6 Statica delle travi

6 Statica delle travi 6 Statica delle travi 6.1 Forze esterne Si consideri un generico corpo tridimensionale. possono agire i seguenti tipi di forze esterne: forze di volume b = b(x): [b] =[FL 3 ]; Si ricorda che su di esso B x V; dimensionalmente si ha forze di superficie s = s(x): B x V; dimensionalmente si ha [s] =[FL 2 ]. Si consideri ora una trave (figura 6.1). Nell ambito della teoria monodimensionale in oggetto si effettua una riduzione statica all asse della trave. In altri termini (figura 6.3) si vuole determinare un sistema di forze definite sull asse della trave tale che prese due sezioni generiche i sistemi di forze definiti sul corpo tridimensionale e sull asse della trave siano equivalenti. Riducendo il sistema di forze agenti sulla sezione trasversale al baricentro della sezione stessa sezione per sezione, si ottengono i seguenti campi di forze: b s } = { f = f(s) [f] = [F L 1 ] c = c(s) [c] =[F ] ove s è la coordinata curvilinea individuata sull asse della trave, f(s) è c(s) sono rispettivamente un campo di forze distribuite e un campo di coppie distribuite per unità di lunghezza. Nel modello di trave considereremo quindi una descrizione monodimensionale del sistema di forze esterne considerando una riduzione statica di esso ai punti della linea d asse, ottenendo forze e coppie distribuite f = f(s), c = c(s) (figura 6.2). Inoltre, per descrivere distribuzioni di forze e coppie agenti su porzioni molto piccole della trave, considereremo anche la presenza di forze e coppie concentrate in un numero finito di sezioni (G i, F i ), (G j, C j ). In figura 6.3 si riportano alcuni esempi. 6.2 Forze interne Immaginiamo di separare la trave in corrispondenza della sezione di baricentro G(s) nelle due parti che indicheremo con L e L +, con L L + = Corso di Scienza delle Costruzioni 84.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.2 Forze interne 6 Statica delle travi 6.2 Forze interne Fig. 6.1 Fig. 6.2 L, L L + =. Nel modello di trave si assume che le due parti si scambino delle azioni di contatto così fatte (figura 6.4): Fig. 6.3 L + esercita su L un sistema di forze interne la cui riduzione statica al baricentro G(s) della sezione in esame è data dalla forza (G(s), R) e dal momento M; analogamente L esercita su L + un sistema di forze interne equivalente alla forza (G(s), R ) ed alla coppia di momento M. Queste azioni rappresentano globalmente l azione reciproca tra L + e L attraverso la sezione. Il sistema di forze interne per una trave è noto quando si conoscono sezione per sezione le grandezze R, R, M, M, ovvero se sono Fig. 6.4 Corso di Scienza delle Costruzioni 85.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 86.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.3 Equilibrio della trave 6 Statica delle travi 6.3 Equilibrio della trave note le funzioni s (0,L) R(s), R (s), M(s), M (s). 6.3 Equilibrio della trave Consideriamo una trave soggetta ad un sistema di forze esterne { f, c, (G i, F i ), (G j, C j ) } e ad un sistema di forze interne { R, R, M, M }. Fissiamo sull asse della trave un ascissa curvilinea s (0,L) e consideriamo una generica parte della trave compresa tra le sezioni di ascisse e s 2 (figura 6.5). ssiomi di Eulero: la trave è in equilibrio sotto il sistema di forze (interne ed esterne) considerato se e solo se { r(s1,s 2 )=r e (,s 2 )+R(s 2 )+R ( )=0 m O (,s 2 )=m e O (,s 2 ) + (G(s 2 ) O) R(s 2 )+ +(G( ) O) R ( )+M(s 2 )+M (6.1) ( )=0 per ogni,s 2 (0,L). Si osservi che se si sceglie = 0 e s 2 = L, le equazioni (6.1) assumono la forma { r e (0,L)=0 m e O (0,L)=0 e dunque rappresentano le equazioni cardinali della statica per la trave; si osservi che nel caso in esame esse sono necessarie ma non sufficienti per l equilibrio. Dividiamo ora la trave nelle due parti L + e L separate dalla sezione G(s) (figura 6.4). pplicando gli assiomi di Eulero prima alla parte L e poi alla parte L + e calcolando i momenti rispetto al polo