Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Calcolo delle probabilità Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si vuole studiare la distribuzione del sesso dei figli nelle famiglie aventi due figli (per semplicità si escludono dall indagine le famiglie aventi gemelli). a) Si specifichi lo spazio campionario b) Si definiscano gli eventi A: il figlio più grande è una femmina e B: entrambi i figli hanno lo stesso sesso. c) Si definiscano gli eventi il figlio più grande è femmina o entrambi i figli hanno lo stesso sesso e il figlio più grande è femmina e entrambi i figli hanno lo stesso sesso d) Si verifichi che A = {A B} {A B} a) S = {MM, MF, F M, F F } dove, in ogni coppia di lettere, la prima indica il maggiore dei figli. b) A = {F M, F F }, B = {F F, MM} c) A B = {F M, F F, MM} e A B = {F F } d) Notiamo che B = {F M, MF } e A B = {F M}. Quindi {F F } {F M} = A Esercizio 2 Si consideri l esperimento avente come risultati possibili i numeri 1, 2, 3, 4, 5 di probabilità rispettivamente 0.2, 0.4, 0.1, 0.1, 0.2. a) Determinare lo spazio dei risultati possibili. b) Descrivere gli eventi elencati e determinarne la probabilità: A: numero minore o uguale a 3 B: numero dispari C: numero pari 1

a) Tutti i possibili sottoinsiemi di S sono tanti quanti le disposizioni con ripetizione di 2 elementi (1=presenza, 0=assenza) su 5 posti in numero di 2 5 = 32. Il numero di sottoinsiemi di dimensione m è ottenendo calcolando il numero di combinazioni di n = 5 elementi di classe m 5 D m per m = 1,..., 5. Se sono note le probabilità degli eventi elementari (non negative e di somma 1) per l assioma 3 della probabilità la probabilità di un qualunque sottoinsieme di S è la somma delle probabilità degli eventi elementari in esso contenuti. {{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5}, {2,3}, {2,4}, {2,5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {1,2,3}, {1,2,4}, {1,2,5}, {1,3,4}, {1,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}, {2,3,5}, {2,4,5}, {3,4,5}, {1,2,3,4}, {1,2,3,5}, {2,3,4,5}, {1,2,4,5}, {1,3,4,5}, {1,2,3,4,5}} b) A = (1, 2, 3) P (A) = 0.2 + 0.4 + 0.1 = 0.7 B = (1, 3, 5) P (B) = 0.2 + 0.1 + 0.2 = 0.5 C = (2, 4) P (C) = 0.4 + 0.1 = 0.5 Esercizio 3 Si consideri un urna contenente tre palline, una Rossa, una Bianca e una Verde. Si estraggono due palline in successione senza reimmissione. Si determini la probabilità che, per la coppia estratta a) la prima pallina estratta sia rossa b) la seconda pallina estratta non sia bianca c) la prima pallina sia rossa o la seconda non sia bianca. a) Lo spazio degli eventi è dato da {RB, RV, BR, BV, V R, V B} Il numero degli eventi possibili è quindi 6. Ciascuno di tali eventi ha probabilità 1/6 in quanto la probabilità di una qualunque pallina è 1/3 alla prima estrazione e 1/2 (estrazione senza reimmissione) alla seconda estrazione (1/3 1/2 = 1/6). Il numero degli eventi favorevoli è due, quindi la probabilità cercata è 2/6. b) Il numero degli eventi favorevoli è 4, la probabilità è 4/6 c) Possiamo procedere come sopra o usare la formula P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) dove A e B sono gli eventi di cui ai punti 1 e 2. A B è quindi l evento {RV } e P (A B) = 1/6. Quindi la probabilità cercata è 2/6 + 4/6 1/6 = 5/6. 2

