COMMENTI A CONTI CAP10 SMODICA TEOREMA DI DINI Solo per dire che il teorema vale anche se risulta F(x 0,y 0 ) = c con c R qualunque invece di F(x 0,y 0 ) = 0; l insieme F(x,y) = 0 dell enunciato diventa l insieme F(x, y) = c Per vederlo basta applicare il teorema così come è enunciato nel libro alla funzione Φ(x,y) = F(x,y) c (che è tale che Φ(x,y) = 0 se e solo se F(x,y) = c), e osservare che le derivate di F sono uguali a quelle di Φ SIGNIFICATO DI λ Siano f,ϕ di classe C 1 con gradϕ sempre diverso da zero (così possiamo applicare la proposizione 108) Supponiamo che per ogni b R il problema massimizza f(x, y) su ϕ(x,y) = b abbia soluzione unica(x(b), y(b)) con x(b) ed y(b) derivabili(rispetto a b), e poniamo V(b) = f(x(b),y(b)), il valore della funzione nel massimo Poichè per ogni b è ϕ(x(b),y(b)) = b sarà ϕ x (x(b),y(b))x (b)+ϕ y (x(b),y(b))y (b) = 1, perciò V (b) = f x x +f y y = λ(ϕ x x +ϕ y y ) = λ 1 Dunque l opposto di λ misura il tasso di variazione del valore massimo V rispetto a b UN ALTRO ESEMPIO ECONOMICO DI CONVESSITA Per esempio nel problema del consumatore, massimizzare l utilità u(x, y) ricavata dal consumo di due beni con il vincolo di bilancio p 1 x+p 2 y = b, dove p 1 e p 2 sono i prezzi dei due beni e b è il reddito, λ è il tasso di variazione dell utilità conseguita al variare del reddito, che si chiama appunto utilità marginale del reddito Se lo Stato vuole regalare una lira al consumatore che ne trae più vantaggio deve ragalarla a quello con λ più alto E utile avere condizioni sotto le quali una lira in più fa più piacere a un povero che a un ricco, cioè sotto le quali λ decresce con b (problema tipico di microeconomia); poichè λ = V, la decrescenza di λ equivale alla concavità di V Vogliamo dimostrare che V è concava se lo è u Per farlo conviene cambiare nome ai punti di R 2 : invece di (x,y) li indicheremo con x = (x 1,x 2 ) Ponendo p = (p 1,p 2 ) il problema diventa: massimizzare u(x) sul vincolo p x = b Se x(b) è una soluzione del problema, V(b) = u(x(b)) PROPOSIZIONE Se u è concava lo è anche V Dimostrazione Sianodatib 1 eb 2,esianox(b 1 )edx(b 2 )lorosoluzioni Dap x(b 1 ) = b 1 e p x(b 2 ) = b 2 segue p [tx(b 1 ) + (1 t)x(b 2 )] = tb 1 + (1 t)b 2 ; sicchè la Date: Gennaio 1996 1 Come x ed y, λ è in realtà un λ(b) 1
COMMENTI A CONTI CAP10 2 scelta in parentesi quadre è fra quelle possibili con tb 1 +(1 t)b 2, il che implica la prima disuguaglianza di qui sotto; continuando con la concavità di u otteniamo la concavità di V: V(tb 1 +(1 t)b 2 ) u(tx(b 1 )+(1 t)x(b 2 )) tu(x(b 1 ))+(1 t)u(x(b 2 )) = tv(b 1 )+(1 t)v(b 2 ) Nota che puoi ignorare In questa proposizione non si richiede unicità (nè a maggior ragione derivabilità) della soluzione; serve solo l esistenza di almeno una soluzione per ogni b Se ve ne sono più d una, se v e w sono soluzioni u(v) = u(w) (perchè dalla definizione di massimo u(v) u(w) e u(w) u(v)), dunque V è ben definita anche in assenza di unicità A differenza del solito non si assume nemmeno che le funzioni date siano di classe C 1 (ϕ = p x b lo è, ma u può non esserlo) Inoltre, il risultato resta vero con dimostrazione identica se x e p sono in R n CONDIZIONI SUFFICIENTI PER ESTREMI VINCOLATI Per individuare i massimi e minimi di