleo) κ γ a a ( n1k 0) > 0 ( n ) > 0 = β = β k 0 (costante di propagazione minore del numero d onda del nucleo) (costante di propagazione maggiore del numero d onda del mantello) (nel mantello) (Verificheremo dopo perché) D.I.B.E.-Università di Genova 48

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) L equazione (v) assumerà quindi due forme diverse, una relativa al nucleo della fibra ottica ed una relativa al mantello, ovvero: d F dρ d F dρ 1 df m + + κ F ρ dρ ρ 1 df m + + γ + F ρ dρ ρ = = 0 0 0 ρ< a (v.i) ρ a Le equazioni (v.i) e (v.ii) ammettono diversi tipi di soluzioni generali, dette funzioni di Bessel, che sono definite in forma numerica. Si devono scartare le funzioni di Bessel che non sono limitate in ρ=0 (poiché il campo elettrico assume valori finiti in tale punto). Così come si devono scartare le funzioni di Bessel che non sono limitate per ρ tendente all infinito, poiché si richiede che il campo si esaurisca interamente nel mantello (supposto di spessore infinito). (v.ii) D.I.B.E.-Università di Genova 49

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Funzioni di Bessel di prima specie D.I.B.E.-Università di Genova 50

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Funzioni di Bessel di seconda specie (Per x->0, tendono a - ) D.I.B.E.-Università di Genova 51

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Funzioni di Bessel modificate di prima specie (Per x->+, tendono a + ) D.I.B.E.-Università di Genova 5

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Funzioni di Bessel modificate di seconda specie D.I.B.E.-Università di Genova 53

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Da quanto visto nei grafici riportati precedentemente sulle funzioni di Bessel, le uniche funzioni ammissibili come soluzioni dell equazione di Helmoltz sono quelle di prima specie (Jm) e quelle modificate di seconda specie (Km). La soluzione di (v.i) e (v.ii) viene quindi esplicitata nella seguente maniera. ψ ψ ( ρ, φ,z) = A J ( κρ) exp( jmφ) exp( jβz) ψ m ( ρ, φ,z) = B K ( γρ) exp( jmφ) exp( jβz) ψ m ρ< a ρ a Le costanti A ψ e B ψ sono determinate sulla base delle condizioni al contorno. Esempi di andamenti delle soluzioni dell equazione di Helmoltz sono mostrati sotto: ( ρ,φ, z) D.I.B.E.-Università di Genova 54 ψ (vi) è una qualsiasi tra le 6 componenti dei vettori degli equivalenti in bandabase di E e di H. Quindi vi sono da determinare 1 costanti.

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Il numero di costanti da determinare può essere, tuttavia, ridotto. Attraverso le equazioni di Maxwell è possibile infatti esprimere le componenti radiali e le componenti tangenziali del campo magnetico e del campo elettrico in funzione delle sole componenti assiali, ovvero: E E = ρ Eρ( E z ) H = ρ Hρ( H z ) = φ Eφ( E z ) H = φ Hφ( E z ) Le costanti da determinare rimangono in questo modo solamente quattro (due relative alle componenti assiali del campo elettrico e due relative alle componenti assiali del campo magnetico). Queste costanti possono essere, infine, determinate imponendo le condizioni di continuità delle componenti tangenziali ed assiali all interfaccia inρ=a (interfaccia nucleo-mantello). Si ricava in tal modo un sistema a 4 equazioni e 4 incognite, che ammette soluzione non banale solo se il determinante della matrice dei coefficienti è non nullo. Questa condizione è detta equazione caratteristica. D.I.B.E.-Università di Genova 55

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Omettendo i calcoli, l equazione caratteristica ha la seguente formulazione (l apice indica l operazione di derivazione): J κaj ' m ( κa) ( κa) m + K γak ' m ( γa) ( γa) m J κaj ' m ( κa) ( κa) m + n n 1 K γak ' m ( γa) mβ 1 1 ( ) = + γa n k ( κa) ( γa) L andamento oscillatorio delle funzioni di Bessel Jm suggerisce che fissato l ordine m di armonica della soluzione elementare dell equazione di Helmoltz secondo la (vi.i) e (vi.ii), si hanno in generale soluzioni multiple dell equazione caratteristica, ognuna di esse contraddistinta da un diverso valore della costante di propagazione β. Tali valori sono indicati con βmi, ove m è l ordine di armonica (ovvero l ordine della funzione di Bessel) ed i è l ordine della soluzione. Ognuno dei valori sopracitati corrisponde ad un modo distinto di propagazione dell onda in fibra, caratterizzato da una specifica costante di propagazione e da una particolare distribuzione radiale del campo. m 1 0 (vii) D.I.B.E.-Università di Genova 56

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) A questo punto possiamo capire perché devono verificarsi le due condizioni relative alla costante di propagazione precedentemente indicate in modo tale da garantire il confinamento dell onda all interno del nucleo, ovvero: β < n 1 k 0 β > n k 0 0 ρ< ρ > a a Introduciamo la seguente quantità che chiameremo indice di modo, ovvero: n = ˆ β k 0 In effetti, ogni modo all interno della fibra si propaga con un indice di rifrazione n, che deve rispettare le due condizioni: n > n> 1 n D.I.B.E.-Università di Genova 57

