Prova scritta di meccanica razionale del

Prova scritta di meccanica razionale del.7.15 Esercizio 1 Nel piano Oxy di una terna inerziale Oxyz = Oê 1 ê ê di asse verticale Oy, sono fissati un disco omogeneo D, di massa m, raggio a e centro A, e un asta rettilinea OB, di lunghezza a e densità: λp = m P B, P OB, a disposti come illustrato in figura. Un punto P di massa m è libero di scorrere lungo il bordo liscio γ di D, sotto l azione del peso e di una molla ideale di costante elastica k che collega P all origine O. Determinare: a la massa e il baricentro G del sistema S = D OB, mostrando nella figura che G convs non è richiesto un calcolo esatto; b la matrice d inerzia di S relativa a Oxyz; c i momenti d inerzia di S rispetto alle rette OA e AB; d l equazione pura del moto di P, usando come variabile l angolo ϕ R in figura; e la condizione di equilibrio per P, in termini di ϕ, assumendo che il coefficiente di attrito statico sia µ s >, costante, lungo l intera curva γ. 1

Esercizio Nel piano Oxy di una terna Oxyz un asta rettilinea omogenea AB, di massa m e lunghezza a, ha l estremo A vincolato a scorrere lungo l asse verticale Oy, mentre B è libero. L asta è pesante e una molla ideale di costante elastica k collega A con l origine O. Resistenze viscose di uguale costante di frizione β sono applicate nei punti A e B. La terna Oxyz ruota con velocità angolare costante ω attorno all asse Oy rispetto ad un riferimento inerziale non disegnato in figura. Assunti i vincoli ideali, si usino i parametri adimensionali s, ϑ R mostrati in figura per determinare del sistema: a l espressione dell energia cinetica relativa a Oxyz; b gli equilibri relativi a Oxyz; c le proprietà di stabilità degli equilibri, tenendo conto di tutte le sollecitazioni; d le equazioni pure del moto; e le equazioni ed i modi normali delle piccole oscillazioni attorno ad un equilibrio stabile per β = e aω /g = 1.

Soluzione dell esercizio 1 a Massa e baricentro di S Massa del disco D La massa del disco è m D = m per ipotesi. Massa dell asta OB L asta ammette una parametrizzazione banale in termini dell ascissa x: P x O = xê 1, x [, a], cui corrisponde l elemento infinitesimo di lunghezza: e, essendo B O = aê 1, la densità di linea: ds = P x dx = ê 1 dx = dx λx = m a P x B = m a xê 1 aê 1 = m a x, x [, a]. a La massa dell asta si scrive perciò: m OB = λ ds = OB a m a a x dx = m a ] a [ax x = m a 4a a = m. Massa del sistema S La massa del sistema S = D OB si definisce sommando le masse delle parti che lo costituiscono: m S = m D + m OB = m + m = m. Baricentro del disco D Il disco omogeneo ammette un ovvio centro di simmetria, corrispondente al suo centro geometrico A. Lo stesso punto costituisce dunque anche il baricentro della figura, con vettore posizione: A O = aê 1 + aê. Baricentro dell asta OB Per il teorema dell inviluppo convesso il baricentro G OB dell asta deve situarsi lungo il segmento OB e sarà quindi individuato da un vettore posizione del tipo: G OB O = x OB ê 1, dove la sola coordinata non banale si ricava immediatamente dalla definizione: x OB = 1 m OB OB = 1 a x λ ds = 1 m [ax x ] a a x m 1 a x dx = a a = 1 a 4a 8a a = 1 a 4 a = a. ax x dx =