G(s), si ottiene rispettivamente: { r(0,s)=r e (0,s)+R(s) =0 m G(s) (0,s)=m e G(s) (0,s)+M(s) =0 Fig. 6.5 Indichiamo con r e (,s 2 )em e O (,s 2 ) rispettivamente la risultante ed il momento risultante (rispetto ad un fissato polo O) di tutte le forze esterne agenti sul tratto di trave. La risultante ed il momento risultante di tutte le forze (esterne ed interne) agenti sul tratto considerato risultano pari a: { r(s1,s 2 )=r e (,s 2 )+R(s 2 )+R ( ) m O (,s 2 )=m e O (,s 2 ) + (G(s 2 ) O) R(s 2 )+ +(G( ) O) R ( )+M(s 2 )+M ( ) { r(s, L) =r e (s, L)+R (s) =0 m G(s) (s, L) =m e G(s) (s, L)+M (s) =0. Osserviamo inoltre che, per l equilibrio dell intera trave si ha { r(0,l)=r e (0,s)+r e (s, L) =0 m G(s) (0,L)=m e G(s) (0,s)+me G(s) (s, L) =0 { r e (0,s)= r e (s, L) m e G(s) (0,s)= me G(s) (s, L), pertanto risulta: { R(s) = r e (0,s)=r e (s, L) = R (s) M(s) = m e G(s) (0,s)=me G(s) (s, L) = M (s). Corso di Scienza delle Costruzioni 87.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 88.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.4 Caratteristiche della sollecitazione 6 Statica delle travi 6.5 Vincoli Dunque i due tronchi L + e L si scambiano azioni opposte (figura 6.6). Inoltre R ed M, azioni di L + su L, coincidono rispettivamente con la risultante e il momento risultante rispetto al polo G(s) delle forze esterne agenti su L + ; ovvero R ed M, azioni di L su L +, coincidono con la risultante ed il momento risultante rispetto al polo G(s) delle forze esterne agenti su L. Nel caso di travi piane (si veda il paragrafo 4.5) il sistema di forze esterne f, F i è costituito da forze parallele al piano che contiene la linea d asse della trave; inoltre c è un campo vettoriale perpendicolare a tale piano così come il vettore momento C j della generica coppia concentrata. È dunque conveniente in questo caso assumere il sistema di riferimento locale (G;x, y, z) in maniera tale che l asse x sia diretto perpendicolarmente al piano contenente la linea d asse. Per tale scelta si ha che le seguenti componenti delle azioni interne sono nulle: R x =0, M z = M y =0. È quindi possibile utilizzare la notazione semplificata (figura 6.7): Fig. 6.6 componente simbolo denominazione R y T sforzo di taglio R z N sforzo normale M x M momento flettente 6.4 Caratteristiche della sollecitazione Per caratterizzare le azioni interne nelle travi, è utile riferirsi alle componenti di R ed M in un opportuno sistema di riferimento. Sia (G;x, y, z) un sistema di riferimento cartesiano ortogonale con asse z tangente alla linea d asse della trave in G e diretto nel verso delle ascisse curvilinee crescenti (cioè uscente da L ) e gli assi x e y perpendicolari a z e diretti in maniera arbitraria (figura 6.7). Le componenti di R ed M nel riferimento scelto sono per definizione le caratteristiche della sollecitazione in G. Per esse si usa la seguente terminologia: componente simbolo denominazione R x T x sforzo di taglio (lungo x) R y T y sforzo di taglio (lungo y) R z N sforzo normale M x M x momento flettente (lungo x) M y M y momento flettente (lungo y) M z M z momento torcente Fig. 6.7 Le caratteristiche della sollecitazione così definite si intendono positive se dirette nel senso positivo degli assi x, y e z. Poiché le forze interne agenti su L + sono opposte a quelle agenti su L nella stessa sezione, quando le caratteristiche della sollecitazione agiscono sulla base di sinistra dell elemento di trave considerato, si intendono positive se dirette in verso opposto a quello degli assi x, y e z (figura 6.8). 6.5 Vincoli Nella nostra trattazione ipotizzeremo la presenza di vincoli lisci, in grado di reagire sulla trave con forze e coppie concentrate agenti sulla sezione di applicazione del vincolo. Per questa tipologia di vincoli è possibile ricavare la Corso di Scienza delle Costruzioni 89.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 90.