Temi di Esame a.a. 2012-2013 Statistica - CLEF
I Prova Parziale di Statistica (CLEF) 11 aprile 2013 Esercizio 1 Un computer è collegato a due stampanti, A e B. La stampante A è difettosa ed il 25% dei documenti inviati non viene stampato correttamente; la stampante B funziona molto meglio, stampando correttamente il 95% dei documenti. È possibile selezionare la stampante che sarà utilizzata; altrimenti, il sistema invia il documento a una delle due stampanti in modo casuale. Inoltre, gli esiti delle stampe possono considerarsi indipendenti per ciascuna stampante. (a) Se viene stampato un documento senza selezionare la stampante, quale è la probabilità che verrà stampato correttamente? (b) Quale è la probabilità che, su 4 documenti inviati alla stampante A, tutti e 4 saranno stampati correttamente? (c) Sapendo che su 4 documenti inviati dal sistema alla stessa stampante tutti e 4 sono stati stampati correttamente, quale è la probabilità che si tratti della stampante B? (d) È stata selezionata la stampante A. Si determini il numero di volte che uno stesso documento deve essere inviato in stampa affinché si abbia una probabilità pari a 99% che almeno una delle stampe sia corretta. Esercizio 2 Un industria di sottaceti produce, tra gli altri, vasetti di cetriolini. L altezza di ciascun vasetto è di 10 cm; pertanto, la lunghezza massima di un cetriolino che può essere confezionato è di 10 cm. Si sa che la lunghezza dei cetriolini è normalmente distribuita con media 9 cm e scarto quadratico medio 0,8 cm. (a) Si determini la probabilità che un cetriolino scelto a caso debba essere scartato perché troppo lungo per essere contenuto nei vasetti. (b) Si estrae casualmente un campione di 10 cetriolini. Quale è la probabilità che la lunghezza media dei cetriolini del campione sia superiore a 9,5 cm?
Probabilità Esame di Statistica CLEF 6 giugno 2013 Esercizio 1 Per andare al lavoro Paolo sceglie, con uguale probabilità, uno tra i seguenti mezzi: autobus, auto, a piedi. Le probabilità che arrivi in ritardo se si reca, rispettivamente, in autobus, in auto o a piedi sono 0,3, 0,1 e 0,2. (a) Determinare la probabilità che in un giorno qualsiasi Paolo arrivi in ritardo al lavoro. (b) Su 3 giorni lavorativi, quale è la probabilità che Paolo arrivi in ritardo esattamente una volta? (c) Sapendo che Paolo è arrivato in ritardo, quale è la probabilità che abbia viaggiato in auto? (d) Se Paolo viaggia in auto, il tempo necessario per raggiungere il lavoro segue una distribuzione esponenziale di media 15 minuti. Inoltre, i tempi di percorrenza su giorni diversi possono essere assunti indipendenti. Si determini la probabilità che su 30 giorni di utilizzo dell auto il tempo medio di percorrenza risulti maggiore di 18 minuti. Statistica inferenziale Esercizio 2 Siano Y 1,..., Y n i.i.d. con distribuzione di Poisson di media λ. Si consideri il seguente stimatore per λ: T = Y 1 + ny n n + 1. (a) Dimostrare che è uno stimatore corretto. (b) Ottenere l EQM di T. (c) Verificare se T è uno stimatore consistente. Esercizio 3 Su 20 giorni lavorativi il proprietario di un bar ha rilevato che il numero medio di tazze di caffè vendute giornalmente è pari a 120 con varianza campionaria (non corretta) pari a 100. Il numero di caffè venduti giornalmente segue una distribuzione normale. (a) Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 95% per il numero medio di caffè venduti giornalmente.
(b) L obiettivo del proprietario è raggiungere un numero medio di caffè venduti giornalmente pari a 130. Si verifichi l ipotesi che tale obiettivo sia stato raggiunto contro l alternativa che il numero medio sia inferiore a 130, usando un livello di significatività pari a 5%. (c) Solo per questo punto, si supponga nota e pari a σ 2 = 100 la varianza del numero di caffè venduti giornalmente. Si determini la probabilità di commettere un errore di II tipo nella verifica del sistema di ipotesi del punto (b), se il vero numero medio giornaliero di caffè è pari a 125. Il proprietario decide di fare pubblicità al proprio bar. Su 30 giorni lavorativi successivi alla campagna pubblicitaria il proprietario calcola che il numero medio di caffè venduti in un giorno lavorativo è pari a 130 con varianza campionaria (non corretta) pari a 121. (d) E possibile dire al livello 1% che la pubblicità ha portato ad un aumento del numero medio di caffè venduti giornalmente?
