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------------------------------------------------------------------------------------------------ CAPITOLO ELEMENTI DI TERMOFLUIDODINAMICA ------------------------------------------------------------------------------------------------ In qusto catolo vngono ntrodott lmnt d trmofludodnamca r lo studo dl moto d flud comrmbl n condott. Utlzzando una rarsntazon dl moto monodmnsonal, vn analzzato l dflusso n condott a rgm rmannt, anch n rsnza d notvol dffrnz d tmratura. Vn noltr samnato l dflusso adabatco n condott a szon varabl.. Introduzon In molt rocss tcnc s ralzzano scamb nrgtc ch convolgono un fludo n movmnto. Al moto dl fludo è gnralmnt assocato un trasfrmnto d nrga tra comonnt dl sstma nrgtco tra qust l strno: l fludo assum la funzon d lmnto vttor d nrga. In qusto catolo c s roon d samnar gl astt fondamntal dlla trmodnamca dl dflusso d flud, n artcolar n condott, coè d studar l rlazon d scambo (trmco dnamco tra l sstma l strno, r un fludo n moto, n condzon smlfcat. Lo studo dl moto n condott dll fflusso da artur (luc d ugll è mostato su tr quazon d cu una srm la consrvazon dlla massa (contnutà, un altra srm l rnco dlla consrvazon dlla quanttà d moto la trza l blanco dll nrga. Qust ultma uò assumr du form: una è dovuta a Brnoull uò ssr ddotta n bas a ragonamnt uramnt mccanc n artcolar condzon, l altra è ottnuta consdrando sa gl scamb d lavoro, sa qull d calor, con l ots gà ntrodott nl ca. 5. Lo studo analtco dl moto d flud è svolto n dttaglo dalla Mccanca d flud, ch tuttava fa quas smr rfrmnto a flud ncomrmbl. Nlla Trmodnamca alcata occorr nvc consdrar l varazon d volum dl fludo sovnt l quanttà d calor scambat con l strno; occorr coè consdrar l trasformazon trmodnamch subt dal fludo.. Schmatzzazon dl moto d quazon fondamntal d consrvazon La fnomnologa dl moto d flud è assa comlssa uò ssr dscrtta analtcamnt mdant modll smlfcat. L arocco ch vrrà qu sguto rcorr ad una rarsntazon ch consdra un rocsso dal globalmnt quvalnt a qullo ral, ur dscostandosn anch snsblmnt n artcolar. S mmagna ch l moto s svlu mdant vn flud o fltt d corrnt, n cu sono null l comonnt dlla vloctà normal alla surfc latral d contorno. S dfnscono du conctt: sgundo l moto d una artclla fluda nl tmo s ottn la trattora dl unto-massa ch la rarsnta, analzzandon l vttor vloctà s dfnsc lna d corrnt qulla lna ch ammtt n ogn unto com tangnt lo stsso vttor. Nll condzon dl rgm rmannt la trattora concd con la lna d corrnt. Pr vna fluda o fltto d corrnt lmntar s ntnd l nsm dll trattor ch

rsntano una szon trasvrsal d ara mnma comatbl con la scuzon dll msur fsch ntrssant, n artcolar, d vloctà, rsson tmratura. In qualunqu szon trasvrsal d un fltto d corrnt la vloctà (ch è normal alla szon stssa, la rsson, la tmratura d l volum scfco sono suost costant. Il modllo d rfrmnto è dunqu monodmnsonal d assum condzon d rgm rmannt trmodnamco d massa. Consdrando un fltto d corrnt n rgm rmannt, la massa d fludo ch attravrsa, nll untà d tmo, una qualunqu szon trasvrsal d ara A è costant, s ha qund: Aρ = costant (. s è la vloctà ρ la dnstà dl fludo. L quazon srm la consrvazon dlla massa. Con rfrmnto alla ortata ondral, dtto γ l so scfco, sarà: Pr du szon dstnt s avrà: Aγ = costant = A ρ A ρ L rlazon sora scrtt ossono alcars anch a vn flud d szon trasvrsal fnta consdrando valor md dlla vloctà dlla dnstà nlla szon gnrca. Infn, l quazon d contnutà (. uò scrvrs n forma dffrnzal com: d + da dρ + = 0 A ρ (. L quazon d consrvazon dlla quanttà d moto, nll condzon sora rcsat, assum una forma smlfcata ch uò ottnrs faclmnt s s consdra un lmnto fludo, costtuto dalla massa m (comrsa tra l szon ù la massa dm ch attravrsrà la szon nl tmo dτ. Nllo stsso tmo dτ una ar massa dm attravrsrà la szon rtanto la varazon dlla quanttà d moto dll lmnto fludo d massa m + dm rsultrà ugual al rodotto dlla massa dm r la dffrnza tra l vloctà nll szon. Tal varazon dlla quanttà d moto dovrà guaglar l mulso dll forz agnt sull lmnto fludo nl tmo dτ : F dτ = dm ( ovvro F = m& ( (.3 dm C.V. C.V. dm m W W m Fg... Consrvazon dlla quanttà d moto a rgm rmannt.

avndo ndcato con F la rsultant dll forz agnt sull lmnto nlla drzon dl moto con m& la ortata n massa dl fludo stsso. All rcdnt quazon d consrvazon s assoca l quazon dll nrga, nlla formulazon dl I rnco gà ottnuta r un volum d controllo d sguto rscrtta n forma ù dona allo studo dll trasformazon rlatv a flud n movmnto. L srsson ch così s ottn è nota com quazon d Brnoull..3 Equazon d Brnoull Tra l szon strm d un lmnto d un fltto d corrnt uò alcars l quazon d blanco d sstm art a rgm rmannt, trattando com volum d controllo l volum ch racchud l lmnto mdsmo. In trmn dffrnzal con rfrmnto all untà d massa, l quazon rcordata s scrv: d dq dl = d + + gdz (.4 La (.4 è rtanto l quazon fondamntal dl dflusso rmannt n una sola dmnson r un sstma a comoszon chmca costant. Notando ch d = TdS + vd, la rcdnt dvnta: d dq dl = dq + TdS + vd + + gdz s da cu : d dl + TdS + vd + + gdz = 0 s Esrmndo mccancamnt l trmn dssatvo TdS s osto ugual a dl a (trmn dssatvo d I sc rfrto al fnomno attrto, s rcava: d dl + dla + v d + + g dz = 0 (.5 n cu comaono trmn nrgtc ror dl sstma, trmn d scambo nrgtco trmn d dssazon. La (.5 vn ancora formalmnt modfcata r rndrla ù dona alla soluzon d roblm connss con l moto d flud, n artcolar n condott. S not ch un qualunqu lavoro, ntrssant l untà d massa, uò ssr srsso mdant l rodotto dl volum scfco dl fludo r una oortuna rsson dffrnzal d ' cò r omogntà dmnsonal. S trattrà o d dtrmnar l valor d tal rsson dffrnzal, n gnral dvrsa dalla varazon d rsson attual subta dal fludo n moto. Una rsson dffrnzal è noltr smr rarsntabl com rodotto dl so scfco γ r l altzza d una colonna d fludo dh ' ch con l suo so qulbra qulla rsson. Pr l lavoro strno ntto lmntar s uò qund orr: dl = v d = v γ dh = g dh Analogamnt r l lavoro d attrto: dl a = v da = v γ dha = g dha Sosttundo l rcdnt nlla (.5 dvdndo r g s ottn nfn: 3

