PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA I(N.O.), ANNO / Prova scritta del 6// Denotato con a il numero delle lettere del nome, si consideri la serie nx + cos nx a nx, per x IR, e si determini per quali valori di x essa é convergente, divergente a + o divergente a. Si studi, nel suo campo di esistenza, la funzione: f(x) = (x a)e x+ x a con attenzione particolare a eventuali asintoti, e punti di massimo o minimo relativi. Denotato con b il numero delle lettere del cognome, si determini la funzione integrale, nell intervallo [, b], della funzione: g(x) = x + x x x +. Soluzioni compito 6// Intanto, per x =, la serie data si riduce a cos =, che chiaramente é divergente a +. Per x >, risulta a nx infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi potenza di n, e quindi la serie é convergente. Infine, per x <, il termine generale diverge a, e quindi la serie é di segno costante (negativo) e divergente a. La funzione é definita per x a, risultando inoltre lim f(x) = +, lim x a + f(x) = x a
dunque x = a é asintoto verticale (unilaterale). Si vede facilmente che f(x) é positiva per x > a e negativa per x < a, e si ha asintoto obliquo y = ex + e, sia a + che a. Dallo studio della derivata, emerge che f é crescente in ], a[ e in ]a +, + [, decrescente in ]a, a + [, e quindi ha minimo relativo nel punto di ascissa a +. La funzione g é definita e continua in [, b] e quindi ivi integrabile. Per trovare la funzione integrale, cerchiamo una primitiva, procedendo per sostituzione: ponendo u = x, si ha x + x u x x + dx = + u u u + du = (u + 4)du + Essendo u 4 u u u + du = u u + du = log(u u + ) si ha u 4 u u + du. (u /) + /4 du u + u u u + du = u + 4u + log(u u + ) arctan u + C e quindi la funzione integrale cercata é F (x) = π + x + 4 x + log(x x + ) arctan x. Prova scritta del // Si esamini il comportamento della serie (arctan (n + α) arctan n) n=a per α, ove A = numero lettere del nome; inoltre, se convergente, se ne calcoli la somma, per α = e α =. (Sugg.: si adoperi il teorema di Lagrange, applicato alla funzione arctan x.) Si studi, nel suo campo di esistenza, la funzione: f(t) = t t +, con particolare attenzione agli asintoti e ai punti di massimo e minimo relativo.
Con riferimento alla funzione f dell esercizio precedente, si calcoli l integrale definito ove B = numero lettere del cognome. B f(t) dt, Soluzioni compito // Per il teorema di Lagrange, si ha arctan (n + α) arctan n = α + θ n ove θ n é un opportuno numero compreso fra n e n + α. Si ha allora arctan (n + α) arctan n α + n e quindi la serie data é comunque convergente per ogni α. Per quanto riguarda la somma, nel caso α = la serie data é telescopica, e per α = si puo scrivere arctan (n + ) arctan n = arctan (n + ) arctan (n + ) + arctan (n + ) arctan n per cui e (arctan (n + ) arctan n) = π arctan A n=a (arctan (n + ) arctan n) = π arctan (A + ) arctan A n=a La funzione f é definita e continua su tutto IR, dunque non esistono asintoti verticali. Comunque essa presenta due asintoti obliqui, precisamente y = x per x + e y = x + per x. Dallo studio della derivata si deduce che f é crescente per < x < e per x >, e decrescente per x < e per < x < : di conseguenza nei punti di ascissa e vi sono due minimi (assoluti) e nel punto di ascissa c é un massimo (relativo). Nei punti di ascissa e la funzione non é derivabile, ma il suo grafico presenta ivi tangente verticale. Risulta ovviamente B f(t) dt = B t + t dt + t t + dt.
