Corso di Fisica Velocità ed Accelerazione Prof. Francesco Di Capua a.a. 2018/19
breve riassunto lez. precedente
VeBore posizione Per descrivere il moto occorre definire la posizione di un punto nello spazio Si uflizza una terna di assi cartesiani in cui si introduce un vebore posizione r = xˆ i + yˆ j + zk ˆ Se il punto si muove rispebo al riferimento di assi cartesiani, il vebore posizione sarà una funzione del tempo r r(t) = x(t)ˆ i + y(t) ˆ j + z(t) k ˆ Il moto di un corpo sarà noto se si conosce la dipendenza dal tempo delle tre componenf x(t), y(t), z(t)
Velocità La rapidità con cui un vebore posizione cambia rispebo ad un sistema di riferimento è chiamata velocità Velocità media di un corpo in un intervallo di tempo Δt v = r r f i = Δr t t Δt f i Nel caso ad una dimensione v = (x x )ˆ i f i t t f i = Δx i ˆ Δt Dal punta di vista geometrico la velocità media è il rapporto dei catef del rebangolo in figura: cioè è la pendenza della reba che unisce le due posizioni finale ed iniziale nella curva spazio-tempo
Velocità istantanea La velocità istantanea è uguale al valore del rapporto Δx/Δt (velocià media) quando l intervallo di tempo Δt tende a zero Dal punto di vista matema@co si esprime con il conceao di limite del rapporto incrementale Al tendere di Δt a zero anche Δx tende a zero, il loro rapporto (velocità media) tende alla Velocità istantanea (tangente alla curva all istante t) v ist (t) = lim Δt 0 Δx Δt La velocità istantanea è in altre parole in ogni istante t la tangente alla curva x(t), tale pendenza è data dal valore della derivata di x rispeao al tempo t v ist (t) = lim Δt 0 Δx Δt = d dt x(t) ( ) Derivata rispeao alla variabile t della funzione x(t)
Esercizio: Velocità media ed istantanea(1) La posizione di una parfcella che si muove lungo l asse x varia nel tempo secondo l espressione x = 4t + 2t 2 Determinare lo spostamento della par@cella da t=0 a t=1s e da t=1s a t=3s Lo spostamento nell intervallo AB è Δx AB = 4(1) + 2(1) 2 [ 4(0) + 2(0) 2 ] Δx AB = 4 + 2 = 2m Allo stesso modo nell intervallo BD Δx BD = 4(3) + 2(3) 2 [ 4(1) + 2(1) 2 ] Δx BD = 12 +18 [ 4 + 2] = +8m
Esercizio: velocità media ed istantanea(2) Negli stessi intervalli di tempi calcolare la velocità media v x = Δx AB Δt AB v x = Δx BD Δt BD = 2m 1s = 8m 2s = 2m /s = +4m /s Trovare la velocità istantanea in ogni istante t Δx = x f x i = 4(t + Δt) + 2(t + Δt) 2 [ 4t + 2t 2 ] Δx = 4t 4Δt + 2(t 2 + Δt 2 + 2tΔt) + 4t 2t 2 Δx = 4Δt + 2Δt 2 + 4tΔt v x = Δx Δt = 4Δt + 2Δt 2 + 4tΔt Δt = 4 + 2Δt + 4t
Esercizio: velocità media ed istantanea(3) v x = Δx Δt = 4Δt + 2Δt 2 + 4tΔt Δt Δx v ist (t) = lim Δt 0 = 4 + 4t Δt oppure = 4 + 2Δt + 4t v ist (t) = d dt A t=1 v ist =0, a t=3 v ist =8m/s ( x(t) ) = d dt Time (s) Speed (m/s) 0-4 1 0 2 4 3 8 ( 4t + 2t 2 ) = 4 + 4t 4 12 v ist (t) 4 (t)
un passo indietro (es. vebori)
