Sommario BIBLIOGRAFIA... 41

Sommario L ASSICURAZIONE IN GENERALE... 2 L ASSICURAZIONE: TIPI E SOGGETTI... 6 L ASSICURAZIONE E LA FINANZA... 6 GRAFICO DEGLI STATI, STATI DEL MONDO, BENI CONTINGENTI... 8 COSA VEDO NEL GRAFICO DEGLI STATI... 10 DOTAZIONE INIZIALE... 11 LE PREFERENZE DI SMITH... 11 AVVERSIONE AL RISCHIO... 13 UTILITA ALLA VON NEUMANN-MORGENSTERN... 14 PROFITTO ATTESO DELLA COMPAGNIA... 15 OFFERTA DI ASSICURAZIONE B2... 15 INCLINAZIONE B2: CASI ESTREMI... 17 FORMA B2: SE B2 E INSIEME DI PUNTI... 17 B2 E PROFITTO ATTESO DELLA COMPAGNIA... 18 LA LINEA DELLA QUOTAZIONE EQUA B1... 19 RAPPORTO B1 E B2... 20 LE PREFERENZE DELLA COMPAGNIA... 21 SCEGLIERE SE ASSICURARSI... 22 IL PREMIO ASSICURATIVO... 22 QUANTITA DI ASSICURAZIONE... 23 EDGEWORTH BOX E MERCATO ASSICURATIVO... 24 EQUILIBRIO PARETO EFFICIENTE... 25 EQUILIBRIO CON INFORMAZIONE PERFETTA... 25 VARIAZIONE DELL EQUILIBRIO... 28 AL VARIARE DEL PREMIO... 28 AL VARIARE DELLE PROBABILITA PER SMITH... 29 EQUILIBRIO CON ASIMMETRIA INFORMATIVA... 30 ADVERSE SELECTION... 30 AZZARDO MORALE... 33 LE ART SOLUTIONS PER RIDURRE IL MORAL HAZARD... 36 CONCLUSIONI... 40 BIBLIOGRAFIA... 41

L ASSICURAZIONE IN GENERALE L art. 1882 c.c. definisce l assicurazione come il contratto con cui l assicuratore, verso il pagamento di un premio, si impegna a rivalere l assicurato, entro i limiti convenuti, del danno prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita al verificarsi di un evento attinente alla vita umana. Da questa definizione giuridica si ricavano i presupposti economici dell assicurazione: rischio: la possibilità di un evento che causi un danno economico; l assicurato (Smith) che, trovando indesiderabile il rischio, è disposto a pagare un prezzo pur di eliminarlo; l assicuratore (la compagnia) che accetta di assumersi il rischio se adeguatamente ricompensata. Nella modellizzazione, per semplicità, si ipotizza un caso limite: la neutralità della compagnia al rischio. Qual è quindi la funzione dell assicurazione? Essa consente il trasferimento del rischio (La Torre, 2000, p. 7) da Smith alla compagnia, verso il pagamento di un prezzo detto premio a cui corrisponde, in caso di danno, l indennizzo. E cosa ne fa la compagnia del rischio? Essa, gestendo un gran numero di contratti, riesce a eliminarlo attraverso la diversificazione, oppure lo trasferisce alla compagnia di riassicurazione (la quale a sua volta diversifica): solo così rimane neutrale al rischio. Questo lavoro intende spiegare attraverso gli strumenti della microeconomia, in particolare con il grafico degli stati, come funziona la domanda-offerta di assicurazione e analizzare alcuni problemi che caratterizzano questo mercato. Tutti i modelli microeconomici richiedono delle ipotesi che semplificano, restringono la realtà. Prima di adottare quest ottica, mi sembra opportuno illustrare il grafico degli stati per inquadrare meglio i termini del problema. Innanzitutto, la compagnia deve stare attenta ai rischi che si assume (composizione del portafoglio). Alcuni rischi sono inassicurabili per natura, nel senso che sono ineliminabili tramite diversificazione dalla compagnia di assicurazione e di riassicurazione. Si tratta di rischi sistemici che, quando capitano, colpiscono un intero sistema : catastrofi naturali, shock macroeconomici, atti di terrorismo, ecc Il problema si è presentato proprio nei tempi moderni con l attentato alle Torri Gemelle: si pensi a quante persone sono state colpite nei modi più vari (danni agli edifici, ai macchinari; danni alle persone per morte, invalidità, ecc ) e sono ricorse alla propria compagnia assicuratrice; il picco nella la richiesta di indennizzi, numerosi e ingenti, ha creato alle compagnie problemi di solvibilità. Il punto chiave è che la compagnia non riesce a compensare il danno che subisce una parte del sistema

col buon andamento del resto, se un evento dannoso colpisce una grande frazione di soggetti esposti al rischio, provocando danni di varie tipologie, per importi considerevoli. Un rischio che ha queste caratteristiche è inassicurabile. Paradossalmente alcuni atti limitati di terrorismo (un aereo all anno fatto saltare) sarebbero assicurabili se solo si riuscisse ad attribuire loro una ragionevole probabilità, e anche i terremoti se si sapesse che si tratta di danni localizzati e limitati. Oggi tuttavia il progresso tecnico, l evoluzione della matematica attuariale e della statistica, la disponibilità di informazioni, la globalizzazione hanno inventato nuove soluzioni (come le ART solutions) e reso assicurabili sempre più rischi. Altri rischi invece sono non assicurabili ex lege, ad esempio nella normativa italiana: non ci si può assicurare contro ritiro o sospensione patente di guida, minusvalenze da rivalutazione patrimoniale (cessione d azienda), pagamento sanzione amministrativa, rischi finanziari puri(puri perché offrono solo la possibilità di perdita). Altrimenti, in questi casi, l assicurazione incoraggerebbe comportamenti socialmente indesiderabili. Una precisazione: l assicurazione non trasferisce il rischio, ma l onere economico derivante dal verificarsi del rischio ( Prosperetti e Colavolpe, 2012, p.12). Infatti rimane l aleatorietà degli eventi, perché Smith non sa se si verificherà il caso x o y, ma sparisce la dipendenza tra consumo e alea, perché assicurandosi adeguatamente Smith potrebbe garantirsi lo stesso livello di consumo in tutti gli stati del mondo. Oltre alle tradizionali polizze risk transfer, che appunto spostano l incertezza dal contraente alla compagnia, oggi esistono anche polizze risk financing: il rischio non viene trasferito ma rimane in capo al contraente e viene neutralizzato spalmandolo nel tempo. Inoltre il rischio può essere trasferito completamente, o parzialmente: in quest ultimo caso, una percentuale di rischio, rimane in capo a Smith, che in caso di sinistro sostiene parte della perdita. Per esempi di alcuni strumenti di copertura parziale, si rimanda a un successivo paragrafo. In secondo luogo, la compagnia deve stare attenta alla sua controparte: Smith, per massimizzare la propria (funzione di ) utilità, tende a nascondere alla compagnia informazioni rilevanti per la determinazione del prezzo dell assicurazione. Cosa succede al mercato assicurativo in questi casi? Il Codice Civile prevede per l assicurato obblighi informativi di esattezza e completezza e di buona fede, pena la perdita del diritto all indennizzo. Ma è abbastanza per mitigare il problema o esistono soluzioni più efficaci?