Esercizio 4 Siano A e B due eventi di un comune spazio degli eventi S. Si conosce che gli eventi A e B sono indipendenti e incompatibili e che le probabilità dei due eventi sono legate dalla seguente relazione: Determinare la probabilità dei due eventi. P r(a) = 2 P r(b). Se due eventi A e B sono incompatibili si ha che: A B = P r(a B) = 0. (1) Se due eventi A e B sono indipendenti si ha che: Mettendo assieme le condizioni 1 e 2 si ha che P r(a B) = P r(a) P r(b). (2) P r(a) P r(b) = 0. (3) Quindi le due assunzioni (incompatiblità ed indipendenza) implicano che oppure oppure P r(a) = 0 e P r(b) 0 (4) P r(b) = 0 e P r(a) 0 (5) P r(a) = P r(b) = 0. (6) Il problema fornisce come ipotesi supplementare che P r(a) = 2P r(b) ed essendo quest ultima compatibile esclusivamente con il caso 6 si può concludere che P r(a) = P r(b) = 0. Esercizio 5 Dati due eventi A, B, con P (A) = 1/2 e P (A B) = P (B A) = 1/4 calcolare la probabilità degli eventi condizionati Ā B e A B. Per risolvere il quesito occorre partire dalla definizione di probabilità dell intersezione di due eventi P (A B) = P (A)P (B A) = P (B)P (A B), e da questa si determina che P (B) = P (A) = 1/2. Dalla definizione di probabilità dell evento complementare si ha che P (Ā B) = 1 P (A B) = 1 = 1 P (A)P ( B A) P ( B) P (A B) P ( B) = P (A)(1 P (B A)) = 1 P ( B) = P (B A) = 1 4. Con calcoli analoghi si ottiene P (A B) = 3 4 3

Esercizio 6 In un certo collegio, il 25% degli studenti è stato bocciato in matematica, il 15% è stato bocciato in chimica, e il 10% è stato bocciato sia in matematica che in chimica. Viene scelto a caso uno studente. a) Se egli stato bocciato in chimica, qual è la probabilità che sia stato bocciato in matematica? b) Se egli è stato bocciato in matematica, qual è la probabilità che sia stato bocciato in chimica? c) Qual è la probabilità che sia stato bocciato in matematica o in chimica? allora: Sia M = {studenti bocciati in matematica} e C = {studenti bocciati in chimica}, P (M) = 0, 25 P (C) = 0, 15 P (M C) = 0, 10 a) La probabilità che uno studente sia stato bocciato in matematica, se si sa che stato bocciato in chimica, è P (M C) = P (M C) P (C) = 0, 10 0, 15 = 2 3 b) La probabilità che uno studente sia stato bocciato in chimica, se si sa che stato bocciato in matematica, è P (C M) = P (C M) P (M) = 0, 10 0, 25 = 2 5 c) La probabilità che sia stato bocciato in matematica o in chimica, è P (M C) = P (M) + P (C) P (M C) = 0, 25 + 0, 15 0, 10 = 0, 30 Esercizio 7 Un collettivo di 200 studenti è stato classificato secondo il voto riportato ad un dato esame e a seconda che l esame in oggetto fosse il primo a essere sostenuto o meno Primo Esame Voto SI N0 voto 24 40 15 voto > 24 45 100 Si estrae a caso dal collettivo uno studente. Si considerino gli eventi A:{voto 24}, B:{ il primo esame sostenuto}. Calcolare: a) Pr(A), Pr(B), b) Pr(A B), c) Pr(B A). A e B sono indipendenti? 4

Dalla tabella riportante i casi favorevoli Primo Esame Voto SI N0 voto 24 40 15 55 voto > 24 45 100 145 85 115 200 si ottiente la tabella delle frequenze congiunte e marginali Primo Esame Voto SI N0 voto 24 0.2 0.075 0.275 voto > 24 0.225 0.5 0.725 0.425 0.575 1 a) Dalle precedenti tabelle si ottiene: P r(a) = 55 200 = 0.275, P r(b) = 85 200 = 0.425 b) P r(a B) = 40/200 = 0.2 quindi P r(a B) = 0.275 + 0.425 0.2 = 0.5 c) P r(b A) = P r(a B) P r(a) o, dalla tabella: 40/55 = 0.2/0.275 = 0.7272 = 0.2 0.275 = 0.7272 A e B non sono indipendenti poiché P (B A) P (B) Esercizio 8 Una frazione pari al 20% dei messaggi di posta elettronica ricevuti è classificato come spam. Se consideriamo i messaggi di spam, la probabilità che contengano parole di un certo tipo ( lotteria, notificazione, vincitore ) è pari a 0,70, mentre per i messaggi validi tale probabilità risulta pari a 0,05. Sulla base di queste informazioni, calcolare la probabilità che un messaggio che contiene le parole di cui sopra costituisca uno spam. 5