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.5 Vincoli 6 Statica delle travi 6.5 Vincoli Fig. 6.8 caratterizzazione statica a partire da quella cinematica attraverso il seguente postulato. Postulato delle reazioni vincolari. Un vincolo liscio è in grado di reagire con un qualsiasi sistema di forze che non compiono lavoro per tutti gli spostamenti compatibili con il vincolo stesso: L = F u()+m ϕ() = 0 per ogniu(), ϕ() compatibili con il vincolo. Si analizzano nel seguito le possibili reazioni esercitate dai vincoli piani. ppoggio (figura 6.9) L equazione cinematica di vincolo è u() = 0. L espressione del lavoro delle reazioni vincolari è quindi L = F u() + M ϕ() = M ϕ() = 0 per ogni ϕ() M =0, Fig. 6.9 con H e V arbitrari parametri reattivi. Si osservi che il numero di parametri reattivi è uguale alla molteplicità cinematica del vincolo (questa proprietà è valida per tutte le tipologie di vincolo). Doppio pendolo (figura 6.10a) Le equazioni cinematiche di vincolo sono { u() e =0 ϕ() = 0, L espressione del lavoro delle reazioni vincolari è quindi: L = F u() + M ϕ() = F u() = 0 per ogni u() e. Il lavoro si annulla quando F u(), cioè quando F e, con M che può avere valore arbitrario. Dunque il doppio pendolo può reagire con una forza agente su di una retta appartenente al fascio improprio di direzione e, equivalente ad una coppia di valore qualsiasi ed una forza passante per la sezione e parallela all asse dei pendoli (figura 6.10). I parametri reattivi in questo caso sono M e F. essendo ϕ() qualunque, mentre F è arbitraria. Dunque una cerniera può reagire solo con una forza passante per la sezione e avente retta d azione, con direzione qualunque, appartenente al fascio proprio di centro (figura 6.9). Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano individuato dai versori (e 1, e 2 ), F assume l espressione F = H e 1 + V e 2, Corso di Scienza delle Costruzioni 91.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 92.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.5 Vincoli 6 Statica delle travi 6.6 Sconnessioni Fig. 6.10 Carrello o pendolo (figura 6.10b) L equazioni cinematica di vincolo è u() e =0 L espressione del lavoro delle reazioni vincolari è quindi: L = F u() + M ϕ() = 0 per ogni u() e per ogniϕ(). Il lavoro si annulla quando i due termini sono entrambi nulli, cioè quando F e e M = 0. Dunque il carrello può reagire solo con una forza passante per la sezione e parallela all asse del carrello stesso (figura 6.10). Il parametro reattivo è dato da F. Pendolo improprio (figura 6.11a) L equazioni cinematica di vincolo è: ϕ() = 0 L espressione del lavoro delle reazioni vincolari è quindi L = F u() + M ϕ() = F u() = 0 per ogni u(). Il lavoro si annulla dunque quando F = 0, e con M qualunque. Dunque il pendolo improprio può reagire solo con una coppia M che rappresenta il parametro reattivo (figura 6.11). Fig. 6.11 Incastro (figura 6.11b) Le equazioni cinematiche di vincolo sono { u() = 0 ϕ() = 0. L espressione del lavoro delle reazioni vincolari è quindi L = F u() + M ϕ() = 0. Il lavoro è dunque sempre nullo per arbitari F e M. L incastro può quindi reagire con una forza qualunque agente nel piano, equivalente ad coppia di valore qualsiasi ed una forza passante per la sezione ed avente direzione qualsiasi (figura 6.11). I parametri reattivi in questo caso sono M, H e V. 6.6 Sconnessioni nalogamente a quanto visto per i vincoli lisci, è possibile dedurre la caratterizzazione statica delle sconnessioni lisce utilizzando un postulato analogo a quello relativo alle reazioni vincolari. Postulato. Una sconnessione liscia è in grado di trasmettere un qualsiasi sistema di forze interne che non compiono lavoro per tutti gli spostamenti compatibili con la sconnessione stessa. Esplicitiamo questa condizione (figura 6.12): L = R u () R u + () + M ϕ () M ϕ + () = = R [[u]] M [[ϕ]] =0 per ogni [[u]], [[ϕ]] compatibili con la sconnessione. Corso di Scienza delle Costruzioni 93.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 94.