P.1\5- EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO - Prof. I.Savoia, Maggio 2011 EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO EQUAZIONI LINEARI INTERE: PROCEDURA RISOLUTIVA Per risolvere le equazioni numeriche intere, si può seguire il seguente elenco di operazioni: 1- Si svolgono le eventuali operazioni algebriche e, nel caso che siano presenti dei denominatori numerici, questi ultimi vengono eliminati moltiplicando i due membri dell'equazione per il loro minimo comune multiplo (mcd=mcm dei denominatori). 2- Si trasportano tutte le lettere (monomi che contengono l'incognita) al primo membro mentre tutti i termini che non contengono l'incognita (come i numeri o eventualmente 1altre lettere nel caso delle equazioni letterali)al secondo membro, cambiando il segno per la regola del trasporto. Il risultato di questi trasporti è quello di ottenere un numero al secondo membro e nel primo membro l'incognita. Si hanno tre casi possibili: A) Equazione determinata, con una sola soluzione quando è del tipo a*x=b con a 0, b 0, x=b/a. B) Equazione impossibile quando è del tipo 0*x=b con nessuna soluzione reale, S=Φ. C) Εquazione indeterminata quando è del tipo 0*x=0, con infinite soluzioni di numeri reali, S=R. ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO. Ricordiamo la regola di annullamento del prodotto: quando in un prodotto uno o più numeri sono uguali a zero il risultato è pure uguale a zero. Pertanto, quando una equazione si presenta con un membro in forma di prodotto di fattori contenenti l'incognita, per trovare le soluzioni basta porre a zero ciascuno di essi risolvendone la rispettiva equazione. Esempio di applicazione dell'annullamento del prodotto: (2x-5)*(4x+3)*(x+2)=02x+5=0, x1=-5/2; 4x+3=0, x2=-3/4; x+2=0, x3=-2
P.2\5- EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO - Prof. I.Savoia, Maggio 2011 EQUAZIONI NUMERICHE FRATTE. Equazioni che hanno l incognita presente almeno in un denominatore. La risoluzione delle equazioni fratte prevede alcuni passaggi tipici: 1-Scomporre in fattori i denominatori quando possibile. 2-Determinare le CE (condizioni di esistenza) risolvendo le disuguaglianze a zero di ciascun denominatore, con il risultato di scartare dalle soluzioni proprio quei particolari valori dell'incognita che li annullerebbero. 3-Portare a denominatore comune (mcd) i due membri della equazione e di seguito moltiplicare per tale denominatore comune. 4-Risolvere l'equazione intera ottenuta al punto 3) 5-Scartare eventuali soluzioni incompatibili con le CE e verificare che le soluzioni compatibili soddisfino l'equazione di partenza mediante sostituzione.
P.3\5- EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO - Prof. I.Savoia, Maggio 2011 PROBLEMI NUMERICI. Possibile definizione di problema numerico: situazione per la quale è richiesta la determinazione o il calcolo di alcuni valori numerici relativi a dati incogniti. Quando il valore incognito da calcolare è uno solo, in genere corrispondente alla x, può essere determinato risolvendo una equazione di primo grado, il problema si dice di tipo numerico di primo grado. Nonostante il fatto che i tipi di problemi siano molti in quanto riconducibili a contesti di varia natura (numerico, geometrico, economico, statistico, ecc..), la strategia generale deve comportare il passaggio attraverso alcune fasi generali: 1) ANALISI DEL TESTO E VALUTAZIONE DEL TIPO DI PROBLEMA. Si tratta di una parte fondamentale del percorso risolutivo in questo passaggio si deve comprendere: -la natura ed il contesto del problema; -i dati che vengono forniti nel testo; -richieste del problema, in particolare i dati incogniti che devono venire calcolati; -dominio delle incognite, ovvero gli intervalli di numeri entro i quali ci si aspetta che la soluzione numerica sia compresa nel campo di accettabilità (ad esempio i valori positivi di x se si tratta di misure di segmenti). 2) COSTRUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO. Questa è la tappa centrale di tutto il percorso e si può pensare che riguardi alcuni obiettivi di fondo: a) determinazione delle relazioni (in genere equazioni o disequazioni) che esistono fra i dati contenuti nel testo del problema; b) relazioni (equazioni o disequazioni) che includono l incognita da determinare. c) eventuale scelta della strategia risolutiva per il calcolo dei dati richiesti quando ve ne sia più di una.
P.4\5- EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO - Prof. I.Savoia, Maggio 2011 3) RISOLUZIONE DEL MODELLO MATEMATICO. La risoluzione di equazioni, disequazioni e sistemi, stabilite al punto precedente, ad esempio per via algebrica. 4) VERIFICA: I dati relativi ai valori delle incognite, che sono stati ottenuti risolvendo il modello matematico, vengono sostituiti al posto delle lettere incognite (la x nelle equazioni di primo grado) che compaiono nel modello matematico, verificando se le relazioni di partenza siano soddisfatte e, inoltre, che tali soluzioni rispettino le condizioni di accettabilità del dominio. Alla luce di quanto sopra è stato esposto passiamo ora ad esaminare tre esempi di problemi numerici. Problema 1: Un cellulare, dopo che è stato applicato uno sconto del 15%, viene acquistato al prezzo di 170 euro. Quale è il prezzo originale? Sconto sul prezzo=15%; Prezzo scontato: 170 euro. Richiesta: prezzo iniziale prima dello sconto=x Dominio: x>170 euro. 3)Risoluzione del modello matematico: 85 100 x = 170 x = 170 = 200 euro. 100 85 4) Verifica della soluzione: 200-15%200=200-30=170 Il valore ottenuto appartiene al dominio perchè 200>170.
P.5\5- EQUAZIONI E PROBLEMI: GUIDA D'USO - Prof. I.Savoia, Maggio 2011 Problema 2: Si deve costituire una somma di 14 euro con 40 monete, alcune di esse da 50 centesimi ed altre da 20 centesimi. Quale è la combinazione numerica dei due tipi di monete? Somma da costituire=14 euro. Monete disponibili da 50 centesimi=x. Monete disponibili da 20 centesimi=y. Totale delle monete da usare=40. Richiesta: quanto valgono x e y? Dominio: 0<x<40, 0<x<40. relazioni fra i dati: x+y=40 ; y=40-x relazione con l incognita: 0.5x+0.2y=14. 3) Risoluzione del modello: 0.5x+0.2(40-x)=10 ; 0.3x+8=14; 0.3x=12; x=6:0.3=20; y=20 4) Verifica: 20*0.5+20*0.2=10+4=14 ; x=y=20<40 Problema 3: In un triangolo rettangolo un cateto è lungo 6 cm mentre l altro cateto misura 2 cm in meno dell ipotenusa. Determinare la lunghezza dell ipotenusa. (si riportare il triangolo in uno schema grafico che qui, vista la semplità, non si rappresenta) Triangolo rettangolo. Lunghezza Cateto 1=6 ; Cateto 2=y; Incognita=ipotenusa=x 2 2 2 y = x 2 ; 6 + y = x (Teorema di Pitagora) 3) Risoluzione del modello matematico: 4) Verifica della soluzione: 36 + 4 2 = 36 + 4 = 40 ; 4cm=6cm-2cm ( ) 2