Di conseguenza: G OB O = aê 1. Baricentro del sistema S Il baricentro del sistema S si determina ricorrendo al teorema distributivo ovvero, equivalentemente, notando che il momento statico di S è la somma dei momenti statici di D ed OB: m S G O = m D G D O + m OB G OB O = maê 1 + aê + m aê 1 = = maê 1 + maê + 4 maê 1 = 1 maê 1 + maê in modo che risulta: G O = 1 1 m maê 1 + maê = 1 9 aê 1 + aê. Inviluppo convesso del sistema S Dall esame della figura è evidente che l inviluppo convesso convs si ottiene mandando da O la retta tangente a γ di maggior coefficiente angolare quella che passa al di sopra del centro A e da B la retta tangente a γ con coefficiente angolare positivo passante a destra di A. Indicati con M ed N i rispettivi punti di tangenza, convs è delimitato dalla spezzata MOBN e dall arco della circonferenza γ compreso fra N ed M scelto in modo da includere l intero disco D. Il baricentro G appartiene chiaramente all inviluppo. Per verificarlo in modo formale basta considerare la retta AG ed intersecarla con l asse Ox, constatando che il punto di intersezione Q appartiene all asta OB. La retta per A e G si descrive infatti nella forma parametrica: P ξ O = 1 ξa O + ξg O ξ R ossia, sostituendo i vettori posizione e semplificando: 1 P ξ O = 1 ξaê 1 + aê + ξ 9 aê 1 + aê = ξ + 1 9 ξ aê 1 + ξ + ξ aê = = 8 9 ξ aê 1 + 4 ξ aê ed infine, separando le componenti: x = y = 8 9 ξ a 4 ξ a ξ R L intersezione Q con l asse Ox viene determinata ponendo y = nelle equazioni precedenti: = 4 ξ = ξ = 4

e ricavando l ascissa corrispondente: x Q = 8 9 a = 4 a = a. Poichè x Q a, si ha che Q OB. Per costruzione il baricentro appartiene inoltre al segmento AQ: G AQ i cui estremi A e Q sono inclusi nel sistema S. L inviluppo convesso di S è il più piccolo insieme chiuso e convesso che contiene S e deve quindi includere il segmento congiungente qualsiasi coppia di punti di S, compreso in particolare AQ. Si conclude pertanto che G convs. b Matrice d inerzia di S Matrice d inerzia del disco D Il disco è omogeneo, di massa m, raggio a e centro A. Rispetto alla terna baricentrale Axyz, centrale d inerzia, la matrice d inerzia del disco si scrive: [L D A] = ma 1/4 1/4. 1/ La terna Axyz si ottiene da Oxyz per semplice traslazione dell origine, secondo il vettore: A O = aê 1 + aê, in modo che le coordinate del baricentro A nella terna Oxyz risultano: d 1 = a d = a d =. Basta allora applicare il teorema di Huygens-Steiner generalizzato: [L D O] = [L D A] + m D [D] dove: m D [D] = m D d + d d 1 d d 1 d d 1 d d + d 1 d d = m 4a 4a 4a 4a d 1 d d d d 1 + d 8a e dunque: [L D O] = ma 1/4 1/4 1/ + ma 4 4 4 4 = ma 8 17/4 4 4 17/4. 17/ 5

Matrice d inerzia dell asta OB L asta giace interamente lungo l asse Ox. Di conseguenza, la relativa matrice d inerzia risulta: [L OB O ] = L OB yy = ma 4/ L OB yy 4/ in quanto il momento d inerzia rispetto ad Oy, unico elemento non banale della matrice, è dato da: L OB yy = OB x λ ds = a x m a a x dx = m a = m [ a a x x4 4 ] a a ax x dx = = m a a 8a 4a 4 = ma 16 4 = 4 ma. Matrice d inerzia del sistema S La matrice d inerzia relativa a Oxyz del sistema S è la somma delle matrici d inerzia, rispetto alla stessa terna, del disco e dell asta: [L O ] = L D O + [L OB O ] = ma 17/4 4 4 17/4 17/ 17/4 4 = ma 4 67/1. 59/6 c Momenti d inerzia di S rispetto alle rette OA e AB Momento d inerzia relativo alla retta OA La retta passa per l origine ed è individuata dal versore tangente: + ma 4/ 4/ = ˆn = A O A O = 1 ê 1 + 1 ê. Rispetto ad essa il momento d inerzia del sistema S può essere calcolato ricorrendo alla matrice d inerzia: I OA = ˆn L O ˆn = 1 1 1 [L O] 1 1 = 1 Lxx + L yy + L xy = = 1 ma 17 4 + 67 1 8 = 1 51 + 67 96 ma 1 = 11 1 ma. Momento d inerzia relativo alla retta AB Si tratta di una retta parallela all asse Oy, ma non passante per il baricentro G del sistema. Il teorema di Huygens-Steiner deve dunque essere applicato due volte, prima fra AB e la 6