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.6 Sconnessioni 6 Statica delle travi 6.6 Sconnessioni Le equazioni cinematiche di vincolo sono: { [[u]] e =0 Fig. 6.12 Si analizzano nel seguito le possibili situazioni. Cerniera (figura 6.13) L equazione cinematica di vincolo è pertanto: [[ϕ]] =0, L = R [[u]] M [[ϕ]] = R [[u]] = 0 per ogni [[u]] e. Il lavoro si annulla quando R [[u]], cioè quando R e (ovvero R d = 0, con M che può avere valore arbitrario. Dunque il doppio pendolo può trasmettere una coppia di valore qualsiasi ed una forza parallela all asse dei pendoli. [[u]] = 0, pertanto si ha L = R [[u]] M [[ϕ]] = M [[ϕ]] = 0 per ogni [[ϕ]] M =0, mentre R è arbitraria. Dunque una cerniera può trasmettere solo forze passanti per la cerniera stessa, e di conseguenza nella sezione in cui è applicata la sconnessione il momento flettente è nullo. Fig. 6.14 Nel caso particolare in cui i pendoli sono diretti lungo la direzione dell asse della trave (figura 6.14b), si ha: R d = T () = 0, Fig. 6.13 dunque nella sezione di applicazione del doppio pendolo il taglio si annulla, mentre sforzo normale e momento flettente sono arbitrari. Se viceversa l asse del doppio pendolo è perpendicolare all asse della trave (figura 6.14c), si ha: Doppio pendolo (figura 6.14) R d = N() = 0, Corso di Scienza delle Costruzioni 95.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 96.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.6 Sconnessioni 6 Statica delle travi 6.7 Problema statico dunque lo sforzo normale si annulla, mentre taglio e momento flettente sono arbitrari. Pendolo (figura 6.15) L equazioni cinematica di vincolo è dunque [[u]] e =0, L = R [[u]] + M [[ϕ]] = 0 per ogni [[u]] e per ogniϕ(). Questo implica che R e e M = 0. Dunque il carrello trasmette solo una forza passante per la sezione e parallela all asse del carrello stesso. Pendolo improprio (figura 6.16) L equazioni cinematica di vincolo è dunque [[ϕ]] =0, L = R [[u]] + M [[ϕ]] = R [[u]] = 0 per ogni [[u]]. Il lavoro si annulla quando R = 0 con M qualunque. Dunque il pendolo improprio può trasmettere solo una coppia M. Di conseguenza risulta T () = 0 N() = 0. Fig. 6.16 6.7 Problema statico Fig. 6.15 Se in particolare l asse del pendolo è parallelo all asse della trave, si ha (figura 6.15a) T () = 0 M() = 0, se viceversa i due assi sono perpendicolari, si ha (figura 6.15b) N() = 0 M() = 0. Il problema statico per una travatura con assegnato sistema di forze esterne, consiste nella determinazione delle reazioni vincolari e delle caratteristiche della sollecitazione (azioni interne in ogni sezione) che rendono la travatura equilibrata. Consideriamo una travatura soggetta ai seguenti sitemi di forze: forze esterne forze attive (assegnate); forze reattive (incognite); forze interne N, T, M (incognite). Corso di Scienza delle Costruzioni 97.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 98.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.7 Problema statico 6 Statica delle travi 6.8 Teorema dell equilibrio Una travatura iperstatica è staticamente indeterminata per ogni sistema di forze esterne attive. Per una travatura cinematicamente indeterminata il problema statico è, a seconda del sistema di forze esterne attive, possibile o impossibile; in particolare per un sistema di forze per il quale il problema statico è possibile se la travatura è labile, essa risulta staticamente determinata, se la travatura è labile a vincoli inefficaci, essa risulta staticamente indeterminata. 