IL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO)

IL CALCOLO VETTORIALE SUPPLEMENTO AL LIBRO CLAUDIO BONANNO Contents. Campi di vettori e operatori 2. Il lavoro di un campo di vettori 5 2.. Lavoro e campi conservativi 6 2.2. Lavoro e campi irrotazionali: il Teorema del rotore 3. Il flusso di un campo di vettori e il Teorema della divergenza 4 4. Esercizi 7. Campi di vettori e operatori Indichiamo con P =, e P =,, z i punti di R 2 e di R 3 rispettivamente, e ricordiamo che ogni spazio tangente T P R 2 con P =, R 2 ha come base i vettori {e, e 2 }. e =, e 2 = e ogni spazio tangente T P R 3 con P =,, z R 3 ha come base i vettori {e, e 2, e 3 }.2 e =, e 2 =, e 3 = Definizione. Campo di vettori. Un campo di vettori in R 3 è una funzione F che associa a ogni punto P R 3 un elemento dello spazio tangente T P R 3, che si scrive come F,, z R 3,, z F,, z = F 2,, z T,,z R 3 F 3,, z per funzioni F i : R 3 R continue. Il dominio naturale di un campo vettoriale F è l intersezione dei domini naturali delle funzioni F i. In maniera analoga si definiscono i campi di vettori in R 2. Un campo di vettori si dice differenziabile se tutte le funzioni F i sono differenziabili. L insieme dei campi di vettori su R 3, che indichiamo con X R 3, si comporta come uno spazio vettoriale, ma rispetto alla moltiplicazione per una funzione continua. Dati due campi F e G con funzioni {F i } e {G i }, si ottiene F + G = F + G F 2 + G 2 F 3 + G 3

f,, zf,, z f,, z F = f,, zf 2,, z f,, zf 3,, z per ogni funzione continua f : R 3 R. Usando la nozione di campi di vettori, si possono definire alcuni operatori differenziali utili nelle applicazioni. Poniamo := allora data una funzione f,, z : R 3 R differenziabile e un campo di vettori F X R 3 differenziabile, definiamo.3 gradiente di f := f,, z =.4 rotore di F := F,, z = f f f F 3 F 2 F F 3 F 2 F X R3 X R3.5 divergenza di F := F,, z = F + F 2 + F 3 C R 3 Le definizioni sono analoghe nel caso di una funzione f : R 2 R o di un campo di vettori F X R 2, con una differenza solo per quanto riguarda il rotore. Valgono le seguenti formule gradiente di f := f, = f f X R 2 rotore di F := F, = F 2 F C R 2 divergenza di F := F, = F + F 2 C R 2 Teorema.2. Per ogni funzione f e per ogni campo di vettori F differenziabili due volte valgono le relazioni: i div rot F = ; ii rot grad f = ; iii divgradf = 2 f 2 + 2 f 2 + 2 f 2. Definizione.3 Campo di vettori irrotazionale. Siano Ω R 3 un aperto connesso e F X Ω differenziabile. Il campo di vettori F si dice irrotazionale se rotf,, z = F,, z = per ogni,, z Ω. 2

Definizione.4 Campo di vettori conservativo. Siano Ω R 3 un aperto connesso e F X Ω. Il campo di vettori F si dice conservativo se esiste una funzione f : Ω R di classe C Ω tale che F,, z = f,, z per ogni,, z Ω. In tal caso la funzione f si dice potenziale o primitiva di F. Corollario.5. Un campo di vettori differenziabile e conservativo è irrotazionale. Proof. Se f allora, applicando la ii del Teorema.2, si ha f =. Viceversa esistono campi di vettori irrotazionali che non sono conservativi. Esempio.6. Un esempio di campo conservativo è 2 2+z 2 definito sull aperto connesso Ω = {,, z : > } o su Ω = {,, z : < }. Si verifica infatti che la funzione f,, z = 2 + z è definita su Ω e f = 2 2+z 2 = F Esempio.7. Un esempio di campo di vettori irrotazionale e non conservativo su R 2 è dato da.6 F, = 2 + 2,, 2 + 2 che ha come dominio Ω = R 2 \ {, }. La verifica che questo campo sia irrotazionale è immediata, infatti F 2, = 2 + 2 2 2 2 + 2 2 = 2 + 2 2 + 2 2 e quindi F, = 2 2 + 2 2 2 + 2 2 = 2 + 2 2 + 2 2 rotf, = F, = F 2, F, = per ogni, Ω. Che questo campo non sia conservativo, quindi non esista un suo potenziale, lo verificheremo più avanti, usando una caratterizzazione dei campi conservativi che utilizza il concetto di lavoro. Osserviamo comunque che se consideriamo la funzione f, = arctan allora vale F, = f, e F 2, = f,, ma la funzione f è ben definita solo su Ω = R 2 \ { = } Ω, e quindi l uguaglianza f non vale su tutto Ω ma solo su Ω. 3

