IDENTIFICAZIONE DEI MODELLI E ANALISI DEI DATI (Prof. S. Bittanti) Ingegneria Informatica 10 CFU. Appello 11 Settembre 2014 Cognome Nome Matricola......... Verificare che il fascicolo sia costituito da 6 pagine. Scrivere le risposte ai singoli esercizi negli spazi che seguono ogni domanda. Non consegnare fogli addizionali. Non scrivere sul retro. Non si possono consultare libri, appunti, dispense etc. Esercizio 1 2 3 4 5 Voto in decimi La chiarezza e precisione nelle risposte saranno oggetto di valutazione ====================================================================================================================== 1 Si consideri il processo generato da: 1.1 Trovare poli e zeri e dire perché il processo è stazionario. La funzione di trasferimento corrispondente è: Uno zero: Un polo: Il polo ha modulo minore di 1 ( ) quindi è un filtro asintoticamente stabile e è un processo stocastico stazionario. 1.2 Determinare la varianza del processo. Espressione del processo nel dominio del tempo: Calcolo della varianza: Dove: Perciò: 1.3 Determinare la funzione di covarianza a un passo. 1
1.4 Dire poi quanto valgono Per si ha: Perciò: 1.5 A che valore tende per? In base al risultato del punto precedente: 2 È dato il processo: Si proceda alla sua identificazione con il metodo della minimizzazione dell errore di predizione, utilizzando come predittore: 2.1 Per un numero infinito di dati, che stima si ottiene per il parametro? Cifra di merito PEM: Dove: Perciò: 2.2 Si tracci poi l andamento qualitativo dello spettro dell errore di predizione per il predittore ottenuto al punto 2.1. 2
() In base al teorema fondamentale dell analisi spettrale: Valori notevoli: 3.5 3 2.5 2 2.3 L errore di predizione è un rumore bianco? No, è un processo MA(1) alimentato dal rumore bianco. 1.5 0.5 3 Si ha il sistema con due variabili di stato: 1 0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4 e variabile d uscita: Dove e sono processi bianchi tra loro incorrelati. 3.1 Scrivere la matrice dinamica, la matrice dell uscita e la matrice di varianza del vettore dei disturbi. 3.2 Dire se e sono processi stazionari Non sono processi stazionari 3.3 Si considerino due casi: A) (ossia il caso in cui si misura solo ) B) (ossia il caso in cui si misura solo ) Ai fini della stima del vettore di stato, quale delle due è la scelta più appropriata? 3
Matrice di osservabilità: A) B) Meglio il caso B perché sistema è osservabile (oltre che raggiungibile), quindi la convergenza è garantita. 3.4 Per la scelta fatta al punto precedente, si imposti il problema di stima dello stato, scrivendo l equazione di Riccati nell incognita e disegnando lo schema a blocchi del predittore a un passo. 3.5 Qual è il significato degli elementi e di? Varianza dell errore di predizione a un passo di e, rispettivamente 3.6 Per la scelta fatta al punto 3.3, si dica se la matrice converge o meno quando. Nel caso si abbia convergenza,, come di determina Sì perché valgono le condizioni del secondo teorema di convergenza: La coppia è osservabile La coppia è raggiungibile ( ) è la soluzione semi definita positiva dell equazione algebrica di Riccati: Sostituendo e svolgendo i conti si arriva all equazione matriciale: Che equivale a risolvere il sistema: 4
Svolgendo i calcoli si trova: 4 Si consideri il sistema, Dove Si noti che il ritardo è pari a 2. Si vuole progettare il controllore volto a imporre che sia prossimo ad un segnale di riferimento costante minimizzando con. 4.1 Si determini il controllore ottimo a minima varianza ( ) e si disegni il corrispondente schema a blocchi. Il controllore ottenuto è stabile? Modello ARMAX Lunga divisione a due passi della parte ARMA : Schema a blocchi del sistema in anello chiuso: Polinomio caratteristico del sistema in anello chiuso: Il sistema in anello chiuso è stabile. 5
Im(z) 4.2 Si consideri poi il caso (controllo penalizzato). Si disegni nel piano complesso il luogo descritto dai poli del corrispondente sistema di controllo. Per quali valori di il sistema è stabile? Rispetto al controllore progettato al punto precedente, si sostituisce il blocco: Con il blocco: Polinomio caratteristico del sistema in anello chiuso: Luogo dei poli in anello chiuso: 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 = 0 = -0.2-0.4-0.6-0.8 5 5.1 Data una variabile casuale incognita a valor medio nullo e una variabile casuale a valor medio nullo, ricavare la formula di Bayes per la stima di dato. 5.2 Dire come cambia la formula di cui sopra quando entrambe le variabili hanno valor medio non nullo. 5.3 Dire come diventa la formula quando è scalare ma è un vettore di due variabili casuali a valor medio nullo. -1-1 -0.5 0 0.5 1 Re(z) 6