f(x,y) sull insieme {(x,y) : ϕ(x,y) = 0} (che chiameremo insieme ϕ = 0 ) le condizioni della proposizione 108 non sono sufficienti, come si può vedere con esempi grafici Per enunciare condizioni sufficienti comode da leggere conviene sapere cosa sono le matrici rettangolari m n, con m righe orizzontali ed n colonne verticali, e i determinanti delle matrici quadrate n n Tre matrici: 1 4 25 0 1 5 2 2 0 3 3 ( ) a b c d α β γ δ 2 4 ( ) a b c d 2 2 Quelle 1 1( sono) del tipo (a), a R e det(a) = a Il determinante di una matrice a b 2 2 è det = ad bc Sia ora data una matrice n n c d a 11 a 12 a 1n A = a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Eliminando da A la riga i e la colonna j si ottiene una matrice n 1 n 1 che si chiama A ij (A senza i,j) Il determinante di A è così Si prende una qualunque riga o colonna, diciamo la riga i, di elementi a i1,,a in ; ogni elemento lo si moltiplica per ( 1) i+j e per deta ij ; e poi si sommano questi termini Cioè, deta = n j=1 ( 1)i+j a ij deta ij Lo stesso numero si ottiene con un altra riga o colonna (è un teorema) Facendolo per esempio con la prima colonna viene deta = n i=1 ( 1)i+1 a i1 deta i1 Così si riduce il calcolo a determinanti di ordine n 1 Facendolo con la prima colonna nel determinante 3 3 di sopra otteniamo det 1 4 25 ) 0 1 5 = ( 1) 1+1 1 5 1 det( +0+( 1) 3+1 2 det 2 0 2 2 0 Condizioni sufficienti per il problema di sopra sono le seguenti ( ) 4 25 = 25 1 5 PROPOSIZIONE Siano f,ϕ di classe C 2, e sia (x 0,y 0 ) tale che ϕ(x 0,y 0 ) = 0 e gradϕ(x 0,y 0 ) 0 Se λ 0 è tale che in (x 0,y 0,λ 0 ) riesce gradh = 0 e (con tutte le derivate calcolate in x 0,y 0,λ 0 ) det 0 ϕ x ϕ y ϕ x H xx H xy > 0 (risp < 0), ϕ y H xy H yy
COMMENTI A CONTI CAP10 3 allora (x 0,y 0 ) è un massimo (risp minimo) per f su ϕ = 0 Dimostrazione Supponiamo per cambiare che sia ϕ x (x 0,y 0 ) 0, così in un intorno di quel punto l insieme ϕ = 0 definisce implicitamente una funzione h(y) tale che ϕ(x,y) = 0 se e solo se x = h(y) Secondo il teorema di Dini si calcolano h (y) = ϕ y /ϕ x ed h (y) = (ϕ 2 xϕ yy 2ϕ x ϕ y ϕ xy + ϕ 2 yϕ xx )/ϕ 3 x, con derivate parziali calcolate nel punto (h(y),y) E chiaro che (x 0,y 0 ) è un estremo per f su ϕ = 0 se e solo se la funzione G(y) = f(h(y),y) ha un estremo in y 0 ; e condizioni sufficienti per un estremo di G sono che G (y 0 ) = 0 e G (y 0 ) 0 (maggiore implica minimo, minore massimo) Sia gradh(x 0,y 0,λ 0 ) = 0 Da H x = 0 e H y = 0 segue λ 0 = f x /ϕ x ed f y + λ 0 ϕ y = 0 (da ora in poi derivate parziali in x 0,y 0,λ 0 ), quindi G (y 0 ) = f x h (y 0 ) + f y = f y + ( f x /ϕ x )ϕ y = 0 Inoltre G = (h ) 2 f xx + 2h f xy + h f x + f yy ; qui si inseriscano le espressioni di h,h, e si sostituisca f x con λ 0 ϕ x (ad essa uguale); poi si metta in evidenza 1/ϕ 2 x; il risultato, come si vede facendo con calma i conti, è G (y 0 ) = (1/ϕ 2 x )deta, con A la matrice dell enunciato Quindi se deta > 0, G (y 0 ) < 0 e G ha un massimo; se deta < 0, G ha un minimo ALTRI ESEMPI DI ESTREMI VINCOLATI (1)Trovaregliestremidi f(x,y) = e xy sull insieme3x+2y = 6 Quigradϕ 0 sempre, quindi gli estremi sono soluzioni di gradh = grad(e xy +λ(3x+2y+6)) = 0 Il sistema è ye xy +3λ = 0 xe xy +2λ = 0 3x+2y +6 = 0 Osserviamo che λ = 0 non può