dh d d + dha + + + dz = 0 γ g (.6 Tra du szon dstnt, smr nll condzon d rgm rmannt, s ha: d ( h, + ( ha, + + + z z γ g = 0 (.7 n cu trmn ( h, ( h a, carattrzzano l lmnto fludo comrso tra l szon dtt. L quazon carattrzzant l moto è così rdotta ad una somma d carch dffrnzal, dmnsonalmnt lunghzz. Il carco ssndo l altzza quvalnt, coè l altzza d una colonna d fludo n moto qulbrant la rsson dffrnzal ch corrsond al trmn nrgtco (vntualmnt dssatvo o d scambo, consdrato. La (.6 è dtta quazon d Brnoull gnralzzata, n notazon dffrnzal; ha sgnfcato nrgtco n rfrmnto all untà d so dl fludo dflunt. I trmn ch n ssa comaono vngono così dnomnat: - dh carco motor rarsnta un trmn ffttvo d scambo (con l strno; - dh a carco d attrto, trmn d dssazon; d - carco zomtrco (da zomtro, msurator d rsson, corrsondnt γ all ffttva varazon d rsson nl fludo; d - carco cntco; g - dz carco gravtazonal, varazon d quota ffttva. d vd S not ch l trmn = non è una nrga d rsson, la sua orgn è: γ g d vd = = d TdS = du + d( v dq TdS s ρ contn dunqu una comonnt dll nrga ntrna trmodnamca (du, trmn d scambo con l strno, trmco (dq dnamco (d(v, d nfn un trmn d dssazon. Com gà notato, l rlazon d Brnoull val a rgor lungo l sol ln d corrnt, ssa è tuttava alcata all corrnt concrt, d szon anch notvol, consdrando oortun valor md nlla szon gnrca, non soltanto r la vloctà, ma anch r tutt l quanttà carattrstch dllo stato dl fludo, v, T. La quota z è rsa nl barcntro dlla szon consdrata..4. Dfnzon oratva dl carco d attrto S consdr un condotto a art rgd, d szon costant, dsosto orzzontalmnt attravrsato da un fludo n rgm rmannt. Indvduat du szon l quazon (.7 fornsc: 4

( d + + γ g h a, = S s ammtt trascurabl l fftto dlla varazon d rsson sul so scfco, com nl caso d lqud n moto (γ = cost., r quanto stablto crca l ara dlla szon dl condotto, anch la vloctà subsc varazon trascurabl, s ha così: 0 ( h a, = γ Nll condzon ost, la caduta d rsson, msurata da un manomtro dffrnzal, dvsa r l so scfco dl fludo, fornsc l carco corrsondnt all attrto ( h a, coè la quanttà dtta comunmnt rdta d carco. La rlazon tra tal grandzza la roduzon ntroca è ddotta dalla dfnzon stssa d carco d attrto, rsulta nfatt: g ds = T s dh a Una ntrssant ntrrtazon d fnomn d attrto è offrta dalla mccanca d flud. Pr fftto dlla vscostà dll artcll flud dll adrnza d qust all art dl condotto, un fltto d corrnt è mantnuto n moto rstto all rmannt orzon d fludo ovvro all art, alcando un lavoro. Qusto lavoro dvso r l volum d fludo sostato, fornsc la caduta d rsson r attrto qust ultma, dvsa r l so scfco dl fludo, dà la rdta d carco..5. Calcolo dll cadut d rsson r attrto La caduta d rsson r attrto n un condotto rttlno a szon costant è normalmnt rfrta all untà d lunghzza dl condotto dnomnata caduta d rsson (o rdta d carco lnar. Essa rsulta: l a ha = γ (.8 l Pr un tubo lsco, la caduta d rsson lnar dnd ssnzalmnt dall rortà dl fludo, dall condzon d moto dalla gomtra dl condotto. Prma d rsntar l rlazon r l calcolo è oortuno rchamar alcun nformazon sull carattrstch d flud..5.. Prortà rologch d flud Pr dscrvr l comortamnto trmodnamco d un fludo n moto è ncssara la conoscnza sa dll rortà trmodnamch, sa dlla vscostà. Un fludo ral è nfatt carattrzzato da vscostà non nulla, ch uò ssr trascurata soltanto n condzon dl tutto artcolar quando l forz d attrto sono trascurabl rstto all rmannt forz n goco. S consdr l moto comltamnt svluato, n rgm rmannt lamnar, d un fludo contnuto tra du art an ndfnt d cu una n qut l altra mantnuta n moto a 5

vloctà, sotto la snta d una forza agnt nlla drzon arallla alla lastra. S dfnsc vscostà dnamca dl fludo l coffcnt d roorzonaltà tra lo sforzo tangnzal srctato sull lmnto fludo d l gradnt d vloctà nl fludo, n drzon normal al moto. y F x Fg... Moto lamnar d uno strato fludo comrso tra du lastr an ndfnt. Indcando con A l ara dlla surfc d contatto tra la lastra d l fludo, la rsstnza allo scorrmnto F vn srssa n modulo dalla lgg d Nton: d F = µ A ovvro dy F d τ yx = = µ (.9 A dy n cu τ yx rarsnta lo sforzo tangnzal (agnt su un ano d normal y, scondo la drzon x µ la vscostà dnamca dl fludo. Pr una vasta catgora d flud, dtt ntonan, la vscostà µ, ad una data tmratura rsson, è ndndnt dallo sforzo vscoso. Esstono tuttava flud r qual l condzon d moto non ossono srmrs scondo la (.9 ssndo la stssa µ dndnt dallo sforzo tangnzal τ; r ss è dunqu: d dy = τ µ(τ A sconda dll andamnto dlla funzon µ(τ, flud vscos vngono dtt sudo lastc dlatant. Aartngono alla catgora d flud sudo-lastc quas tutt olmr lqud ad lvato so molcolar, mntr l sosnson l vrnc hanno n gnr un comortamnto dlatant (Fg..3. La scnza ch s occua dl comortamnto d flud non ntonan rnd l nom d rologa. I flud ral ch consdrrmo vrranno suost ntonan; r ss la vscostà dnd notvolmnt dalla tmratura d n mnor msura dalla rsson. Il comortamnto d flud è dvrso a sconda ch ss s trovno allo stato lqudo o arform. Ngl arform la vscostà aumnta con la tmratura, mntr n lqud tnd a dmnur. Sa ngl arform ch n lqud la vscostà aumnta con la rsson. 6