Probabilità Esame di Statistica CLEF 11 luglio 2013 Esercizio 1 In ciascuna copia di una edizione economica dei Promessi Sposi il numero di errori di stampa per pagina segue una distribuzione di Poisson di media 1. (a) Determinare la probabilità che aperta una copia su una pagina a caso non si trovi alcun errore di stampa. (b) Determinare la probabilità che su ciascuna di 4 pagine scelte casualmente non ci sia alcun errore di stampa. (c) Quale è la probabilità che esaminate 30 pagine scelte a caso di una copia queste contengano complessivamente un numero di errori superiore a 25? In una diversa e più costosa edizione dei Promessi Sposi il numero di errori di stampa per pagina segue una distribuzione di Poisson di media 0,2. Da uno scaffale che contiene 10 copie dell edizione economica e 20 copie dell edizione più costosa si estrae un volume a caso e si esamina una pagina, anch essa scelta in modo casuale, trovando un errore di stampa. (d) Quale è la probabilità che il volume estratto sia dell edizione più economica? Statistica inferenziale Esercizio 2 Sia x 1,..., x n un campione casuale semplice generato da una distribuzione di media 2θ e varianza 2θ 2, ossia E(X i ) = 2θ e V (X i ) = 2θ 2 per ogni i, dove θ è un parametro ignoto da stimare tramite il campione. (a) Ottenere la stima con il metodo dei momenti di θ. (b) Ottenere l EQM dello stimatore con il metodo dei momenti di θ. Esercizio 3 Un campione casuale di 10 imprese che hanno richiesto un prestisto bancario nel 2008 sono state classificate rispetto all ammontare del prestito richiesto (dati in migliaia di euro) ed alla concessione o meno del credito da parte della banca:
Ammontare Concessione 100 si 240 no 130 si 70 si 500 no 360 no 270 no 90 si 300 no 220 no (a) Si stimi in modo non distorto la percentuale di imprese cui è stato concesso il prestito da parte delle banche. (b) Fornire una misura della precisione della stima proposta al punto (a). Si supponga che l ammontare del credito richiesto si distribuisca in modo normale. (c) In basi ai dati raccolti, è possibile concludere che l ammontare medio dei finanziamenti non concessi dalle banche è superiore alla media dei finanziamenti accordati ad un livello di significatività del 5%? (d) In base ai risultati ottenuti al punto precedente, il p-value per il sistema di ipotesi del punto (c) è inferiore o maggiore di 0,05? (Giustificare adeguatamente la risposta.)
Probabilità Esame di Statistica CLEF 11 settembre 2013 Esercizio 1 Uno studio sul tipo e sulla quantità di caffè acquistati dai viaggiatori in alcuni aeroporti americani ha prodotto la seguente tabella a doppia entrata di percentuali Tazza Tipo Piccola Media Grande Normale 14% 20% 26% Decaffeinato 20% 10% 10% (a) Determinare la probabilità che un viaggiatore estratto a caso acquisti un caffè decaffeinato. (b) Sapendo che è stato acquistato un caffè in tazza piccola, si determini la probabilità che sia di tipo decaffeinato. Considerando complessivamente tutti gli aeroporti oggetto dell indagine, il numero di caffè acquistati giornalmente è una variabile casuale la cui distribuzione può essere ben approssimata con una gaussiana di media 30000 e deviazione standard 10000. (c) Determinare la probabilità che in un giorno a caso negli aeroporti in questione vengano acquistati complessivamente più di 8000 caffè decaffeinati. Statistica inferenziale Esercizio 2 Si dispone di un campione casuale semplice di numerosità 2, X 1 e X 2, da una popolazione gaussiana di media µ ignota e varianza pari a 1. Dati i seguenti due stimatori di µ T 1 = 2 3 X 1 + 1 3 X 2 e T 2 = 4 3 X 1 1 3 X 2, (a) dimostrare che sono entrambi non distorti; (b) scegliere lo stimatore migliore tra i due, in base al criterio dell EQM. Esercizio 3 I dati presentati nella tabella seguente si riferiscono ad un campione di imprese della provincia di Bologna classificate in base al settore in cui operano ed alla variazione del fatturato riscontrata tra il 2009 e il 2010 (espressa come differenza tra il fatturato dell anno 2010 e il fatturato dell anno 2009):
Variazione fatturato (100.000 euro) Settore 7 3 3 0 0 5 Tessile 10 15 5 Meccanico 8 12 10 (a) Stimare la percentuale di imprese del settore tessile che hanno subito una riduzione del fatturato dal 2009 al 2010. (b) Ad un livello di significatività del 5% è possibile affermare che la percentuale di imprese che hanno subito una riduzione del fatturato dal 2009 al 2010 è uguale per i due settori considerati, contro l alternativa che sia maggiore per il settore tessile? È ragionevole assumere che le variazioni di fatturato siano distribuite normalmente. (c) Si costruisca un intervallo di confidenza di livello 95% per la variazione media di fatturato subita dalle imprese del settore tessile. (d) Si supponga che per il settore agro-alimentare (non riportato nella tabella) l intervallo di confidenza di livello 95% per la variazione media del fatturato dal 2009 al 2010 sia (-1;-0,2) (unità di misura: 100.000 euro). Dedurre da questo intervallo una stima ottimale per la variazione media di fatturato nella popolazione delle imprese del settore agroalimentare.