Esempio.8. Studiamo il campo di vettori su R 3 2 + 2 che ha come dominio R 3. Il suo rotore è F,, z = 2 + z 2 2 + z 2 2z 2 2 quindi F non è irrotazionale, e per il Corollario.5, non è conservativo. I Abbiamo fin qui ricavato le seguenti implicazioni per i campi di vettori differenziabili: e la condizione F CONSERVATIVO = F IRROTAZIONALE F NON IRROTAZIONALE = F NON CONSERVATIVO Abbiamo anche visto che l implicazione inversa di I non vale in generale, ma vediamo ora che diventa vera sotto un ipotesi aggiuntiva per il dominio di F. Definizione.9 Insieme semplicemente connesso. Un insieme Ω R 3 si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa contenuta in Ω può essere deformata con continuità fino a diventare un punto. Esempi di insiemi semplicemente connessi sono la parte interna delle sfere e degli ellissoidi, i semipiani e i semi-spazi, mentre insiemi non semplicemente connessi sono per esempio le corone circolari e sferiche. Non è semplicemente connesso il piano R 2 meno un punto, mentre è semplicemente connesso lo spazio R 3 meno un punto. Per rendere non semplicemente connesso lo spazio R 3 bisogna togliere una retta. Teorema. Lemma di Poincaré. Se F è un campo di vettori irrotazionale con dominio semplicemente connesso allora F è conservativo. II Troviamo quindi la condizione F IRROTAZIONALE e con DOMINIO SEMPL. CONNESSO = F CONSERVATIVO Esempio.. Nell Esempio.6 abbiamo fatto vedere che il campo 2 2+z 2 è conservativo trovando esplicitamente un suo potenziale. Tuttavia a volte può essere difficile trovare esplicitamente il potenziale di un campo, ma la condizione II basta per determinare che un potenziale esiste. Nel nostro caso possiamo applicare II, infatti + 2 2 = 2 + 2 2 2 4

e il dominio Ω = {,, z : > } è un semi-spazio di R 3 che è semplicemente connesso. Lo studio del lavoro di un campo di vettori lungo una curva ci fornirà una condizione per verificare se un campo irrotazionale è conservativo anche nel caso di campi di vettori con dominio non semplicemente connesso. 2. Il lavoro di un campo di vettori Diamo le definizioni per campi di vettori definiti in sottoinsiemi di R 3. Per campi di vettori con dominio in R 2 le definizioni sono analoghe. Definizione 2. Lavoro di un campo di vettori. Sia γ : [a, b] R 3 una curva di classe C e F un campo di vettori definito su un insieme Ω che contiene il sostegno di γ, γ[a, b] Ω. Si definisce lavoro di F lungo γ, LF, γ, l integrale b LF, γ := < F, ˆt > ds = < Fγt, γ t > dt = γ dove ˆt è il versore tangente alla curva orientato nel verso di percorrenza e γ t è il vettore velocità della curva. Osserviamo che la funzione da integrare è ben definita essendo il prodotto scalare tra due vettori nello spazio tangente T P R 3 con P = γt. Esempio 2.2. Sia F il campo di vettori definito nell Esempio.7 con dominio Ω = R 2 \ {, }, e sia γt = R cos t, R sin t con t [, 2π], la circonferenza di raggio R e centro,. Vale γ[, 2π] Ω e calcoliamo R sin t γ t = R cos t Allora 2π R sin t R cos t 2π LF, γ = R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 R sin t + t R 2 cos 2 t + R 2 sin 2 R cos t dt = dt = 2π t Teorema 2.3. Sia F un campo di vettori definito su un insieme Ω e siano γ e γ due curve di classe C, equivalenti e con sostegno contenuto in Ω. Allora se γ e γ hanno lo stesso verso di percorrenza si ha LF, γ = LF, γ, se invece γ e γ hanno verso di percorrenza opposto si ha LF, γ = LF, γ. Esempio 2.4. Consideriamo il campo di vettori con dominio Ω = R 3, e la curva Abbiamo a z γt = cos t, 2 sin t, t t [, 2π] γ t = 5 sin t 2 cos t