τ yx ntonan sudo lastc dlatant d/dy Fg..3. Prortà rologch d flud. S dfnsc vscostà cnmatca l raorto tra la vscostà dnamca la dnstà Tal grandzza ha l dmnson d un ara dvsa r un tmo. ν = µ / ρ..5.. Anals dmnsonal numro d Rynolds I rsultat d srnz analogh a qull dscrtt r la dfnzon oratva dl carco d attrto, suggrscono d assumr ch la caduta d rsson lnar n un condotto rttlno a art rfttamnt lsc dnda ssnzalmnt dalla vloctà, dalla dnstà ρ dalla vscostà µ dl fludo, dalla forma dmnson dlla szon (costant dl condotto. S dunqu rarsntamo fattor gomtrc con D, damtro dlla szon, d assumamo una vloctà mda dl fludo, s uò scrvr: = f (, ρ, µ, D l S assuma la funzon f svluabl n sr d otnz con costant B : l = B u x ρ y µ D z s alch l crtro d omogntà dmnsonal (torma d Buckngham. Raggruando l otnz ch hanno la stssa bas n rfrmnto all tr grandzz mccanch fondamntal ch ntrvngono, s ottngono tr quazon nll quattro ncognt dat dagl sonnt. S s srmono l ncognt n funzon d y s ottn: y y y = B ρ µ D l y Mttndo nfn n vdnza l otnz con sonnt costant: l ρ = D B ρ D ( µ y = γ g D f ' (R 7

ρd con R = è stato ndcato l gruo admnsonal dnomnato numro d Rynolds. La µ funzon f ' (R, ndcata nl sguto con λ, è dtta fattor d attrto (d Darcy n tub d è admnsonal..5.3. Fattor d attrto n tub La caduta d rsson r attrto, r un condotto rttlno d damtro D, è dunqu: l = γ λ = γ g D a h a (.0 La rdta d carco corrsondnt, r un dato valor d λ, rsulta rtanto roorzonal al carco cntco d alla lunghzza dl condotto: l h a = λ (. g D Pr la valutazon dl fattor d attrto λ s fa rfrmnto ad srsson analtch nl caso d moto lamnar d a formul mrch o dagramm nl caso d moto turbolnto. Pr ccol vloctà ccol valor d R, l srnza dmostra ch l moto s svlua r fltt flud bn dfnt contnu, tra loro aralll (moto lamnar o vscoso; nl scondo caso nvc fltt flud rdono dfnzon contnutà r fftto d vortc. Il numro d Rynolds costtusc l crtro ch consnt d ndvduar du dstnt rgm. Il suo sgnfcato fsco uò ssr stablto consdrando l forz assocat all nrza d alla vscostà dl fludo n moto. L rm sono roorzonal alla varazon dl flusso d quanttà d moto, coè al rodotto dlla ortata r la varazon dlla vloctà, mntr l scond, rfrt all untà d ara, sono roorzonal al rodotto dlla vscostà r l gradnt d vloctà. Indcando con l una lunghzza sgnfcatva, l raorto tra forz d nrza forz vscos rsulta roorzonal a: l ρ lρ = = R µ µ l l l numro d Rynolds uò dunqu ssr rtnuto rarsntatvo dl raorto tra l forz d nrza l forz vscos. Quando l forz vscos rsultano rvalnt (bass valor d R l moto è lamnar dvnta turbolnto al rvalr dll forz d nrza. Nl caso d condott a szon crcolar, l fattor d attrto nl rgm lamnar rsulta dato da: 64 λ = (. R La transzon tra l rgm lamnar qullo turbolnto s stablsc nl camo d valor dl numro d Rynolds R comrs tra crca 000 3500. Nl rgm turbolnto la rsstnza d attrto è fortmnt nflunzata dalla rugostà dlla art d cò s tn conto ntroducndo l raorto admnsonal ε/d n cu ε rarsnta la scabrzza assoluta dlla art dl condotto. Sulla bas d rsultat srmntal ottnut con dvrs flud, dvrs rugostà dmnson d condott, è stato costruto l dagramma d 8

Moody rortato n Fg..4. Gl andamnt n sso rarsntat sono stat corrlat da Colbrook mdant l quazon: ε / D. 5 =.0 log + λ 3.7 R λ (.3 Fg..4. Fattor d attrto n tub: dagramma d Moody. Dall srsson rortat uò ddurs ch la caduta d rsson r attrto nlla rgon lamnar rsulta roorzonal alla vloctà dl fludo, mntr nl rgm turbolnto, r λ ndndnt da R, la dvnta roorzonal a..5.4. Prdt d carco n sngolartà In ratca l fludo n moto n condott ncontra molt altr rsstnz, localzzat n dtrmnat zon. D artcolar ntrss sono qull dovut a brusch varazon dlla szon dlla drzon dl moto, qull rovocat dalla rsnza d ostruzon qual fltr, valvol rubntt cc. Il calcolo d qust rsstnz localzzat è n gnr uttosto mrcso soltanto n lmtat cas mostato su bas torch, r la comlsstà dl moto c s basa su dat uramnt srmntal. Rnvando a manual scalzzat s uò ossrvar ch n gnral tutt l rsstnz vngono srss n funzon dl carco cntco scondo la srsson: 9