Evidentemente i soggetti coinvolti nell assicurazione hanno interessi contrastanti: un ricavo per la compagnia è un costo per Smith. Inoltre, mentre il costo per Smith è certo perché il premio viene versato in entrambi i casi, il pagamento da parte della compagnia è solo eventuale e dipende dal verificarsi del sinistro: la classificazione dell assicurazione come contratto aleatorio è dovuta appunto alla dipendenza dall alea degli eventi. Esiste dunque una disuguaglianza di base tra prestazione e controprestazione tra i due soggetti. La compagnia incassa anticipatamente i premi per costituire il fondo destinato a pagare gli indennizzi, che in attesa di essere utilizzato dev essere investito: la compagnia, quindi, ricava gli interessi dell investimento e i premi nel caso non si verifichi il sinistro; sostiene un costo, oltre ovviamente gli oneri di gestione ordinaria, solo nel caso si verifichi il danno. Ma allora perché Smith accetta di stipulare l assicurazione? Quand è che un contratto assicurativo non svantaggia nessuno dei contraenti? Quando l assicurazione è attuarialmente equa: in termini di valore atteso quanto la compagnia/smith riceve è uguale a quanto paga, cioè il valore monetario atteso dallo scambio è uguale a zero. L assicurazione equa non avvantaggia la compagnia (il suo livello di utilità è costante), non svantaggia Smith (il livello di utilità non diminuisce); anzi, per essere precisi, l equità avvantaggia Smith perché a parità di guadagno monetario atteso egli ha la possibilità di allontanare da sé il rischio: ma mentre per la ricchezza esiste un unità di misura universale, il denaro, il rischio non è oggettivamente misurabile. In cosa si distinguono un assicurazione equa e non? Dal premio pagato, fermo restando il danno (ad esempio 5000) e la sua probabilità (ad esempio 20%). Perciò serve un opportuna modalità di determinazione del premio, che tenga conto della probabilità e dell entità del danno: premio equo= danno * probabilità. Un esempio: Smith vuole assicurarsi contro un danno di 5000 in caso di sinistro, egli ha fatto 1 incidente negli ultimi 5 anni, dunque la probabilità di sinistro è 20%, e non c è ragione di pensare che cambi. Il premio è equo se entro i 5 anni, quando la probabilità di sinistro in teoria sarà maturata, l assicurazione avrà accumulato esattamente la cifra da sborsare: un premio di 1000 è equo, uno di 1500 sarebbe troppo alto. Ovviamente con una probabilità del 20% possono passare anche 10 anni prima che si verifichi il primo sinistro: ma ex ante non si può prevedere cosa accadrà e bisogna accontentarsi di ragionare in termini di valore atteso. Ovviamente l equità vale in media: il premio standard é applicato indistintamente alla massa dei contraenti, alcune volte la compagnia si aspetta di perdere (con i soggetti più rischiosi della media), altre di vincere (con i soggetti meno rischiosi della media), ma in media di pareggiare (sul totale della popolazione).

Dopo l equità, alcune considerazioni sull efficienza. L efficienza è massima prestazione a minor costo. La gestione di massa è funzionale all efficienza: permette economie di scala (all aumentare del numero dei contratti, diminuisce il costo amministrativo medio unitario) e potenzia la diversificazione, consentendo di ridurre, in rapporto al numero volume dei contratti, il fabbisogno di riserve: come avviene per i portafogli di titoli, al crescere della numerosità dei contratti, diminuisce la varianza, dunque si allontana l eventualità di picchi in indennizzi da liquidare e si può stimare con più precisione il fabbisogno della gestione ordinaria relativamente al numero dei contratti (non sparisce però, in termini assoluti, la quantità di riserve da tenere per garantire la solvibilità). Ciò si traduce in riduzione dei prezzi. La globalizzazione e l apertura dei mercati consentono una maggiore diversificazione del rischio: portafoglio ben diversificato significa che i rischi sono scarsamente correlati, dunque la probabilità che si verifichino contemporaneamente tutti i rischi è molto bassa: ciò è garanzia di solvibilità (ovviamente la compagnia deve far attenzione ad assumersi rischi assicurabili, specifici, non rischi sistemici) e permette una riduzione dei prezzi. Quali altri elementi fanno diminuire i prezzi? La concorrenza, che costringe le compagnie a ridurre i propri margini di profitto. La ricerca scientifica, incrementando le informazioni disponibili : La matematica attuariale ha drasticamente ridotto l alea dell operazione economica consentendo di calcolare con precisione la decorrenza dei rischi e il fabbisogno finanziario della compagnia (Prosperetti e Colavolpe, 2012, p. 15). Il progresso tecnologico inoltre ha portato alla creazione di nuovi prodotti che coprono rischi prima non assicurabili e che riducono il problema della sovrassicurazione. Mi sembra opportuno accennare a un problema che verrà sviluppato meglio in seguito, nel paragrafo dedicato al moral hazard. E scontato che la mancanza di assicurazione è un inefficienza. Ma a volte, in presenza di asimmetrie informative, quando il comportamento dell assicurato influisce sulla probabilità o entità del danno, anche troppa assicurazione può essere inefficiente, perché genera esternalità negative. Si pensi a un automobilista, Smith, che può guidare careless o careful. Senza assicurazione, opta per una guida sicura ma, una volta assicurato, non ha più interesse ad evitare il danno, perché tanto ora l onere è sostenuto dalla compagnia. Estendendo il ragionamento su larga scala, l assicurazione comporta una popolazione di automobilisti careless insieme all aumento degli incidenti sulle strade!