quindi Consideriamo adesso la curva LF, γ = 2π 4 sin t cos 2 t + t dt = 2π 2 γ t = cos t, 2 sin t, 2π t t [, 2π] Questa curva è equivalente alla precedente ma è orientata in senso opposto. Calcoliamo 2π LF, γ = 4 sin t cos 2 t 2π + t d t = 4π 2 + 2π 2 = 2π 2 Definizione 2.5. Sia γ : [a, b] R 3 una curva di classe C a tratti, ossia γ sia l unione di un numero finito di curve γ, γ 2,..., γ k di classe C, e sia F un campo di vettori definito su un insieme Ω che contiene il sostegno di γ, γ[a, b] Ω. Allora k LF, γ = LF, γ i i= 2.. Lavoro e campi conservativi. Il calcolo del lavoro per un campo di vettori è più semplice nel caso in cui il campo sia conservativo. Vale infatti il seguente risultato. Teorema 2.6. Sia F un campo di vettori definito su un aperto connesso Ω di R 3. Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti: i F è conservativo; ii per ogni coppia di curve γ e γ di classe C a tratti, con sostegno contenuto in Ω e con gli stessi punti iniziali e finali, si ha LF, γ = LF, γ iii per ogni curva chiusa γ di classe C a tratti e con sostegno contenuto in Ω, si ha LF, γ = Proof. i ii e iii. Sia γ : [a, b] R 3 una curva chiusa di classe C e poniamo f per una funzione f C Ω. Allora LF, γ = b a < fγt, γ t > dt = b a d fγt dt = fγb fγa dt Da questa espressione segue ii, essendo γa = γã e γb = γ b se γ : [a, b] R 3 e γ : [ã, b] R 3, e segue iii, essendo γa = γb se γ : [a, b] R 3. iii ii. Siano γ e γ curve di classe C a tratti, con sostegno contenuto in Ω e con gli stessi punti iniziali e finali. Indichiamo con γ la curva ottenuta da γ invertendo il verso di percorrenza. Allora γ γ è una curva chiusa di classe C a tratti, e quindi = LF, γ γ = LF, γ + LF, γ = LF, γ LF, γ ii iii Sia γ : [a, b] R 3 di classe C e chiusa, quindi P = γa = γb. Definiamo γt = P per ogni t [, ]. Allora γ e γ sono di classe C a tratti, con sostegno contenuto in Ω e con gli stessi punti iniziali e finali, quindi essendo γ t = per ogni t. LF, γ = LF, γ = 6 < F γt, γ t > dt =

ii i cenno Nel caso in cui il dominio del campo sia R 2, basta mostrare che f, = F t, dt + F 2, t dt è un potenziale del campo F, F 2. Per farlo usiamo il fatto che ii è equivalente a iii, e che iii implica che il campo F è irrotazionale per il Teorema del rotore 2.4. Per domini diversi basta adattare la scelta della funzione f,. Abbiamo in particolare dimostrato un utile espressione per il calcolo del lavoro di un campo conservativo. Corollario 2.7 Lavoro di un campo conservativo. Sia F un campo di vettori conservativo definito su un aperto connesso Ω di R 3, e sia γ : [a, b] R 3 una curva di classe C a tratti e con sostegno contenuto in Ω. Allora, se f è un potenziale di F si ha LF, γ = fγb fγa Esempio 2.8. Dato il campo di vettori 2 cos 3 2 3+ sin3 2 3+ 2 definito sull aperto connesso Ω = {, : > 3}, vogliamo calcolare il lavoro che compie lungo la curva γt = 2 t 3, t t [, ] Il calcolo del lavoro usando la definizione sarebbe piuttosto complesso, se invece notiamo che il campo F è conservativo e che un potenziale è la funzione f, = sin3 2 33 + che risulta ben definita su Ω, allora otteniamo subito LF, γ = fγ fγ = 3 sin Vediamo ora come determinare quando un campo è conservativo e trovare un potenziale. Il primo punto l abbiamo in parte affrontato nella sezione precedente. Il campo dell esempio 2.8 è irrotazionale e definito su un insieme Ω che è semplicemente connesso si tratta di un semi-piano, quindi applicando II otteniamo che è conservativo. Adesso usiamo il Teorema 2.6 per studiare il problema per un campo irrotazionale definito su un insieme non semplicemente connesso. Nella pratica è impossibile verificare che il lavoro di un campo lungo tutte le possibili curve chiuse sia nullo, ma enunciamo il seguente criterio: supponiamo che il dominio di F non sia semplicemente connesso, ma abbia N buchi, siano {γ i }, per i =,..., N, circonferenze di centro i buchi e di raggio qualsiasi ma scelto in modo che ciascuna contenga esattamente un solo buco e il suo sostegno sia contenuto nel dominio di F, allora III IV Se γ i t.c. LF, γ i = F NON CONSERVATIVO Se LF, γ i = per ogni i =,..., N = F CONSERVATIVO 7