6.8 Teorema dell equilibrio Diremo che il problema statico è Fig. 6.17 impossibile, se non esiste un sistema di forze reattive ed un sistema di forze interne che rendono equilibrata la travatura per i carichi esterni (figura 6.17d,f); Si assegni una trave rettilinea soggetta ad un sistema di forze esterne ed interne (figura 6.18), e supponiamo che essa sia in equilibrio. Si consideri una parte della trave individuata da due sezioni di ascissa e s 2 rispettivamente, in modo che esso non contenga al suo interno carichi concentrati, ma solo coppie e forze distribuite. possibile, se esistono almeno un sistema di forze reattive e un sistema di forze interne che rendono equilibrata la travatura; in questo caso diremo che la travatura è staticamente determinata, se attraverso le sole equazioni di equilibrio è possibile determinare un unico sistema di forze reattive ed un unico sistema di forze interne che rendono equilibrata la travatura (figura 6.17b,c); staticamente indeterminata se tali sistemi non sono univocamente determinabili con le sole equazioni di equilibrio (figura 6.17a,e). Teorema. 6.1. (Dualità statica cinematica). Una travatura isostatica è staticamente determinata per ogni sistema di forze esterne attive. Fig. 6.18 Se la trave è in equilibrio, valgono gli assiomi di Eulero, dunque è in equilibrio ogni sua parte. Gli assiomi di Eulero, scritti per il tronco s 2, forniscono le seguenti equazioni: { r(s1,s 2 )=R(s 2 ) R( )+r e (,s 2 )=0 m O (,s 2 )=M(s 2 ) M( )+m e O (s (6.2) 1,s 2 )=0. Corso di Scienza delle Costruzioni 99.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 100.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.8 Teorema dell equilibrio 6 Statica delle travi 6.8 Teorema dell equilibrio Nella prima delle (6.2), il termine r e (,s 2 ) rappresenta la risultante delle forze esterne, ossia: r e (,s 2 )= s2 fds, inoltre, poiché tra ed s 2 non vi sono forze concentrate, il campo vettoriale delle sollecitazioni R(s) è continuo, dunque per il teorema fondamentale del calcolo integrale si ha: R(s 2 ) R( )= s2 dr ds ds. Sostituendo questi risultati nella prima delle (6.2), si ha quindi: s2 [ ] dr r(,s 2 )= ds + f ds = 0 per ogni,s 2 (0,L). Questa relazione deve valere per arbitrarie sezioni e s 2 (purché non vi siano forze o coppie concentrate all interno), dunque l integrale è nullo per arbitrari estremi di integrazione; questo implica che la funzione integranda deve essere nulla, ossia: dr ds + f = 0 per ogni s (0,L). (6.3) In un sistema di riferimento locale (figure 6.7, 6.19) si può scrivere: R = Ne 3 + T e 2 ; f = p e 3 + q e 2 ; poiché la trave è rettilinea, e 2 ed e 3 sono costanti, per cui: dr ds = dn ds e 3 + dt ds e 2. Proiettando la (6.3) lungo z ed y si ottiene rispettivamente: dn ds + p = 0 ; dt ds + q =0. Fig. 6.19 Consideriamo ora il termine m e O (,s 2 ), calcolato rispetto al polo O corrispondente ad s = 0. Risulta: m e O (,s 2 )= = = s2 ( ) c + (G(s) O) f ds + (G(s 2 ) O) R(s 2 ) (G( ) O) R( )= [ s2 ( ) ] c sq ds s 2 T (s 2 )+ T ( ) e 1. Per la continuità delle funzione T (s) e M(s) risulta: s 2 T (s 2 ) T ( ) = = M(s 2 ) M( ) = s2 s2 d(st) ds = ds (T sq)ds s2 dm ds ds, s2 ( ) ds ds T + sdt ds = ds per cui la seconda delle (6.2) diventa: [ s2 ( ) ] dm m O (,s 2 ) = + c sq T + sq ds e 1 = ds [ s2 ( ) ] dm = ds + c T ds e 1 = 0 per ogni,s 2 (0,L). Corso di Scienza delle Costruzioni 101.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 102.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.8 Teorema dell equilibrio 6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni Questa relazione deve valere per arbitrarie sezioni e s 2, dunque la funzione integranda deve essere nulla, ossia: dm ds + c T = 0 per ogni s (0,L). Le tre equazioni dn ds + p =0 dt ds + q =0 dm ds + c T =0 (6.4) rappresentano le equazioni indefinite di equilibrio per una trave rettilinea e sono valide in ogni sezione in cui non sia applicato un carico concentrato. Si ricorda che in queste equazioni i segni delle funzioni N, T, M, p, q e c sono positivi se rispettano le convenzioni rappresentate in figura 6.20. 