L ASSICURAZIONE: TIPI E SOGGETTI Il settore assicurativo è complesso e in rapida evoluzione. Innanzitutto, il codice delle assicurazioni distingue rami vita e rami danni, che hanno una gestione separata anche in contabilità (Prosperetti e Colavolpe, 2012) : RAMI DANNI infortuni, malattia, corpi di veicoli, merci trasportate, incendio ed eventi naturali(subiti dai beni per grandine, furto ), responsabilità civile per veicoli e generale, credito, ecc.. RAMI VITA durata della vita umana nuzialità e natalità, malattia e non autosufficienza per invalidità grave dovuta a malattia o longevità, operazioni di capitalizzazione, riduzione attività lavorativa Le assicurazioni sulla vita si distinguono in caso morte, quando l obbligo di indennizzo sorge alla morte di Smith, e caso vita, quando l obbligo sorge in un dato momento se l assicurato è ancora in vita. Nella mia analisi considero i rami danni. Riguardo i soggetti, il sistema Smith-compagnia è una semplificazione. Più precisamente, i soggetti coinvolti nell assicurazione sono l assicurante, l assicurato, il beneficiario, il contraente. Può essere che il contraente sia diverso dall assicurato: si pensi ai fondi pensione stipulati da alcune aziende per conto dei propri dipendenti. In genere l assicurante è una compagnia assicurativa, ma sempre più spesso le imprese finanziarie, vendendo prodotti integrati (ART solutions),le contendono questo ruolo. L ASSICURAZIONE E LA FINANZA L attività assicurativa si intreccia inevitabilmente con quella finanziaria in quanto anche le compagnie assicuratrici sotto forma dei premi versati raccolgono, come le banche, il risparmio, che dev essere investito. Le risorse di cui dispone la compagnia sono raggruppabili in due grandi categorie: le riserve tecniche e i fondi liberi. Le prime devono essere destinate a investimenti sicuri e facilmente liquidabili, i secondi, costituiti dal capitale proprio, perdite e utili della gestione, sono residuali e senza vincolo di destinazione (anche se spesso la legge vincola una somma minima come margine di solvibilità). Ma, oltre a questo fisiologico intreccio di funzioni, oggi i due settori tendono a convergere anche perché le compagnie assicurative stanno sviluppando nuove attività diverse da quelle tradizionali, basate sull intermediazione di strumenti finanziari complessi [cioè la commercializzazione di strumenti assicurativi che hanno contenuto finanziario: nel ramo vita

le polizze index linked, nel ramo danni le ART] o sul rilascio di garanzie per rischi puramente finanziari [attraverso derivati come asset-backed securities...] (Prosperetti e Colavolpe 2012, p.3). Polizze index linked: polizze vita il cui rendimento è legato all andamento di indici azionari, dunque al rischio del mercato azionario. La somma a cui dà diritto il premio può anche essere inferiore a quanto è stato versato; L'ABS è un obbligazione trasferibile garantita, attraverso la cartolarizzazione, dagli attivi sottostanti e viene emessa dalle SPV. Le SPV (Special Purpose Vehicle, società separate create dalle banche ad hoc) raccolgono le attività finanziarie normalmente poco liquide (di difficile negoziazione, ad esempio crediti da mutui) e, attraverso pooling e tranching, ne ricavano dei prodotti finanziari idonei ad essere usati come garanzie a obbligazioni; le obbligazioni così garantite sono le ABS che vengono poi emesse nei mercati. Le ART o IRM, Integrated Risk Management, perché combinano elementi dei contratti di assicurazione e di finanziamento, nascono in risposta alla crescente domanda di copertura per rischi difficilmente assicurabili : quelli per i quali gli strumenti tradizionali, cioè la diversificazione e la riassicurazione (che prevede il trasferimento del rischio al di fuori della compagnia assicurativa a una compagnia di riassicurazione, che a sua volta diversifica), sono incapaci o poco efficienti; ad esempio scarsità di materie prime, catastrofi naturali, condizioni meteo, atti di terrorismo o attività finanziarie. Oggi sono usate anche come strumento di investimento. L altra faccia dell integrazione, a discapito delle compagnie assicurative, è la confusione dei ruoli tra mercato assicurativo e finanziario: le imprese finanziarie, vendendo i nuovi prodotti di copertura dei rischi puri, si profilano come nuovi potenziali concorrenti. Inoltre in questo modo la compagnia si espone ai rischi del mercato finanziario: è una questione importante perché alcuni sostengono che proprio l impermeabilità del mercato assicurativo l ha preservato dalla contaminazione della crisi del 2007 (Prosperetti e Colavolpe, 2012, p.16). Questo discorso comunque vale per il mercato italiano, le cui autorità di regolazione da sempre propendono per la separatezza dei mercati: l ISVAP 32/2009 vieta di commercializzare polizze index linked e di garantire rischi puramente finanziari. Invece nel mercato USA, in cui le autorità sono meno conservatrici, durante la crisi ha rischiato di saltare un enorme compagnia assicurativa, la AIG. Riguardo il mercato europeo, varie direttive (come 95/26/CE e 2002/87/CE) sono intervenute per contrastare questi effetti negativi e aumentare la vigilanza.

GRAFICO DEGLI STATI, STATI DEL MONDO, BENI CONTINGENTI Cos è uno stato del mondo? E l esito finale di una situazione incerta (Katz, Rosen, Morgan, Bollino 2011, p. 150), cioè un insieme di eventi a cui corrisponde un dato vettore di valori delle variabili esogene del modello. Gli stati del mondo sono sempre più di uno ed è noto cosa comporta ciascuno stato, ma è incerto il verificarsi dell uno o dell altro. Gli stati che si rappresentano nel grafico, e gli eventi di cui essi sono conseguenza, hanno due caratteristiche fondamentali: sono alternativi, dunque il verificarsi di uno esclude automaticamente gli altri; ad ognuno è associata una probabilità px i e la somma delle probabilità è uguale a 1, cioè essi esauriscono tutti i casi possibili: Σ (px 1, px 2,...px n )=1. In seguito si ipotizza che la variabile esogena (è una sola) sia livello di reddito (o ricchezza). Per Smith, il consumatore, il reddito disponibile per il consumo dipenderà, tra l altro, dai contratti assicurativi stipulati. Smith potrà consumare 100 se non fa incidenti, ma 0 in caso di sinistro. Un altro soggetto, John, consuma 70 se non fa incidenti, 20 altrimenti. Dunque, qual è la combinazione di consumi possibili (uno per ogni stato di natura) che si aspettano John e Smith? Smith ha (100;0), John (70;20), corrispondenti nel grafico ai punti S e J. Nel grafico, lungo l asse orizzontale si legge il consumo nel caso si verifichi lo stato buono (cx), lungo l asse verticale il consumo nel caso si verifichi lo stato cattivo (cy) 1. Ogni punto del piano, è un paniere di beni contingenti. Ma che significato ha questo paniere, che pretende di mettere assieme due casi che, per definizione, non possono convivere, non possono verificarsi contemporaneamente? Non è un paniere impossibile? E che senso ha dunque assegnarlo a un consumatore? La chiave di lettura del grafico degli stati si trova nel concetto di beni contingenti: quando si ha a che fare con beni contingenti, contrapposti ai beni convenzionali, si ragiona sul piano della possibilità invece che su quello della realtà. E fuori questione che ex post, nella realtà, Smith consumerà o 100 o 0, perché l incidente o capita o no! Ma, ex ante, se Smith guarda al 1 In questo esempio, i possibili casi del mondo possibili sono solo due, dunque costruiamo il grafico con due semirette; ciò non toglie che in situazioni più complesse, dove le alternative sono 3, 4, 5, ecc.. bisogni usare 3, 4, 5, ecc semirette e si ottengano grafici a più dimensioni. Infatti deve sempre valere che la somma delle probabilità associate agli assi =1. Tuttavia in questa sede guardiamo al caso più semplice con 2 sole alternative: i contratti assicurativi contemplano infatti due soli casi, il caso di sinistro e il caso di non sinistro.