Esempio 2.9. Nell esempio 2.2 abbiamo calcolato il lavoro del campo 2 + 2 2 + 2 lungo una circonferenza γ di centro l origine, e abbiamo trovato LF, γ = 2π. Poiché F è irrotazioniale e il suo dominio è l aperto non semplicemente connesso Ω = R 2 \ {, }, per verificare se si tratta di un campo conservativo dobbiamo studiare il lavoro di F lungo una circonferenza di centro il buco di Ω, ossia una circonferenza di centro l origine. Ma questa curva è esattamente γ e abbiamo LF, γ, dunque per III si ha che F non è conservativo. Esempio 2.. Determiniamo se il campo di vettori 2 + 2 2 + 2 è conservativo. Prima di tutto stabiliamo che il suo dominio è l aperto Ω = {, : 2 + 2 > } che non è semplicemente connesso. Scegliamo allora una circonferenza di centro l origine e raggio 2, γt = 2 cos t, 2 sin t t [, 2π] e calcoliamo LF, γ. Applicando la definizione di lavoro otteniamo 2π 2 cos t LF, γ = 2 sin t + 2 sin t 2 cos t 3 3 Quindi applicando IV otteniamo che F è conservativo. Esempio 2.. Determiniamo se il campo di vettori z 2 +z 2 2 +z 2 è conservativo. Prima di tutto stabiliamo che il suo dominio è l aperto Ω = R 3 \ {,, z : = z = } dt = che non è semplicemente connesso, in quanto si tratta di R 3 meno l asse. Una circonferenza di centro il buco di Ω e contenuta nel dominio di F è allora una qualsiasi circonferenza che abbia centro sull asse e non intersechi l asse. Per semplicità scegliamo la circonferenza di raggio γt =, cos t, sin t t [, 2π] e calcoliamo LF, γ. Applicando la definizione di lavoro otteniamo LF, γ = 2π + sin t sin t + cos t cos t dt = dunque per III si ha che F non è conservativo. 8 2π dt = 2π

Veniamo ora al secondo punto, la ricerca di un potenziale per un campo conservativo. Esempio 2.2. Dato il campo di vettori 3 2 + 2 + 2 3 + 2 determiniamo se si tratta di un campo conservativo e, in caso affermativo, calcoliamo un potenziale. Prima di tutto stabiliamo che il suo dominio è Ω = R 2, che è semplicemente connesso. Inoltre il campo è irrotazionale, infatti rotf, = F, = F 2, F, = 32 + 2 3 2 + 2 = Quindi applicando II otteniamo che F è conservativo. Cerchiamo ora un potenziale. Dalla Definizione.4 dobbiamo trovare una f C R 2 che risolva il sistema { f, = 32 + 2 + 2 f, = 3 + 2 Se integriamo rispetto alla variabile la prima equazione, abbiamo che f, = 3 + 2 2 2 + 2 + c, dove c è una qualsiasi funzione che dipende solo dalla. Sostituendo il valore di f, così ottenuto nella seconda equazione troviamo 3 + 2 2 2 + 2 + c = 3 + 2 c = da cui una soluzione è c =. Dunque un potenziale del campo F è la funzione che è definita su R 2 e di classe C. Esempio 2.3. Dato il campo di vettori f, = 3 + 2 2 2 + 2, 2 2 + 2 2 2 + 2 determiniamo se si tratta di un campo conservativo e, in caso affermativo, calcoliamo un potenziale. Prima di tutto stabiliamo che il suo dominio è Ω = R 3 \ { = = }, che non è semplicemente connesso. Il campo è irrotazionale, infatti rotf,, z = F,, z = F 3 F 2 F F 3 F 2 F = 4 + 4 2 + 2 2 2 + 2 2 = Quindi per stabilire se è conservativo dobbiamo calcolare il lavoro di F lungo una circonferenza con centro sull asse z e che non interseca l asse z. Scegliamo γt = cos t, sin t, t [, 2π] 9