Propagazione di un onda elettromagnetica in una Fibra Step-Index (approccio formale con equazioni di Maxwell) Infatti, un modo cessa di essere guidato, quando: n n (*) Questo può essere visto considerando l andamento della funzione di Bessel soluzione dell equazione di Helmoltz nel mantello. Per valori molto elevati dell argomento essa può essere approssimata come: m ( γρ) exp( γρ) πγρ Quando è verificata la condizione (*), si ha che: K γρ >> 1 n= β k β 0 n nk 0 = nk0 E quindi γ <=0. Ciò significa che non si ha più il decadimento esponenziale del campo all interno del mantello (avremmo una funzione di Bessel che diviene un esponenziale complessa). Il campo si propaga anche nel mantello. Se γ=0 (ovvero se n = n ) si dice che il modo raggiunge la condizione di cutoff. D.I.B.E.-Università di Genova 58

Determinazione del numero dei modi di propagazione in una fibra step-index a nucleo stretto Ricavare il numero dei modi di propagazione supportati da una fibra step-index a nucleo stretto non è un operazione immediata. Occorre inanzitutto definire un nuovo parametro, detto parametro V della fibra o anche frequenza normalizzata: κ γ V = ˆ a + = ak0 n1 n = ak0na= πana λ 0 Il parametro V è facilmente determinabile in funzione delle specifiche standard della fibra (apertura numerica, raggio del nucleo). Tuttavia esso è fondamentale nella determinazione del numero dei modi di propagazione della fibra step-index. Dato che: ( ) ( ) γ = β n k β = γ + Si ottiene infine che: β = γ 0 nv + ana D.I.B.E.-Università di Genova 59 n (costante di propagazione) k 0 (viii)

Determinazione del numero dei modi di propagazione in una fibra step-index a nucleo stretto Sostituendo la (viii) in (vii), si ottiene un equazione in due incognite: κa e γa, che possiamo interpretare in maniera grafica come l equazione implicita di una famiglia di curve sul piano (κa, γa), ciascuna individuata da un armonica di ordine m. Fissato m, ogni punto della relativa curva rappresenta una possibile coppia di valori (κa,γa), relativi ad un modo della fibra. Nella figura della slide precedente sono rappresentate le famiglie di curve per m=0 (tratto nero spesso) e m=1 (tratto grigio). Tuttavia tali curve non ci dicono quanti e quali modi sono effettivamente supportati dalla fibra ottica alla lunghezza assegnaleλ0. Questa informazione si ricava tenendo conto che: ( κa) + ( a) V = ˆ κ γ γ V a + = Equazione di una circonferenza di raggio V D.I.B.E.-Università di Genova 60

Determinazione del numero dei modi di propagazione in una fibra step-index a nucleo stretto Le intersezioni tra le famiglie di curve e la circonferenza di raggio V rappresentano le coppie di valori (κa, γa), relative ai modi di propagazione effettivamente supportati dalla fibra ottica. Da queste coppie di valori, si può risalire al coefficiente di propagazioneβdi ogni modo supportato. D.I.B.E.-Università di Genova 61

Determinazione del numero dei modi di propagazione in una fibra step-index a nucleo stretto Il parametro V è direttamente proporzionale all apertura numerica della fibra. Questo incontra quanto osservato in precedenza dall analisi condotta con l ottica geometrica per le fibre a nucleo largo, laddove più ampia è l apertura numerica e più largo è il cono di accettazione dei raggi ed, in definitiva, maggiore il numero dei modi di propagazione supportati. Dalla figura riportata nella slide precedente, si osserva come, per quanto piccolo sia il valore di V, almeno una intersezione tra una circonferenza ed una delle curve della famiglia m = 1 esisterà sempre. Si può dimostrare (qui viene omesso) che se V<.405, tale intersezione è unica, anche in presenza delle altre famiglie di curve con m>1, che nel grafico non sono rappresentate. Infatti si può verificare che V=.405 è il valore per il quale tutti gli altri modi della fibra, eccetto quello fondamentale, sono nella condizione di cutoff (ovvero non possono propagarsi in maniera guidata). La condizione di monomodalità della fibra ottica è quindi: V <.405 Condizione di monomodalità D.I.B.E.-Università di Genova 6

Determinazione del numero dei modi di propagazione in una fibra step-index a nucleo stretto La curva sperimentale che riporta il numero di modi supportati M da una fibra step-index in funzione del parametro V è mostrata nella figura sottostante. Sono anche indicate le due curve di upper e lower bound che racchiudono la curva sperimentale. Ciascun modo può essere caratterizzato da diverse polarizzazioni. V M Valori medio-piccoli di V M + Valori grandi di V 4V π (viii) D.I.B.E.-Università di Genova 63

Realizzazione pratica di una fibra step-index monomodale Per concludere questa parte, si può dire che una fibra monomodale può essere realizzata, in pratica, rispettando in sede di fabbricazione la seguente condizione: V = πana λ = πan1 λ0 0 <.405 I due parametri costruttivi su cui si può agire sono il raggio del nucleo a e la variazione relativa dell indice di rifrazione. Occorre pertanto ridurre o uno o l altro o entrambi. La riduzione eccessiva del raggio del nucleo crea difficoltà di accoppiamento della fibra alle sorgenti ed ai fotorivelatori e rende problematiche le giunzioni durante la posa. Per questo si cerca di ridurre anche, in modo da non dover realizzare fibre a nucleo troppo stretto. Tuttavia un valore troppo basso di (nucleo e mantello con indici di rifrazione quasi uguali) e quindi di NA, rende difficile fare entrare e propagare un raggio all interno della fibra (infatti l angolo di accettazioneθ a diviene molto piccolo). D.I.B.E.-Università di Genova 64