Esercizio Un esploratore è sorpreso da una nevicata mentre sta ritornando al campo base. Per ritornare al campo avrebbe dovuto camminare per 5.5 km verso Nord (θ=90 ) invece scopre di aver viaggiato per errore per 9.9 km in direzione che si discosta da Est di 25.3 verso Nord (θ=25.3 ). QuanF km deve ancora percorrere l esploratore una volta scoperto l errore per ritornare al campo? N Spostamento errato esploratore A x = Acos(25.3 ) = 9.9cos(25.3 ) = 8.95km A y = Asen(25.3 ) = 9.9sen(25.3 ) = 4.23km O 25.3 E Campo Base B x = 0 B y = +5.55 S Per raggiungere il campo base occorre compiere uno spostamento R R x = B x A x = 8.95km R y = B y A y = (5.55 4.23)km =1.27km R = R 2 x + R 2 y = 9.04km
Esercizi VeBori Il vebore A, direbo in direzione i (asse x), è aggiunto al vebore B, che ha modulo pari a 7.0 m. La somma è un vebore che punta in direzione posifva dell asse j (asse y), con un modulo pari a 3 volte quello di A. Quanto vale il modulo di A? A = a 1ˆ i B = b 1ˆ i + b 2 ˆ j B = b 1 2 + b 2 2 = 7.0m! C = A! + B = c 2 ˆ j C = A + B = 3A c 1 = a 1 + b 1 = 0 c 2 = b 2 b 1 = a 1 b 2 = 3a 1 B = b 1 2 + b 2 2 = 7.0m b 1 2 + b 2 2 = 49.0m 2 a 1 2 + (3a 1 ) 2 = 49.0m 2 10a 1 2 = 49.0m 2 a 1 = 2.2m
Velocità nello spazio a 3 dimensioni v ist (t) = lim Δt 0 v v ist (t) = lim Δt 0 Δr Δt v ist (t) = d dt ( r(t) ) v ist = lim Δt 0 Δr Δt = d dt ( x(t) )ˆ i + d dt ( y(t) ) ˆ j + d dt ( z(t) ) k ˆ Il veaore velocità nello spazio ha come componen@ le derivate delle componen@ del veaore posizione rispeao al tempo v = dx dt 2 + dy dt 2 + dz dt 2 modulo della velocità
Sommario: concebo di velocità Variazione nel tempo della posizione, legge del moto Velocità media, pendenza della reba che unisce due posizioni nella curva spazio tempo Velocità istantanea è il limite della velocità di media quando l intervallo di tempo tende a zero, tangente alla curva x(t) La velocità è la derivata della funzione x(t) rispebo al tempo v = (x f x i )ˆ i t f t i = Δx i Δt ˆ v ist (t) = lim Δt 0 Δx Δt = d dt ( x(t) )
Accelerazione La rapidità con cui la velocità varia rispebo al tempo si chiama accelerazione Un moto di un corpo che avviene a velocità costante è ad accelerazione nulla Si definisce accelerazione media di un corpo in un certo intervallo di tempo a = v f v i t f t i = Δv Δt a = v f v i t f t i = Δv Δt Nel caso di una dimensione il modulo del veaore accelerazione media è a x = v xf v xi t f t i a x = a x i ˆ = Δv x Δt
Accelerazione istantanea Derivata della velocità rispebo al tempo a ist (t) = lim Δt 0 a = lim Δt 0 Δv Δt = d dt v(t) ( ) se la velocità è costante nel tempo, la sua derivata è nulla e l accelerazione è nulla dimensioni fisiche [ a ist (t)] = m s 2 a ist (t) = d ( dt v(t) ) = d 2 dt ( r(t) ) derivata seconda rispeao al tempo del veaore posizione
Accelerazione istantanea(2) L accelerazione ad un dato istante è data dalla pendenza della curva velocità-tempo Per il moto unidimensionale: a x = d dt v x(t) = d dt a ist = a xˆ i d dt x(t) = d 2 dt Quando la velocità diminuisce (pendenza tangente negafva) l accelerazione è negafva, quando la velocità aumenta, l accelerazione è posifva x(t) ( )
Esempio Data una legge oraria: x(t) =18m + (12m /s)t (1.2m /s 2 )t 2 Determinare l accelerazione: Derivata prima rispeao al tempo di x(t): v(t) = (12m /s) 2 (1.2m /s 2 )t = (12m /s) (2.4m /s 2 )t Derivata seconda rispeao al tempo di x(t): a(t) = 2.4m /s 2 Nota: partendo da una dipendenza spazio-tempo quadrafca si oeene un accelerazione costante