retta baricentrale Gy, e poi fra la retta Gy e l asse Oy. Introdotte le ascisse dei punti G, A e B: x G = 1 9 a x A = x B = a, si hanno le relazioni: I AB = I Gy + m S x A x G I Oy = I Gy + m S x G che sottratte membro a membro forniscono l equazione: I AB I Oy = m S x A x A x G ossia: I AB = I Oy + m S x A x A x G = L yy + m S x A x A x G = = 67 1 ma + m a a 1 9 a = 67 1 ma + 6ma 9 a = 67 = 1 4 ma = 51 1 ma = 17 4 ma. d Equazione pura del moto di P La posizione del punto materiale P lungo la circonferenza liscia γ è individuata dalla parametrizzazione: P ϕ O = A O + P ϕ A = aê 1 + aê + a sin ϕê 1 a cos ϕê = = a + sin ϕê 1 + a cos ϕê, ϕ R, con derivata prima sempre diversa da zero parametrizzazione regolare: P ϕ = a cos ϕ ê 1 + a sin ϕ ê, versore tangente: ˆτ = P ϕ P ϕ = cos ϕ ê 1 + sin ϕ ê e versore normale: ˆn = ê ˆτ = cos ϕ ê ê 1 + sin ϕ ê ê = cos ϕ ê sin ϕ ê 1 = sin ϕ ê 1 + cos ϕ ê. Il risultante delle forze attive agenti sul punto è la somma della forza elastica e del peso: F = kp O mgê = + sin ϕê 1 cos ϕê mgê. Nell ipotesi di curva liscia, ricordando che il parametro d arco per la circonferenza è semplicemente s = aϕ, l equazione pura del moto si scrive: ma ϕ = F ˆτ 7

dove la componente tangenziale della forza a secondo membro vale: F ˆτ = + sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ mg sin ϕ = = cos ϕ + sin ϕ cos ϕ + sin ϕ sin ϕ cos ϕ mg sin ϕ = = cos ϕ + sin ϕ mg sin ϕ = + mg sin ϕ cos ϕ. L equazione richiesta è pertanto: ma ϕ = + mg sin ϕ cos ϕ. e Condizione di equilibrio per P in presenza di attrito radente In presenza di attriti radenti statici, descritti dal coefficiente di attrito statico costante µ s, la condizione di equilibrio è fornita direttamente dalla legge di Coulomb-Morin dell attrito radente statico. Tenuto conto del fatto che la curva è piana e che al punto P sono applicate solo forze nello stesso piano di giacitura della curva vincolare, la condizione di equilibrio si riduce a: F ˆτ µs F ˆn, dove la componente tangenziale del risultante è già stata calcolata sopra, mentre quella normale ortogonale è data da: per cui: F ˆn = + sin ϕ sin ϕ cos ϕ cos ϕ mg cos ϕ = = sin ϕ + sin ϕ cos ϕ + cos ϕ mg cos ϕ = = 1 + sin ϕ cos ϕ mg cos ϕ = = 1 + sin ϕ + mg cos ϕ, + mg sin ϕ + cos ϕ µ s 1 + sin ϕ + mg cos ϕ. Ad una forma adimensionalizzata della stessa disequazione si perviene dividendo membro a membro per : + mg sin ϕ + cos ϕ µ s 1 + sin ϕ + mg cos ϕ. 1 Complemento. Determinazione degli equilibri È possibile riesprimere la disequazione 1 in una forma che ne rende semplice la soluzione. Si osserva in via preliminare che il secondo membro non può mai annullarsi in corrispondenza di un equilibrio. Se così fosse, infatti, dovrebbe annullarsi anche il primo membro e risultare quindi compatibile il sistema di equazioni: 1 + sin ϕ + mg cos ϕ = + mg sin ϕ + cos ϕ = 8