Realizzazione pratica di una fibra step-index monomodale Per ovviare a questi inconvenienti, talora si utilizzano le cosiddette fibre W, dette anche a mantello depresso. Queste fibre sono caratterizzate da un nucleo non troppo stretto e da un doppio mantello. Il primo mantello ha un indice di rifrazione molto inferiore rispetto a quello del nucleo (vedi figura sottostante) ed è molto sottile, mentre il secondo mantello, di spessore maggiore del primo, ha un indice di rifrazione comparabile con quello del nucleo. Il modo fondamentale residuo è tale da verificare la condizione: n 3k0 β n1k 0 Eventuali altri modi di ordine superiore con: n k0 β n3k0 Non sono possibili in quanto il primo mantello funge da barriera (per tali modi l onda tende a propagarsi nel primo mantello ed a disperdersi successivamente nel secondo). D.I.B.E.-Università di Genova 65

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale Fino ad ora abbiamo visto quali accorgimenti possono essere adottati per limitare il fenomeno della dispersione intermodale, che è oggettivamente il massimo fattore di limitazione della capacità di un collegamento in fibra. Le soluzioni adottate vanno dall uso di fibre a nucleo largo, ma ad indice graduato, all impiego di fibre step-index monomodali (a nucleo stretto o a mantello depresso). La soluzione più efficiente appare quella che utilizza fibre step-index monomodali (altre soluzioni, come quella di utilizzare fibre ad indice graduato ed a nucleo stretto non sono utili a migliorare le prestazioni e quindi non vengono realizzate). Tuttavia anche le fibre monomodali soffrono di un fattore che limita la capacità del collegamento. Questo fattore è la dispersione intramodale. D.I.B.E.-Università di Genova 66

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale La dispersione intramodale è dovuta al fatto che il vetro è un materiale lineare, ma dispersivo, ovvero il suo indice di rifrazione dipende dalla lunghezza d onda dell oscillazione luminosa a cui è sottoposto, ovvero: n=n ( λ) Quindi segnali a lunghezza d onda differenti si propagano nel mezzo a velocità differenti. Questo fatto è assai rilevante nei sistemi di trasmissione in fibra, poiché il segnale trasmesso è un segnale modulato, che è scomponibile in una sovrapposizione di più oscillazioni monocromatiche a diverse lunghezze d onda (frequenze), centrata intorno alla frequenza della portante f 0 (ovvero alla lunghezza d onda fondamentaleλ 0 ). Questo tipo di segnale è detto pacchetto d onda e la generica componente a frequenza f del pacchetto d onda si propaga con velocità di gruppo definita da: ( ω) 1 d ( f) 1 d[ fn( f) ] n( f) f dn( f) 1 dβ β = ˆ = = = + v g ( f) dω π df c df c n v g = (Ottica geometrica) c D.I.B.E.-Università di Genova 67 c df

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale Se n non è costante rispetto alla frequenza, tali componenti si propagano con velocità diverse ed, una volta raccolte all estremità del mezzo, si ricombinano con ritardi diversi, dando luogo ad una distorsione lineare analoga alla dispersione temporale per cammini multipli. La distorsione cromatica può essere analizzata quantitativamente considerando un pacchetto d onda che si propaga lungo l asse z in un mezzo omogeneo, isotropo, lineare e semi-infinito. L espressione del pacchetto d onda è la seguente: ( z;t) = Re ψ( z;t) exp( πjf t) = Re a( z;t) exp( πjf t β z) ψ 0 0 0 Una qualunque delle sei componenti del campo elettromagnetico associato Inviluppo complesso del pacchetto d onda Costante di propagazione alla lunghezza d onda λ 0 β f = 0 ˆ all onda luminosa ( ) ( 0) 0 πn D.I.B.E.-Università di Genova 68 f λ

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale A noi interessa calcolare una relazione che leghi la forma d onda dell inviluppo complesso dell onda inviata, con quella osservabile ad una distanza z dall imboccatura della fibra, ovvero: a ( z;t) T a 0 ( ; t) Poiché la distorsione è lineare, possiamo attribuire alla relazione che lega i due inviluppi complessi il significato di una relazione ingresso-uscita di un sistema lineare, che può essere completamente caratterizzato dalla propria risposta in frequenza. Per calcolare tale risposta in frequenza, supponiamo che: ( 0;t) =ψ( ;t) a 0 a ( 0 ;t) = exp( jπνt) Oscillazione sinusoidale a frequenza ν D.I.B.E.-Università di Genova 69

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale Per cui, nelle ipotesi fatte in precedenza, avremo che: a ( z;t) = H( ν) exp( jπνt) Risposta in frequenza della distorsione intramodale Per cui, il pacchetto d onda è esprimibile come: ( t) = H( ν) exp( jπνt) exp( jβ z) ψ z; 0 (i) Ritornando, tuttavia, alla definizione letterale di pacchetto d onda, si può scrivere un altra eguaglianza: = 0 ( z; t) ψ( 0;t) exp( jβ( f + ν) z) = exp( πjνt) ( jβ( f ν) z) ψ 0 exp + D.I.B.E.-Università di Genova 70 (ii)

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale Eguagliando (i) con (ii) otterremo la risposta in frequenza del mezzo dispersivo: ( ν) = exp{ j[ β( f + ν) β( f )] z} H 0 0 Se l indice di rifrazione non dipendesse dalla frequenza (mezzo non dispersivo), si otterrebbe: ( f + ν) β( f ) πνn c β 0 0 = E quindi non si avrebbe alcuna distorsione durante la propagazione, ma solamente un ritardo proporzionale alla lunghezza del tragitto percorso, ovvero: τ g = z ν D.I.B.E.-Università di Genova 71