Indicando con B l evento {Il messaggio classificato come spam} e con A l evento {Il messaggio contiene parole di un certo tipo} dal testo abbiamo che: P (B) = 0, 20 P (A B) = 0, 70 P (A B) = 0, 05 e ci viene richiesto di determinare la seguente probabilità: P (B A). Applicando il Teorema di Bayes otteniamo che: P (B A) = P (A B)P (B) P (A B)P (B)+P (A B)P (B) = = 0,7 0,2 0,7 0,2+0,05 0,8 P (A B)P (B) = P (A B)P (B)+P (A B)(1 P (B)) = 0, 78 Esercizio 9 Siano A e B due eventi dello spazio campionario tali che P (A) = 0, 7 e P (A B) = 0, 8. Si determini P (B) nei seguenti casi: a) A e B sono incompatibili; b) A e B sono indipendenti; c) P (A B) = 0, 6. Dal testo abbiamo che: P (A) = 0, 7 P (A B) = 0, 8 a) Se A e B sono incompatibili si ha che: P (A B) = 0 e poiché: otteniamo che: P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) 0, 8 = 0, 7 + P (B) 0 P (B) = 0, 1 b) Se A e B sono indipendenti si ha che: P (A B) P (B A) = P (A) = P (B) da cui e poiché: otteniamo che: P (A B) = P (A) P (B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A) P (B) = P (A) + (1 P (A)) P (B) quindi: 0, 8 = 0, 7 + (1 0, 7)P (B) P (B) = 0, 33 6

c) Poiché P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B)P (B) = se P (A B) = 0, 6 otteniamo che: = P (A) + (1 P (A B))P (B) 0, 8 = 0, 7 + (1 0, 6)P (B) P (B) = 0, 25 Esercizio 10 Da un urna contenente 5 palline bianche e 6 nere si effettuano due estrazioni con reinserimento. Si calcoli a) la probabilità che le due palline estratte siano del medesimo colore b) la probabilità che almeno una delle due sia nera. Indicando con A = {le due palline estratte sono del medesimo colore} e con B = {almeno una delle due palline nera} abbiamo che: A = {le due palline estratte sono bianche} {le due palline estratte sono nere} B = {una delle palline estratte nera} {le due palline estratte sono nere} Sfruttando l indipendenza delle estrazioni (estrazioni con reinserimento) e l incompatibilità tra eventi risulta: a) b) P (A) = 5 5 11 11 + 6 6 11 11 = 61 121 = 0, 504 P (B) = 6 5 11 11 + 5 6 11 11 + 6 6 11 11 = 96 121 = 0, 79 Esercizio 11 Un azienda produttrice di mattoni sta effettuando dei controlli su ogni pezzo prodotto. E noto che il 20% dei mattoni presenta un difetto (evento D). Si sa inoltre che: se il mattone non è difettoso, supera il controllo (evento C) con probabilità 0,9 ; se il mattone è difettoso, la probabilità che non superi il controllo è 0,7. Sapendo che il mattone ha superato il controllo, qual è la probabilità che NON sia difettoso? 7