' = γ λ' (.4 g dov λ assum valor dvrs caso r caso, n funzon dl to d sngolartà. In concluson la total rdta d carco r rsstnz dstrbut localzzat rsulta data da una rlazon dl to: l ' j ha = λ + λ (.5 j g D g con j valor dll vloctà md local.. 6. Mot con notvol dffrnz d tmratura In numros stuazon l moto dl fludo è rovocato da gradnt local d dnstà, dovut a gradnt d tmratura, ch, n rsnza dl camo gravtazonal, danno orgn a snt d gallggamnto. Così è ad smo r crcut a trmosfon, r cabnts contnnt comonnt lttronc rfrgrat r vntlazon natural, n tutt cas n cu s svluano mot convttv natural. Una alcazon dll quazon d Brnoull allo studo dl moto dovuto a dffrnz d tmratura è nota com roblma dl camno ch vrrà affrontato a ttolo smlfcatvo, n forma smlfcata. S consdr un camno r lo smaltmnto d fum rodott n camra d combuston s suonga ch sa schmatzzabl com un condotto avnt un brv tratto orzzontal sguto da un tratto vrtcal molto ù lungo. Ponamo nl tratto - la tmratura unform ar T mntr nlla colonna strna la tmratura è T ; s scfc corrsondnt sano γ γ. La dstrbuzon dlla tmratura rsnta dunqu una dscontnutà all mbocco, mntr è sclusa una dscontnutà dlla rsson. j = a T γ = a + γ T γ Fg..5. Alcazon dll quazon d Brnoull al roblma dl camno. L quazon d Brnoull alcata al tratto comrso tra l szon s scrv: d ( h, + ( ha, + + + z z γ g = 0 0

S uò notar ch la vloctà n è gnralmnt trascurabl oché l fludo rovn da una szon molto ù grand; ndcando con a la rsson atmosfrca all altzza dlla szon, la rsson agnt sulla facca strna dlla szon sarà ( a +γ. Pr la costanza d s scfc s ha: γ + + ( h = ( h (.6 a,, g γ Nll ots ch l camno sa a traggo natural ((h, =0 la rcdnt s smlfca uò scrvrs nlla forma: ( γ γ = γ ( + ( ha, (.7 g Il rodotto a rmo mmbro rarsnta la rsson dffrnzal, dsonbl alla bas dl camno, ch rovoca l moto d qulbra la caduta d rsson dovuta all acclrazon dl fludo qulla dovuta all attrto. Tal rsson dffrnzal è corrlabl alla dffrnza d tmratura tra l colonn d fludo, ntrna d strna, n ooszon. Esrmndo ora l rsstnz d attrto dstrbut localzzat n funzon dlla vloctà, nll ots d condotto a szon costant lunghzza, s ha: ( γ γ = γ ( + λ + λ j (.8 g D Rsolvndo la (.8 s ottn nfn la vloctà dl fludo allo sbocco (szon, r un camno d dfnt carattrstch gomtrch, not l tmratur d flud all ntrno d all strno: g( γ γ = (.9 γ ( + λ + λ j D Un calcolo ù arossmato otrà ssr fatto tnndo conto dll nvtabl non unformtà d tmratura nl condotto. Allo scoo l camno uò ssr suddvso n tratt sotrm a cu alcar l rocdmnto r la valutazon dlla rsson dffrnzal dsonbl. Nl caso n cu s vogla rocdr al dmnsonamnto gomtrco d un camno, l roblma uò ancora ssr rsolto con la (.8 s, not l tmratur la ortata d fum, vn stablto un valor r la vloctà d gas allo sbocco. In qust condzon, l roblma nll ncognt D uò rsolvrs assocando l quazon d contnutà. Nl caso nfn d camno a traggo forzato è soltamnt trascurabl ( γ γ rstto a (h, (anch rché è ccola coscché: j j S ha dunqu: ( h γ ( h, = γ ( + ( ha, g = ( + λ + λ j (.0 g D j =, hm

Il dmnsonamnto dl roulsor s ffttua assocando l quazon d contnutà r dtrmnar D, fssata la vloctà d fum, l altzza, ssndo not l tmratur la ortata..7. Il roblma dl roulsor Il moto d flud n condott uò ssr rovocato r gravtà, nsrndo ad smo un srbatoo soralvato, ovvro r dffrnz d tmratura, o, nfn, r la rsnza d un roulsor. Consdramo qust ultmo caso con rfrmnto ad un crcuto chuso con qualsvogla gactura, r valutar l carco motor (ngatvo la otnza dl roulsor. Ponndo h m = -h, l carco dl roulsor rsulta n gnral dfnto dalla quazon d Brnoull osta nlla forma: d h + ( h = + z z + m g γ a, Il valor d h m dnd dunqu dalla dstrbuzon d rsson lungo l condotto. Noto h m, la otnza dl roulsor s uò ottnr rcordando ch tal carco rarsnta l lavoro alcato all untà d so dl fludo n moto. Moltlcando allora h m r la ortata n so d fludo volvnt, s ottn la otnza dl roulsor: P = m& g h m = A m Tal otnza è rtanto roorzonal al carco dl roulsor ovvro alla rsson gnrata dal roulsor m. Consdrando l crcuto chuso d Fg..5, orant a rgm rmannt, suonamo d taglar lo stsso con la szon S d alcar l quazon d Brnoull all ntro crcuto comrso tra l szon, consdrando qust, rsttvamnt, com facca d ngrsso facca d uscta dl fludo attravrso S. S ha z = z, = d noltr =, h = h. N sgu ch: d h = + h (. γ m ( a d noltr dall quazon d blanco d sstm art:, L,, Q = (. La (. confrma la dndnza dl carco dl roulsor dalla dstrbuzon d rsson lungo l crcuto. Soltanto nl caso d fludo ncomrmbl l carco dl roulsor s rduc al carco d attrto comlssvo. La (. rcsa ch tutto l lavoro alcato al sstma assa all strno com calor. Prtanto un crcuto chuso, n rgm rmannt, non uò rsultar adabatco.

Sz. Sz. Fg..6. Alcazon dll quazon d Brnoull ad un crcuto chuso. S l crcuto n sam non foss chuso, com nl caso d fgura.7, allora l carco dl roulsor rsultrbb funzon anch dl dslvllo tra l szon strm (gactura dl sstma dlla varazon d nrga cntca mrssa al fludo. L quazon d Brnoull alcata al caso d un lqudo, osto ch l rsson n s ossano rtnr ugual tra loro ar alla rsson atmosfrca, s uò scrvr: h + g = + ( h m a, trascurando la vloctà dl fludo nlla szon. Fg..7. Alcazon dll quazon d Brnoull ad un crcuto arto..8. Moto d flud comrmbl n condott a szon varabl In molt alcazon d nggnra gas s muovono a vloctà rlatvamnt lvat srmntando sgnfcatv varazon d dnstà n ffluss n condott a szon varabl. Imortant sm sono rarsntat dal moto attravrso ugll dffusor nll macchn a gtto r la roulson ara, dall fflusso d gas o vaor nll turbomacchn, dal moto nll gallr dl vnto o ngl ttor. Qust ffluss sono not com ffluss comrmbl rarsntano un sttor dlla trmofludodnamca alcata d notvol ntrss. Pr studar mglo l carattrstch dl moto n tal condzon, samnamo darma la conformazon d una vna fluda n un fflusso lbro, qual s vrfca ad smo nl caso n cu vnga ratcato un foro nlla art d un rcnt n rsson. 3