suo futuro prima che l evento si verifichi, può ben dire di detenere il paniere delle possibilità (100;0). Cosa significa beni contingenti nel caso di due soli stati di natura? Cx e cy sono beni contingenti in quanto ciascuno di essi è disponibile condizionatamente al verificarsi di certe circostanze. Dunque oggi non posso affermare con certezza in quale stato si troverà il mondo domani: ma so per certo che se non si troverà in uno stato, si troverà nell altro. I due eventi sono alternativi e ad ognuno è associata una certa probabilità p. Dunque quanto mi si prospetta è la coppia ordinata (cx; cy); la realtà dei fatti sarà che disporrò o di cx o di cy, a seconda dell evento (o, con espressione equivalente, contingentemente all evento) che effettivamente si verificherà. In cosa si differenziano dai beni convenzionali? Nel caso di beni convenzionali, la disponibilità del bene sull asse orizzontale e di quello sull asse verticale si verifica contemporaneamente e con certezza: il paniere che consumerò nella realtà sarà proprio (cx; cy). Ma allora il grafico degli stati è il regno dell incertezza? Una volta che Smith entra nei suoi confini, deve sottostare alle contingenze? Potrà mai avere certezza del livello di consumo futuro? Smith può sfuggire all incertezza se riesce a collocarsi sulla linea delle allocazioni certe (l.d.a.c), cioè la semiretta uscente dall origine con pendenza 45. Lungo la bisettrice il livello di consumo nei diversi stati del mondo è lo stesso: per definizione, l equazione di tale retta è cy = cx. Dunque su di essa Smith consumerà quella certa quantità indipendentemente da quale stato del mondo si verifichi. Si può pensare alla linea delle allocazioni certe come un oasi di certezza in un mondo di incertezza. Si noti anche che nei panieri vicini alla l.d.a.c. le differenze di consumo nei vari stati del mondo sono minime. Ad esempio, i panieri (50;45) e (100;2) si trovano rispettivamente nei punti del grafico S e R ed è chiaro che S è un paniere relativamente sicuro, mentre R è un paniere decisamente rischioso. Per ridurre l incertezza, Smith deve dunque spostarsi verso la l.d.a.c. a partire da un dato paniere iniziale. Ma quale mezzo permette questo spostamento? E perché Smith dovrebbe preferire il punto S a R? A queste domande si risponde nei successivi paragrafi.

COSA VEDO NEL GRAFICO DEGLI STATI Il grafico degli stati viene usato anche per studiare le decisioni di investimento, dunque il caso di un soggetto che valuta se assumersi un rischio: ad esempio, se lungo l asse orizzontale è il consumo nel caso il progetto vada bene, lungo l asse verticale il consumo nel caso contrario, ogni progetto è rappresentato da un punto e il manager studia su quale e quanto investire. Nelle decisioni di assicurazione, al contrario, Smith valuta se liberarsi di un rischio. Decisioni di assicurazione e di investimento vanno dunque in versi opposti, ma vengono studiate sostanzialmente allo stesso modo nel grafico degli stati, seppur con alcuni aggiustamenti terminologici. Quali problemi si possono analizzare nel grafico degli stati per l assicurazione? La domanda di assicurazione, ossia le scelte di Smith, considerando le seguenti variabili: Premio per il rischio: a che prezzo Smith è disposto ad assicurarsi? Quantità di assicurazione: Smith acquisterà una copertura completa o parziale? Tipo di assicurazione: quale contratto preferisce Smith tra i tanti offerti? Statica comparata delle scelte: come varia la quantità di assicurazione acquistata al variare di alcuni parametri? Studio nel caso di variazione del premio per il rischio (pendenza della curva di offerta di assicurazione, chiamata B2) e di variazione delle probabilità degli eventi (pendenza di U). L offerta di assicurazione: I contratti sono equi? Qual è il profitto dell assicurazione e quali contratti offre? L equilibrio nel mercato assicurativo, osservando in contemporanea domanda e offerta: Qual è l equilibrio? Offre copertura completa o parziale? E una soluzione pooling o separating? L equilibrio è soluzione ottima o è un second best? Cambia l equilibrio a seconda del tipo di mercato ( con perfetta simmetria informativa o asimmetrie informative con concorrenza perfetta o potere di mercato)? Quale sarebbe la soluzione pareto efficiente? Quali figure si rappresentano nel grafico degli stati? Allocazione iniziale di Smith; Allocazione finale di Smith: offerta la possibilità di spostarsi, a partire dall allocazione iniziale, su uno o più punti diversi del piano, Smith cosa sceglierebbe? Curve di indifferenza di Smith;

Vincolo di bilancio B2 (B2 per distinguerla da B1, che si vede in seguito) cioè la retta che rappresenta l offerta di assicurazione, le allocazioni rese possibili dal contratto assicurativo; Utilità della compagnia, visualizzata quale curva di indifferenza della compagnia ossia profitto atteso dell assicurazione(retta di isoprofitto); Linea delle allocazioni certe/della copertura completa; Linea della quotazione equa/dell assicurazione attuarialmente equa B1. DOTAZIONE INIZIALE Posto che Smith vuole assicurarsi contro il caso di sinistro, ossia il caso di danno, e fissato lungo l asse orizzontale il consumo nel caso buono e lungo l asse verticale il consumo nel caso cattivo, la dotazione iniziale deve trovarsi nella regione di piano sotto la bisettrice, esclusa la bisettrice, affinchè Smith rischi effettivamente una riduzione del livello di consumo nello stato cattivo. In termini matematici, la coppia ordinata A=(cx;cy) è dotazione iniziale adatta a far sorgere il bisogno di assicurazione se cy è strettamente minore di cx: cy<cx. Ad esempio, data A=(100; 45): nel caso buono Smith consuma 100, in caso di sinistro consuma 45; dunque subisce un danno di 100-45= 55. LE PREFERENZE DI SMITH Quale paniere di beni contingenti preferisce Smith? Come sono fatte le sue curve d indifferenza? Si assumono le seguenti ipotesi: 1. non sazietà: ceteris paribus è sempre preferibile consumare una quantità maggiore di un bene contingente anziché una quantità minore [ceteris paribus] (Katz, Rosen, Morgan, Bollino 2011,p. 156), dunque panieri più a N o più a E danno a Smith utilità maggiore. Graficamente il livello di U cresce verso NE, che è la direzione del gradiente di U. Ceteris paribus significa che la non sazietà vale sotto il vincolo che le probabilità degli eventi rimangano costanti ed è importante sottolinearlo. Se cambiano le probabilità, le curve di indifferenza ruotano attorno alla bisettrice e rispetto a prima lo spostamento a NE (freccia blu nel secondo grafico) farebbe diminuire U. Si consideri il seguente esempio: Smith ha il paniere A(20;5) con p x =3/4. La sua curva d indifferenza è B1. Se gli proponessero B(21;8) starebbe sicuramente meglio. Ma se per raggiungere B, p x diminuisse cosicché p x =1/20, la sua curva d indifferenza si inclinerebbe