essere (perchè implicherebbe x = y = 0 che non soddisferebbe la terza equazione) Dunque dividendo la prima equazione per la seconda otteniamo y = 3 2x; sostituendo questa nella terza viene x = 1 e quindi y = 3 2 ; dalla prima, λ = e3/2 /2 Dunque ( 1, 3/2) è l unico estremo La funzione nel punto vale e 3/2, e in ogni punto sul vincolo con x = 0 o y = 0 la funzione vale 1; quindi indoviniamo che il punto critico non può essere minimo, e deve essere massimo E si può verificare che le condizioni del secondo ordine sufficienti per un massimo sono verificate in ( 1, 3/2) (2)Comesopraperf(x,y) = x 2 xy+y 2 sull insiemex 2 +y 2 4 = 0 Osserviamo che sul vincolo è f = 4 xy Perciò il problema equivale a trovare gli estremi di 4 xy sul vincolo Il gradiente di ϕ è sempre diverso da zero, e possiamo applicare la proposizione 108 H = 4 xy +λ(x 2 +y 2 4) gradh = 0 è y +2λx = 0 x+2λy = 0 x 2 +y 2 4 = 0 Di nuovo λ 0 Dalle prime due ricaviamo x 2 = y 2, che nella terza dà 2x 2 = 4 cioè x = ± 2, e da qui anche y = ± 2 In conclusione ci sono 4 punti (x,y,λ) critici: ( 2, 2, 1/2),( 2, 2,1/2),( 2, 2,1/2),( 2, 2,1/2) Calcolando i valori della funzione in questi punti si vede che il primo e terzo sono minimi, gli altri due massimi (3) Studia f(x,y) = x 2 +2y 2 sulla circonferenza x 2 +y 2 = 1 Su questo insieme f = 1+y 2, quindi senza fare conti vediamo che il minimo è sui punti della circonferenza in cui y = 0, cioè ( 1,0),(1,0); e il massimo è sui punti in cui y 2 è massimo sulla circonferenza, cioè (0, 1),(0, 1)
COMMENTI A CONTI CAP10 4 (4) Trova gli estremi di f(x,y) = x 2 + y 2 sull insieme x 2 + y 2 = 1 Sulla circonferenza x,y 1 quindi è f = 4 (x + y) Disegnando le curve di livello la soluzione si vede subito, comunque: H = 4 (x + y) + λ(x 2 + y 2 1), e gradh = 0 dà facile i punti critici (1/ 2,1/ 2),( 1/ 2, 1/ 2) L hessiano orlato (così si chiama il determinante nella proposizione di p2) vale 4(x + y), quindi (1/ 2,1/ 2) è minimo, l altro massimo (5)Trovaregliestremidif(x,y) = x 2 +y 2 +y 2 1sullacirconferenzax 2 +y 2 = 9 Useremo due procedimenti alternativi al metodo dei moltiplicatori di Lagrange, che possono essere utili Primo metodo Sulla circonferenza è f = 2 + y 2 che è chiaramente minima quando y = 0, cioè nei punti (3,0) e ( 3,0), con valore nel minimo 2 e massima per y 2 = 9, cioè nei punti (0,3) e (0, 3), con valore massimo 11 Questo metodo è utile per esempio nell esercizio 4 Secondo metodo (x,y) soddisfa il vincolo se e solo se x = 3cost, y = 3sent per t [0,2π) Dunque sul vincolo la funzione è uguale a g(t) = 2+sen 2 t, chiaramente minima per t = 0,π e massima per t = ±π/2 Ritroviamo per questa via i risultati di prima Si consiglia di usare questo metodo nell esercizio 5 (6) Trova gli estremi di f(x,y) = x sull insieme x+y = 1 Disegnando le curve di livello di f ed gradienti relativi (gradf = (1,0) per ogni (x,y)) si vede subito che non ne esistono Per confermarlo formalmente osserviamo che possiamo applicare la proposizione 108 e che gradh non si annulla mai Supponiamo di volere il massimo di f sull insieme {(x,y) : x+y = 1,x,y 0} Graficamente è di nuovo chiaro che il massimo è raggiunto in (1, 0) Per provarlo: per ogni (x,y) nell insieme dato, f(x,y) = x x+y = 1 = f(1,0) Qui il massimo