.8.. Carattrstch dll fflusso n vna lbra L fflusso sontano d un fludo da un rcnt n rsson attravrso una artura mostra carattrstch ch dndono rncalmnt da valor dll rsson ch lo dtrmnano. Dtta la rsson vgnt all ntrno dl rcnt la rsson dll ambnt strno, la vna fluda mostra nll fflusso una forma carattrstca con rstrngmnto nzal (convrgnt, dovuto all nrza dll artcll succssvo modrato allargamnto. c c Fg..8. Efflusso n vna lbra d un fludo comrmbl. S rò la rsson a vall è mnor d una data rsson, dtta rsson crtca d fflusso c, la vna mostra una ntta dscontnutà d rsson la consgunt rottura. Con rfrmnto alla ortata n massa m& dflunt attravrso l artura, s c, m& crsc con rgolartà, a artà d, al dmnur d fno a = c ; r < c la ortata non subsc ù aumnt, ma rsta ugual a qulla corrsondnt a = c, ch è la massma ossbl. A qust ultma condzon corrsond una vloctà d fflusso ugual a qulla d roagazon dl suono nl fludo ( s nll condzon trmodnamch vgnt nlla szon contratta ( = c, ρ = ρ c. Pr < c la vloctà dl fludo nlla szon contratta non crsc oltr s s non d molto oco, con rrgolartà fluttuazon. L aumnto d vloctà è o mnor d qullo ch s otrbb ottnr sfruttando tutto l salto ntalco dsonbl. c S Fg..9. Efflusso n vna lbra d un fludo comrmbl, con rottura dlla vna. 4

Poché l aumnto d vloctà oltr la vloctà d roagazon dl suono non è affatto scuro smr assa ccolo, s dv rtnr ch nll fflusso n vna lbra la massma vloctà dl fludo sa s. S ha dunqu un fftto d rrvrsbltà classfcabl tra l sorgnt ntroch r dscontnutà d rsson. S comrnd com la non ntgral utlzzazon (n nrga cntca dlla total caduta ntalca dsonbl (r < c costtusca un notvol svantaggo. L nconvnnt uò rò ssr lmnato alcando alla luc d fflusso un condotto dtto ugllo d fflusso oortunamnt sagomato così da gudar la vna fluda, rmttndo una rgolar varazon dlla rsson d vtando l fnomno dssatvo dlla rottura. Da qust consdrazon tra orgn lo studo dl moto d flud n condott a szon varabl. Prmttamo l quazon ch fornsc la vloctà d roagazon dl suono (ond d rsson d lmtata amzza n un fludo..8. Vloctà dl suono numro d Mach In fludodnamca s dfnsc vloctà dl suono, la vloctà con la qual s roaga n un fludo una rturbazon nfntsma d rsson. L artcll dl fludo ntrssato alla roagazon d un onda sonora subscono gnralmnt un ccolo sostamnto accomagnato da varazon d dnstà, rsson tmratura altrttanto ccol. Lo sostamnto macroscoco a vloctà rlvant rguarda l solo front d onda. S consdr un condotto ad ass rttlno orzzontal, d szon costant A, contnnt un fludo nzalmnt n qut a rsson (unform, tmratura T (unform, dnstà ρ. Immagnamo d rodurr un onda d rsson nl fludo mdant l movmnto d un ston con vloctà unform nfntsma d. Qusto gnra un onda d rsson l cu front s muovrà con vloctà unform s. Il fludo attravrso cu l front è assato s trovrà alla rsson rturbata +d, dnstà ρ+dρ, avrà vloctà d (Fg..0a. a d + d ρ+ dρ ρ s b s - d + d s Fg..0. Vloctà d roagazon d un dsturbo d rsson n un fludo comrmbl. 5

Rstto ad un rfrmnto soldal con l front d onda l fludo scorr da dstra vrso snstra, con vloctà ch s rduc da s a s d, mntr la rsson assa da a + d (Fg..0b. Essndo l moto stazonaro ossamo alcar l quazon d consrvazon dlla quanttà d moto qulla d contnutà nlla forma: A [ ( + d ] = m& [( d ] s s m& = A ρ = ( d A( ρ dρ s s + Dalla rma s ha: A d = m& d d ssndo m & = A s ρ s d = (.3 ρ d Dalla sconda, svluando: d dρ = ρ da cu: s dρ d = s (.4 ρ Sosttundo la (.4 nlla (.3, s rcava n dfntva: d s = (.5 dρ La vloctà dl suono è dunqu una rortà trmodnamca carattrstca dl mzzo dl rocsso. La forma trovata r s è la ù gnral. La (.5 suggrsc ch la vloctà dl suono è tanto ù lvata quanto ù ccol sono l varazon d dnstà consgunt ad una data varazon d rsson. Dalla rcdnt quazon s dducono srsson ù smlc r artcolar cas samnat. Nl caso d un rocsso sontroco r un gas rftto la (.5 s rduc alla nota srsson d Lalac: s = k = k R T ρ (.6 c con k =. Pr una adabatca d Posson s ha nfatt: d dρ = k da cu la rcdnt. cv ρ Numros srnz hanno ndcato ch la rlazon tra rsson dnstà attravrso un onda d rsson rsulta quas sontroca almno a frqunz non troo lvat. 6

.8.3 Equazon d ugonot Nl caso d fflusso snza sorgnt ntroch (n artcolar snza attrto, orzzontal snza lavoro strno ntto, la quazon (.6 s rduc a: d g d + = gρ 0 ovvro alla: d = d ρ Esrmndo la varazon d rsson r mzzo dlla (.5 s ha dunqu: dρ d + s = 0 (.7 ρ n cu s è la vloctà d roagazon dl suono nll condzon attual d rsson, dρ tmratura dnstà. Rcavando dalla (.7 l trmn sosttundolo nlla quazon ρ d contnutà n forma dffrnzal (., s ottn nfn: con M =, numro d Mach. s da d = ( M (.8 A La (.8, dovuta a ugonot, è una rlazon molto mortant nllo studo dgl ffluss d flud comrmbl; da ssa s ossono ottnr mortant ndcazon sull modaltà d fflusso anch s vald a rgor nl caso d moto n un condotto rgdo, orzzontal, rvo d attrto. L quazon d ugonot uò ssr osta nll sgunt form quvalnt: L rcdnt consntono d notar quanto sgu. da d = ( M (.9 A ρ da ( M dρ = (.30 A M ρ. S la vloctà attual d dflusso è mnor d qulla d roagazon dl suono (M<, rgm subsonco, rsulta: da da < 0 > 0 d d l varazon d vloctà (d sono d sgno oosto a qullo dll varazon dll ara dlla szon d dflusso (da dlla rsson (d. 7

