Simulazione del moto di un punto materiale soggetto a una forza

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1 Simulazione del moto di un punto materiale soggetto a una forza Università degli Studi di Brescia Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 1

2 SCOPO DELLA SIMULAZIONE Punto materiale: - dimensioni trascurabili - dotato di massa Simulare in diverse situazioni il moto di uno o più punti materiali (es. proiettili, palloni da calcio, pianeti, ) soggetti a forze note (eventualmente anche risultanti dalle interazioni tra i punti materiali) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 2

3 IL MODELLO FISICO: NOZIONI RUDIMENTALI DI FISICA - Posizione - Velocità - Accelerazione - Forza Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 3

4 STEP 1: moto di un punto lungo una retta POSIZIONE di un punto in un certo istante temporale t 0 x(t) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 4

5 VELOCITA MEDIA in un intervallo temporale [t, t+δt] v(t) = x(t + Δt) x(t) Δt x(t + Δt) = x(t)+ v(t)* Δt Esempio x(t) =10m v(t) = 3m / s 0 x(t) =10m x(t + 2s) =16m VELOCITA ISTANTANEA in un istante temporale t v(t) v(t) = dx Intuitivamente, Δt tende a 0 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 5

6 ACCELERAZIONE MEDIA in un intervallo temporale a(t) = v(t + Δt) v(t) Δt v(t + Δt) = v(t)+ a(t)* Δt Esempio v(t) = 3m / s a(t) = 2 m/s 2 v(t)=3 m/s v(t+2s)=7 m/s 0 ACCELERAZIONE ISTANTANEA in un istante temporale t a a = dv Intuitivamente, Δt tende a 0 Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 6

7 FORZA applicata su un punto in un certo istante m F F = ma a = F m La forza in un dato istante causa un accelerazione istantanea Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 7

8 Schema riassuntivo v v = dx La velocità istantanea è una variazione istantanea dello spazio (posizione) a a = dv L accelerazione istantanea è una variazione istantanea della velocità m F F = ma a = F m La forza in un dato istante causa un accelerazione istantanea Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 8

9 Unità di misura (Sistema internazionale) v v = dx m/s a a = dv m/s 2 m F F = ma Newton: kg*m/s 2 a = F m Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 9

10 Nello spazio tridimensionale (A) s = (x, y, z) y s x z Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 10

11 Nello spazio tridimensionale (B) y s v a s = (x, y, z) v = (v x, v y, v z ) a = (a x, a y, a z ) x z F = (F x, F y, F z ) F = m a Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 11

12 F = m a a = d v v = d s F x = ma x F y = ma y F z = ma z a x = dv x a y = dv y a z = dv z v x = dx v y = dy v z = dz La forza risultante in un dato istante causa un accelerazione istantanea L accelerazione è una variazione istantanea di velocità La velocità è una variazione istantanea dello spazio (posizione) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 12

13 SIMULAZIONE: MODELLO E TECNICA Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 13

14 Modellizzazione del tempo PROBLEMA: non possiamo simulare un dominio (tempo) continuo SOLUZIONE: DISCRETIZZAZIONE DEL TEMPO (introduce un approssimazione) Nota: esistono svariate tecniche sofisticate di discretizzazione, noi applichiamo solo una semplice idea Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 14

15 Discretizzazione del tempo (1) a(t) = F( s,t) / m s(t) v(t) 0 t Δt Tempo Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 15

16 Discretizzazione del tempo (2) a(t) = F( s,t) / m s(t) v(t) 0 (ipotesi semplificativa: velocità ed accelerazione costanti durante Δt) t Δt Tempo s(t + Δt) = s(t)+ v(t + Δt) = v(t)+ " v(t)* a(t)* " Δt Δt Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 16

17 Simulazione: il modello ENTITA : PUNTI MATERIALI Parametri: massa m Variabili di stato - coordinate x, y, z (al tempo corrente t) - velocità istantanea v x, v y, v z (al tempo corrente t) - accelerazione istantanea a x, a y, a z (al tempo corrente t) EVENTI - variazione x, y, z (secondo velocità istantanee) - variazione v x, v y, v z (secondo acceleraz. istantanee) - applicazione di forza e variaz. a x, a y, a z Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 17

18 Schema di simulazione MC=0 INIZIALIZZAZIONE: coordinate e velocità iniziali MC++ Per ogni punto materiale: - Calcolo forza risultante è a x, a y, a z - Aggiornamento posizione x, y, z (in base a v x, v y, v z ) - Aggiornamento velocità v x, v y, v z (in base ad a x, a y, a z ) FINE Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 18

19 COMMENTI Per ogni punto materiale, memorizziamo: - coordinate x, y, z (al tempo corrente t) - velocità istantanea v x, v y, v z (al tempo corrente t) - accelerazione istantanea a x, a y, a z (al tempo corrente t) Simulazione Unit-time advance : - MC avanza ad ogni passo di un certo Δt Eventi ad ogni passo (aggiornamento t t+δt): - aggiornamento di a x, a y, a z sulla base della forza applicata - aggiornamento x, y, z sulla base di v x, v y, v z - aggiornamento di v x, v y, v z sulla base di a x, a y, a z Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 19

20 ESEMPIO Moto di un proiettile soggetto alla forza di gravità mg, g =9.8 m/s2 (utilizziamo un piano cartesiano coordinate x,y) Elementi di Informatica e Programmazione Università di Brescia 20