è raggiunto in un estremo dell insieme vincolante, e non c è proporzionalità fra i gradienti di f e ϕ I vincoli di nonnegatività sono naturali in molti problemi, e si studiano bene quando si fanno gli estremi con vincoli di disuguaglianza 2xy (7) (Ghizzetti) Trova gli estremi di f(x,y) = (x 2 +y 2 ) sulla corona circolare 2 {(x,y) : R 1 x 2 +y 2 R 2 }, 0 < R 1 < R 2 Per problemi di questo tipo, in cui il vincolo è (x,y) A, A un insieme di R 2 chiuso e limitato, si può procedere come segue Gli estremi di f continua su A esistono Quelli interni ad A (se ce n è) devono soddisfare le stesse condizioni degli estremi liberi; gli altri sono sulla frontiera di A Dunque gli estremi di f su A si devono cercare fra i punti interni ad A con gradiente nullo, fra gli estremi di f sulla frontiera di A, e fra i punti in cui la f non è differenziabile Nel nostro caso guardando f in coordinate polari, f = sen2θ/r 2, si vedeche lungo semirette per cui sen2θ 0 laf èmonotona(quindi su tali semirette non ci sono estremi); si prenda poi un punto qualunque su una semiretta in cui sen2θ = 0 (θ = 0,π/2,π,3π/2): la f è zero, e cambia segno sulla circonferenza r = costante che passa per il punto dato, quindi neanche su queste semirette ci sono estremi Conclusione, nell interno del nostro A estremi non ce n è Sulla frontiera (cioè le due circonferenze con r = R 1, r = R 2 ) sempre in coordinate polari si vede subito che il massimo di f è 1/R1 2, il minimo 1/R2 1 Calcolare i punti in corrispondenza dei quali sono raggiunti gli estremi è facile e si lascia allo studente CONVESSITA E CONDIZIONI SUFFICIENTI, E ALTRI ESEMPI Ci sono ipotesi di convessità/concavità delle funzioni nei problemi di massimo o minimo vincolato che rendono sufficienti le condizioni del primo ordine gradh = 0 Per esempio:
COMMENTI A CONTI CAP10 5 PROPOSIZIONE Siano f,ϕ di classe C 1 Sia (x 0,y 0,λ 0 ) tale che ϕ(x 0,y 0 ) = 0 e gradh(x 0,y 0,λ 0 ) = 0 Se la funzione (x,y) H(x,y,λ 0 ) è convessa (risp concava), (x 0,y 0 ) è un minimo (risp massimo) per f su ϕ = 0 Dimostrazione Facciamo il caso del massimo: sia (x, y) un punto sull insieme ϕ = 0 Poichèunafunzioneconcavastasottolatangenteeϕ(x,y) = 0abbiamo(derivate in (x 0,y 0 )) f(x,y) = f(x,y)+λ 0 ϕ(x,y) f(x 0,y 0 )+λ 0 ϕ(x 0,y 0 )+(f x +λ 0 ϕ x )(x x 0 )+(f y +λ 0 ϕ y )(y y 0 ) = f(x 0,y 0 ) Prima di vedere qualche applicazione (economica) di questo risultato confermiamo l intuizione sulla curvatura delle curve di livello delle funzioni concave e convesse, che ci dice che: se f è convessa crescente in x,y, cioè ha f x,f y > 0 (che scriveremo gradf > 0), le curve di livello sono concave ; se f è crescente concava sono convesse (fra virgolette perchè le curve di livello non sono funzioni) Precisamente: PROPOSIZIONE Sia f di classe C 2 con gradf > 0 (x,y), e sia f(x 0,y 0 ) = c Se f è convessa(risp concava), la funzione y = g(x) definita implicitamente dall equazione f(x,y) = c è concava (risp convessa) nel suo dominio Se gradf < 0 le conclusioni sono al contrario Dimostrazione Sia f concava Guardiamo a g (x) nell esercizio 1004 Il numeratore, del tipo α 2 f xx + 2αβf xy + β 2 f yy, è negativo o nullo perchè f xx 0 ed f xx f yy fxy 2 0 (caratterizzazione delle funzioni concave, cap5) Dunque