6.9 pplicazioni 6.9.1 Fig. 6.21 La trave in figura 6.21 è isostatica, dunque staticamente determinata. Per determinare le reazioni vincolari e le caratteristiche della sollecitazione sono sufficienti le equazioni di equilibrio. La caratterizzazione statica dell incastro fornisce per esso le tre componenti reattive H, V, M (figura 6.22). Fig. 6.20 Fig. 6.22 Le equazioni cardinali della statica, fissando il polo per i momenti in, danno H + F cos α =0 V F sin α =0 M FLsin α =0 H = F cos α V = F sin α M = FLsin α. La reazione H ha componente negativa, per cui è diretta verso destra. Rappresentiamo lo schema di corpo libero: Per determinare le leggi di variazione delle caratteristiche della sollecitazione, fissiamo un ascissa s (0,L) lungo l asse della trave, e consideriamo la parte di trave a sinistra (o alternativamente a destra) della sezione di ascissa Corso di Scienza delle Costruzioni 103.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 104.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni 6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni Fig. 6.23 generica s (figura 6.24). Le caratteristiche della sollecitazione sono date dalla risultante e dal momento risultante rispetto alla sezione considerata di tutte le forze esterne agenti sulla parte di sinistra (o alternativamente di destra) secondo le convenzioni rappresentate in figura 6.20. Si ottiene N(s) =F cos α T (s) =F sin α M(s) = FLsin α + Fssin α Fig. 6.25 Fig. 6.26 6.9.2 La trave in figura 6.26 è isostatica, dunque staticamente determinata. La caratterizzazione statica della cerniera fornisce per essa le componenti reattive H e V, mentre per il carrello in B si ha V B (figura 6.27). Fig. 6.24 Si osservi che le leggi di variazione così ricavate rispettano le equazioni indefinite di equilibrio. Infatti, non essendoci carichi distribuiti, dn/ds = dt/ds = 0, dunque N e T sono costanti, mentre dm/ds = T, dunque M è lineare rispetto ad s. I diagrammi delle sollecitazioni sono rappresentati in figura 6.25 (si noti che il diagramma del momento flettente si rappresenta con le ordinate positive verso il basso). Fig. 6.27 Sostituendo il carico distribuito q con una forza concentrata equivalente di modulo pari a ql e applicata in mezzeria del tratto su cui è applicato il carico, Corso di Scienza delle Costruzioni 105.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 106.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni 6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni le equazioni cardinali della statica, fissando il polo per i momenti in, danno: H =0 H =0 V + V B ql =0 V = ql V B L ql L 2 2 =0 V B = ql 2. Rappresentiamo lo schema di corpo libero: Fig. 6.29 Fig. 6.28 Per determinare le leggi di variazione delle caratteristiche della sollecitazione, fissiamo un ascissa s (0,L) lungo l asse della trave, e consideriamo la parte di trave a sinistra (o alternativamente a destra) della sezione di ascissa generica s (figura 6.29). Le caratteristiche della sollecitazione sono date dalla risultante e dal momento risultante rispetto alla sezione considerata di tutte le forze esterne agenti sulla parte di sinistra (o alternativamente di destra) secondo le convenzioni rappresentate in figura 6.20: N(s) =0 T (s) = ql 2 qs M(s) = ql 2 s qs2 2 Si osservi che dn/ds = 0, dt/ds = q, dm/ds = T, dunque M ha andamento parabolico. Nella sezione s = L/2 dove T = 0 il diagramma del momento presenta un massimo relativo: M(L/2) = ql 2 /8. 6.9.3 Fig. 6.30 Fig. 6.31 Studiamo cinematicamente la travatura in figura 6.31 con il metodo geometrico (figura 6.32). Essa è costituita da tre corpi rigidi vincolati con un doppio Corso di Scienza delle Costruzioni 107.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 108.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni 6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni Fig. 6.32 pendolo (vincolo doppio), un carrello (vincolo semplice) e un incastro (vincolo triplo), e connessi con un pendolo (connessione semplice) ed un doppio pendolo (connessione doppia) per cui risulta: l =3n v c =9 (2 + 1 + 3) (1 + 2) = 0 ; dunque la travatura può essere isostatica o labile a vincoli inefficaci. Il doppio pendolo in fissa il centro di rotazione C I del primo tratto nel punto improprio associato alla direzione orizzontale, mentre il carrello in C impone che lo stesso C I debba