ovvero: sin ϕ + mg cos ϕ = 1 + mg sin ϕ + cos ϕ = ed infine, in notazione matriciale: + mg + mg sin ϕ = 1. cos ϕ Di qui si ricavano, ad esempio con il teorema di Cramer, le espressioni per il seno ed il coseno di ϕ: 1 + mg sin ϕ = + mg = + mg 4 + + mg 1 + mg + mg cos ϕ = + mg = + mg 4 + + mg che però sono palesemente incompatibili: sin ϕ + cos ϕ = 1 4 + + mg < 1 8 a dimostrazione di quanto affermato; la disequazione di equilibrio 1 equivale quindi a: + mg sin ϕ + cos ϕ 1 + sin ϕ + mg cos ϕ µ s. Si pone poi: R = 4 + + mg > e si introduce l unico angolo α π/, definito dalle relazioni: sin α = R cos α = + mg 1 R 9

ossia da: tg α = + mg α = arctg + mg Dividendo numeratore e denominatore per R e sostituendo le espressioni, il primo membro della diventa: cos α sin ϕ sin α cos ϕ 1 = sinϕ α 1 = sinϕ α sin α sin ϕ cos α cos ϕ cosϕ α cosϕ α 1 R R R in cui sia sinϕ α che cosϕ α, con ϕ α π, π], si scrivono in termini del comune parametro: τ = tg ϕ α R per mezzo delle note relazioni espressioni parametriche del seno e del coseno:. sinϕ α = τ 1 + τ cosϕ α = 1 τ 1 + τ. Risulta così: sinϕ α cosϕ α 1 = τ 1 τ R 1 R 1 + τ = τ 1 1 R 1 + 1 R e la disequazione di equilibrio diventa: τ 1 1 R 1 + 1 R τ µ s vale a dire: τ η τ 1 1 + 1 µ s, R essendosi posto, per brevità: η = 1 1 R 1 + 1 R = R 1 R + 1 La disequazione ottenuta è esprimibile nella forma equivalente: 1 1 + 1 µ s R τ η τ 1 1 + 1 µ s R 1 τ, 1. 4

e può essere risolta per via analitica. Basta osservare che la funzione dispari: risulta: τ R \ { η, η} τ η τ R monotona crescente nell intervallo τ η, η, con immagine R; monotona crescente e negativa nell intervallo τ > η, con immagine, ; monotona crescente e positiva nell intervallo τ < η, con immagine, +. La figura seguente ne mostra il grafico per η =.9: Basta quindi determinare le intersezioni del grafico con le rette orizzontali di ordinata 1 1 + 1 µ s e 1 1 + 1 µ s. Precisamente: R R i l intersezione τ 1, η con 1 1 + 1 µ s, ricavata risolvendo l equazione: R τ η τ = 1 1 + 1 µ s R che equivale all equazione di secondo grado: e porge: 1 1 + 1 µ s τ + τ 1 1 + 1 µ s η = R R τ 1 = 1 + 1 + 1 + 1 µ R s η 1 + 1 ; µ s R 11

ii l intersezione τ > η con 1 1 + 1 µ s ottenuta come soluzione dell equazione: R τ η τ = 1 1 + 1 µ s R ovvero dell equazione di secondo grado equivalente: 1 1 + 1 µ s τ τ 1 1 + 1 µ s η = R R che conduce a: 1 + 1 + 1 + 1 µ τ = R s η 1 + 1. µ s R In conclusione, gli equilibri corrispondono a tutti e soli i valori di ϕ per i quali risulta: tg ϕ α 1 + 1 + 1 + 1 µ R s η 1 + 1 = τ 1, η µ s R oppure: tg ϕ α 1 + 1 + 1 + 1 µ R s η 1 + 1 = τ > η, µ s R con ϕ α π, π]. Una soluzione del primo tipo si ha certamente per ϕ = α; una del secondo tipo per ϕ = α + π. È facile verificare che questi sono tutti gli equilibri nel caso di vincolo liscio. Se µ s = le disequazioni precedenti diventano infatti: tg ϕ α e tg ϕ α + per cui deve risultare, rispettivamente: ϕ α ϕ α = = π e quindi: ϕ = α ϕ = α + π. Soluzione dell esercizio a Energia cinetica relativa a Oxyz L asta omogenea AB è priva di punti fissi e la sua energia cinetica deve essere perciò ricavata ricorrendo al teorema di König. A questo scopo si osserva che il baricentro G dell asta coincide con il punto medio di questa, e rispetto a Oxyz è quindi individuato dal vettore posizione: G O = A O+ B A = asê + a sin ϑ ê 1 a cos ϑ ê = a sin ϑ ê 1 a s+ 1 cos ϑ ê, 1