g o è zero o ha il segno di f y Da ciò le tesi seguono subito ESEMPI (1) Il problema del consumatore, massimizzare u(x, y) sul vincolo p 1 x + p 2 y = b Qui ϕ(x,y) = p 1 x + p 2 y b è lineare (quindi sia concava che convessa), dunque: se u è concava, dalla proposizione segue che un punto con gradh = 0 è di massimo Graficamente, il massimo è nel punto di tangenza fra una curva di livello (detta in questo caso di indifferenza ) convessa e la linea (retta) di bilancio come nella figura qui sotto gradu gradϕ (2) Minimizzazione di costi da parte dell impresa C è una funzione di produzione f che associa ad ogni combinazione (x,y) di due fattori produttivi la quantità prodotta f(x,y) Una curva di livello di f descrive diversi modi di produrre una certa quantità E usuale l ipotesi che per ogni x 0 la f(x 0,y) sia concava (se in un ettaro di terra si fanno lavorare quantità crescenti di contadini, la produttività marginale derivata parziale decresce); e lo stesso per f(x,y 0 ) Il che si traduce nell ipotesi di concavità di f Il costo della combinazione (x,y) è c(x,y) = w 1 x+w 2 y, con w 1,w 2 prezzi dei fattori Data una quantità q da produrre,
COMMENTI A CONTI CAP10 6 l impresa sceglierà la combinazione di fattori meno costosa per farlo, cioè risolverà il problema: min c(x, y) soggetto a f(x,y) = q Poichè anche gradc > 0, se gradh(x 0,y 0,λ 0 ) = 0 deve essere λ 0 < 0, dunque c(x,y) + λ 0 f(x,y) è convessa, e dalla proposizione (x 0,y 0 ) è minimo Il minimo lo è nel punto di tangenza fra un isoquanto convesso di f ed una curva (retta) di isocosto La figura è come quella dell esempio precedente, con altri nomi (3) Massimizzazione del profitto La generalizzazione del concetto di funzione di produzione è quella di insieme di possibilità produttive, diciamo T, con cui si descrive non solo quanto produrre di un dato bene, ma anche quale bene produrre Per esempio se (1, 2),( 2,1) T l impresa può scegliere di produrre 1 unità del primo bene usando 2 unità del secondo, o di produrre 1 unità del secondo usando 2 unità del primo La scelta (0,0) è quella di restare chiusi (in genere assunta in T), e la ( 1, 1) rappresenta distruggere 1 unità di ciascun bene E comune supporre che T = {(x,y) : F(x,y) 0} per una F di classe C 2 crescente convessa (convessa per lo stesso motivo dell esempio precedente) Il profitto (netto) di una scelta (x,y) T è π(x,y) = p 1 x+p 2 y, con p 1,p 2 > 0 prezzi Il problema in questo caso è: max π(x, y) soggetto a F(x,y) 0 D altra parte una scelta con F < 0 non può essere ottima (perchè l insieme F < 0 è aperto, ecc), sicchè il problema è di fatto quello di massimizzare p 1 x+p 2 y sul vincolo F = 0 Dato che gradπ, gradf > 0 di nuovo se gradh(x 0,y 0,λ 0 ) = 0 deve essere λ 0 < 0, dunque in questo caso π(x,y) + λ 0 F(x,y) è concava, e dalla proposizione (x 0,y 0 ) è massimo Graficamente il massimo lo vediamo nel punto di tangenza fra la curva concava F = 0 e una retta di isoprofitto π = costante: gradπ F = 0 gradπ F = 0 Le due figure: l insieme delle scelte possibili è quello a sud ovest della curva F = 0; e le rette π = costante hanno pendenza p 1 /p 2 Nella figura di sinistra il punto di massimo (x 0,y 0 ) è con y 0 > 0, x 0 < 0: poichè p 2 /p 1 è alto, l impresa sceglie di produrre (vendere) il bene y che costa molto usando (comprando) il bene x che costa poco Il contrariosuccede nella figura di destra: p 2 /p 1 è più basso, e l impresa sceglie di comprare y per produrre e vendere x
