6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo il criterio del rapporto, ( + ) + (( +) = + )+ + +3 = Il raggio di covergeza è quidi R = Nel puto x = la serie () si riduce a ( +), che coverge (è equivalete a / ), metre per x = abbiamo la serie ( ) ( +), che è (assolutamete) covergete Quidi la serie () coverge i [, ] Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie +x 3 + 3 () Soluzioe Co la sostituzioe z = x 3 ci ricoduciamo alla serie +z +3 Applichiamo il criterio del rapporto, calcolado + + +3 +3 + = 3 La serie (ella variabile z) ha raggio di covergeza R z = 3; quidi coverge per z < 3; ricordado la sostituzioe fatta, la serie () coverge per x 3 < 3, cioè per x < 3 3 Poedo ella () x = 3 3, otteiamo la serie umerica + +, 3
che o coverge i quato il suo termie geerale o tede a zero (codizioe ecessaria di covergeza delle serie umeriche) Poedo ivece ella () x = 3 3, otteiamo la serie umerica ( ) + + ; ache questa serie o coverge i quato il suo termie geerale o ammette ite (per pari la successioe dei suoi termii tede a, metre per dispari tede a -) L isieme di covergeza della () è quidi ( 3 3, 3 3) Esercizio 63 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie x a, (3) dove a è u umero reale positivo Soluzioe Determiiamo il raggio di covergeza co il criterio della radice Dobbiamo calcolare a Possiamo scrivere a = a/ = exp a l Ricordado che l = abbiamo che a l e quidi exp a l Il raggio di covergeza della (3) è quidi R =per ogi valore a> Studiamo il comportameto ell estremo x = ; la serie coverge se a> e o coverge se a, Sostituedo ivece x =, abbiamo ivece la serie a segi alteri a ( ) Questa serie è covergete per ogi valore di a>, per il criterio di Leibiz Ifatti il termie geerale è decrescete e ifiitesimo L isieme di covergeza della(3) è quidi [, ) se a e[, ] se a> a Esercizio 64 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie x! = x + x + x 6 + x 4 + x + (4)
Soluzioe La successioe dei coefficieti (sempre a partire dal termie costate) è,,,,,,,,,,,,,,,, dove gli zeri o si ripetoo co regolarità ma i blocchi sempre più gradi all aumetare di No è quidi possibile quidi operare ua sostituzioe z = x k allo scopo di otteere ua serie co coefficieti o ulli Per studiare l isieme di covergeza della serie assegata bisoga procedere direttamete È immediato osservare che la serie diverge i x =eix =, metre coverge per x < Ifatti se x < possiamo affermare che x! = x + x + x 6 + x + x + x 3 + x 4 + x 5 + ; la serie maggiorate è la serie geometrica presa i modulo, che sappiamo essere covergete per x < Dal criterio del cofroto discede l assoluta covergeza della (4), che ha quidi raggio di covergeza uguale a uo e isieme di covergeza (, ) Esercizio 65 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie (x ) 3 + (5) Soluzioe La serie assegata o è della forma (??); per ricodurla a questa forma scriviamo ((x /)) (x /) 3 = + 3 + Co la sostituzioe z = x / ci ricoduciamo a ua serie cetrata ell origie: z 3 + Il raggio di covergeza di questa serie è R =3/, come si verifica co il criterio del rapporto; agli estremi dell itervallo la serie diverge (i etrambi i casi si ottiee ua serie il cui termie geerale o è ifiitesimo), per cui l isieme di covergeza risulta {z : 3/ < z < 3/} Teedo coto della sostituzioe z = x / la (5) ha come isieme di covergeza {x : <x<} Esercizio 66 Determiare lo sviluppo i serie di Taylor delle segueti fuzioi, cetrato ei puti idicati, idicadoe il raggio di covergeza: a) f(x) = exp( x ) x = b) g(x) = x 3 x = c) h(x) = l( + x) x = Soluzioe