e diventerebbe B1 : con questa nuova U, è evidente che Smith preferirebbe rimanere su A. Dunque Smith può rifiutare uno spostamento a NE, se non viene rispettata la condizione ceteris paribus 2. 2. Smith è avverso al rischio, la compagnia è neutrale al rischio. L assicurazione preferisce sempre un paniere di beni contingenti con VAN 3 maggiore a un paniere di beni contingenti con VAN minore, ma non Smith. Mentre le preferenze dell assicurazione si misurano in termini di guadagno monetario e dipendono solo dal VA, le preferenze di Smith si misurano in termini di utilità e risentono sia del VAN che del rischio, perché Smith, a differenza della compagnia è avverso al rischio. U Compagnia =VA= profitto atteso la compagnia accetta sempre il rischio se le dà maggiori profitti attesi. U Smith = f(va, rischio)=f(profitto atteso,rischio) 4. poiché nelle scelte di Smith entrano altre variabili, egli può preferire, ad esempio, un paniere con minor VA (compensato da maggior sicurezza). 3. Lo stato del mondo non influisce sull utilità marginale del consumo: ceteris paribus, consumare + nel caso buono dà la stesso incremento di utilità condizionata al fatto di trovarsi in quello stato, di consumare + nel caso cattivo, a partire da uno stesso livello di 2 La regola più consumo, meglio sto si adatta allo stile di vita della maggior parte dei consumatori. Esistono tuttavia alcune eccezioni dovute a fattori culturali, religiosi, storici: soggetti che rifiutano il consumismo in favore della sobrietà o del minimalismo; o agli effetti collaterali causati dal consumo eccessivo di alcuni beni, ad esempio l alcol. 3 IL VA E IL VAN Il VA è legato al concetto di variabile casuale X, cioè una variabile che assume valori diversi secondo una distribuzione di probabilità. Il VA non è altro che la media ponderata per le probabilità di tutti i possibili valori di X ed è una statistica indicativa del valore che assume in media una variabile. Per questo si chiama valore atteso e in statistica si indica con E[X]. In questa trattazione la variabile è la ricchezza, che assume valori diversi a seconda dello stato del mondo che si verifica. Parlo inoltre di VAN perché interessa conoscere il VA del consumo al netto dei costi necessari per ottenerlo. Una compagnia assicurativa può considerare il premio come un ricavo, l indennizzo come il costo (posticipato). esso risulta essere VAN=VA(guadagni)-VA(costi)=VA(premi pagati da Smith)-VA(indennizzo netto dovuto a Smith). E evidente che se una certa polizza dà un VAN>0, significa che i benefici sono in media maggiori dei costi, dunque stipularla mediamente farà aumentare il guadagno monetario dell assicurazione. Se invece VAN <0, il progetto non merita di essere intrapreso perché distrugge ricchezza; se VAN=0 è indifferente. Torna utile il criterio del VAN anche nella scelta tra due o più contratti alternativi: calcolo il VAN dei vari progetti e scelgo quello con VAN maggiore. Nell utilizzare questo criterio bisogna fare attenzione a: 1. confrontare solo flussi dello stesso istante temporale 2. attualizzare il VAN per un opportuno tasso d interesse che indica la rischiosità del progetto In questa sede ci dimenticheremo del tasso d interesse perché l assicurazione è indifferente al rischio. Consumo(C) =variabile casuale. EVENTO No sinistro Sinistro non grave Sinistro grave PROBABILITA 1/3 1/3 1/3 C 12 000 9 000 0 Qual è il VA del consumo? VA[C] =c1*p 1 +c2*p 2 +c3*p 3 = 12 000(1/3) +9 000(1/3) +0(1/3) = 7000 4 Tale dipendenza vale per esigenze di semplificazione: non è facile precisare una funzione come questa, perché ad esempio è difficile quantificare la variabile rischio.

consumo di partenza. Ciò significa che l utilità di Smith è una funzione di Neumann- Morgenstern: U NM = p x *u(cx) + p y *u(cy) dove u(cx) e u(cy) contengono la stessa u(c), funzione di utilità di consumo certo. Dunque: se p x = p y = 0.5 U è simmetrica rispetto alla bisettrice. Ma se p x p y, può essere che consumo aggiuntivo nel caso buono incrementi l U più che lo stesso consumo nel caso cattivo, partendo dallo stesso livello di consumo. AVVERSIONE AL RISCHIO Come sono fatte le curve d indifferenza degli individui? Cioè: sono concave o convesse e come sono posizionate rispetto alla linea di isoprofitto della compagnia (B1)? Si guardino i grafici sottostanti. Disegno B1 in blu: lungo questa linea il VA è costante, il rischio aumenta spostandosi dall intersezione con la bisettrice verso l esterno. Disegno (con linea rossa sottile) la candidata U e vedo come si comporta ( linea rossa grossa) muovendosi lungo B1. Concava e tangente a B1 in A (punto d incontro tra B1 e la bisettrice): a parità di VA, panieri più rischiosi danno utilità maggiore, perciò Smith è amante del rischio; Convessa e tangente B1 in Z: a parità di VA Smith giudica uguali un paniere rischioso e uno sicuro, oppure a parità di VA preferisce una soluzione con rischio, perciò Smith a volte è favorevole al rischio, a volte neutrale; Convessa e tangente B1 in A: a parità di VA, panieri più sicuri danno utilità maggiore, perciò Smith è avverso al rischio. Piatta: l U di Smith coincide con B1 e dipende solo dal VA, perciò Smith è indifferente al rischio, come l assicurazione. Si noti che sia per un soggetto amante del rischio, sia per uno avverso al rischio, la pendenza di U nel punto A è uguale alla pendenza di B1 ed è p x /(1-p x ). Altrimenti, Smith non ha preferenze univoche. Da cosa dipende l inclinazione delle curve di indifferenza?