per cui vale LF, γ = 2π 2 cos t sin t + 2 sin tcos t dt = Dunque applicando IV otteniamo che F è conservativo. Cerchiamo ora un potenziale. Dalla Definizione.4 dobbiamo trovare una f C Ω che risolva il sistema f f,, z = 2,, z = 2 2 + 2 2 + 2 f,, z = Se integriamo rispetto alla variabile la prima equazione, abbiamo che f,, z = log 2 + 2 + c, z dove c, z è una qualsiasi funzione che dipende solo da, z. Sostituendo il valore di f,, z così ottenuto nella seconda equazione troviamo log 2 + 2 + c, z = 2 2 + 2 c, z =, da cui ricaviamo che c, z = cz, ossia la funzione c, z può essere scelta come dipendente solo dalla funzione z. Sostituendo il valore di f,, z così ottenuto nella terza equazione troviamo log 2 + 2 + cz = c z =, da cui una soluzione è cz = z. Dunque un potenziale del campo F è la funzione f,, z = log 2 + 2 + z che è definita su Ω e di classe C. 2.2. Lavoro e campi irrotazionali: il Teorema del rotore. Abbiamo visto che il calcolo del lavoro per un campo conservativo è molto semplice, dipendendo solo dai punti iniziali e finali della curva e dal potenziale del campo Corollario 2.7. Non è così semplice la situazione per i campi non conservativi. In generale il calcolo del lavoro deve avvenire utlizzando la Definizione 2., e quindi il calcolo può risultare laborioso. L unico caso in cui le cose possono semplificarsi è quando si vuole calcolare il lavoro di un campo lungo una curva chiusa, anche se serve un ipotesi in più, grazie al Teorema del rotore. Nel Teorema del rotore gioca un ruolo l orientazione di una curva. Ricordiamo che una curva piana, chiusa e semplice si dice orientata positivamente quando è percorsa in senso anti-orario. L ipotesi fondamentale in più rispetto al teorema per i campi conservativi è che, non solo il sostegno della curva deve essere contenuto nel dominio del campo, ma tutta la parte interna alla curva deve essere contenuta nel dominio. Teorema 2.4 del rotore - caso R 2. Sia F un campo di vettori differenziabile definito su un insieme aperto e connesso Ω di R 2. Sia γ : [a, b] R 2 una curva chiusa, semplice, di classe C a tratti e orientata positivamente. Supponiamo inoltre che U, l interno della curva, sia un aperto connesso contenuto in Ω. Allora LF, γ = rotf dd U