appartenere alla retta verticale r. Queste condizioni sono incompatibili, dunque non può esserci alcun C I, cioè il tratto I non può subire spostamenti rigidi infinitesimi. Lo stesso si può dire per il tratto III per effetto dell incastro che sottrae ad esso tutti i gradi di libertà. Il pendolo in D impone che il centro di rotazione relativo C I,II debba trovarsi sulla retta s, ma essendo il campo di spostamenti di I identicamente nullo, questa diventa una condizione su C II. llo stesso modo il doppio pendolo in E impone che C II,III sia il punto improprio associato alla direzione orizzontale, ma essendo il campo di spostamenti di III nullo, anche questa diventa una condizione su C II. Queste ultime due condizioni sono incompatibili, dunque non può esistere C II, per cui nessuno dei tre tratti può subire spostamenti rigidi infinitesimi e la struttura è isostatica, dunque anche staticamente determinata. La caratterizzazione statica dei vincoli fornisce le componenti reattive H e M per il doppio pendolo, V C per il carrello e H F, V F M F per l incastro (figura 6.33). Fig. 6.33 Per determinare le reazioni vincolari utilizziamo le equazioni cardinali della statica, fissando il polo per i momenti in F, e le equazioni di sconnessione. La sconnessione in D è doppia, per cui avremo due equazioni statiche. In particolare il pendolo trasmette solo forze interne parallele al suo asse, per cui si annulleranno sforzo normale e taglio (si veda la figura 6.15). Il doppio pendolo in E trasmette solo forze dirette lungo il suo asse e coppie, dunque si annulla il taglio (si veda la figura 6.14). Essendovi però una forza applicata sulla sezione di sinistra, il taglio sarà nullo solo a destra, mentre a sinistra avrà valore in modulo pari al modulo della forza applicata. Fo =0 Fv =0 M(F) = 0 M(D) = 0 N(D) = 0 T dx (E) = 0 H ql H F =0 V C ql ql + V F =0 M H L ql 2 3LV C + ql 2 + q L2 2 + M F =0 M + ql 2 + H L + V C L =0 H =0 ql V F =0 Corso di Scienza delle Costruzioni 109.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 110.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni 6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni H =0 M =2qL 2 V C = ql V F = ql H F = ql M F = ql2 2. Rappresentiamo lo schema di corpo libero: N(s 2 ) = 0 T (s 2 ) = 0 M(s 2 )= 2qL 2 + ql 2 = ql 2 CE, s 3 (0, 2L) N(s 3 ) = 0 T (s 3 )=ql M(s 3 )= 2qL 2 + ql 2 + qls 3 = qls 3 ql 2 EF, s 4 (0,L) N(s 4 )=qs 4 T (s 4 )=ql ql qs 4 = qs 4 M(s 4 )=ql(l s 4 )+ ql2 2 q(l s 4) 2 = ql 2 qs2 4 2 2 Fig. 6.34 I punti di discontinuità delle leggi di variazione delle caratteristiche della sollecitazione sono: sezioni B e C per la presenza di forze e coppie concentrate e per la variazione di direzione dell asse della trave; sezione E per la presenza di un forza concentrata e per la discontinuità del carico distribuito. Fissate sui vari tratti delle ascisse come indicato in figura, si ottengono le seguenti leggi ed i corrispondenti diagrammi. B, (0,L) N( ) = 0 T ( ) = 0 M( )= 2qL 2 BC, s 2 (0,L) Si osservi che in B il diagramma del momento flettente non si può ribaltare, in quanto il suo valore nella sezione immediatamente a sinistra è diverso da quello nella sezione immediatamente a destra a causa della presenza della coppia concentrata. In figura 6.36 sono riportate le coppie agenti sul nodo B (le due forze interne più la coppia concentrata) che come si può vedere rispettano l equilibrio alla rotazione. In C invece, non essendovi coppie concentrate applicate, ma solo una forza concentrata, i due momenti a sinistra e a destra sono uguali, dunque il diagramma può essere ribaltato. In E vi è una forza concentrata perpendicolare all asse della trave, dunque si riscontra un salto nel diagramma del taglio, e di conseguenza un punto angoloso nel diagramma del momento flettente. Nella sezione a destra di E il taglio si annulla e dunque vi è un punto di massimo relativo del momento. 