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale Se invece si considera la fibra un mezzo debolmente dispersivo (qual è), ovvero si considerano variazioni modeste dell indice di rifrazione in funzione della frequenza, è lecito approssimare l andamento di β(f) con un polinomio di Taylor attorno ad f 0 ed arrestato al II ordine. In tal caso si ottiene: H ( ν) exp dβ νz exp j j df df f= f f = f 0 1 d β 0 ν z La relazione scritta sopra può essere espressa in funzione della velocità di gruppo, precedentemente definita e del coefficiente di dispersione cromatica, definito come: d D= ˆ ( 1 v ) d( 1 v ) dλ g = df g df d c = λ λ 1 d β π df D.I.B.E.-Università di Genova 7

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale In tal modo si ottiene la seguente espressione della distorsione cromatica: H ( ν) exp z jπν v g exp jν πdλ0z c Termine che introduce un ritardo di propagazione (ritardo di gruppo) Termine di distorsione di fase (nullo se il mezzo non è dispersivo, mentre dipende da D se lo è) A questo punto, possiamo abbandonare l ipotesi di materiale semi-infinito e ritornare al caso della fibra ottica step-index monomodale, usando l indice di modo, che è espresso come rapporto tra la costante di propagazione ed il numero d onda, ovvero: N ( f) =ˆ β ( f) k D.I.B.E.-Università di Genova 73

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale L indice di modo risulta variabile con f poiché il materiale è dispersivo (in quanto β dipende da n). Ricordando quindi la definizione di velocità di gruppo, avremo che: v dβ dω 1 1 ( ω) d[ kn( f) ] d[ fn( f) c] 1 g ( f) = ˆ = = = Ove: ( f) N( f) dπf ( f) dn N g =ˆ + f Indice di gruppo, che lega la df D.I.B.E.-Università di Genova 74 df N g c ( f) velocità di gruppo della componente del pacchetto d onda a frequenza f con la corrispondente velocità nel vuoto. Le diverse componenti spettrali del segnale in fibra aventi differenti lunghezze d onda si propagheranno quindi con velocità di gruppo in generale diverse. L impulso sarà tanto più distorto quanto più forte è la dipendenza di N da f.

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale Supponiamo che lo spettro del segnale trasmesso si estenda su una banda B centrata attorno alla frequenza di portante f 0, che corrisponde ad una larghezza spettrale λ centrata su λ 0. Il ritardo differenziale massimo relativo alle componenti in tale banda, associate ad un impulso di durata T, propagatosi in fibra per una lunghezza L sarà esprimibile come: t dt λ= dλ d ( L v ) dλ g λ Introducendo il coefficiente di dispersione cromatica D si ottiene, infine: t L d ( 1 v ) dλ g λ= L D λ Il coefficiente di dispersione cromatica D, misurato in psec/nm*km, indica l aumento di durata di un impulso (in psec) caratterizzato da una certa larghezza spettrale λ (misurata in nm), che ha viaggiato in fibra per 1 Km. D.I.B.E.-Università di Genova 75

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale L andamento tipico di D in funzione della lunghezza d onda è mostrato nella Figura sottostante, dalla quale si può desumere che D è nullo per valori di λ pari a circa 1.3µm (seconda finestra). Il valore di D per quel che riguarda la terza finestra (λ=1.55µm) è invece pari a 17 psec/km*nm. In realtà la completa nullità delle dispersioni cromatiche non è praticamente raggiungibile e, lavorando in seconda finestra, si può arrivare a valori realistici di D pari a 1 psec/km*nm. D.I.B.E.-Università di Genova 76

Dispersione intramodale in una fibra step-index monomodale (limitazione alla capacità della fibra) Supponendo che l estensione spettrale del segnale λ sia circa uguale a 1nm (possibile da ottenere con una sorgente LASER a basso costo) e di lavorare in seconda finestra con D = 1 psec/nm*km, si ottiene che: t L D λ< T B < 1 BL L D λ < 1 D λ pari a 1Tbit/sec*Km condizione per non avere ISI Da questi numeri si capisce come la condizione di monomodalità in una fibra ottica consenta di raggiungere elevati valori di capacità, di svariati ordini di grandezza superiori a quelli ottenuti con fibre multimodali, sia di tipo step-index, che ad indice graduato. D.I.B.E.-Università di Genova 77

Banda passante di un canale in fibra ottica Da quanto visto finora, si può affermare che il coefficiente di distorsione cromatica può essere espresso come la somma di due coefficienti: D M, che è il coefficiente di sola dispersione cromatica relativo al materiale (unica fonte di dispersione nelle fibre monomodali); D W, che è la dispersione di guida d onda, dipendente dalla geometria della fibra (termine legato alla dispersione intermodale delle fibre a nucleo largo). La caratteristica dispersiva del materiale si traduce in un comportamento passabasso della risposta in frequenza del canale in fibra ottica. Vedremo questo tipo di comportamento prima per le fibre ottiche monomodali, dove la frequenza di taglio della risposta del canale sarà legata alla dispersione intramodale e poi per le fibre ottiche multimodali, ove occorrerà tenere conto anche dell influenza della dispersione intermodale. D.I.B.E.-Università di Genova 78

Banda passante di una fibra ottica monomodale Da quanto abbiamo visto, l effetto distorcente sul segnale trasmesso esercitato da una fibra ottica monomodale è essenzialmente un suo allargamento temporale. Se, pertanto, l eccitazione in ingresso s(t) alla fibra è un impulso matematico, l uscita h(t) tenderà a divenire un impulso ad andamento Gaussiano, come mostrato nella Figura sottostante: s(t) h(t) h ( t) = π 1 ( τ ) λ exp ( t ( τ ) ) λ t t τ λ t = L D λ τ λ D.I.B.E.-Università di Genova 79