. S la vloctà attual è maggor d qulla d roagazon dl suono (M>, rgm sursonco, rsulta: da da > 0 < 0 d d l varazon d vloctà (d sono dllo stsso sgno dll varazon d ara (da, anch n qusto caso, d sgno oosto all varazon d rsson (d. 3. Posto ch l carattrstch dl condotto d valor dll rsson strm sano tal da confrr al fludo n una crta szon la vloctà dl suono (M =, r d arbtraro è comunqu da = 0 rtanto la vloctà s vn ottnuta n una szon d ara mnma (rgm sonco. E da notar tuttava ch s n una data szon d un condotto s ha da = 0, cò non comorta ncssaramnt ch v s nstaur la vloctà s. Prché qusto s vrfch occorr ch l sanson sa accomagnata da una varazon d ntala tal da confrr al fludo la nrga cntca corrsondnt. Nl caso d fflusso adabatco, nfatt, l ntala nlla szon contratta dovrà assumr un valor dfnto c dato da: s c = (.3 A tal valor dll ntala, r assgnat condzon nzal, corrsond un dfnto valor dlla tmratura T c (tmratura crtca d fflusso d una dfnta rsson c (rsson crtca d fflusso. S otrà allora stablr ch l stturs (nlla szon dtta dllo stato crtco d fflusso (T c, c mlca n qulla szon = s, M =, qund dα = 0. La rsson crtca vg dunqu soltanto nlla szon d ara mnma. S not ch qualora l condotto non rsntass varazon d szon adguata, sarbb la vna stssa a contrars. Quanto dscrtto sugl ffluss n vna lbra uò ancora ssr ntrrtato attravrso l quazon d ugonot. Nl caso d > c la vna fluda consrva contnutà d l fludo assum nlla szon d ara mnma la rsson a vall. L fflusso s svlua n rgm subsonco con sanson accomagnata da ncrmnto dlla vloctà rduzon dll ara dlla szon dlla vna fluda. In qust condzon r gudar la vna fluda s utlzzano condott convrgnt dtt boccagl. S < c la vna s rsnta contnua n un rmo tratto a szon dcrscnt d n corrsondnza dlla szon contratta s stablsc una brusca dscontnutà d rsson, accomagnata da rdta d vloctà d allargamnto dll ara dlla szon. A mont dlla szon contratta la rsson tnd al valor crtco d fflusso d mmdatamnt a vall la rsson è qulla mosta d valor, con consgunt fftt dssatv. Pr far aumntar ultrormnt la vloctà dvnta ncssaro gudar la vna n modo ch s ralzz un gradual aumnto dll ara dlla szon (rgm sursonco. Un condotto convrgnt dvrgnt confgurato r tal scoo è l ugllo d D Laval. 8

.8.4 Prortà al rstagno Un conctto ch smlfca l anals d alcun roblm è qullo d stato sontroco al rstagno. L rortà trmodnamch ad sso assocat sono dtt rortà al rstagno nl sguto vrranno ndcat con l dc o. S dfnsc stato sontroco al rstagno lo stato ch l fludo assumrbb s vnss arrstato rvrsblmnt mdant una trasformazon snza scamb (d calor lavoro. Dall quazon d blanco r un volum d controllo a rgm rmannt, s ha: = + (.3 d noltr r dfnzon è S = S 0. 0 0 0 0 S=S0 / S Fg... Dfnzon d stato sontroco al rstagno. Tutt l altr grandzz trmodnamch ossono ssr ottnut ssndo lo stato dfnto. In artcolar, r un gas rftto, nll ots d calor scfc costant, la tmratura al rstagno rsulta: T0 = T + c d è la tmratura ch msurrbb un trmomtro frmo nvstto da una corrnt fluda n moto alla vloctà. La rsson al rstagno uò dtrmnars tramt la: k T k = 0 o cost S not nfn ch l ntala data dalla (.3, val anch nl caso d un rocsso d rdta d vloctà dl fludo adabatco ma con rrvrsbltà; non è così r l ntroa l altr grandzz..8.5 Vloctà d fflusso rsson crtca Il valor dlla vloctà d fflusso ch vn assunto com rfrmnto è qullo corrsondnt al caso d ugllo orzzontal, a art rgd d adabatco. Pr tal condzon, a rgm, s ha: + = 0 da cu: ( = 0, (.33 9

avndo ndcato con 0, l ntala al rstagno corrsondnt allo stato. L quazon così ottnuta val n gnral r qualunqu fludo a du varabl. D artcolar ntrss è l caso dgl arform, ch vn n gnr analzzato con l ots k d gas rftto calor scfc costant. Con tal ots, ssndo c k R =, s ha: da cu nfn l quazon d Sant Vnant: k T = c ( T0 T = RT 0( k T 0 k T = RT 0( (.34 k T 0 L quazon ottnuta vdnza l sstnza d una vloctà lmt massma d fflusso adabatco corrsondnt a T 0 coè alla condzon r cu tutta l ntala nzal l l = sarbb utlzzata n nrga cntca dll arform: = k l s, Nl caso d gas batomc, con k =.4, rsulta l = 5 s,, ssndo s, la vloctà dl suono nll condzon dllo stato. S not ch mntr l sstnza d un lmt è namnt sgnfcatva, non lo è n raltà l valor ndcato dalla rcdnt rlazon oché l fludo avvcnandos allo zro assoluto non s mantn allo stato arform. Un caso sovnt consdrato è qullo d fflusso sontroco r l qual l raorto tra l tmratura T /T0 uò faclmnt srmrs n funzon dl raorto tra l rsson con l quazon d Posson. La (.34 dvnta così: k k = k R T ( (.35 0 k 0 Com s uò notar, fssat l condzon nzal la rsson fnal, gas con ù lvat valor d k d R (gas monoatomc, con basso so molcolar, raggungono l ù lvat vloctà fnal. Il valor dlla rsson crtca d fflusso uò ssr ottnuto notando ch ssa è dfnta com la rsson ch s stablsc dov s nstaura la vloctà dl suono ( = s, M=. Assumndo l fludo gas rftto, a calor scfc costant, osto: dalla (.33 s ha: da cu: T 0 = T = M krt + c = T krt + c M 0