Indicando con D l evento {il mattone presenta un difetto} e con C l evento {il mattone supera il controllo}, dal testo abbiamo che: P (D) = 0, 20 P (C D) = 0, 9 P (C D) = 0, 7 e ci viene richiesto di determinare la seguente probabilità: P (D C). Applicando il Teorema di Bayes otteniamo che: P (D C) = P (C D)P (D) P (C D)P (D)+P (C D)P (D) = = 0,9 (1 0,2) 0,9 (1 0,2))+(1 0,7)) 0,2 P (C D)(1 P (D)) P (C D)(1 P (D))+(1 P (C D))P (D) = = 0, 92 Esercizio 12 Da un urna contenente 10 palline, di cui 6 bianche e 4 nere, si estraggono due palline. Determinare la probabilità dei seguenti eventi nel caso di estrazioni a) con reimmissione e b) senza reimmissione: E1: le due palline sono bianche E2: una pallina è bianca e l altra è nera E3: almeno una pallina è bianca a) Si definiscono gli eventi: B1: estrazione di pallina bianca alla prima estrazione B2: estrazione di pallina bianca alla seconda estrazione N1: estrazione di pallina nera alla prima estrazione N2: estrazione di pallina nera alla seconda estrazione Nei termini degli eventi definiti risulta: E1 = B1 B2 La corrispondente probabilità è data da p(e1) = p(b1 B2) = p(b1)p(b2/b1) (probabilità condizionata) = p(b1)p(b2) (indipendenza) = 6/10 6/10 = 36/100 E2 = (B1 N2) (N1 B2) La corrispondente probabilità è data da p(e2) = p[(b1 N2) (N1 B2)] = p(b1 N2) + p(n1 B2) (eventi incompatibili) = p(b1)p(n 2/B1) + p(n 1)p(B2/N 1) (probabilità condizionata)= p(b1)p(n 2) + 8

p(n1)p(b2) (indipendenza) = 6/10 4/10 + 4/10 6/10 = 48/100 E3 = (B1 N2) (N1 B2) (B1 B2) La corrispondente probabilità è data da p(e3) = p[(b1 N 2) (N 1 B2) (B1 B2)] = p(b1 N 2)+p(N 1 B2)+p(B1 B2) (eventi incompatibili) = p(b1)p(n 2/B1) + p(n 1)p(B2/N 1) + p(b1)p(b2/b1) (probabilità condizionata) = p(b1)p(n 2) + p(n 1)p(B2) + p(b1)p(b2) (indipendenza) = 6/10 4/10 + 4/10 6/10 + 6/10 6/10 = 84/100 b) Nei termini degli eventi definiti risulta: E1 = B1 B2 La corrispondente probabilità è data da p(e1) = p(b1 B2) = p(b1)p(b2/b1) (probabilità condizionata) = 6/10 5/9 = 30/90 E2 = (B1 N2) (N1 B2) La corrispondente probabilità è data da p(e2) = p[(b1 N2) (N1 B2)] = p(b1 N2) + p(n1 B2) (eventi incompatibili)= p(b1)p(n 2/B1)+p(N 1)p(B2/N 1) (probabilità condizionata) = 6/10 4/9+4/10 6/9 = 48/90 E3 = (B1 N2) (N1 B2) (B1 B2) La corrispondente probabilità è data da p(e3) = p[(b1 N 2) (N 1 B2) (B1 B2)] = p(b1 N 2)+p(N 1 B2)+p(B1 B2) (eventi incompatibili) = p(b1)p(n 2/B1) + p(n 1)p(B2/N 1) + p(b1)p(b2/b1) (probabilità condizionata) = 6/10 4/9 + 4/10 6/9 + 6/10 5/9 = 78/90 Esercizio 13 Si consideri la prova consistente nel lancio di un dado non truccato due volte. Calcolare la probabilità degli eventi così definiti: A: si verifica 6 con il primo dado B: la somma dei punteggi è 7 C: la somma dei punteggi è 8 Verificare la relazione di dipendenza/indipendenza stocastica tra B e A e tra C e A Spazio dei risultati possibili S: 11 12 13 14 15 16 9