con velocità istantanea, sempre relativa a Oxyz: Ġ = a cos ϑ ϑ ê 1 a ṡ 1 sin ϑ ϑ ê di modulo quadrato: Ġ = a 4 cos ϑ ϑ + a ṡ 1 sin ϑ ϑ = a ṡ + 1 4 ϑ ϑ sin ϑ ṡ. Il momento d inerzia dell asta rispetto all asse Gz, che è asse fisso del corpo nella terna baricentrale, si scrive: I AB Gz = ma 1 e la velocità angolare relativa alla terna Oxyz o a quella baricentrale viene ottenuta semplicemente derivando l angolo di rotazione: La formula di König porge allora: T = m Ġ + 1 IAB Gz ωab = ma ω AB = ϑ ê. = ma ṡ + 1 4 ϑ sin ϑ ṡ ϑ + 1 ṡ + 1 ϑ sin ϑ ṡ ϑ. ma 1 ϑ = b Equilibri relativi a Oxyz Sul sistema scleronomo a vincoli bilaterali agiscono alcune forze attive posizionali conservative, il peso, la forza elastica, il sistema delle forze centrifughe, e alcune sollecitazioni di carattere verosimilmente dissipativo, costituite dalle resistenze viscose applicate in A e in B. Le forze di Coriolis si esercitano sempre ortogonalmente al piano vincolare Oxy, mentre le derivate parziali dei loro punti di applicazione rispetto ai parametri lagrangiani sono sempre vettori paralleli a tale piano. Ne segue che le componenti generalizzate delle forze di Coriolis sono identicamente nulle e debbono essere ignorate nello studio della dinamica e della statica le forze di Coriolis vengono sistematicamente bilanciate dalle reazioni vincolari, anch esse ortogonali al piano vincolare liscio. Le forze peso, elastiche e centrifughe vengono rappresentate per mezzo dei relativi potenziali, mentre del sistema di resistenze viscose si devono calcolare le componenti generalizzate. Potenziale delle forze peso Il potenziale associato alle forze gravitazionali è dato dalla relazione: [ a U g = mgê G O = mgê sin ϑ ê 1 a s + 1 ] ê cos ϑ = mga s + 1 cos ϑ. Potenziale elastico Alla molla ideale di costante elastica k che collega i punti O ed A è associato il potenziale: U el = k A O = k asê = s. 5 1

Potenziale centrifugo Il potenziale relativo alle forze centrifughe si può determinare direttamente dalla definizione, indicando con ξ = P A il parametro d arco di un generico punto P AB misurato a partire da A: U cf = ω IAB Oy = ω a ξ sin ϑ m a dξ = mω a sin ϑ a ξ dξ = ma ω 6 sin ϑ. Potenziale del sistema Il potenziale del sistema è, per definizione, la somma dei potenziali di tutte le sollecitazioni posizionali conservative applicate: il peso, la forza elastica, le forze centrifughe: Us, ϑ = U g + U el + U cf = mga s + 1 cos ϑ s + ma ω sin ϑ s, ϑ R. 6 Componenti generalizzate delle resistenze viscose Nei punti A e B dell asta agiscono rispettivamente le resistenze viscose: β A e βḃ. Le componenti generalizzate di questo sistema di forze si possono calcolare in modo molto efficiente con la funzione ausiliaria di Rayleigh: I punti A e B hanno vettori posizione: e velocità istantanee: di modulo quadrato: R = β A β Ḃ. A O = asê B O = a sin ϑ ê 1 as + cos ϑê A = aṡê Ḃ = a cos ϑ ϑê 1 aṡ sin ϑ ϑê A = a ṡ Ḃ = a ϑ + ṡ sin ϑ ṡ ϑ, per cui la funzione di Rayleigh diventa: R = βa ṡ βa ϑ + ṡ sin ϑ ṡ ϑ = βa ṡ + ϑ sin ϑ ṡ ϑ. Le componenti generalizzate delle resistenze viscose si scrivono allora come: D s = R ṡ = βa 4ṡ sin ϑ ϑ = βa ṡ sin ϑ ϑ D ϑ = R = βa ϑ ϑ sin ϑṡ = βa ϑ sin ϑṡ. 6 14