Per enunciare il teorema nel caso di R 3, se una curva chiusa è il bordo di una superficie regolare, diremo che è orientata positivamente se il vettore ˆn γ, prodotto vettoriale tra il versore normale alla superficie e il vettore tangente alla curva, punta verso la parte interna alla curva. Mentre una superficie regolare si dice orientabile se è possibile determinare in maniera univoca e con continuità il verso del vettore normale alla superficie in ogni suo punto. Teorema 2.5 del rotore - caso R 3. Sia F un campo di vettori differenziabile definito su un insieme aperto e connesso Ω di R 3. Sia γ : [a, b] R 3 una curva semplice, chiusa e di classe C a tratti. Supponiamo inoltre che il sostegno di γ sia il bordo di una superficie Σ, regolare e orientabile, e contenuta in Ω, e che fissato il versore normale ˆn, la curva sia orientata positivamente. Allora LF, γ = < rotf, ˆn > ds Σ Ricordiamo che nel caso in cui la curva sia orientata negativamente, per il Teorema 2.3, basta cambiare il segno dell integrale. Esempio 2.6. Consideriamo per esempio il campo irrotazionale 2 + 2 2 + 2 che ha dominio Ω = R 2 \ {, }. Se scegliamo la curva γ che ha come sostegno la circonferenza di centro l origine e raggio, abbiamo visto nell esempio 2.2, che LF, γ = 2π. Questo risultato non è in contraddizione con il Teorema 2.4 perché non tutte le ipotesi del teorema sono soddisfatte. Infatti, il campo è irrotazionale e differenziabile, e la curva è chiusa e di classe C, ma l interno della curva è U = {, : 2 + 2 } Ω, infatti, si trova in U ma non in Ω. Esempio 2.7. Consideriamo ancora il campo irrotazionale dell esempio precedente, e calcoliamo il suo lavoro lungo la curva γt = 3 + + cos t cos t, 5 + + cos t sin t t [, 2π] La curva è chiusa e di classe C, rimane da determinare se la sua parte interna U è contenuta nel dominio del campo, che è Ω = R 2 \ {, }. Per farlo basta verificare se l origine sta o non sta in U. Poiché il sostegno della curva è contenuto nel semipiano { 3}, si verifica che l origine è nella parte esterna alla curva, quindi, U e dunque U Ω. Possiamo allora applicare il teorema e trovare LF, γ =. Esempio 2.8. Consideriamo ora il campo irrotazionale dell esempio 2., che ha come dominio l aperto connesso Ω = R 3 \ { = z = }, e calcoliamo il suo lavoro lungo la curva γt = cos t, 2 + sin t, + 2 cos t t [, 2π] La curva è chiusa e di classe C, rimane da determinare se si può interpretare come bordo di una superficie Σ, regolare e orientabile, contenuta in Ω. A questo scopo basta determinare che la curva non giri intorno al buco di Ω, ossia, in questo caso, che l asse non passi dentro la curva. Per far questo, basta osservare che per ogni t [, 2π] vale t > e zt >. Possiamo allora applicare il Teorema 2.5 e trovare LF, γ =.

Esempio 2.9. Calcolare il lavoro del campo di vettori arctan 3 2 lungo la curva γt = cos t, sin t t [, 2π] Il campo F è differenziabile e con dominio Ω = R 2. La curva γ è di Jordan ed è orientata positivamente. La sua parte interna U è data da U = {, : 2 + 2 } Ω. Allora possiamo applicare il Teorema del rotore. Calcoliamo e quindi rotf, = F, = F 2, F, = 2 LF, γ = U 2 dd = Esempio 2.2. Calcolare il lavoro del campo di vettori dell esempio 2.9 lungo il bordo di U = {, :,, 2 + 2 } orientato in senso anti-orario. In questo caso la curva U è chiusa e di classe C a tratti, essendo l unione U = γ γ 2 γ 3 di tre curve di classe C. Inoltre la sua parte interna U è contenuta nel dominio del campo, quindi possiamo applicare il Teorema del rotore e ottenere 2 LF, γ = 2 dd = 2 d d = 4 U Esempio 2.2 Formula dell area. Applichiamo adesso il Teorema del rotore in maniera inversa a quanto fatto finora. Osserviamo che il campo di vettori con dominio R 2 F A := verifica rotf A, = 2 per ogni, R 2. Sia poi U un insieme aperto connesso e U sia il sostegno di una curva chiusa e di classe C a tratti. Se parametrizziamo U in modo che sia orientata positivamente, possiamo allora scrivere che AreaU = dd = rotf A dd = U 2 U 2 LF A, U Abbiamo quindi ridotto il calcolo dell area di un insieme a un integrale curvilineo. Applichiamo la formula all insieme U = parte interna della cardioide { }. Il bordo di U lo parametrizziamo dunque ponendo U = γ γ 2 con γ t = + cos t cos t, + cos t sin t t [, π] γ 2 t = t, t [, 2] che risulta una curva chiusa, di classe C a tratti e orientata positivamente. Allora AreaU = 2 LF A, U = 2 LF A, γ + 2 LF A, γ 2 = 27 4 π 2