COMMENTI A CONTI CAP10 7 ANCORA SUL PROBLEMA DEL CONSUMATORE Guardiamo la condizione della proposizione 108, gradf + λgrad ϕ = 0, da un altra angolazione E equivalente a f x /ϕ x = f y /ϕ y (= λ); nel nostro caso f = u e ϕ = p 1 x + p 2 y b, sicchè la condizione è equivalente a: in un punto di massimo (x 0,y 0 ) deve essere u x p 1 = u y p 2, relazione che è istruttivo interpretare Se si passa da (x 0,y 0 ) ad (x 0 + h,y 0 ) l incremento lungo il piano tangente ad u in (x 0,y 0 ) è h u x Aumentare x di una unità (h = 1) vuol dire aumentare di p 1 lire la spesa su x; quindi aumentare di una lira la spesa vuol dire aumentare x di h = 1/p 1 ; e l aumento corrispondente 2 a tale h sul il piano tangente ad u è proprio u x /p 1 Analogamente, u y /p 2 è l incremento sul il piano tangente corrispondente ad una lira in più spesa su y La relazione di sopra dice allora: in un punto di massimo, sul piano tangente la variazione di utilità corrispondente ad una variazione unitaria di spesa su x deve essere la stessa prodotta da una uguale variazione della spesa su y Abbreviando, la spesa deve avere la stessa resa su entrambi i beni Ci convince questa affermazione? Si In effetti, supponiamo che così non fosse; supponiamo per esempio u x /p 1 > u y /p 2, che cioè la spesa su x renda più che su y Guardiamo cosa succede sul piano tangente (insegnamento centrale del calcolo infinitesimale) Se u x /p 1 > u y /p 2, trasferendo una lira di spesa da y ad x il consumatore sul piano tangente perde u y /p 2 ma guadagna u x /p 1, cioè di più Quindi dobbiamo sospettare che il punto di partenza non può essere massimo Confermiamoformalmenteche sein(x 0,y 0 ) risultau x /p 1 > u y /p 2, muovendosilungolalinea di bilancio verso sud est aumentando x da x 0 ad x 0 +h, h > 0 e diminuendo y del dovuto, per h piccolo abbastanza riesce u(x 0 +h,y 0 +k) > u(x 0,y 0 ) e quindi effettivamente (x 0,y 0 ) non può essere massimo Perchè (x 0 +h,y 0 +k) rispetti il vincolo deve essere p 1 (x 0 +h) +p 2 (y 0 +k) = b (= p 1 x 0 +p 2 y 0 ) cioè p 1 h+p 2 k = 0 ossia k = (p 1 /p 2 )h; da ciò ρ = h 2 +k 2 = h 1+(p 1 /p 2 ) 2 ; quindi ogni infinitesimo con ρ è infinitesimo con h, in particolare ρω(ρ) = h 1+(p 1 /p 2 ) 2 ω(h) = hω(h) Allora u(x 0 +h,y 0 +k) u(x 0,y 0 ) = h [(u x p1 p 2 u y )+ω(h)]; ma da u x /p 1 > u y /p 2 segueu x p1 p 2 u y > 0,quindiu(x 0 +h,y 0 +k) u(x 0,y 0 ) > 0perhpiccoloabbastanza Nell esercizio 8 si studia questo problema con la cosiddetta(molto usata) funzione Cobb-Douglas, u = x α y 1 α, α (0,1) ESERCIZI 1 Trova gli estremi di f(x,y) = 2x 2 +5xy 3y 2 col vincolo 9x y = 16 2 Trova gli estremi di f(x,y) = x 2 +y 2 +y 2 1 sul vincolo x 2 +y 2 = 9 3 Trova gli estremi di f(x,y) = x 2 +y 2 sull insieme x y = 1 Usa la convessità di H per dimostrare che il punto critico è minimo 4 (Bononcini) Trova gli estremi relativi di f(x,y) = 3x 2 + 4y 2 6x 12 sulla circonferenza x 2 +y 2 = 4 Usa il primo metodo dell esempio (5) di sopra 3 2 se invece si riduce di 1 la spesa su x, la variazione è ux/p 1 3 Risultato: minimo in (2,0), massimo in ( 2,0)