6.9.4 Studiamo cinematicamente la travatura in figura 6.37 con il metodo geometrico (figura 6.38). Essa costituita da due tratti vincolati con una cerniera (vincolo doppio) e due carrelli (vincoli semplici), e connessi con una cerniera (connessione doppia) per cui risulta: l =3n v c =6 (2 + 1 + 1) 2 = 0 ; Corso di Scienza delle Costruzioni 111.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 112.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni 6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni Fig. 6.37 Fig. 6.38 Fig. 6.35 Fig. 6.36 dunque la travatura pu essere isostatica o labile a vincoli inefficaci. La cerniera in fissa il centro di rotazione C I del primo tratto nella cerniera stessa, mentre i due carrelli in E ed F impongono ciascuno che il centro C II debba appartenere alle rispettive rette efficaci. Queste ultime due condizioni impongono che C II debba trovarsi nell intersezione dei due assi, mentre la cerniera in C impone che il centro di rotazione relativo C I,II debba trovarsi nella cerniera stessa. I tre possibili centri di rotazione C I,C II ec I,II non sono allineati, dunque il primo teorema delle catene cinematiche ci permette di affermare che la struttura isostatica. Infatti se la struttura potesse subire spostamenti rigidi infinitesimi, il teorema imporrebbe l allineamento dei tre centri di rotazione, e questo va in contrasto con le condizioni imposte dai vincoli, dunque non sono possibili spostamenti rigidi. La caratterizzazione statica dei vincoli fornisce le componenti reattive H e V per la cerniera, V E e H F per i carrelli (figura 6.40). Per determinare le reazioni vincolari utilizziamo le equazioni cardinali della statica, fissando il polo per i momenti in, e l equazione di sconnessio- Corso di Scienza delle Costruzioni 113.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 114.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni 6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni Fig. 6.39 ne. La cerniera in C impone che il momento flettente sia nullo nella sezione immediatamente a destra, mentre a sinistra è pari a C. Fo =0 H + ql H F =0 Fv =0 V + V E =0 M() = 0 q L2 2 M dx (C) = 0 C + V 3 E 2 L =0 V E L H F L =0 Fig. 6.40 Fissate sui vari tratti delle ascisse come indicato in figura, si ottengono le seguenti leggi ed i corrispondenti diagrammi, nei quali si riporta separatamente l effetto del carico distribuito q e della coppia C. H = 2 3 ql + 2 C 3 L V = ql 3 2 C 3 L V E = ql 3 + 2 C H F = ql 3 L 3 + 2 C 3 L. Rappresentiamo lo schema di corpo libero: I punti di discontinuità delle leggi di variazione delle caratteristiche della sollecitazione sono: sezione B per la variazione di direzione dell asse della trave e per la discontinuità del carico distribuito; sezione C per la presenza di una coppia concentrata; sezione D per la presenza di un nodo triplo. Corso di Scienza delle Costruzioni 115.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 116.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni 6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni B, (0,L) N( )= ql 3 + 2 C 3 L T ( )= 2 3 ql 2 C 3 L q ( M( )= 2 3 ql + 2 ) C q s2 1 3 L 2 ( BC, s 2 0, L ) 2 N(s 2 )= ql 3 2 C 3 L T (s 2 )= ql 3 2 C 3 L ( ql M(s 2 )= C + 3 + 2 )( ) ( C 3 ql 3 L 2 L s 2 3 + 2 3 = q L2 6 q L 3 s 2 2 C 3 L (s 2 + L) ( ) L CD, s 2 2,L N(s 2 )= ql 3 2 C 3 L T (s 2 )= ql 3 2 C 3 L ( ql M(s 2 )= 3 + 2 )( ) ( C 3 ql 3 L 2 L s 2 3 + 2 3 = q L2 6 q L 3 s 2 2 C 3 L s 2 C L C L ) L = ) L = DE, s 3 N(s 3 ) = 0 ( 0, L ) 2 T (s 3 )= ql 3 2 C 3 L ( ql M(s 3 )= 3 + 2 )( ) C L 3 L 2 s 3 DF, s 4 (0,L) N(s 4 ) = 0 T (s 4 )= ql 3 + 2 C 3 L ( ql M(s 4 )= 3 + 2 ) C (L s 4 ) 3 L In figura 6.41 sono riportate le forze agenti sui nodi B e C, in figura 6.42 sono riportati i diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione. Fig. 6.41 Corso di Scienza delle Costruzioni 117.. 2009-2010 Corso di Scienza delle Costruzioni 118.. 2009-2010

6 Statica delle travi 6.9 pplicazioni Fig. 6.42 Corso di Scienza delle Costruzioni 119.. 2009-2010