Esempio 2.22. Calcolare il lavoro del campo di vettori z 3 lungo la curva γt =, 2 cos t, 3 sin t t [, 2π] Il campo F è differenziabile e con dominio Ω = R 3. La curva γ è chiusa e la possiamo interpretare come il bordo della superficie regolare { 2 } Σ =,, z : =, 4 + z2 9 Dato il verso di percorrenza della curva, se scegliamo una parametrizzazione di Σ che ha come versore normale ˆn = la curva γ risulta orientata positivamente. Allora possiamo applicare il Teorema del rotore 2.5. Calcoliamo F 3 F 2 rotf,, z = F,, z = F F 3 = 3z 2 z e quindi LF, γ = Σ 2 z F 2 F < rotf, ˆn > ds = Esempio 2.23. Calcolare il lavoro del campo di vettori 2 lungo il bordo della superficie z 2 z 3 Σ = {,, z :,, z, 2 + 2 + z 2 = } con vettore normale che punta verso l esterno. Il campo F è differenziabile e con dominio Ω = R 3. La curva Σ è chiusa e unione di tre curve di classe C. Se parametrizziamo Σ con definita nell insieme σθ, φ = cos φ sin θ sin φ sin θ cos θ { D = θ, φ : θ π 2, φ π } 2 3

allora, scelto l ordine per le variabili, il vettore normale è cos φ sin 2 θ nθ, φ = sin φ sin 2 θ sin θ cos θ e punta verso l esterno. Allora possiamo applicare il Teorema del rotore. Calcoliamo e quindi rotf,, z = F,, z = LF, γ = Σ < rotf, ˆn > ds = D F 3 F 2 F F 3 F 2 F = z sin 2 θ cos θ sin φ dφdθ = 3 3. Il flusso di un campo di vettori e il Teorema della divergenza Consideriamo ora il flusso di un campo di vettori attraverso una superficie orientabile. Definizione 3.. Sia F un campo di vettori definito su un aperto connesso Ω R 3 e Σ una superficie regolare e orientabile, con versore normale ˆn, e supponiamo che Σ Ω. Si definisce flusso di F attraverso Σ, Φ Σ F, l integrale Φ Σ F := < F, ˆn > ds Esempio 3.2. Calcoliamo il flusso del campo di vettori Σ attraverso la sfera di raggio R e orientata in maniera naturale, ossia con versore normale verso l esterno. Il dominio di F è Ω = R 3, e quindi certamente Σ Ω. Dobbiamo innanzitutto trovare una parametrizzazione della sfera che induca l orientazione naturale. Come nell esempio 2.23, scegliamo la parametrizzazione definita nell insieme σθ, φ = z R sin θ cos φ R sin θ sin φ R cos θ D = {θ, φ : θ π, φ 2π} allora, scelto l ordine per le variabili, il vettore normale è R 2 cos φ sin 2 θ nθ, φ = R 2 sin φ sin 2 θ R 2 sin θ cos θ 4

e punta verso l esterno. Quindi applichiamo la definizione e otteniamo nθ, φ Φ Σ F = < F, ˆn > ds = < F σθ, φ, > nθ, φ dθdφ = Σ D nθ, φ = < F σθ, φ, nθ, φ > dθdφ = R 3 cos 2 φ sin 3 θ + sin 2 φ sin 3 θ + sin θ cos 2 θ dθdφ = D = D D R 3 sin θ dθdφ = 4πR 3 Abbiamo visto che un punto importante per il calcolo del flusso è la ricerca di una parametrizzazione della superficie che induca l orientazione scelta. Se si trova che invece la parametrizzazione induce l orientazione opposta a quella scelta, allora basta cambiare poi il segno all integrale. Esempio 3.3. Calcoliamo il flusso del campo di vettori attraverso la superficie Σ di parametrizzazione definita nell insieme σu, θ = z 2 u cos θ u sin θ u D = {u, θ : u 2, θ π} e con orientazione indotta dalla parametrizzazione. Il dominio di F è Ω = R 3, e quindi certamente Σ Ω. Il vettore normale calcolato usando la parametrizzazione è nu, θ = Applichiamo la definizione e otteniamo Φ Σ F = < F, ˆn > ds = = D Σ D < F σu, θ, nu, θ > dudθ = = D u cos θ u sin θ u < F σu, θ, D nu, θ > nu, θ dudθ = nu, θ u 2 cos 2 θ u 2 sin 2 θ + u 3 dudθ = u 3 u 2 dudθ = 7 2 π Enunciamo adesso il Teorema della divergenza, che permette di calcolare il flusso di un campo di vettori uscente da una superficie chiusa attraverso un integrale triplo, che a volte può risultare più semplice. 5