A = {61 62 63 64 65 66} B = {61 52 43 34 25 16} C = {62 53 44 35 26} 21 22 23 24 25 26 31 32 33 34 35 36 41 42 43 44 45 46 51 52 53 54 55 56 61 62 63 64 65 66 A B = {61} A e B indipendenti: p(a/b) = p(a B)/p(B) = 1/36/6/36 = 1/6 = p(a) A C = {62} A e C dipendenti: p(a/c) = p(a C)/p(C) = 1/36/5/36 = 1/5 diverso da p(a) = 1/6 Esercizio 14 Ciascun relé nei circuiti in figura si chiude con probabilità 0.8. Se tutti i circuiti funzionano indipendentemente determinare la probabilità che la corrente scorra tra A e B (a circuito in serie entrambi i relé si devono chiudere; b e c circuiti in parallelo almeno uno dei circuiti si deve chiudere. a) La corrente scorre tra A e B se tutti e due i relé si chiudono. Indicando con R1 l evento chiusura relé 1 e R2 l evento chiusura relé 2, con C l evento la corrente scorre nel circuito risulta: p(c) = p(r1 R2) = p(r1) p(r2) = 0.8 0.8 = 0.64 (legge delle probabilità composte per eventi indipendenti). b) La corrente scorre tra A e B se in almeno uno dei due circuiti C1 e C2 tutti e due i relé si chiudono. Indicando con R11 l evento chiusura relé nel primo circuito e R12 l evento chiusura relé nel secondo circuito, con C l evento la corrente scorre nel circuito, con C1 l evento la corrente scorre nel primo circuito, con C2 l evento la corrente scorre nel secondo circuito risulta: p(c) = p(c1 C2) = p(r11 R12) = p(r11) + p(r12) p(r11 R12) = 0.8 + 0.8 0.64 = 0.96 (legge delle probabilità totali e composte per eventi indipendenti). c) La corrente scorre tra A e B se in almeno uno dei due circuiti C1 e C2 tutti e due i relé si chiudono. Indicando con R11 l evento chiusura relé 1 nel primo circuito, con R21 l evento chiusura relé 2 nel primo circuito, con R12 l evento chiusura relé 1 nel secondo circuito, con R22 l evento chiusura relé 2 nel secondo circuito, con C l evento la corrente scorre nel circuito, con C1 l evento la corrente scorre nel primo circuito, con C2 l evento la corrente scorre nel secondo circuito risulta: p(c) = p(c1 C2) = p((r11 R21) (R12 R22)) = 0.64 + 0.64 0.4096 = 0.8704 (legge delle probabilità totali e composte per eventi indipendenti). Esercizio (Scozzafava) 15 (Paradosso di de Meré) Verificare se sia più probabile ottenere almeno una volta la faccia 6 lanciando 4 volte un dado oppure ottenere almeno una volta due facce 6 lanciando 24 volte due dadi (4 eventi di probabilità 1/6 e 24 eventi di probabilità 1/36). 10

La probabilità di avere almeno una volta 6 si calcola come complemento della probabilità di non avere 6 nessuna volta: P (almeno una volta 6) = 1 P (nessuna volta 6) = 1 ( 5 6 )4 = 0.5177 La probabilità di avere almeno due volte 6 si calcola come complemento della probabilità di non avere due volte 6 nessuna volta: P (almeno una volta due 6) = 1 P (nessuna volta due 6) = 1 ( 35 36 )24 = 0.4914 Esercizio (Ross) 16 In un paese vi sono 4 tecnici che riparano televisori. Se si guastano 4 TV, qual è la probabilità che vengano chiamati esattamente 2 tecnici? Cosa stiamo assumendo senza dirlo esplicitamente? Poiché i tecnici sono equiprobabili si può determinare la probabilità come numero di casi favorevoli su numero di casi possibili. Casi possibili: 4 4 (disposizioni con ripetizione di 4 elementi di classe 4) Casi favorevoli: ( 4 2) (2 4 2) P (chiamare esattamente 2 tecnici) = (6 14)/256 = (4 21)/256 = 21/64 Infatti delle 4 4 disposizioni con ripetizione di 4 elementi su 4 posti quelle in cui ci sono esattamente due numeri diversi si ottengono considerando ( 4 2) modi di scegliere due numeri tra i 4 (combinazioni senza ripetizione di 4 elementi di classe 2) e per ogni coppia scelta considerando i 2 4 modi di disporre i due elementi su 4 posti (disposizioni con 11