1. Più il consumatore è avverso al rischio, più la concavità delle curve di indifferenza è forte; 2. Più alta è p y, più le curve di indifferenza sono ripide. UTILITA ALLA VON NEUMANN-MORGENSTERN In generale, le funzioni di utilità con beni contingenti sono del tipo U=f(cx,cy,p x,p y ), dove cx è il livello di consumo nel primo caso, cy nel secondo caso, e possono verificarsi due stati con p x e p y tali che p x +p y =1 e siano alternativi. L U può dipendere da cx,cy,p x,p y in svariati modi, uno dei più semplici è quello descritto dalla funzione di N-M che è caratterizzata dalla seguente forma: U=p x *u(cx)+p y *u(cy). Si osserva che: 1. La funzione d utilità del consumo certo è la stessa in entrambi gli stati e uguale a u(c). La differenza in utilità marginale MUcx e MUcy, per cx=cy, dipende dalla probabilità associata agli stati e non dagli stati in sé. Quando Smith ha una mela il tempo atmosferico, il fatto che piova o ci sia il sole, non influisce sull utilità che ne ricava mangiandola. Ma, ex ante, la mela che sarà mangiata quando piove dà meno utilità di quella mangiata quando c è il sole se la probabilità di pioggia è minore della probabilità di sole. Dunque Smith preferisce avere il paniere (2 mele se c è il sole, 0 mele se piove) rispetto a (1mela se c è il sole, 1 se piove), se si aspetta che la probabilità di pioggia sia davvero molto bassa, nonostante il tempo non influisca per niente sul gusto della mela. Ovviamente questa è un ipotesi semplificatrice per il modello, ma nella realtà non è sempre vera: a parità di probabilità, nello stato salute avere 50 in più dia utilità marginale diversa dall averli in malattia. 2. Funzione omogenea di grado 1 per p x e p y : U direttamente proporzionale a p x e p y, ma se aumenta p x diminuisce p y, e viceversa Dunque Smith pondera l utilità del consumo in un certo caso del mondo per la sua probabilità.. Attenzione! Si dice che l obiettivo è massimizzare il VA dell utilità, non massimizzare l utilità del valore monetario atteso (Katz,Rosen,Morgan,Bollino 2011, p.175). Infatti l utilità non dipende solo da VA, ma anche dall avversione al rischio di Smith. Le curve di indifferenza associate ad una funzione di utilità del tipo Von Neumann- Morgenstern ruotano attorno sulla bisettrice quando cambiano le probabilità degli stati nel modo descritto dalla figura. Questo comportamento torna utile per studiare: Le U di due diversi individui, uno safe e uno unsafe (nell ipotesi che tutti gli individui abbiano le stesse funzioni u(c), ma si differenzino per le probabilità associate agli stati);

Come cambia la U di un individuo esposto ad un evento dannoso a seconda del suo comportamento careless o careful. Dal grafico si vede che dopo la variazione delle probabilità il livello di U associata al punto sulla bisettrice rimane la stessa, mentre il livello di U associato agli altri punti cambia. Perché tutte le diverse U con lo stesso valore si incontrano sulla bisettrice? Perché lungo di essa l U di Smith dipende solo dal livello di consumo (cx; cy): visto che il rischio è sempre uguale a 0, il grado di avversione al rischio e le probabilità dei due stati diventano irrilevanti. PROFITTO ATTESO DELLA COMPAGNIA Poichè la compagnia è neutrale al rischio, la sua utilità coincide con il profitto atteso: U Compagnia = VAN=E[ Π]. Chiamo E[Π Compagnia ] una linea di isoprofitto della compagnia. Ciascuna E[Π Compagnia ]ha un VAN caratteristico e costante: la compagnia, stimate le probabilità dei vari stati, calcola le combinazioni di premio e risarcimento che permettono di raggiungere quel livello di VAN. Se cx= premio pagato da Smith; cy= indennizzo netto che la compagnia sborsa in caso di danno cx*p x + (-cy)*p y =VAN s.v. VAN=k cy=( cx*p x -VAN)/p y la pendenza della linea U Compagnia è R=p x /p y Muoversi lungo una di queste linee, assicurare tanto o poco, lascia indifferente la compagnia perché, per ipotesi, la sua utilità dipende solo dal ricavo atteso. Invece per Smith muoversi lungo B1 verso NW significa diminuire il rischio. OFFERTA DI ASSICURAZIONE B2 La regione ammissibile per i contratti assicurativi è Ω, a SE della bisettrice e non oltre la dotazione iniziale senza danno cx (per esempio, cx=100). Offrire contratti al di fuori significa offrire occasione di investimento e non di assicurazione: non si riequilibrano i consumi, ma si promette a Smith un maggior consumo rispetto a 100 se scommette nell uno o nell altro caso. L insieme delle combinazioni di cx e cy offerte dalla compagnia è anche detto vincolo di bilancio e lo chiamo B2. Nel caso più semplice B2 è una retta, caratterizzata da intercetta e inclinazione: questa è la forma di B2 che ipotizzo nella trattazione, ove non espressamente indicato altrimenti.