È immediato verificare che si tratta di sollecitazioni completamente dissipative; la loro potenza vale infatti: π = D s ṡ + D ϑ ϑ = βa ṡ sin ϑ ϑṡ βa ϑ sin ϑṡ ϑ = = βa ṡ sin ϑ ϑṡ + ϑ sin ϑ ϑṡ = βa ṡ + ϑ sin ϑṡ ϑ si noti che π = R, in accordo con il teorema di Laplace per le funzioni omogenee di ordine e può rappresentarsi nella forma matriciale: π = βa ṡ + ϑ sin ϑṡ ϑ = βa ṡ ϑ Γs, ϑ ṡ ϑ dove la matrice di rappresentazione: Γs, ϑ = sin ϑ sin ϑ 1 risulta definita positiva per via del segno positivo di determinante e traccia: det Γs, ϑ = sin ϑ = 1 + cos ϑ > tr Γs, ϑ = >. Di conseguenza è π ṡ, ϑ R, ed inoltre π = se e solo se ṡ, ϑ =, : il sistema delle resistenze viscose costituisce una sollecitazione di natura completamente dissipativa. Tali sollecitazioni non influenzano gli equilibri del sistema, annullandosi per velocità generalizzate nulle, ma possono alterarne significativamente le proprietà di stabilità. Equilibri Per quanto detto sopra gli equilibri del sistema scleronomo, tutti ordinari, si identificano con i punti stazionari del potenziale U. Essi si ricavano ponendo uguali a zero le derivate parziali prime: U s s, ϑ = mga s U ϑ s, ϑ = 1 mga sin ϑ + ma ω sin ϑ cos ϑ ossia risolvendo il sistema di equazioni disaccoppiate: mga s = ma ω sin ϑ g aω + cos ϑ =. La prima equazione fornisce un unico valore di equilibrio per la variabile s: s = mg. 15

La seconda equivale invece a: sin ϑ cos ϑ g aω = ed ammette due soluzioni definite incondizionatamente: ϑ = ϑ = π e altre due definite e distinte dalle precedenti a condizione che sia λ = g/aω < 1: g g ϑ = arccos aω = ϑ ϑ = arccos aω = ϑ, con ϑ, π/. Il sistema presenta perciò 4 equilibri, dei quali due sono sempre definiti: s, ϑ = mg, s, ϑ = mg, π e vedono l asta AB disporsi verticalmente lungo l asse Oy, mentre gli altri due risultano definiti e distinti dai precedenti purchè si abbia g/aω < 1: s, ϑ = mg mg, ϑ s, ϑ =, ϑ con l asta AB inclinata rispetto alla verticale di un angolo ϑ = arccosg/aω. c Stabilità degli equilibri La compresenza di sollecitazioni posizionali conservative e completamente dissipative e l esistenza di un numero finito di equilibri ordinari, necessariamente isolati, consentono di analizzare le proprietà di stabilità degli stessi equilibri attraverso la forma forte del teorema di Lagrange-Dirichlet. Si tratta di distinguere i massimi relativi propri del potenziale, asintoticamente stabili, dai punti stazionari che non sono massimi relativi instabili. A questo scopo occorre calcolare le derivate parziali seconde del potenziale: U ss s, ϑ = U ϑs s, ϑ = U sϑ s, ϑ = U ϑϑ s, ϑ = 1 mga cos ϑ + ma ω cos ϑ sin ϑ e la corrispondente matrice hessiana: H U s, ϑ = ma ω cos ϑ sin ϑ g aω cos ϑ in ciascuna configurazione di equilibrio. La matrice è comunque diagonale e l autovalore è costantemente negativo. La natura dell equilibrio dipende perciò dalla sola derivata seconda U ϑϑ s, ϑ. 16

