METODI MATEMATII DELLA FISIA A.A. /4 Prof.. Presilla Prova finale 9 marzo 4 ognome Nome in sostituzione delle prove in itinere (segnare 1 penalità esercizio voto 1 4 5 6 7 8
Esercizio 1 Determinare tutte le soluzioni dell equazione e z 1 [punteggio ] Prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ha z log( 1 log ( 1 e i ln 1+i(+k (k+1i k, ±1, ±,... e quindi estraendo la radice quadrata z (k + 1e i (k + 1 e (i 4 + n n, 1 se k, 1,,... z k + 1 e i k + 1 e (i 4 + n n, 1 se k 1,,... Ponendo k m 1, è possibile riscrivere il secondo sistema di soluzioni come z (m + 1 e (i 4 + n n, 1 m, 1,,... In conclusione, le soluzioni cercate sono z ± 1,k ±(1 + i k + 1 con k, 1,,... z ±,k ±(1 i k + 1
Esercizio potenze (a cos(in z n n Determinare il raggio di convergenza delle seguenti serie di (b n n n (n! zn [punteggio 6] (a Il coefficiente n-esimo della serie è a n cos(in e n + e n e si ha a n a n+1 e n + e n e (n+1 + e (n+1 e n + 1 e n n 1 + e n+1 Il raggio di convergenza della serie è dunque R. (b Il coefficiente n-esimo della serie è a n nn (n! e si ha a n a n+1 n nn ((n + 1! (n + (n + (n + 1 n n (n! (n + 1 (n+1 (n + 1 (n + 1 n 7(n + 1 ( n + ( n + 1 1 n (n + 1 [( 1 + 1 n ] 7 e Il raggio di convergenza della serie è dunque R 7/e. n
Esercizio Determinare l argomento principale del valore principale di ( e + i e i+1 [punteggio ] Utilizzando z c ep(c Log z con il valore principale del logaritimo definito da Log z ln z + i Arg z con < Arg z, si ha ( e i+1 [ ( ] + i e e ep (i + 1 Log + i e [ ( ] ep (i + 1 Log e e i 4 [ ( ep (i + 1 ln e + i ] [ ( 4 ep (i + 1 + i ] 4 ep [ ( 4 + i + ] 4 e 4 +i 5 4 e quindi ( e i+1 Arg + i e 4
Esercizio 4 Determinare il dominio di analiticità delle seguenti funzioni (usare il ramo principale nel caso di funzioni polidrome ( (a cosh e sinh z (b log( + z [punteggio 6] (a Le funzioni cosh z, e z e sinh z sono intere e la composizione di funzioni intere è intera. Dunque sinh cosh (e z è analitica nell intero piano complesso. (b La diramazione principale di log z è analitica ovunque ad eccezione del semiasse reale negativo inclusa l origine. Pertanto la funzione in esame è analitica ovunque ad eccezione dei punti z che soddisfano + z a a ovvero nei punti z a ±i + a a, cioé lungo i semiassi immaginari [, e [,.
Esercizio 5 Sviluppare in serie di Taylor di centro z il ramo principale della funzione log z e determinare il raggio di convergenza di tale serie. [punteggio 4] Il ramo principale di log z log z ln z + i arg z z > < arg z < è analitico in tutto ad eccezione del semiasse reale negativo origine compresa. E evidente che il massimo cerchio di centro z in cui log z è analitica ha raggio. Detto z un qualsiasi punto tale che z <, si ha log z log Quindi log z ln + z z k k ds s ds z ds ( 1 + s ( s ( 1 k k z ( 1 k k+1 ds(s k ( 1 k (z k+1 (k + 1k+1 ( 1 n 1 n n (z n n1 ( 1 n 1 n n (z n n1 ln + z (z 18 + (z 81 k s +... < 1 Una verifica diretta conferma che il raggio di convergenza della serie è R. Infatti, detto a n il coefficiente n-esimo della serie, si ha ( a n (n + 1n+1 a n+1 n n 1 + 1 n n
Esercizio 6 Dopo aver determinato la natura della singolarità, calcolare il residuo della funzione f(z in z. ez sin z z(1 cos z [punteggio 4] Espandendo in serie di Mac Laurin le funzioni esponenziale, seno e coseno, si ha ( ( 1 + z + z! + z! +... z z! + z5 5! +... f(z ( z z! z4 4! + z6 6! +... z + z + 1 z 1 z5 +... z 1 ( 1 1 z 1 6 z4 +... ( z z + z + 1 z 1 [ 1 + z5 +... ( 1 1 z 1 6 z4 +... z ( z + z + 1 z 1 z5 +... z ( z + z + 5 1 z + 1 1 z4 1 7 z5 +... z + z + 5 6 + z 6 z 6 +... Pertanto f(z ha in z un polo di ordine con Res f(z z ( 1 + 1 z 1 6 z4 +... +...] ( 1 + 1 1 z + 7 7 z4 +...
Esercizio 7 alcolare il valore del seguente integrale + 1 d [punteggio 4] La funzione f(z z z + 1 ha poli semplici in z k e i +i k, k, 1,. Detto L 1 R L il cammino di integrazione chiuso definito da L 1 {z(, R} R {z(θ Re iθ, θ /} L {z( e i, R } poiché f(z è analitica su e dentro ad eccezione del polo semplice in z z per R > 1 si ha f(z i Res zz f(z i z z i e i mentre i singoli cammini di integrazione valgono L 1 f(z f(z R f(z L R R + 1 d Re iθ R e iθ + 1 ireiθ dθ R e i e i + 1 ei d e i 4 e quindi nel limite R si ottiene (1 e i 4 In conclusione + 1 d i e i R + 1 d + 1 d i e i 1 e i e i e i i 4 e i e i sin (
Esercizio 8 auchy f(z 1 i Enunciare e dimostrare il teorema della formula integrale di f(z z z [punteggio 4] Teorema 1 (formula integrale di auchy. Sia f(z analitica su e dentro il cammino chiuso semplice orientato positivamente. Se z è un qualsiasi punto interno a allora f(z 1 i f(z z z Dimostrazione. Sia ρ {z(θ z + ρe iθ, θ } con ρ sufficientemente piccolo affinché ρ sia interno a. Poiché f(z/(z z è analitica su, su ρ e nella regione compresa tra e ρ, per il principio di deformazione dei cammini si ha f(z z z ρ f(z z z Da questa, e usando ρ (z z 1 i, segue f(z f(z f(z if(z z z ρ z z Poiché f è analitica e quindi continua in z, per ogni ε > esiste δ > tale che f(z f(z < ε se z z < δ. Scelto ρ < δ, si ha f(z f(z ρ z z < ε ρ ε ρ Dall arbitrarietà di ε segue che ρ f(z f(z z z e quindi l asserto.