Banda passante di una fibra ottica monomodale Poiché l allargamento temporale dell impulso τ λ è limitato da una quantità proporzionale alla lunghezza della tratta della fibra ottica, è ragionevole supporre che anch esso sarà proporzionale a tale lunghezza, per cui si potrà esprimere come: τ λ = k λ L La costante k λ dipende dalla lunghezza d onda di trasmissione (poiché il materiale è dispersivo) e dall allargamento spettrale del segnale trasmesso λ, quest ultima è caratteristica propria del dispositivo di trasmissione (è molto piccolo nei diodi di tipo LASER, indicato nell ordine di 1nm). La risposta in frequenza della fibra monomodale è pertanto esprimibile come: H λ ( ) = I { ( )} = f h t exp π τ f 1 λ Che ha caratteristiche passabasso D.I.B.E.-Università di Genova 80

Banda passante di una fibra ottica monomodale Si assume che la frequenza di taglio della caratteristica passabasso della fibra ottica monomodale sia la frequenza in corrispondenza della quale il valore di H λ (f) sia la metà di quello assunto in f=0. Questo valore è dato da: f = λ log e 4 πτ λ Poiché sappiamo cheτ λ è funzione di L attraverso la costante k λ, potremo scrivere che: ove: F λ =+ in caso di completa assenza di dispersione cromatica (condizione ideale difficile da ottenere) F λ f λ = F L λ log e 4 = (espresso in GHz*Km) πk λ D.I.B.E.-Università di Genova 81

Banda passante di una fibra ottica monomodale In particolare, avremo che la risposta in frequenza di una fibra ottica monomodale potrà essere espressa nella seguente maniera: H λ { } ( f) = exp log ( f f ) e T f T = f λ è la frequenza di taglio della fibra ottica monomodale. Se la banda del segnale trasmesso è molto minore della frequenza di taglio, allora si può supporre che la linea di trasmissione non introduca nessuna distorsione lineare. Altrimenti si deve supporre che una qualche distorsione sia introdotta e quindi sia necessario utilizzare una qualche forma di equalizzazione in ricezione, in maniera analoga a quanto già visto per le linee in cavo coassiale. D.I.B.E.-Università di Genova 8

Banda passante di una fibra ottica multimodale Nel caso in cui si consideri l utilizzo (invero svantaggioso) delle fibre ottiche multimodali, la funzione di trasferimento della fibra ottica avrà una caratteristica passabasso ancora più accentuata, in quanto alla dispersione intramodale, dovuta alla natura dispersiva del materiale si aggiunge la dispersione intermodale, dovuta alla presenza di diversi modi di trasmissione nella fibra. Abbiamo visto che il massimo ritardo differenziale dovuto alla dispersione intermodale è pari a: t = Ln cn 1 Quindi, l allargamento temporale dell impulso dovuta alla dispersione intermodale τ m è anch esso proporzionale alla lunghezza della tratta in fibra. E quindi avremo: τ m = k m L t k m dipende dalla lunghezza d onda D.I.B.E.-Università di Genova 83

Banda passante di una fibra ottica multimodale Per cui, la risposta in frequenza di una fibra ottica multimodale potrà essere espressa come: H M ( f) =I h( t) { } = exp ( τ + τ ) f 1 π λ m Ritornando alla notazione vista precedentemente, che utilizza la frequenza di taglio, ossia: H M { } ( f) = exp log ( f f ) e T Avremo che: f T = L F m 1 + L F λ F m = log πk e m 4 Nel caso di fibre monomodali: F m =+ D.I.B.E.-Università di Genova 84

Caratteristiche di attenuazione delle fibre ottiche Finora nella trattazione sulle caratteristiche di propagazione delle fibre ottiche abbiamo tralasciato gli aspetti relativi alla perdita di potenza sperimentata dal segnale luminoso durante la propagazione in fibra. Si può verificare sperimentalmente che l attenuazione della potenza del segnale trasmesso in una fibra ottica ha un andamento esponenziale in funzione della lunghezza del tipo classico, ovvero: P αl ( L) = P in e D.I.B.E.-Università di Genova 85

Coefficiente di attenuazione Il coefficiente di attenuazione viene usualmente espresso in db/km, ovvero: 1 α db Km = 10log in = L ( P( L) P ) 10log( e) / α Il coefficiente di attenuazione è una caratteristica costruttiva della fibra ottica. Attualmente sono stati raggiunti valori di circa 0.dB/Km per la terza finestra di trasmissione (λ = 1.55µm). Oltre alla perdita di potenza a causa della distanza, vi sono altre fonti di attenuazione del segnale in fibra, che qui citeremo soltanto: Perdita per assorbimento da materiale, dovuta alla presenza nel vetro di impurità metalliche (ad es. Cu, Co, Cr, Fe), oppure di gruppi di ossidrile imprigionati nel reticolo vetroso; Perdita per diffusione di Rayleigh, provocata da disomogeneità del materiale su scala più piccola della lunghezza d onda, che determinano variazioni microscopiche dell indice di rifrazione; Perdita per imperfezioni di guida, dovuta a piegature e microfratture della fibra che avvengono durante la posa o per cause meccaniche. D.I.B.E.-Università di Genova 86