Teorema 3.4 della divergenza. Sia F un campo di vettori differenziabile con dominio un aperto connesso Ω. Sia Σ una superficie chiusa, regolare e orientabile, con orientazione naturale, ossia con versore normale che punta verso l esterno, e supponiamo che U, la parte interna alla superficie, sia contenuta in Ω. Allora Φ Σ F = divf dddz Lo stesso vale per superfici chiuse che sono unione finita di superfici regolare. Esempio 3.5. Calcoliamo il flusso del campo di vettori U 2 2 z 2 uscente dalla superficie Σ = U, bordo dell insieme U = {,, z :,, z }. Il dominio di F è Ω = R 3, e quindi certamente U Ω. La superficie Σ è chiusa e unione finita di superfici regolari, ed è orientabile. Allora possiamo applicare il Teorema della divergenza. Calcoliamo divf,, z = F,, z + F 2,, z + F 3,, z = 2 + 2 + 2z e quindi, ponendo E = {, :, }, Φ Σ F = 2 + 2 + 2z dddz = = E U 2 + 2 + 2z dz dd = 4 Esempio 3.6. Calcoliamo il flusso del campo di vettori + z arctanz 3 log + 2 + uscente dalla superficie Σ = sfera di centro l origine e raggio R. Il dominio di F è Ω = R 3 e Σ = U con U = { 2 + 2 + z 2 R 2}. Quindi Σ è una superficie chiusa, regolare e orientabile, e U Ω. Allora possiamo applicare il Teorema della divergenza. Calcoliamo e quindi divf,, z = F,, z + F 2,, z + F 3,, z = Φ Σ F = U dddz = Volume di U = 4 3 π R3 6

4. Esercizi Esercizio. Determinare se i seguenti campi di vettori sono irrotazionali e se sono conservativi, e trovare un potenziale per quelli conservativi: + e F = F e 2 = 2 + 2 2 + cos F 3 = 2 + 2 2 2 2 + 2 2 + 2 2 F 4 = 2 2 2 2 F 5 = 2 sin cos + cos sin sin cos + 2 cos sin F 6 = 2 + 2 2 + 2 F 7 = 2 + 2 2 + 2 z F 8 = 2 +z 2 z 2 +z 2 F 9 = log sin [Risultati: conservativo, f, = + e + sin ; 2 conservativo, f, = 2 + 2 ; 3 conservativo, f, = + + ; 4 conservativo, f, = arcsin; 5 conservativo, 2 + 2 f, = sin sin 2 cos cos ; 6 irrotazionale ma non conservativo; 7 irrotazionale ma non conservativo; 8 conservativo, f,, z = 2 log 2 + z 2 + 2 2 ; 9 conservativo, f,, z = log cos + z.] Esercizio 2. Calcolare il lavoro del campo di vettori lungo la curva γt = t sin t, cos t con t [, 2π]. [Risultato = 2π] Esercizio 3. Calcolare il lavoro del campo di vettori 2 3 lungo la curva γt = t 3, t 2 con t [, ]. [Risultato = ] Esercizio 4. Calcolare il lavoro del campo di vettori z + + lungo la curva γt = t, t, t 2 con t [, ]. [Risultato = 6 ] Esercizio 5. Calcolare il lavoro del campo di vettori 2 2 + 2 2 2 + 2 lungo la curva γt = sin t 2, sin t con t [, π]. [Risultato = log 2] 7

Esercizio 6. Calcolare il lavoro del campo di vettori log + 2 2 lungo la curva γt = 2 cos t, + sin t con t [ π 2, π 2 ]. [Risultato = 2 2] Esercizio 7. Calcolare il lavoro del campo di vettori 2 + 2 + 2 + 2 lungo la curva γt = 2 cos t, 2 + sin t con t [, 2π]. [Risultato = ] Esercizio 8. Calcolare il lavoro del campo di vettori 2 +z 2 z 2 +z 2 lungo la curva γt = cos t, sin t, sin 2 t con t [, 2π]. [Risultato = ] Esercizio 9. Calcolare il flusso del campo di vettori attraverso la superficie Σ di parametrizzazione σθ, v = 2 cos θ + 2, 2 sin θ, v definita su D = {θ, v : θ 2π, v cos θ}, e orientazione indotta dalla parametrizzazione. [Risultato = ] Esercizio. Calcolare il flusso del campo di vettori 2 3 + 9 2 + z 2 { } uscente attraverso la superficie Σ = U con U = 2 4 + 2 9 + z2. [Risultato = 24 5 π] 8