Equilibrio s, ϑ = mg/, Nella fattispecie la derivata seconda in ϑ non ha segno definito: U ϑϑ mg/, = ma ω e costringe a considerare tre diversi casi: 1 g aω i se g/aω > 1 la matrice hessiana presenta entrambi gli autovalori negativi. L equilibrio è un massimo relativo proprio del potenziale, asintoticamente stabile; ii per g/aω < 1 si ottengono autovalori di segno opposto. Quello positivo esclude che l equilibrio possa essere un massimo in effetti di sella si tratta e ciò basta a garantirne l instabilità; iii qualora sia infine g/aω = 1, l hessiana è semidefinita non definita negativa e, non risultando chiara la natura del punto stazionario, ricorre un caso critico di stabilità. La sua trattazione richiederebbe un analisi più dettagliata del potenziale, non limitata al solo sviluppo di Taylor al secondo ordine. Si ha in effetti l espressione: Us, ϑ = mgas s + 1 mga cos ϑ + ma ω 6 = mgas s + ma ω g 6 aω cos ϑ + sin ϑ = s mg s nella quale il termine in s equivale a: s mg s = mentre quello in ϑ si riscrive come: s mg + ma ω 6 sin ϑ = = cos ϑ + sin ϑ, mg cos ϑ + sin ϑ = 1 sin ϑ + 4 sin ϑ ϑ cos = = 4 sin ϑ + 4 sin ϑ cos ϑ = 4 sin4 ϑ, in modo che: Us, ϑ = s mg ma ω sin 4 ϑ + costante ed appare evidente che l equilibrio s, ϑ = mg/, rappresenta un massimo relativo proprio del potenziale, asintoticamente stabile. 17

Equilibrio s, ϑ = mg/, π In questo caso la derivata seconda rispetto a ϑ risulta sempre positiva: U ϑϑ mg/, π = ma ω 1 + g aω > per cui la matrice hessiana ammette un autovalore positivo. Ne deriva che il punto di equilibrio non è un massimo relativo proprio del potenziale, e il teorema forte di Lagrange- Dirichlet ne implica l instabilità. Equilibrio s, ϑ = mg/, ϑ, con cos ϑ = g/aω < 1 Per la derivata seconda in ϑ si ha l espressione: U ϑϑ mg/, ϑ = ma ω cos ϑ sin ϑ g aω cos ϑ = ma ω sin ϑ < e l hessiana risulta definita negativa. L equilibrio è un massimo, asintoticamente stabile. Equilibrio s, ϑ = mg/, ϑ, con cos ϑ = g/aω < 1 In questa configurazione la derivata seconda in ϑ funzione pari risulta identica a quella calcolata nella configurazione simmetrica precedente: U ϑϑ mg/, ϑ = U ϑϑ mg/, ϑ = ma ω sin ϑ < e conduce alla stessa conclusione: l equilibrio è asintoticamente stabile. d Equazioni pure del moto L ipotesi di vincoli ideali autorizza a identificare le equazioni pure del moto con quelle di Lagrange: d L L dt ṡ s = D s in termini della lagrangiana: L = ma ṡ + 1 ϑ sin ϑ ṡ ϑ d dt L ϑ L ϑ = D ϑ + mga s + 1 cos ϑ s + ma ω sin ϑ 6 e delle componenti generalizzate 6 delle resistenze viscose. Si calcolano i termini parziali dei binomi di Lagrange: L ṡ = ma ṡ 1 L sin ϑ ϑ s = mga s d L = ma s 1 dt ṡ sin ϑ ϑ 1 cos ϑ ϑ L ϑ = ma ϑ 1 sin ϑ ṡ d L dt ϑ = ma ϑ 1 sin ϑ s 1 cos ϑ ϑṡ L ϑ = ma cos ϑ ṡ ϑ 1 mga sin ϑ + ma ω sin ϑ cos ϑ 18