Attenuazione di fibre di nuova generazione D.I.B.E.-Università di Genova 87

PARTE TERZA: DISPOSITIVI DI EMISSIONE E RIVELAZIONE DEL SEGNALE OTTICO D.I.B.E.-Università di Genova 88

Caratteristiche delle sorgenti luminose Le sorgenti di segnale ottico per la conversione segnale potenza luminosa sono: iled (Light Emitting Diodes): sono diodi polarizzati in modo diretto, che danno luogo ad emissione di fotoni, che sono funzione dell intensità della corrente che li attraversa. L emissione di luce generata dalla giunzione viene solo parzialmente convogliata nella fibra. Esistono LED a emissione di superficie (SLED) e LED a emissione laterale (ELED), a seconda che la sezione terminale della fibra a contatto col diodo sia disposta ortogonalmente rispetto al piano di giunzione o parallelamente ad esso. ilaser (Light Amplification of Stimulated Emission of Radiation): sono anch essi diodi polarizzati in modo diretto, ma con una geometria a strati che crea direzioni privilegiate di emissione ed un effetto di risonanza ottica. D.I.B.E.-Università di Genova 89

Sorgenti LED I LED usati per scopi di telecomunicazione sono solitamente del tipo ad alta efficienza, con radianze comprese tra 0 e 100W/angolo solido*cm. A causa della natura isotropica della sorgente e dell elevato indice di rifrazione del semiconduttore, solo una piccola frazione della potenza generata fuoriesce dal diodo, e solo una piccola parte di essa viene iniettata nella fibra. La massima potenza iniettabile in una fibra può calcolarsi attraverso la seguente formula: R a = radianza del diodo LED; d = min(a,d L ); a = diametro del core; d L = diametro dell area di emissione; = apertura numerica della fibra π d k vale 1 per fibre step-index e per fibre graded-index. w TM kr a D.I.B.E.-Università di Genova 90

Sorgenti LED Le caratteristiche corrente di eccitazione potenza luminosa di un diodo LED e di un diodo LASER sono riportate nella figura sottostante. Si vede che la caratteristica del diodo LED presenta un accettabile linearità solo per potenze emesse opportunamente inferiori al massimo valore. W T led laser I (ma) I diodi LED, inoltre, riducono la loro efficienza al crescere della frequenza della corrente di eccitazione. Ciò è dovuto a dissipazioni legate alla capacità non nulla della giunzione (il LED è assimilabile ad un circuito RC). Per cui i diodi LED hanno un comportamento passabasso: H s ( f) = 1 1 + j f f s f s compresa tra 50 e 100MHz. D.I.B.E.-Università di Genova 91

Sorgenti LASER Le sorgenti LASER sono caratterizzate da direzioni di emissione privilegiate (quindi non sono sorgenti isotrope) e da effetti di risonanza ottica. La direttività dell emissione consente di ridurre grandemente l allargamento spettrale del segnale luminoso prodotto ( λ pari a circa 1nm in seconda finestra contro 0.5µm registrati per una sorgente LED), e quindi di ridurre la dispersione cromatica propria delle fibre ottiche (in particolare, nelle fibre monomodali, la dispersione cromatica è l unica fonte di distorsione del segnale). Anche l efficienza spettrale delle sorgenti LASER è maggiore rispetto a quella delle sorgenti LED. La frequenza di taglio f s è difatti dell ordine di 1GHz. Di converso, le sorgenti LASER presentano caratteristiche sfavorevoli di non linearità della caratteristica corrente di eccitazione potenza luminosa, soprattutto per basse correnti di eccitazione (vedere figura nella slide precedente) ed una vita media operativa piuttosto ridotta (circa 1/10 rispetto a quella dei LED). D.I.B.E.-Università di Genova 9

Caratteristiche dei fotorivelatori Un fotorivelatore è un diodo polarizzato inversamente che dà luogo a conduzione di corrente quando viene colpito da un fascio luminoso. Nella figura sottostante è mostrato un tipico circuito di fotorivelazione, in cui il diodo viene attraversato da un fascio luminoso, produce una corrente i(t) direttamente proporzionale alla potenza luminosa ricevuta e quindi una tensione ad essa proporzionale ai capi di una resistenza R, che viene successivamente amplificata e fatta passare attraverso un filtro con una opportuna funzione di trasferimento. fibra i(t) R Filtro amplificatore r(t) w R -V D.I.B.E.-Università di Genova 93

dove: Funzionamento di un diodo fotorivelatore Il numero di fotoni al secondo costituenti il fascio incidente è dato da : n λ = hc f w R w R è la potenza luminosa in uscita dalla fibra(watt); h=6.65 10-34 J s è la costante di Plank; c=3 10 9 m/s è la velocità della luce; λ è la lunghezza d onda della luce incidente; c h ν = h è l energia di un fotone. λ Un singolo fotone può dar luogo alla generazione di una coppia elettrone/lacuna che attraversa la zona di svuotamento, accelerata dalla tensione inversa, e produce un impulso di corrente q(t) di durata estremamente breve (1 nsec) e di area q (carica dell elettrone=1.6 10-19 ). D.I.B.E.-Università di Genova 94

Funzionamento di un diodo fotorivelatore Se la tensione inversa applicata al diodo è sufficientemente elevata, l elettrone generato da un fotone ha la possibilità di generare altre coppie elettroni/lacune, dando luogo a g impulsi di corrente q(t). Detto θ i l istante di arrivo del fotone i, si ha che: g i i ( t) = g q( t ϑ ) + i= in cui è una realizzazione della variabile aleatoria G, di valore atteso m g e varianza σ g. Questo effetto, detto fotomoltiplicazione, o effetto valanga, non si verifica se la tensione applicata al diodo è bassa. i i D.I.B.E.-Università di Genova 95