Il calcolo dell integrale indefinito segue le usuali tecniche d integrazione delle funzioni irrazionali, e risulta t + t dt = π 8 mentre B t t + dt = B B B + 4 8 log( B B + + B ). Sommando i due risultati ottenuti, si ha quanto richiesto. Prova scritta del 7// E data la seguente successione (b n ) n, definita per ricorrenza: b = ; b n+ = b n A ( )n+ n+, per n, dove A = numero lettere del nome. Si scrivano i primi termini della successione, e si deduca che essa converge. Qual é il suo limite? Studiare, nel suo campo di esistenza, la funzione: f(x) = ex e x e x + e x con particolare attenzione agli eventuali asintoti, punti di minimo e di massimo. integrale definito: In relazione alla funzione f dell esercizio precedente, calcolare il seguente B dove B = numero lettere del cognome. f(x)e x dx, Soluzioni compito 7// Semplici calcoli forniscono i primi termini della successione:, A = A, A +/, A +/ /... 4
da cui si vede facilmente che log A b n = T n, ove T n é la somma parziale della serie armonica a segni alterni + j= ( ) j la quale converge, per il criterio di Leibniz. Il limite di (b n ) n é allora uguale a A log, poiché la somma della serie armonica precedente é log. j Si vede facilmente che f é definita e derivabile in tutto IR, dunque non esistono asintoti verticali. I valori di f(x) sono positivi se e solo se x >, e inoltre f é dispari. Un semplice confronto tra infiniti mostra che lim x ± f(x) =, e quindi y = é asintoto orizzontale bilatero. Il calcolo della derivata fornisce f (x) = ex e x e x + e x = (e x + e x ) e x (e x + e x ) (e6x e 4x e x + ). Da qui si vede subito che il segno della derivata dipende dall espressione p(x) = e 6x e 4x e x +. Ponendo e x = t, l espressione p(x) diventa q(t) = t t t + facilmente scomponibile con la Regola di Ruffini. Se ne deduce che f (x) si annulla quando t = e x = ±, e quindi per x = log( ± ) (i due punti trovati sono uguali in valore assoluto ma di segno opposto): f ammette massimo per x = log( + ) e minimo per x = log( ). La semplice sostituzione u = e x trasforma l integrale indefinito come segue: u e x u f(x)dx = u 4 + du = 4 log(u4 + ) arctan u + C da cui e x f(x)dx = 4 log(e4x + ) arctan ex + C. Pertanto, l integrale definito é dato da B f(x)e x dx = 4 log(e4b + ) arctan eb 4 log + π 8. Prova scritta del 6/6/ 5
Si trovino gli asintoti, per x + e per x, della funzione f(x) = log e x x. Studiare, nel suo campo di esistenza, la funzione: g(x) = (x )ex x mostrando in particolare che g é limitata, e determinandone gli estremi inferiore e superiore. In riferimento alla funzione g dell esercizio precedente, calcolare il seguente integrale definito: g(x) dx. Soluzioni compito 6/6/ Risulta lim f(x) = x + lim log x + (ex x ) = + e lim f(x) = x lim log x (x e x ) =. Ha dunque senso cercare entrambi gli asintoti obliqui. L Hospital, Si ha, usando la regola di f(x) lim x + x = lim e x x log = lim (f(x) x) = x + e x lim log ex x =. x x + x + e x Dunque, l asintoto per x + é la retta y = x. Per quanto riguarda x, si ha e infine f(x) lim x x = lim log( x e x ) x x x log e x = lim = log x x e x lim (f(x) x log ) = lim log x e x = x x x per cui l altro asintoto é la retta y = x log. La funzione g é definita, continua e derivabile su tutto IR, e si ha: g() =, g() =, g(x) > x >. 6
Facilmente si vede che lim g(x) = x ± dunque g risulta anche limitata. Dallo studio di g (x) si deduce che g (x) > < x < + per cui il punto é di minimo per g, mentre il punto + é di massimo per g. L estremo inferiore per g é dunque il suo minimo, cioé g( ).557 e il massimo é g( + ).557. Calcoliamo dapprima l integrale indefinito di g: g(x)dx = ( x)e x x dx = e x x d(x x ) = ex x + c. Detta G una tale primitiva, l integrale cercato si calcola come segue: g(x) dx = g(x)dx+ g(x)dx = G() G( )+G() G( ) = +e 4.84. Prova scritta del 6/9/ Si studi, nel suo campo di esistenza, la funzione f(x) = x x +. Con riferimento alla funzione f dell esercizio, si valuti il limite lim x + (ex e f(x) ). Con riferimento alla funzione f dell esercizio, si calcoli il seguente integrale definito: f(x)dx. Soluzioni compito 6/9/ La funzione é definita in tutto IR, ed é continua e derivabile dappertutto. Essa é positiva per x > e negativa per x <. Presenta asintoto obliquo, di equazione y = x sia a + che a. Dallo studio della derivata, si deduce facilmente che la f ammette un punto di minimo relativo in, e un massimo relativo per x =. 7
E facile verificare che risulta f(x) < x, e quindi e f(x) < e x, per x >. Fissato ora x positivo, e applicando il teorema di Lagrange, si ottiene e x e f(x) = (x f(x))e t per un valore opportuno di t, compreso fra x e f(x). Ora, poiché f(x) x tende a, per x +, possiamo supporre che sia f(x) > x/, e quindi e t restera compreso fra e x e e x/. D altra parte, la quantita x f(x) é infinitesima dell ordine rispetto a /x, e quindi e t risulta un infinito di ordine superiore rispetto a x, pertanto il limite cercato vale +. Con calcoli usuali, si trova l integrale indefinito: f(x)dx = x 6 log (x + ) arctan x + C, da cui f(x)dx = 6 log 4 π. 8