T T 0 k = + M (.36 Il raorto tra l tmratur uò srmrs n funzon dl raorto tra l corrsondnt rsson:, r M =, rsulta: ( T T 0 = ( 0 k k k 0 k k = + da cu, nfn, la rsson crtca d fflusso: c 0 k + k = ( k (.37 L srsson ottnuta val soltanto r l gas rftto, ma uò stndrs anch ad altr arform con arorat valor d k. La rsson crtca d fflusso dnd dunqu dalla natura chmco fsca dl fludo dal valor dlla rsson al rstagno a mont. Pr gas batomc è c = 0.58 0, r l vaor surrscaldato c = 0.577 0. Ovvamnt sosttundo la (.37 nlla (.35 s ottn la srsson dlla vloctà d roagazon dl suono nllo stato. Dalla (.35 s uò rcavar l valor dlla ortata d fflusso mdant l quazon d contnutà: k k k A ρ = A RT 0( k 0 m& = ρ (.38 Esrmndo la dnstà ρ r mzzo dll quazon d Posson, r un dato valor d 0, T 0 k, la ortata rsulta funzon dlla sola : k / k k k 0 ( RT 0( 0 k 0 m& = A ρ (.39 L curv dlla sgunt Fg.. rarsntano gl andamnt dlla ortata dlla vloctà d fflusso al varar dl raorto tra l rsson scondo l quazon (.35 (.39: la ortata raggung l valor massmo n corrsondnza dll condzon crtch d fflusso (= s, quando l raorto tra l rsson assum l valor dato dalla (.37.

m&, m& c m& s 0 c / 0 / 0 Fg... Andamnto dlla vloctà dlla ortata d fflusso n funzon dlla rsson a vall. La curva dlla ortata fornta dalla (.39 mostra ch r valor d (rsson a vall mnor dl suddtto valor crtco, la ortata dcrsc fno ad annullars r = 0. L srnza dc nvc ch r < c la m& rsta costant sul valor crtco (ch è qund l massmo m& c = Ac s ρ c, dov ρ c è la dnstà ffttva nlla szon d ara mnma. La vloctà d fflusso, r < c, non sgu l corrsondnt ramo dlla curva s la vna è lbra, lo sgu nvc n un fflusso a vna gudata com ad smo nl tratto dvrgnt d un ugllo d D Laval. La vloctà dnd dalla caduta d ntala ffttva, mntr la ortata dnd anch dal valor dlla dnstà dl fludo ch dmnusc mno d quanto rvsto dalla sontroca..8.6 Effluss n condott convrgnt S consdr un ugllo convrgnt (o boccaglo, con a mont dfnt condzon al rstagno, collgato ad una rgon a vall n cu la rsson uò ssr varata. 0 =0 Fg..3. Efflusso n un condotto convrgnt ch collga du rgon a dffrnt rsson. Quando = 0 la ortata ch attravrsa l condotto è nulla, com nl caso a dlla fgura sgunt. Al dmnur dlla s ossrva un dflusso attravrso l ugllo con valor d ortata dndnt dalla rsson a vall (cas b, c. Fntanto ch l moto dl fludo avvn n rgm subsonco, l nformazon sull varazon dll condzon a vall ossono roagars a mont qund, al dmnur dlla, s vrfca un ncrmnto d ortata d un ncrmnto dl numro d Mach nlla szon d uscta. Raggunto l valor M = n uscta, v s ha = c (caso d.

0 a b c d m& d c b 0 c / 0 a / 0 Fg..4. Andamnto dlla rsson dlla ortata d fflusso n un condotto convrgnt. Rcordando ch n un convrgnt l numro d Mach non uò crscr oltr l valor untaro, s s dmnusc ultrormnt la al d sotto dl valor crtco, l condzon d fflusso rstano nvarat nl convrgnt, mntr l sanson da a c s ralzza bruscamnt oltr l ara d mnma szon dll ugllo. Il raggungmnto dlla vloctà dl suono mdsc nfatt l roagars a mont dll nformazon sull condzon d rsson a vall: la ortata d fflusso rsta allora costant ( s arla d chokd flo..8.7 Effluss n condott dvrgnt Un ugllo dvrgnt (o dffusor ora normalmnt n rgm subsonco d ha lo scoo d rovocar un ncrmnto d rsson nl fludo r fftto dlla dmnuzon dlla da da vloctà local. Nl rgm subsonco s ha nfatt < 0, < 0. L varazon d vloctà d d sono d sgno oosto a qullo dll varazon d rsson dll ara dlla szon d dflusso. Pr un dffusor s dfnsc una ffcnza n rfrmnto a valor dlla rsson al rstagno nll szon d ngrsso ( d uscta (. La dmnuzon dlla rsson al rstagno è funzon dl grado d rrvrsbltà dl rocsso. 0 0 0 0 0 S 0 S Fg..5. Efflusso n un condotto dvrgnt: dfnzon d ffcnza dl dffusor. S nfatt l fludo vnss arrstato sontrocamnt nlla condzon d ngrsso (, la rsson consgunt rsultrbb 0 l ntala 0. D altra art, nl rocsso n sam, rtnuto snza scamb d calor lavoro, l ntala al rstagno s mantn costant, è nfatt: 3

+ = + qund 0 = 0. L ffcnza dl dffusor, dfnta da: 0 η D = (.40 0 srm dunqu l grado d rrvrsbltà dl rocsso d assum valor untaro nl caso d rallntamnto sontroco..8.8 Effluss n condott convrgnt -dvrgnt S consdr l dsostvo rarsntato n Fg..6, costtuto da du tratt succssv, uno convrgnt (ù brv d uno dvrgnt, rcorso da un gas rftto ch ntra nlla szon d sc n. Sano rfssat ar al valor al rstagno, la tmratura la rsson a mont ( 0 s facca varar la rsson mosta nlla rgon allo sbocco dll ugllo. Al dmnur dlla rsson allo sbocco s ossono vrfcar dvrs modaltà d fflusso. Immagnamo ch n tutto l condotto, d n artcolar nlla szon d gola, la rsson s mantnga maggor d qulla crtca: nlla szon d gola la ntala è maggor d qulla crtca la vloctà d fflusso mnor dlla s (condzon a b. Il moto s svlua n rgm subsonco la vloctà aumnta all avvcnars dlla szon d ara mnma; raggunto l massmo nlla strozzatura, mantnndos nfror a qulla dl suono, dmnusc nl tratto dvrgnt. La rsson subsc varazon oost com suggrsc l quazon d Brnoull. Qusto comortamnto è ndcato com fftto Vntur d l dsostvo dov s ralzza è dnomnato tubo d Vntur, frquntmnt utlzzato r la msura d ortata n condott. 0 0 c a b c d f Fg..6. Efflusso n un ugllo d D Laval: andamnt dlla rsson n funzon dl valor mosto a vall. 4