Supponendo che il numero di arrivi al secondo abbia distribuzione di Poisson con valore atteso: ηλ β = η n = hc f w R (in cui η è il rapporto ( 1) tra il numero di coppie elettroni/lacune generate e il numero di fotoni incidenti), si ha che il valor medio della corrente prodotta dal diodo è: i Funzionamento di un diodo fotorivelatore R = q m β = m ρ w g g La corrente in uscita dal fotodiodo può essere espressa come somma di un termine costante (che è il valor medio) e di un termine tempo-variante che esprime lo scostamento di tale grandezza dal valor medio, ovvero: i R ( t) = i i ( t) R + q ρ =ˆ qλ η hc Responsività del fotodiodo i R è il valor medio nel tempo di i(t), che coincide con il suo valore atteso (processo ergodico); i q (t) è il rumore quantico, e rappresenta la variabilità di i(t) attorno al suo valore medio. D.I.B.E.-Università di Genova 96

Funzionamento di un diodo fotorivelatore Diodo PIN: la tensione inversa applicata al diodo è bassa ( - 30v), quindi l effetto di moltiplicazione degli elettroni non si verifica e risulta sempre gi =1 (per cui m = 1e σ g = 0 ). Diodo a valanga: la tensione inversa è elevata, m g è controllabile attraverso il valore della tensione inversa. Si definisce il FATTORE DI RUMORE DEL FOTOMOLTIPLICATORE(*): F = F F g ( m ) = σ ( m ) g g 1+ mg 1 La curva è stata determinata sperimentalmente : g g g F g = m g a in cui a vale 0.5 per diodi al germanio e 0.15 0.5 per diodi al silicio ( 300 400). m g (*)Analogo del fattore di rumore del filtro visto per rumore termico nel caso dei cavi D.I.B.E.-Università di Genova 97 g

Fibre ottiche per comunicazioni e dispositivi di emissione del segnale: status 1995 1 a finestra a finestra a finestra 3 a finestra 3 a finestra (multimodo) (multimodo) (monomodo) (multimodo) (monomodo) Attenuazione 3 0.4 0.35 0.5 0. (db/km) F m (GHz km) 0.9 0.9 0.9 Fλ (GHz km) 0.10 1. 1. 0.1 0.15 SLED Fλ (GHz km) 0.16 4.0 4.0 0. 0.5 ELED Fλ (GHz km).0 6.5 6.3 6.3 LASER Pot.emessa (dbm) -15-17 -34-18 -35 SLED Pot.emessa (dbm) -9-11 - -1-3 ELED Pot.emessa (dbm) 8 5 3 4 LASER D.I.B.E.-Università di Genova 98

Gamma delle lunghezze d onda per la trasmissione in fibra L ITU-T ha suddiviso il campo delle lunghezze d onda per la trasmissione in fibra ottica nelle sei seguenti bande: Banda Nome Campo O - Band Original 160 1360 nm E - Band Extended 1360 1460 nm S - Band Short wavelength 1460 1530 nm C - Band Conventional 1530 1565 nm L - Band Long wavelength 1565 165 nm U - Band Ultralong wavelength 165 1675 nm Banda complessiva disponibile 50 THz D.I.B.E.-Università di Genova 99

Altri problemi della trasmissione su fibra ottica Dispersione di polarizzazione Legata alla diversa velocità di propagazione delle due componenti ortogonali del campo e.m. Effetto: allargamento dell impulso nel tempo Dipendente da fattori di costruzione e posa della fibra e da parametri fisici tempovarianti tra cui la temperatura Valori tipici compresi tra 0. e 0.5 ps/km - Non linearità della fibra Per valori elevati di intensità del campo e.m. che attraversa la fibra, l indice di rifrazione può mostrare dipendenza dall intensità stessa La non linearità più nota e problematica è l interazione a quattro fotoni (Four Wave Mixing FWM) Essa dà origine a repliche del sengale a lunghezze d onda diverse Provoca quindi rumore e/o diafonia Il problema diventa rilevante in sistemi che trasmettono lunghezze d onda multiple D.I.B.E.-Università di Genova 100

PARTE QUARTA: ANALISI DELLE PRESTAZIONI DI UN COLLEGAMENTO IN FIBRA OTTICA D.I.B.E.-Università di Genova 101

Prestazioni di un collegamento in fibra ottica per trasmissioni analogiche m(t) M Sorgente di luce w T (t) w R (t) Fotodiodo H R (f) M -1 d(t) s(t) R G T m g ρ H C (f) e -αl H D (f) H R (f) w T (t) w R (t) r(t) i q (t) i n (t) La caratteristica corrente in ingresso potenza in uscita è lineare solo se s( t) soddisfa le seguenti limitazioni: s min GT wmin > 0 s G w < max T max w TM Max potenza nella fibra D.I.B.E.-Università di Genova 10

La funzione del blocco M è appunto quella di trasformare il segnale utile allo scopo di rendere il segnale di eccitazione tale da soddisfare queste limitazioni. H D lg ( ) ( ) e f ft f = e Ritardo della fibra :viene trascurato come shift temporale, se ne tiene conto come distorsione.(δ(t) diventa gaussiana) fibra :f=f T tale che H D (f) = 1/ (non è proprio f. di taglio) Osservazione: Se la banda occupata dal segnale w T t è sensibilmente inferiore al valore di f T, H D ( f) 1 nella banda occupata dal segnale e la fibra NON introduce distorsione lineare. Il fattore di conversione potenza ricevuta corrente di uscita del fotodiodo è pari a m g ρ, in cui ρ è la responsività del fotodiodo ( 0.5 Ampere/Watt) ed m g è il numero medio di coppie elettrone/lacune generate a partire da un fotone incidente ( per un diodo PIN, fino a 300 per un diodo a valanga). ( ) D.I.B.E.-Università di Genova 103

