Appunti di Elementi di Meccanica Esercitazione di Statica v 1.0 7 ottobre 2008
Figura 1: Scaffale a mensole 1 Problema Lo scaffale è un oggetto di uso quotidiano, presente nella maggior parte delle abitazioni. Lo scopo di questa esercitazione è farne una serie di modelli piani semplificati e valutare come la forza peso dovuta alla massa degli oggetti riposti si scarica sulla sua struttura. In figura 1 è rappresentato uno scaffale metallico. È costituito da dei ritti verticali che sono fissati a terra mediante dei piedi. Sui ritti possono scorrere le spalle, gli elementi sui quali si appoggia ciascuna mensola. Le spalle sono fissate ad una determinata altezza mediante dei perni che, passando attraverso un asola ricavata nella spalle, si inseriscono in un apposito foro del ritto. 2 Modellazione Lo scaffale è ovviamente una struttura tridimensionale. Analizzando però con attenzione la struttura e i carichi applicati è possibile fare alcune semplificazioni che consentono lo studio dello scaffale con gli stessi metodi impiegati per lo studio di strutture piane. I carichi a cui è soggetto lo scaffale sono dovuti alla forza peso agente 2
Figura 2: Vista frontale per effetto della massa degli oggetti appoggiati. Osservando frontalmente lo scaffale (vedi figura 2), ciascuna mensola può essere schematizzata come un corpo piano vincolato alle estremità su quale agisce una forza. La mensola è appoggiata alle due spalle e inoltre presenta delle piccole ali (vedi figura 3) che impediscono lo spostamento nella direzione orizzontale. Quindi la mensola, frontalmente, può essere schematizzata come una trave ipostatica che, nel caso di carichi orizzontali, diventa una struttura isostatica grazie al vincolo di appoggio costituito dalle ali. A seconda della direzione della forza risultante agente, la cerniera si collocherà a destra o a sinistra della mensola (vedi figura 4). Con queste premesse si può schematizzare ogni mensola come una trave semplicemente appoggiata con una forza P agente in direzione verticale (forza peso), come in figura 5. Ciascuna spalla è soggetta ad una forza trasmessa dalla mensola che vi si appoggia. Osservando lo scaffale lateralmente (figura 6) si potrebbe erroneamente pensare che ciascuna spalla supporta il peso dell oggetto sulla mensola o metà di esso. In realtà la modellazione della mensola consente il calcolo esatto della forza trasmessa a ciascuna spalla. Ogni ripiano dello scaffale deve rimanere nella sua posizione, anche quando viene caricato con degli oggetti. La spalla può essere quindi schematizzata 3
Figura 3: Dettaglio frontale della mensola Figura 4: Schematizzazione della mensola 4
P A B Figura 5: Modello della mensola Figura 6: Vista laterale 5
P 1 P 2 P 3 C Figura 7: Modello dello scaffale come una trave incastrata al ritto (figura 7). Il valore della forza trasmessa a ciascuna spalla è quello calcolato precedentemente nell analisi della mensola corrispondente e la posizione di tale forza è data dalla posizione del baricentro del corpo appoggiato. Per rendere ulteriormente semplice il calcolo della struttura, si può pensare la spalla come una trave incastrata a terra (figura 10). Il calcolo delle reazioni vincolari ci consentirà poi di studiare il ritto riportando le forze calcolate al ritto (figura 8). Un analisi più accurata della soluzione costruttiva impiegata per la realizzazione del vincolo della spalla (vedi figura 9) permettere una schematizzazione più accurata del vincolo, come in figura 11. 6
Figura 8: Forze e coppie riportate sul ritto Figura 9: Dettaglio laterale della mensola 7
P D Figura 10: Modello della spalla semplificato P E F Figura 11: Modello della spalla dettagliato 8
Figura 12: Dettaglio piede dello scaffale 3 Scrittura delle equazioni di equilibrio Ciascun modello dello scaffale o di parte di esso può essere calcolato mediante le equazioni di equilibrio della statica { F = 0 MO = 0 dove O è un punto generico del piano. La validità di questo sistema di equazioni fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema di forze sia in equilibrio. Questo sistema di equazioni per un sistema piano si riduce ad un sistema di tre equazioni scalari in tre incognite. La presenza di più corpi comporta un numero maggiore di incognite e un numero maggiore di equazioni. 9
4 Osservazioni conclusive Lo scopo dell esercitazione è quello di analizzare una struttura reale mediante modelli piani. Questa modellazione non consente un calcolo accurato delle forze scambiate e non consente l individuazione della totalità delle reazioni vincolari. Lo sviluppo tridimensionale dello scaffale deve essere preso in considerazione per una corretta analisi della struttura. L approccio impiegato consente però un analisi di massima del problema e il calcolo quantitativo delle principali forze in gioco. Questo metodo ha il pregio di essere estremamente rapido e prescindere dalla geometria effettiva della struttura analizzata. 10