3 a) Poichè f(x) = exp() exp( x ), utilizzado lo sviluppo della fuzioe espoeziale e operado la sostituzioe z = x, otteiamo exp(z) = z! ( x ) f(x) = exp()! ( ) x = exp()! La serie espoeziale coverge per ogi z reale e quidi la serie data coverge per ogi x reale b) Possiamo calcolare lo sviluppo di g(x), ricoducedoci alla serie geometrica Scriviamo z = z, per z < (6) g(x) = x 3 = ( ) = 3 x 3 x 3 3 e sostituiamo z = x/3, otteedo g(x) = ( ) x = ( ) 3 3 3 3 x Poichè la (6) coverge per z <, teedo coto della sostituzioe effettuata, la serie che abbiamo otteuto coverge se x 3 <, vale a dire per x < 3 È immediato verificare che la serie o coverge ei puti x =3/ ex = 3/ c) Co la sostituzioe t = x ci ricoduciamo allo sviluppo cetrato i t = della fuzioe l( + t), che scriviamo ella forma ( ( l( + t) =l + t )) ( =l+l + t ) Utilizzado lo sviluppo della fuzioe ( ) + z l( + z) =, per z < (7) co la sostituzioe z = t/, otteiamo l( + t) =l+ che coverge quado t/ <, cioè quado t <, e ifie l( + x) =l+ ( ) + t, ( ) + (x ) Questa serie coverge se x <, cioè ell itervallo (, 3) Nel puto x = 3 coverge, i quato si riduce alla serie armoica a segi alteri Nel puto x = si ottiee ivece la serie
4 che è divergete ( ) + ( ) l + =l+ ( ) + =l, Esercizio 67 Sviluppare i serie di McLauri la fuzioe f(x) = x 8 x 8x + precisado il raggio di covergeza Utilizzare il risultato otteuto per calcolare f () () per geerico Soluzioe Coviee decomporre la fuzioe f(x) i fratti semplici e sviluppare le due fuzioi otteute: x 8 f(x) = x 8x + = x 6 + x = 6( x/6) + ( x/) Utilizzado la serie geometrica (6), co le sostituzioi z = x/6 ez = x/, rispettivamete, otteiamo f(x) = 6 x 6 x = x 6 + x + = Ricordado la formula dello sviluppo i serie di Taylor, si ha che ( 6 + ) + x e quidi f () ()! = 6 + + f () () =!! 6+ + Esercizio 68 Determiare l isieme di covergeza della serie di fuzioi Soluzioe ( x ) Co la sostituzioe z = x ci ricoduciamo alla serie di poteze z, che ha raggio di covergeza R z = e coverge i [, ) La serie di fuzioi coverge allora egli x tali che x <, vale a dire ell isieme [, ) (, ]; osserviamo che questo isieme NON è u itervallo
5 Osservazioe Nello studio degli itegrali si è osservato che esistoo delle fuzioi elemetari le cui primitive o possoo essere espresse i termii di fuzioi elemetari I alcui casi, fuzioi di questo tipo assumoo grade importaza applicativa, ad esempio i elettroica, i ottica o el calcolo delle probabilità Risulta quidi coveiete defiire delle uove fuzioi apputo come fuzioi itegrali, seza che sia possible esprimerle i termii di fuzioi ote Gli sviluppi i serie di poteze ci cosetoo di calcolare queste fuzioi Vediamo alcui esempi di fuzioi di questo tipo: la fuzioe seo itegrale di x, Si(x), che è defiita come Si(x) = x la fuzioe degli errori, Erf(x), che è defiita come si t dt; t Erf(x) = x exp( t )dt; π 3 la fuzioe itegrale di Fresel, S(x), che è defiita come ( ) x πt S(x) = si dt Esercizio 69 Scrivere lo sviluppo i serie di poteze della fuzioe Si(x) e calcolare Si() co u errore miore di 3 Soluzioe Partiamo dallo sviluppo della fuzioe seo, che sappiamo essere covergete per ogi z reale: ( ) z + si z = ( + )! Scrivedo questo sviluppo ella variabile t e dividedo per t otteiamo: (8) si t t = t ( ) t + ( + )! = ( ) t ( + )! Itegriamo per serie (l operazioe è sez altro possibile, perché lo sviluppo precedete ha raggio di covergeza ifiito): x ( si t x ( ) t ) ( x ( ) t ) Si(x) = dt = dx = t ( + )! ( + )! dt = [ ( ) t + ] x = = ( + )!( +) Questo sviluppo ha raggio di covergeza ifiito ( ) x + ( + )!( +)
6 Per calcolare Si(), calcoliamo la serie che abbiamo otteuto per x = ; otteiamo ua serie umerica a segi alteri ( ) ( + )!( +) = 3!3 + 5!5 + Affiché l errore sia miore di 3, per il teorema sulle serie a sego altero, è sufficiete fermarci al terzo termie Ifatti il primo termie trascurato è miore di 3, essedo 7!7 35