Statistica Inferenziale Prof. Raffaella Folgieri Email: folgieri@mtcube.com aa 2009/2010 Esercizio 1 (stima puntuale) In un processo di controllo di qualità, siamo interessati al numero mensile di guasti di un certo macchinario. (a) Quale fra le distribuzioni di probabilità che avete studiato potreste proporre come modello statistico per descrivere il numero mensile di guasti? Spiegate cosa rappresenta il parametro del modello proposto. (b) Supponete ora che in un campione casuale di 5 mesi si siano osservati (3, 2, 4, 5, 1) guasti. Scrivete la funzione di verosimiglianza. (c) Determinate infine la stima di massima verosimiglianza della probabilità di non avere nessun guasto. 1
Risposta punto (a) (a) distribuzione di probabilità e cosa rappresenta il parametro del modello proposto Risposta punto (b) (b) funzione di verosimiglianza in corrispondenza ad un campione casuale di (3, 2, 4, 5, 1) guasti 2
Risposta punto (c) (c) stima di massima verosimiglianza della probabilità di non avere nessun guasto Esercizio 2 (stima per int. Var nota) In uno studio sul grado di informatizzazione delle aziende di un certo settore, si decide di sottoporre un questionario ad un campione casuale di aziende, in cui si chiede fra l'altro di indicare la spesa per servizi informatici. (a) Sulla base di studi precedenti, si ritiene che la varianza della spesa per servizi informatici nella popolazione in esame sia σ 2 = 400. Utilizzando tale informazione, e assumendo l'ipotesi di normalita, qual è l'ampiezza campionaria necessaria per ottenere un intervallo di confidenza di livello 0.95 per la spesa media, di lunghezza non superiore a 10? 3
Esercizio 2 (b) Ora immaginate di aver fissato n = 64 e di aver osservato Determinate un intervallo di confidenza al 95% per la spesa media in servizi informatici. Risposta (a) 4
Risposta (b) 16.9 7.1 Risposta 5
Esercizio 3 (stima per intervallo var. non nota) Supponiamo che il fatturato delle aziende di un certo settore sia descritto da un numero aleatorio X con distribuzione normale N(μ, σ 2 ). Per un campione casuale di 8 imprese osserviamo i seguenti valori del fatturato: (40, 35, 80, 20, 60, 70, 75, 45) (a) Stimate il fatturato medio e la varianza del fatturato nella popolazione, usando stimatori non distorti. (b) Fornite un intervallo di confidenza al 95%. Risposta (a) (40+35+80+20+60+70+75+45)/8 6
Risposta (b) Risposta (b) 7
Esercizio 4 (int. conf. diff. tra due medie) Esercizio 4 > 2.7/24 [1] 0.1125 > 1.35/21 25-1 [1] 0.06428571 > sqrt(0.1125)/3.5 [1] 0.09583148 > sqrt(0.064)/3.8 [1] 0.06657427 22-1 8
Esercizio 4 Abbiamo quindi che CV 1 = 0.096, questo è il coeff. di variazione del prezzo stimato nella prima città mentre CV 2 = 0.067, questo è il coeff. di variazione del prezzo stimato nella seconda città quindi, sulla base del mio campione, risulta che il prezzo è piu variabile nella prima città Determinate un intervallo di confidenza a livello 0.95 per la differenza fra i prezzi medi di quel prodotto nelle due città, specificando le ipotesi che introducete. Risposta 9
Risposta Risposta 10