( ) i i q t è il RUMORE QUANTICO; il suo spettro di densità di ( ) Pq f Fg mgq ρ wr potenza può assumersi uniforme (fino a qualche GHz) pari a i n ( t) i rappresenta un rumore di natura termica; il suo spettro di densità di potenza vale ( f) FkT R 0 P n = H R ( f) Il filtro di ricezione ha lo scopo di eliminare il rumore al di fuori della banda del segnale ed equalizzare il comportamento della fibra dovuto al termine f. H D ( ) Il calcolo del rapporto segnale/rumore verrà effettuato all uscita del filtro di ricezione nei due casi seguenti: D.I.B.E.-Università di Genova 104

Due termini tengono conto del rumore: ieccitazione costante wt (caso A) ( t) s = G T ieccitazione pari ad una costante positiva più una componente a valor medio nullo, funzione del segnale utile: wt s( t) = { 1+ x( t) }, x( t) 1 (caso B) G T In entrambi i casi w T indica il massimo valore della potenza immessa nella fibra(h c costante con f se si va nel range giusto (con M)). ll segnale x( t) si ritiene membro di un processo aleatorio stazionario, di spettro di densità di potenza noto P x ( f). D.I.B.E.-Università di Genova 105

Lo spettro di densità di potenza del segnale di eccitazione vale: P P w G T ( f) = u ( f) s 0 T w 4G (caso A) T ( f) { u ( f) P( f) } s = + 0 T (caso B) Il segnale all ingresso del fotodiodo vale: w w + R R h Quindi: m = w G s d x αl αl ( t) G e s( t) h ( t) = G e s( t τ) h ( τ) = G = dτ T e T αl m d + s hd = (caso A) T αl ( τ) dτ GT e ms lg e T ( τ) dτ = H ( 0) = 1= e f= 0 T T m = w G (caso B) s T d T ( f f ) + µ 0( f ) Delta di Dirac in f d, dato che Ipotesi di E{x(t)} = 0 D.I.B.E.-Università di Genova 106

D.I.B.E.-Università di Genova 107 Dopo il filtro di ricezione si hanno tre contributi: ( ) ( ) ( ) ( ) t r t r t r t r n q R + + = ( ) ( ) ( ) ( ) f H R m f H e G f P f P R g D L T s rr ρ α = ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) + B f P f u A f u f H f H R m e w x R D g L T 4 1 4 1 0 0 ρ α ( ) ( ) ( ) ( ) = B A f H qr m F e w f P R g g L T rq 1 1 ρ α ( ) ( ) 0 f R H FkT f P R rn =

Per ottenere le potenze totali dei segnali in questione e sufficiente integrare da - a + gli spettri di densità di potenza ora calcolati. Introduciamo le seguenti approssimazioni: ( ) 1 1. si trascura la distorsione della fibra [ f ]; ( ). si ritiene che H R f sia un passa-basso ideale con frequenza di taglio pari alla banda B dei segnali: 1 H R ( f) = 0 f B altrove Con queste approssimazioni: ( ) L A Pru = wt e mg R 1 1 α ρ Px( B) 4 (comp.utile del segnale in uscita, nel caso B è solo quella associata ad x(t), non al valor medio) H D D.I.B.E.-Università di Genova 108

D.I.B.E.-Università di Genova 109 Notazione: ( ) ( ) B A B qr m F e w P g g L T rq = 1 1 ρ α B R FkT P rn = 0 ( ) { } L w L w w w T T R R α = = exp,. Caso A: n q g g R g R rn rq ru A SNR SNR B R FkT B qr m F w R m w P P P SNR 1 1 1 0 + + = + = ρ ρ B q F w SNR g R q ρ = + = = df f P t x pot P x x ) ( ) (. Essendo H D (f) 1 ) / ( 1 ) / ( 1 1 c a b a c b a + = +

imigliora linearmente con la potenza luminosa ricevuta e con la responsività del fotodiodo; ipeggiora all aumentare del fattore di rumore del fotomoltiplicatore e della larghezza di banda. sarebbe meglio usare diodi PIN ( m g = 1, F g = 1 ). SNRqdB = 9+ wrdbm 10lg10 Fg 10lg10 B MHz SNR n = (ρ 0.5) ρ/9 db w mgρ R wrmg R = 4FkT0 B FkT0 RB ρ R imigliora col quadrato della potenza luminosa e del guadagno di fotomoltiplicazione(=m g ); D.I.B.E.-Università di Genova 110

isembrerebbe che un valore molto grande di R possa annullare l effetto del rumore termico, ma non si tiene in conto della capacità di uscita C del diodo che, in parallelo ad R, dà luogo ad un comportamento passabasso con frequenza di taglio 1 πrc. Si può compensare tramite l amplificatore di ingresso, facendo in modo che la frequenza di taglio sia una frazione δ abbastanza grande della banda B: 1 1 δb R πrc πδcb Con R massima: SNR n = w m ρ m R g R g 4 π δcf kt0 B 4 πq kt0 B w ρ D.I.B.E.-Università di Genova 111

Q = δ CF ingloba tutti gli effetti del gruppo fotodiodo-amplificatore agli effetti della valutazione del rumore termico. Supponendo e Q = 10 1 si ha: ρ = 0. 5 SNRndB = 14+ wrdbm+ 0lg10 mg 0lg10 B MHz L andamento complessivo è mostrato nel grafico seguente: D.I.B.E.-Università di Genova 11