ripetizione di 2 elementi su 4 posti) a cui bisogna togliere i casi dei 4 elementi uguali (1 1 1 1 e 2 2 2 2 se ad esempio ci si riferisce alla coppia di tecnici 1 e 2). Ad esempio 1 1 1 2, 1 1 2 1, 1 2 1 1, 1 1 2 2, 1 2 1 2, 1 2 2 1, 1 2 2 2 (esclusa 1 1 1 1) e altre 7 con 2 al primo posto 2 1 1 2, 2 1 2 1, 2 2 1 1, 2 1 2 2, 2 2 1 2, 2 2 2 1, 2 1 1 1 (esclusa 2 2 2 2) Esercizio 17 In un lotto di 250 microchip la percentuale di pezzi difettosi è 0.04. Si estraggono a caso, e in blocco, 18 microchip. Qual è la probabilità che tra i 18 pezzi ve ne siano 3 difettosi? Cosa stiamo assumendo senza dirlo esplicitamente? Poiché i tutti i microchip sono equiprobabili si può determinare la probabilità come numero di casi favorevoli su numero di casi possibili. Casi possibili: ( ) 250 18 (combinazioni senza ripetizione di 250 elementi di classe 18) Casi favorevoli: ( )( 10 240 ) 3 15 P (tra i 18 microchip ve ne sono 3 difettosi) = (10 3 )( 240 15 ) ( 250 18 ) = 0.024 Infatti delle ( 250 18 ) combinazioni possibili il numero di quelle in cui ci vi sono 3 pezzi difettosi (e 240 integri) si ottiene associando a tutti i modi di scegliere 3 pezzi dai 10 difettosi (combinazioni di 10 elementi di classe 3) ciascuno dei modi di otttenere 15 pezzi dai 240 integri (combinazioni di 240 elementi di classe 15). 12

CALCOLO COMBINATORIO Principio fondamentale del calcolo combinatorio: Se una procedura può essere realizzata in n 1 modi diversi, e se, dopo questa procedura, una seconda procedura pu essere realizzata in n 2 modi diversi, e se, dopo questa seconda procedura, una terza procedura può essere realizzata in n 3 modi diversi, e così via; allora il numero di modi in cui la procedura può essere realizzata nell ordine indicato è n 1 n 2 n 3... Numero di gruppi di ampiezza m da un insieme di n elementi: Senza Ripetizione Con Ripetizione Ordinato (Disposizioni) n! (n m)! Non Ordinato (Combinazioni) = n(n 1)... (n m + 1) nm ( n m ) ( n + m 1 m ) Permutazioni di n elementi: n! Permutazioni di n elementi di cui k uguali e n k uguali: n! k!(n k)! Esercizio 18 Quattro libri A, B, C, D devono essere posti in ordine in uno scaffale in cui c è posto solo per tre libri. Determinare in quanti modi i libri possono essere messi in ordine. Disposizioni senza ripetizione di n = 4 elementi su m = 3 posti 4 DSR 3 = 4 3 2 = 24 ABC ABD ACB ACD ADB ADC BAC BAD BCA BCD BDA BDC CAB CAD CBA CBD CDA CDB DAB DAC DBA DBC DCA DCB Esercizio 19 Tre libri A, B, C devono essere posti in ordine in uno scaffale in cui c è posto per tre libri. Determinare in quanti modi i libri possono essere messi in ordine. Disposizioni senza ripetizione di n = 3 elementi su m = 3 posti equivalentemente permutazioni di n = 3 elementi P 3 = 3 2 1 = 6 ABC ACB BAC BCA CAB CBA 13

Esercizio 20 Si considerino le 4 cifre 1,2,3,4. Determinare quanti numeri di 2 cifre si possono determinare a partire da esse. Disposizioni con ripetizione di n = 4 elementi su m = 2 posti 4 DCR 2 = 4 4 = 4 2 = 16 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 Esercizio 21 Quattro libri A, B, C, D devono essere posti in ordine in uno scaffale in cui c è posto solo per tre libri senza alcun riferimento all ordine in cui vengono posti. Determinare in quanti modi i libri possono essere messi in ordine. ( Combinazioni ) senza ripetizione di n = 4 elementi su m = 3 posti 4 4CSR 3 = = 4 3 ABC ACD ABD BCD Esercizio 18 Si considerino 4 oggetti, di cui due di tipo A (uguali) e due di tipo B (uguali). Determinare il numero di permutazioni distinte dei 4 oggetti. Permutazioni di n = 4 oggetti di cui k = 2 uguali (A, A) e altri n k = 2 uguali (B, B) pari a 4!/(2! 2!) = 6. AABB ABAB ABBA BAAB BBAA BABA 14