Moto con accelerazione costante In molf Fpi di mof l accelerazione è costante. In tal caso l accelerazione media è uguale a quella istantanea Accelerazione istantanea a x = a x = Δv x Δt = v xf v xi t f t i Accelerazione media ponendo t f =t e t i =0 a x = v x(t) v x 0 t 0 v x (t) = v x 0 + a x t La velocità al generico istante t varia linearmente con il tempo
Moto con accelerazione costante(2) Si può inoltre scrivere l espressione della velocità media: v x = x x 0 t 0 x = x 0 + v x Per una velocità che aumenta linearmente con il tempo la velocità media su un intervallo di tempo è sempre data dalla media aritme@ca tra velocità all istante iniziale e la velocità all istante finale x = x 0 + v x (t) + v x 0 2 t = x 0 + v x (t)t 2 x = x 0 + (v x 0 + a x t)t 2 + v x 0 t 2 t v x = v x (t) + v x 0 2 v x (t) = v x 0 + a x t + v x 0 t 2 = x 0 + v x 0 t + 1 2 a xt 2
Moto con accelerazione costante (3) x(t) = x 0 + v x 0 t + 1 2 a x t 2 La posizione x(t) varia quadra@camente con il tempo È semplice dimostrare che si passa da posizione x ad accelerazione a applicando due volte l operazione di derivazione e viceversa si passa da a ad x applicando due volte l integrazione
Integrazione e derivazione x = x 0 + v x 0 t + 1 2 a xt 2 a x = costante derivata x(t) integrale x(t) v x = d dt x(t) = v x 0 + a xt v x = a x t + v x0 derivata v(t) integrale v x (t) a x = d dt v x (t) = a x x = 1 2 a x t 2 + v x0 t + x 0
Riassumendo (sul moto con accelerazione costante) x = x 0 + v x 0 t + 1 2 a x t 2 v x = v x0 + a x t x = x 0 + v x 0 (v x v x0 a x ) + 1 2 a x (v x v x0 a x ) 2 t = v x v x0 a x v x 2 = v x0 2 + 2a x (x x 0 )
Esempio 1 Un auto viaggia alla velocità costante di 45 m/s Al passaggio davanf una moto della polizia dopo un secondo viene inseguita. La polizia inizia un inseguimento con un accelerazione di 3m/s 2 Dopo quanto tempo la polizia raggiunge l auto? La polizia inizia l inseguimento dopo un tempo t=1s, l auto viaggiando alla velocità di 45 m/s, si trovera dopo 1s distante 45 m dalla polizia (consideriamo dunque una posizione iniziale x i = 0, per la polizia, e x i = 45 m per l auto in corsa L auto si muove a velocità costante (accelerazione nulla) x f = x i + v ist t + 1 2 at 2 x AUTO = 45m + (45m /s) t Per la moto che parte da ferma si ha (x i =0 v xi =0 e a x =3 m/s 2 ) x f = x i + v xi t + 1 2 a x t 2 x POLIZIA = 1 2 (3m /s2 )t 2
Esempio 1 La polizia raggiunge l auto al tempo t in cui vale x AUTO = x POLIZIA x POLIZIA = 1 2 (3m /s2 )t 2 = x AUTO = 45m + (45m /s) t 3 2 t 2 45t 45 = 0 t = 30.97s x POLIZIA = 1 2 (3m /s2 )(30.97s) 2 =1438.7m x AUTO = 45m + (45m /s)30.97s =1438.7
Esempio 2 Un tennista colpendo la pallina ne cambia la sua velocità da 0 a 40 m/s (144 km/h). La pallina resta abaccata alla raccheba per 0.5 m durante la babuta. Calcolare l accelerazione v x 2 = v x0 2 + 2a x (x x 0 ) a x = v x 2 2(x x 0 ) = (40m /s)2 2 0.5m =1600m /s2 Dopo la babuta la velocità della pallina resta costante (accelerazione nulla). Calcolare il tempo di reazione che deve avere l altro tennista per rispondere considerando che il campo è lungo 25m x = x 0 + v x 0 t + 1 2 a x t 2 x x 0 = v x 0 t 25m = (40m /s)t t = 0.62s