Nll condzon samnat d rsson nfror a qulla crtca nlla szon contratta, al dmnur dlla rsson mosta allo sbocco la ortata d fflusso aumnta. Pr un artcolar valor dlla (curva c accad ch nlla szon d gola s stablsc la c la vloctà raggung l valor s, ma succssvamnt la vloctà torna a dmnur la rsson rsal fno al valor mosto ; qusto rché non sussstono l condzon r una ultror sanson n rgm sursonco l ugllo nl suo comlsso s comorta com un tubo Vntur. Valor dlla rsson allo sbocco nfror (curv d, fanno ossrvar un dvrso rgm d fflusso. Nlla szon contratta s nstaura la c nl rmo tratto dl dvrgnt la rsson contnua a dmnur, n quanto l rcuro d rsson ottnbl nllo stsso dvrgnt è maggor dlla dffrnza tra la rsson mosta la stssa c. Corrsondntmnt s stablsc un aumnto dlla vloctà oltr l valor s. Pù a vall rò, n una dfnta szon, s ralzza un brusco ncrmnto d rsson con una dscontnutà ortogonal alla drzon dl moto, dfnta onda d urto normal, tal da rortar la rsson ad un valor comatbl con qullo mosto allo sbocco. Gl fftt dll onda d urto non s roagano a mont ssndo > s. A vall dll onda d urto l dvrgnt ora com un dffusor con rallntamnto dl gas rcuro d rsson, ssndo l rgm dvntato bruscamnt subsonco. Con l dmnur dlla rsson allo sbocco, l onda d urto s nstaura smr ù a vall fno a sarr r un oortuno valor d ch rarsnta l otmum r l artcolar ugllo consdrato. In qust condzon la vloctà d uscta dl gas è maggor dlla s, mntr la ortata, r quanto gà notato, rsta fssata al valor al valor massmo corrsondnt all condzon vgnt nlla szon contratta. Poché lo scoo d ugll d qusto to è qullo d confrr al fludo la massma vloctà n uscta r dat condzon d ngrsso rsson a vall, s n dfnsc l ffcnza mdant l raorto tra l nrga cntca dl fludo n uscta l nrga cntca ch l fludo avrbb n un fflusso sontroco: ( / ral η = (.4 ( / sontroco Dall quazon d blanco: ' = ( = ( 0 ral 0 ' sontroco In dfntva s ha : 0 η = (.4 0 ' Ngl ugll d fflusso l fftto dll attrto è lmtato valor d ffcnza dll ordn dl 95% sono uttosto comun. 5

0 0 0 S Fg..7. Efflusso n un ugllo d D Laval: andamnt dlla rsson n funzon dl valor mosto a vall..8.9 Flusso attravrso un onda d urto normal Abbamo vsto ch n crt condzon, nl tratto dvrgnt d un ugllo sursonco uò stablrs un onda d urto normal ch consst n un rado brusco cambamnto dllo stato fsco dl gas fflunt. In un onda d urto normal qusto cambamnto d stato s vrfca attravrso un ano normal alla drzon dl moto. x y Fg..8. Pr dtrmnar l condzon a mont d a vall d un onda d urto normal. Consdramo un ccolo volum d controllo attorno alla rgon d dscontnutà r sso onamo null gl scamb d calor lavoro l varazon d nrga otnzal. Dato l ccolo sssor dlla rgon ntrssata all onda d urto (dll ordn d 0-5 cm s ossono trascurar l forz agnt cctto l rsson rtnr l ara dlla szon costant. Gl stat a mont (x d a vall (y dl volumtto sono allora lgat dall sgunt quazon d blanco: - massa ρ xx = ρ yy (a - nrga x y x + = y + = 0 (b - quanttà d moto m& x y = ( y x = ρ yy ρ xx A (c - ntroa S y = S x + S s (d Tal quazon untamnt all rlazon trmodnamch tra l rortà dl fludo consntono d rcavar l condzon a vall not qull a mont. L quazon (d, n artcolar, stablsc 6

ch l ntroa a vall dv rsultar maggor d qulla a mont r fftto dll rrvrsbltà. Dalla combnazon dll rlazon (a (b s ha: ' m& 0 = + = ρ cost (.43 ' n cu m & = m& / A rarsnta la ortata massca scfca (o vloctà d massa. La (.43 uò ntrrtars com rlazon tra quanttà d stato n un dflusso adabatco, anch n rsnza d attrto, n un condotto a szon costant. Not valor dll ntala al rstagno dlla ortata scfca, la (.43 stablsc una lgam tra du varabl trmodnamch ndndnt: l luogo d unt ch rarsnta lo stato trmodnamco dl fludo nll condzon qu dfnt sul ano,s rnd l nom d curva o lna d Fanno. Smlmnt dall quazon (a (c s ha: + ρ = ' m& + ρ = cost (.44 La (.44, a mulso ortata scfca costant, costtusc una rlazon tra du varabl d stato ndndnt ch trasfrta sul ano,s rnd l nom d curva o lna d Raylgh. La curva d Raylgh costtusc un modllo d flusso adabatco, rvo d attrto, n un condotto a szon costant. Entramb l curv d Fanno d Raylgh sono rarsntat nlla fgura sgunt. S uò dmostrar ch al unto d massma ntroa corrsond la condzon M = d noltr ch ram suror d nfror d cascuna lna corrsondono, rsttvamnt, a vloctà subsonch sursonch. Gl stat a mont d a vall, x d y, dvono soddsfar l quazon ost rtanto aartnr ad ntramb l curv; lo stato a vall sarà carattrzzato dal valor ù lvato d ntroa (S y >S x. Attravrso l onda d urto l rgm d fflusso da sursonco dvnta subsonco d l brusco rallntamnto è accomagnato da un sgnfcatvo ncrmnto dlla rsson. L ntala al rstagno non camba, ma l rocsso dssatvo comorta una notvol dmnuzon dlla rsson al rstagno. y / 0 y x / y M= M= Raylgh x x Fanno Fg..9. Curv d Raylgh d Fanno r la dtrmnazon dgl stat trmodnamc a mont d a vall d un onda d urto normal. S 7