L intercetta perde significato se si considera che i punti dell asse y sono fuori dalla regione ammissibile dei contratti assicurativi. Di maggior interesse è l inclinazione di B2 che si presta a varie interpretazioni. l inclinazione di B2 rappresenta il rendimento di assicurare condizionato al verificarsi dello stato cattivo varia al variare dell inclinazione di B2. Ad esempio, A(100;40) è il paniere delle dotazioni iniziali, B(90; 60) è un punto di B2. Quest assicurazione dà un differenziale dei consumi = 90-100=-10 nel caso buono e =60-40=20 nel caso cattivo. Cosa significa? Innanzitutto, la compagnia registra 10 euro in entrata e 20 in uscita in caso di sinistro. Il rapporto R=20/-10=-2, cioè risarcimento netto/ premio pagato, è l inclinazione di B2. Al crescere dell inclinazione 5 di B2, diminuisce la convenienza del contratto per la compagnia, ma cresce la redditività dell assicurazione per il contraente in caso di sinistro. Ovviamente l inclinazione di B2 è diversa dal rendimento dell assicurazione in toto: per calcolare quest ultima, si devono considerare tutti i possibili stati del mondo, ponderando i payoff con le probabilità, usando il concetto di VA. L inclinazione di B2 è il prezzo a cui il mercato permette di scambiare il consumo nel caso buono con il consumo nel caso cattivo. Risponde alla domanda: qual è il prezzo di x in termini di y? In quest esempio 1cx vale 2cy. Se l assicurazione è equa, essa coincide inoltre con il costo opportunità di un bene in termini dell altro bene (Katz, Rosen, Morgan, Bollino 2011, p.154), il saggio marginale di sostituzione 6 SMS tra i beni per la compagnia, cioè MUcx/MUcy, e risponde alla domanda: qual è il valore del premio richiesto dalla compagnia per garantire un unità di indennizzo e rimanere con la stessa utilità di prima? Attenzione inoltre a non farsi trarre in inganno e a ricordare che nel grafico degli stati si indicano i consumi netti: preciso meglio l esempio. Il lungo l asse orizzontale indica il premio pagato: nel caso buono, Smith riduce il suo consumo di 10, cioè l importo del premio, e l assicurazione per contro riceve 10. Il lungo l asse verticale indica l indennizzo al netto del premio pagato: in caso di danno, l assicurazione riceve comunque 10, infatti la maggior parte dei contratti prevedono il pagamento del premio anche nel caso si verifichi lo stato cattivo, e permette a Smith un maggior consumo di 20, al netto del premio. Dunque l indennizzo lordo accreditato a Smith dall assicurazione è 30, che non compare nel grafico. - cx = premio pagato= -(90-100)=10 cy = indennizzo accreditato-premio pagato= 30-10= 20 5 Intendo in termini di valore assoluto. 6 La pendenza di U è uguale al saggio marginale di sostituzione, cioè al rapporto tra le utilità marginali. SMS= MUcx/MUcy. Se per esempio MRS=2, significa che in termini di utilità a 1cx corrispondono 2cy.L inclinazione di B2 è il prezzo relativo di un bene rispetto all altro nel mercato è - cy/ cx. Se l assicurazione è equa: SMS= MUcx/MUcy=- cy/ cx=px/py.

- cy / cx = SMS= 2 se l assicurazione è equa Qual è l equazione di B2? Semplificando al massimo, è cy=r*cx, che nel caso dell esempio diventa 20=R*10. INCLINAZIONE B2: CASI ESTREMI E necessario però che B2 abbia inclinazione negativa: cosa succederebbe se B2 fosse inclinato positivamente o parallelo all asse orizzontale? 1. (Grafico 1) B2 parallela a x: Smith riduce cx ma è impossibile acquistare assicurazione, infatti il livello di consumo nel caso y non conosce miglioramenti; 2. (Grafico 2) B2 verticale: Smith ottiene assicurazione gratis; 3. (Grafico 3) B2 inclinata a SW: riduzione del consumo in entrambi gli stati, come se l acquisto di assicurazione facesse aumentare il danno in caso di sinistro. Ciò accade quando in caso di danno l indennizzo netto è negativo, ossia l indennizzo lordo è inferiore al premio, magari per via di qualche clausola nascosta e non capita dall assicurato. FORMA B2: SE B2 E INSIEME DI PUNTI B2 è un insieme di punti che possono formare, oppure no, una retta. Se ad esempio la compagnia non permette a Smith di scegliere la quantità da assicurare, è escluso che B2 sia una linea continua e di conseguenza una retta. Si veda il Grafico 4:

A è dotazione iniziale; B,C,D contratti offerti Le linee tratteggiate hanno una certa pendenza, che è indicativa del prezzo a cui Smith può acquistare assicurazione: Anche se Smith non può muoversi lungo ogni punto di queste linee, perché può stare solo in A, B, C o D, essa gli serve per visualizzare e per confrontare il prezzo dall assicurazione con il SMS da lui attribuito alla coppia (cx,cy) nella sua U. In questo senso costituiscono un vincolo di bilancio e le chiamo B2. Alla fine (Grafico 5), tra C, B, D Smith sceglierà il punto che giace sulla U più alta, D, anche se in questo punto il SMS per Smith non è uguale al rapporto tra i prezzi (p x, p y.) In D, la U ha pendenza 3, il vincolo ha pendenza 4. Anche se i soggetti non sono d accordo sul prezzo perché hanno SMS diversi, Smith accetta D lo stesso perché lo scambio migliora la sua U. Il problema è che quest allocazione non è pareto efficiente, perché se la compagnia lasciasse a Smith la scelta di quanto assicurarsi, si potrebbe aumentare U Smith lasciando invariata U Compagnia, spostandosi lungo una linea di isoprofitto delle compagnia da D fino a E(Grafico 6), oppure viceversa. B2 è una spezzata se i tassi di premio, cioè il premio per unità di indennizzo sono diversi a seconda della somma assicurata. B2 E PROFITTO ATTESO DELLA COMPAGNIA Qual è il ragionamento della compagnia quando costruisce B2, cioè offre delle polizze? Ha dei vincoli? La compagnia non propone contratti che diminuiscano la sua utilità, comportandole una perdita monetaria attesa (VAN<0), se conosce correttamente le probabilità degli eventi ( in presenza di asimmetrie informative la compagnia potrebbe invece trovarsi ad offrire contratti per lei svantaggiosi, perché sbaglia a stimare le probabilità). Ipotizzando che

ci sia perfetta informazione e ipotizzando che l offerta di contratti B2 sia una retta con inclinazione R costante, la compagnia fissa R in modo che lungo B2 il suo profitto atteso sia o positivo e costante, o positivo e crescente, al crescere del capitale assicurato. In quest ultimo caso il VA aumenta lungo B2 verso NW e raggiunge il massimo nel punto d incontro con la bisettrice: ciò è coerente col fatto che, se B2 è profittevole, la compagnia preferisce sfruttarlo al massimo e fornire la copertura massima invece che parziale. Dunque se può, cioè se Smith è costretto ad accettare perché non ha alternative come succede nel caso di monopolio, la compagnia offre solo le condizioni a lei più vantaggiose: copertura completa e B2 poco inclinata. LA LINEA DELLA QUOTAZIONE EQUA B1 B1 è il vincolo di bilancio che rappresenta le opportunità offerte da una scommessa attuarialmente equa (Katz, Rosen, Morgan, Bollino 2011, p.153), cioè una scommessa che dà un guadagno monetario pari a 0 in media (in media perché ci sono le probabilità, che sono stime, valori medi; nella realtà, Smith vince o perde, a seconda dell evento che si verifica). Lungo B1 il profitto atteso dalla compagnia è costante perciò il livello di utilità della compagnia U Compagnia è costante. s.v. VAN =0 scommessa attuarialmente equa. Dunque che caratteristiche hanno i contratti di B1? VAN=0 costante VAN=f(cx,cy,p x,p y ) cx*p x +(-cy)*p y =0 cy=( cx*p x )/p y cy / cx =-p x /p y La quotazione di x rispetto a y è il rapporto tra la probabilità di x e la probabilità di y. Se p x = 1/k e p y =5/k, la quotazione è 1 a 5. Affinché B1 rappresenti una scommessa attuarialmente equa, deve avere l opposto della pendenza pari al rapporto tra la probabilità dell evento sull asse x e la probabilità dell evento dell asse y, cioè alla quotazione. Dunque per mantenere una scommessa equa, occorre bilanciare cx e cy con px e py. Commento a questo risultato.

