Variabili casuali multidimensionali

Variabili casuali multidimensionali Variabili casuali multidimensionali: k-ple ordinate di variabili casuali unidimensionali definite sullo stesso spazio di probabilità X = (X 1,..., X k ) Funzione di distribuzione (o di ripartizione) congiunta F (x) = F (x 1,..., x k ) = Pr(X 1 x 1,..., X k x k ) A. Pollice - Statistica Multivariata

Funzione di distribuzione marginale F (x 1,..., x h ) = lim F (x 1,..., x k ) = F (x 1,..., x h,,..., ) x h+1,...,x k

Variabili casuali multidimensionali discrete Una variabile aleatoria k-dimensionale si dice discreta se può assumere un numero finito o un infinità numerabile di k-ple di valori Funzione di probabilità congiunta p(x 1,..., x k ) = Pr(X 1 = x 1,..., X k = x k )

Supporto o insieme di definizione X = {(x 1,..., x k ) p(x 1,..., x k ) > 0} X è un insieme finito o al più infinitamente numerabile Funzione di probabilità marginale p(x 1,..., x h ) = x h+1... x k p(x 1,..., x h,..., x k ) Funzione di probabilità condizionata p(x 1,..., x h x h+1,..., x k ) = = Pr(X 1 = x 1,..., X h = x h X h+1 = x h+1,..., X k = x k ) = p(x 1,..., x k ) p(x h+1,..., x k )

Variabili casuali multidimensionali continue Funzione di densità congiunta del vettore aleatorio X associato alla funzione di ripartizione F x1 xk F (x) = F (x 1,..., x k ) =... f(t 1,..., t k )dt 1 dt k Proprietà (i) f(x) 0 (i) R k f(x)dx = 1 (iii) C R k, Pr(X C) = C f(x)dx (iv) per qualsiasi x = (x 1,..., x k ) punto di continuità di f, f(x 1,..., x k ) = k F (x 1,...,x k ) x 1... x k

Il supporto X di un vettore aleatorio continuo X corrisponde al più piccolo insieme a cui la densità assegna probabilità 1 Funzione di densità marginale f(x 1,..., x h ) =... f(x 1,..., x h,..., x k )dx h+1... dx k Funzione di densità condizionata f(x 1,..., x h x h+1,..., x k ) = f(x 1,..., x k ) f(x h+1,..., x k )

Indipendenza stocastica F (x 1,..., x k ) funzione di distribuzione congiunta di (X 1,..., X k ), F i (x i ) distribuzioni marginali delle componenti unidimensionali X i (i = 1,..., k) stocasticamente indipendenti se F (x) = k i=1 F i (x i )

Valori attesi Valore atteso del vettore aleatorio k-dimensionale X µ = E(X) = (E(X 1 ),..., E(X k )) = (µ 1,..., µ k ) Proprietà (i) E(X ) = [E(X)]

(ii) Linearità: X vettore casuale k -dimensionale, A e b rispettivamente matrice e vettore di costanti in R h k ed R h E(A X + b) = A E(X) + b (iii) Additività: X 1 e X 2 vettori casuali in R k ed A e B matrici di costanti in R h k E(A X 1 + B X 2 ) = A E(X 1 ) + B E(X 2 )

Matrice di varianze e covarianze di un vettore aleatorio k- dimensionale X Cov(X) = Σ = E{(X E(X))(X E(X)) } = = E(XX ) E(X)E(X) = = σ1 2 σ 12... σ 1k σ 21 σ2 2... σ 2k...... σ k1 σ k2... σk 2 Proprietà Qualsiasi matrice di varianze e covarianze è semidefinita positiva

Matrice di covarianze tra il vettore aleatorio k- dimensionale X e il vettore aleatorio h-dimensionale Y Cov(X, Y ) = Σ XY = E{(X E(X))(Y E(Y )) } = = E(XY ) E(X)E(Y ) = σ X1 Y 1 σ X1 Y 2... σ X1 Y h = σ X2 Y 1 σ X2 Y 2... σ X2 Y h... σ Xk Y 1 σ Xk Y 2... σ Xk Y h

Proprietà X ed Y vettori casuali in R k, Z = AX + b e K = CY + d, con A e C matrici di costanti in R h k, b e d vettori di costanti in R h Cov(Z, K) = ACov(X, Y )C Casi particolari: (i) X = Y Cov(Z, K) = ACov(X)C (ii) K = Z = AX + b Cov(Z) = ACov(X)A (iii) K = Z = X + b Cov(Z) = Cov(X) (iv) K = Z = AX Cov(Z) = ACov(X)A

Funzione generatrice dei momenti della variabile aleatoria k-dimensionale X M(t) = E[exp(t X)] = E[exp(t 1 X 1 + + t k X k )]

Trasformazioni biunivoche di vettori casuali continui X vettore casuale k-dimensionale dotato di densità f X (x), Y = g(x) con g biunivoca e regolare, f Y (y) = mod J f X (g 1 (y)) dove mod J indica il valore assoluto del determinante della matrice jacobiana della trasformazione inversa g 1

Valori attesi condizionati Proprietà E Y { EX Y [g(x, Y )]} = EX,Y [g(x, Y )] Proprietà Cov(X) = E Y [Cov(X Y )] + Cov [ E X Y (X) ]