COMMENTI A CONTI CAP10 8 5 (Bononcini) Trovagli estremidi f(x,y) = x 2 +5y 2 1 2 xy sull ellissex2 +4y 2 4 = 0 Usa il secondo metodo dell esempio (5) di sopra (il metodo dei moltiplicatori di Lagrange è in questo caso molto più laborioso) 4 6 Trovagliestremidif(x,y) = x 2 +y 2 +y 2 1(esempio(5)disopra)sull insieme x 2 + y 2 9 Non dimenticare di cercare anche nell origine, in cui la f non è derivabile 7 Considera la funzione Cobb-Douglas f(x,y) = x α y 1 α, α (0,1) (i) Qual è il suo dominio? E per quali (x,y) la f è di classe C n n? (ii) passando in coordinate polari verifica che su semirette (rsenθ,rcosθ) la f è la retta r(cosθ) α (senθ) 1 α Poni α = 1/2 Poichè la pendenza della retta f = r senθ cosθ è l ordinata su essa in corrispondenza di r = 1, la retta passa per l origine e per (cosθ,senθ, senθ cosθ) Studia senθ cosθ per θ (0,π/2) Per θ (0,π/2) immagina di disegnare tutte queste rette e unirle a formare il grafico di f Cosa pensi ora della concavità/convessità di f? (iii) Verifica se la tua congettura sulla curvatura di f è giusta per ogni α (0,1), usando il segno di f xx,f yy ed H = f xx f yy f 2 xy (iv) Se ti è venuta f concava, con f xx,f yy > 0 ed H = f xx f yy f 2 xy = 0 vai avanti, se no torna indietro Dunque f è concava ma per poco perchè H è sempre zero Questo per poco non ci deve sorprendere, perchè lungo semirette dall origine la f è una retta, concava per poco Nonostante ciò, le curve di livello sembrano strettamente convesse (no?) Conferma questo fatto (qui non c è bisongo di usare le funzioni implicite; risolvi f(x,y) = c esplicitamente in y = g(x) e verifica che g > 0) 8 (i) Risolvi il problema del consumatore, massimizzare u(x,y) sul vincolo p 1 x+ p 2 y = b con u(x,y) = x α y 1 α, con α (0,1) dato (dall esercizio precedente u è concava, sicchè le condizioni di primo ordine sono sufficienti per un massimo) 5 Nota che x 0 cresce con α e b e decresce con p 1 ; analogamante y 0 (ii) Sappiamo che se u è concavalo è anche V(b) = u(x(b),y(b)) Qui u è concava di poco, sospettiamo che V(b) lo sia pure, che cioè sia retta Conferma, verificando che V (b) = λ(b) è costante in b Dunque, con questa u l utilità marginale del reddito è costante (iii) Poni α = 1/2 e verifica che in questo caso V(b) = b/2 p 1 p 2 9 Il problema della minimizzazione della spesa per ottenere una certa utilità da parte del consumatore è l analogo del problema della minimizzazione del costo di produrre una certa quantità da parte dell impresa Scrivi il problema, e fai un ipotesi su u che conduce alla stessa figura che nel caso dell impresa 6 10 Nell esempio dei ricchi e poveri, l esperimento successivo è di lasciar variare sia b che p ed esaminare la funzione V(b,p) = u(x(b,p)) (da R n+1 ad R), dove x(b,p) è soluzione del problema Una f : R n R si dice quasi concava se per ogni coppia di punti v,w R n risulta f(tv +(1 t)w) min{f(v),f(w)} per ogni t (0,1) Dimostra che se u è concava V(b, p) è quasi concava 4 Risultato: La g(t) che risulta ha minimi in t = π/8, 9π/8 e massimi in t = 5π/8, 13π/8 I corrispondenti (x,y) sono ( 2+ 2, 1 2 2), ( 2 2, 1 2 2) e 2 2 ( 2 2, 1 2 2+ 2), ( 2 2, 1 2 2+ 2) 5 Soluzione: x0 = αb/p 1, y 0 = (1 α)b/p 2 6 Risposta: u concava