Smith sta per fare una assicurazione attuarialmente equa, partendo da A, quando la probabilità di perdita aumenta improvvisamente; adesso Smith è disposto a rinunciare ad un maggior numero di unità di consumo nello stato buono cx in cambio di un unità di consumo nello stato cattivo, perché sa che ora ha più possibilità che questo investimento cx gli frutti un risarcimento, dato che la probabilità di danno è aumentata. Parallelamente, affinché la compagnia sia disposta ancora ad assicurare, deve accadere o che la sua vincita aumenti (premio), o che la perdita (risarcimento) diminuisca. Questa condizione è coerente col fatto che la pendenza di B1 aumenta all aumentare di p x. Esempio: premio pagato da Smith= 10 risarcimento netto dovuto a Smith =20 Calcolo il VAN dell assicurazione, sotto il vincolo che VAN 0. 10*p x +(-20)*p y =VAN, a seconda dei valori (p x ; p y ). 20=10*p x /p y VAN perciò R=p x /p y =20/10 RAPPORTO B1 E B2 In che rapporto stanno B1 e B2? Dipende, si intersecano nel paniere delle dotazioni iniziali ma coincidono solo se l offerta di assicurazione è attuarialmente equa, altrimenti hanno inclinazioni diverse, e determinano una variazione del guadagno monetario atteso per uno dei contraenti. B1 sta sopra B2 VAN Compagnia >0 B1 sta sotto B2 VAN Compagnia <0 B1 e B2 coincidono VAN Compagnia =0 Si veda il grafico. B1 ha inclinazione 1 perciò in un mondo attuarialmente equo 1 di indennizzo netto costa 1 di premio; ma col contratto B2, 1 d assicurazione si compra con un premio di 4 : B2 non è equo e favorisce la compagnia. B1 costituisce un importante punto di riferimento per valutare l equità dei contratti e il profitto della compagnia: la compagnia infatti, quando valuta quale contratto offrire, confronta B2 e B1.

LE PREFERENZE DELLA COMPAGNIA Si possono verificare i seguenti casi: 1. B1 meno inclinata di B2 (offerta non attuarialmente equa) : il prezzo di 1 di assicurazione è minore di quello equo (VAN Compagnia <0). Ovviamente la compagnia non offre contratti del genere perché diminuirebbero il suo profitto atteso favorendo Smith, ma il caso può capitare se ad esempio la compagnia valuta erroneamente il valore del contratto perché le mancano informazioni rilevanti; 2. B1 più inclinata di B2 (offerta non attuarialmente equa): il prezzo di 1 di assicurazione è maggiore di quello equo, perciò Smith è svantaggiato e per riequilibrare la situazione bisognerebbe aumentare l indennizzo netto (IN) o diminuire il premio (P). Lungo questa B2 dunque aumenta il VAN della compagnia(van Compagnia >0), diminuisce il VAN di Smith. Ovviamente la compagnia se può, cioè se Smith è costretto ad accettare perché non ha alternative come succede nel caso di monopolio, offre solo le condizioni a lei più vantaggiose, cioè copertura completa e B2 poco inclinata, massimizzando il suo profitto. In concorrenza perfetta, la compagnia è costretta a minimizzare il suo profitto, ma dire che è pari a zero è una semplificazione perché esso rimane sempre leggermente positivo. Perché? Ciò dipende da: Spese di gestione: necessità di fare guadagni per coprire i costi fissi di erogazione del servizio; Tariffe non perfettamente adeguate alle caratteristiche di ogni singolo individuo (Katz, Rosen, Morgan, Bollino 2011, p.170), nel senso che gli individui vengono classificati in alcune classi di rischio: con alcuni individui l assicurazione vince, con altri perde; ma in media ottiene un guadagno monetario. 3. B2=B1: è il caso della concorrenza perfetta in cui la compagnia ottiene profitto tendente a zero o, semplificando, pari a zero (VAN Compagnia =0). Ovviamente la compagnia non è attratta da questa situazione, ma può essere costretta ad accettarla, se il mercato è concorrenziale, a causa del meccanismo della contendibilità. La contendibilità funziona nel seguente modo: la compagnia 2 propone contratti B2 > B1, la compagnia 3 si accontenta di contratti B3 comunque profittevoli ma con margine di profitto minore, il consumatore dunque preferisce B3 a B2 e la compagnia 3 strappa alla 2 la clientela.

Entrano nel mercato altre compagnie finchè non è più possibile offrire contratti migliori perchè Π=0, cioè B2 = B1. Dunque la concorrenza perfetta obbliga la compagnia a muoversi lungo B1 ottenendo un guadagno minimo. SCEGLIERE SE ASSICURARSI Graficamente, data una certa B2 e una certa dotazione iniziale A, muoversi lungo il vincolo a SE della dotazione iniziale, aumenta la quantità di assicurazione; a NW della dotazione iniziale, diminuisce la quantità di assicurazione. Smith si assicura se l assicurazione aumenta la sua utilità rispetto alla dotazione iniziale: ciò dipende da come sono fatte U Smith (avversione al rischio e probabilità degli stati) e B2 (premio al rischio). Si consideri il primo grafico: col contratto B1 Smith acquisterebbe l assicurazione, con B2 no. Si confrontino i due grafici fermo restando B2: il soggetto del primo grafico non si assicurerebbe, il secondo sì. IL PREMIO ASSICURATIVO Il premio assicurativo è il prezzo che remunera chi si assume il rischio, in genere la compagnia. Mentre il prezzo è equo nel senso che ha la funzione di coprire i costi, dietro la parola premio sta l idea di premiare ( La Torre Antonio, 2000, p. 55) con qualcosa in più, chi è disposto ad accollarsi il fardello del rischio, che è dannoso, al posto di qualcun altro. Ciò trova riscontro nel fatto che il premio è composto dal premio puro (il prezzo) e dalle addizionali per fare utili: di solito i premi non sono equi e favoriscono la compagnia. Il premio assicurativo risponde alla domanda: a quanto consumo è disposto a rinunciare Smith pur di togliersi il rischio, stipulando una polizza? Si determini graficamente il premio. Progetto S=(15;15) VA è 15 certo Progetto NS=(20;10) VA è 15 incerto Traccio la retta passante per i due punti: retta B1 quotazione equa Disegno l U e osservo che U associata al