e si scrivono quindi le equazioni richieste: ma s 1 sin ϑ ϑ 1 cos ϑ ϑ mga + s = βa ṡ sin ϑ ϑ ma ϑ 1 sin ϑ s + 1 mga sin ϑ ma ω sin ϑ cos ϑ = βa ϑ sin ϑṡ. e Piccole oscillazioni Per β = le sollecitazioni dissipative vengono meno e il sistema scleronomo risulta posizionale conservativo; stabilità ed instabilità degli equilibri sono discusse facendo uso dei teoremi di Lagrange-Dirichlet e di inversione parziale. Se aω /g = 1 si verifica immediatamente che: s, ϑ = mg/, è un massimo relativo proprio di U, stabile per Lagrange-Dirichlet; s, ϑ = mg/, π ha hessiana indefinita, instabile per l inversione parziale di L.-D.; gli equilibri s, ϑ = mg/, ϑ e s, ϑ = mg/, ϑ non sono definiti. L unica scelta possibile per lo studio delle piccole oscillazioni è quindi costituita da s, ϑ = mg/,. Equazioni delle piccole oscillazioni L energia cinetica 5 si esprime nella forma: T = ma ṡ + 1 ϑ sin ϑ ṡ ϑ = ma ṡ ϑ che mette in evidenza la matrice di rappresentazione di T : 1 1 As, ϑ = ma sin ϑ 1 sin ϑ 1. Nell equilibrio considerato la matrice si riduce alla forma diagonale: Amg/, = ma 1 := A. 1/ 1 1 sin ϑ 1 sin ϑ 1 ṡ ϑ La matrice hessiana del potenziale vale invece: H U mg/, = ma ω := H /6 U. Introdotte allora le variabili spostamento dei parametri lagrangiani rispetto ai valori di equilibrio: s = mg + δs ϑ = δϑ, 19

con δs, δϑ, le equazioni delle piccole oscillazioni si scrivono: δs δs A δϑ H U = δϑ ossia: ma 1 1/ δs δϑ e dunque risultano disaccoppiate: ma δs + δs = δs ma ω /6 δϑ ma δϑ + ma ω δϑ =, 6 descrivendo due oscillatori armonici unidimensionali indipendenti. = 7 Pulsazioni normali Le pulsazioni normali si possono ricavare direttamente dalle equazioni linearizzate 7, in quanto disaccoppiate. Si ha infatti: δs + k m δs = 8 δϑ + ω δϑ = e le pulsazioni normali senza un ordine definito sono date da: k Ω 1 = Ω = ω m assumendo, senza perdita di generalità, ω >. In alternativa, è possibile seguire la procedura standard e considerare l equazione caratteristica in Ω > : [ ] = detω A + H U = det ma Ω 1 + 1/ ma ω = /6 [ ] = ma det Ω 1 k/m + 1/ ω = /6 = ma Ω k det m Ω = ω 6 = ma Ω k 1 m Ω ω, che porge ovviamente gli stessi risultati. espressioni: f 1 = Ω 1 π = 1 k π m Per le frequenze normali si ottengono così le f = Ω π = 1 ω. π

Modi normali delle piccole oscillazioni Le equazioni disaccoppiate 8 consentono di scrivere direttamente la forma generale dei modi normali di oscillazione: sono i moti in cui una delle variabili lagrangiane oscilla con legge sinusoidale attorno al proprio valore di equilibrio, mentre l altra si mantiene costante. Alla pulsazione Ω 1 = k/m sarà dunque associato il modo normale: k δs = A 1 cos m t + α 1 t R, δϑ = con ampiezza A 1 e fase α 1 costanti arbitrarie. Alla pulsazione Ω = ω/ corrisponderà invece il modo normale: δs = ω t R, δϑ = A cos t + α con A e α costanti reali assegnate a piacere. Naturalmente, si può comunque seguire la procedura generale e impostare l equazione delle ampiezze: vale a dire: o ancora: Ω A + H U Ω Ω 1 Ω Ω Ω k m a =, b Ω ω 6 a = b a b a = b, Ω Ω 1a = Ω Ω b =. Nel caso particolare che sia Ω 1 = Ω le equazioni precedenti si riducono a due identità e non forniscono alcuna condizione sulle ampiezze a e b: tutte le oscillazioni del sistema si possono pensare come modi normali, anche componendo i moti oscillatori in δs e in δϑ, di uguale pulsazione. Se invece è Ω 1 Ω, per Ω = Ω 1 si ha che b = e a può assumere qualsiasi valore non nullo: δs δϑ = a 1 cosω 1 t + α 1 t R, mentre per Ω = Ω risulta a = e b arbitrario, con il modo normale: δs = b cosω δϑ 1 t + α t R, risultati che confermano quelli già ottenuti. 1