2. Zeri, singolarità e residui

2. Zeri, singolarità e residui Bernhard Riemann (1826-1866) Se solo conoscessi il vero enunciato del teorema! Allora sarebbe facile per me darne la dimostrazione... Lo scopo principale di questo capitolo è quello di studiare le singolarità di una funzione olomorfa. L esempio tipico che studieremo in dettaglio è fornito dal quoziente f = g/h di due funzioni olomorfe nell intorno di un punto z nel caso in cui il denominatore h si annulli proprio in z. Come primo passo studiamo quindi il comportamento di una funzione olomorfa vicino ad un proprio zero. 2-1

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-2 Zeri di funzioni olomorfe Gli zeri di una funzione olomorfa f sono quei punti z dove la funzione si annulla, f(z ) =. Corollario 2.1 (Zeri di una funzione olomorfa) Ad ogni zero z di una funzione olomorfa non identicamente nulla f : D(f) C C si può associare un numero intero positivo m (ordine di zero di f) caratterizzato dalle seguenti (equivalenti) proprietà: f è asintoticamente equivalente a (z z ) m per z z : f(z) (z z ) m f(z) per z z, cioè lim = c. (2.1) z z (z z ) m Esiste una funzione olomorfa g tale che (z z ) m g(z) z D(f), con g(z ). (2.2) Tutte le derivate successive di f fino all ordine m 1 si annullano in z, mentre f (m) (z ), cioè f(z ) = f (z ) = = f (m 1) (z ) =, f (m) (z ). (2.3) La prima potenza che compare nello sviluppo in serie di f è quella di ordine m e si ha k=m + a k (z z ) k = (z z ) m a h+m (z z ) h. (2.4) h= Dimostrazione Sappiamo che se B r(z ) D(f) allora f ammette lo sviluppo in serie di potenze in B r(z ) + a k (z z ) k, z B r(z ). (2.5) k= Sono ovviamente possibili solo due eventualità: i coefficienti {a k } k N sono tutti nulli; in tal caso f è identicamente nulla in B r(z ). a,a 1,...,a m 1 sono nulli ma a m ; in tal caso si ha a m(z z ) m +a m+1 (z z ) m+1 +...+a m+h (z z ) m+h +... = (z z ) m[ ] a m +a m+1 (z z ) 1 +...+a m+h (z z ) h +... + = (z z ) m a m+h (z z ) h h= Ponendo g(z) := + n= a m+h(z z ) h, si ottiene la rappresentazione di f come prodotto e si verificano tutte le proprietà elencate. (2.6) (z z ) m g(z), g(z ), (2.7) Una conseguenza sorprendente è che basta un insieme ridotto di punti (per esempio una curva) per determinare univocamente una funzione olomorfa in un aperto connesso D(f) C: è il principio del prolungamento analitico, cui si arriva studiando gli zeri di una funzione olomorfa. Corollario 2.2 (Principio del prolungamento analitico) Se due funzioni olomorfe f, g sono olomorfe nell aperto connesso Ω coincidono in un insieme che ha almeno un punto di accumulazione interno a Ω, allora coincidono in tutto Ω. Esempio Il principio del prolungamento analitico è piuttosto utile per estendere al campo complesso identità algebriche che si sono già dimostrate in campo reale. Ad esempio, sappiamo che cos 2 x+sin 2 x = 1 per x R. Siccome

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-3 la funzione f(z) := cos 2 z + sin 2 z è olomorfa e coincide con la funzione 1 su R, essa deve coincidere con 1 anche in tutto C; si conclude quindi cos 2 z +sin 2 z = 1 z C. (2.8) Attenzione, però: questo principio vale solo per le identità che fanno intervenire solo funzioni olomorfe e certamente non si può applicare alle disuguaglianze. Ad esempio, in campo reale si sa che cosx 1, sinx 1 ma queste due proprietà sono false in campo complesso (perché?...). Quoziente di funzioni olomorfe Abbiamo visto che la derivabilità in senso complesso nell intorno di un punto z fornisce un informazione assai dettagliata sulla struttura di una funzione f vicino a z : essa si può sviluppare in serie di potenze. Vogliamo cercare di ottenere informazioni altrettanto precise quando la funzione è derivabile solo in un intorno B ρ (z )\{z } ma a priori non in z. È il caso, cioè, di una singolarità isolata, caso che si presenta assai di frequente. Per convincersene, consideriamo ad esempio il quoziente f(z) := g(z)/h(z) due funzioni olomorfe, delle quali h non sia ovviamente identicamente nulla. Grazie al teorema degli zeri di una funzione olomorfa e alla formula (1.83), sappiamo che tale quoziente definisce una funzione olomorfa eccetto che in un insieme di punti isolati, precisamente gli zeri di h: questi saranno proprio le singolarità, isolate appunto, della funzione f. Nel caso di un quoziente, naturalmente, è facile stabilire il comportamento nell intorno di una singolarità, grazie al corollario precedente: infatti se h(z ) =, sappiamo che h(z) = (z z ) q h (z) con h olomorfa e h (z ), così come g(z) = (z z ) p g (z) con g (z ). Posto f := g /h, f risulta olomorfa almeno in un intorno di z e f (z ) ; si ottiene così 1 1 (z z ) mf (z) = (z z ) m b h (z z ) h, m := q p (2.9) h= dove abbiamo sviluppato in serie di Taylor la funzione f. Se l ordine di annullamento q del denominatore è maggiore dell ordine di annullamento p del numeratore, allora m > e quindi il 1 termine (z z ) determina una singolarità del quoziente in z m. Viceversa, se p q, siamo nel caso in cui la singolarità è eliminabile, poiché esiste il limite lim z z f(z). Supponiamo che sia m > : posto k := h m, a k := b k+m, deduciamo che la funzione di partenza f ha uno sviluppo del tipo b h (z z ) h m = h= k= m a k (z z ) k = = a m (z z ) m +a m+1 (z z ) m+1 +...+a 1 (z z ) 1 +a +a 1 (z z )+...+a k (z z ) k +... (2.1) dove i primi m termini s(z) := a m (z z ) m +a m+1 (z z ) m+1 +...+a 1 (z z ) 1 (2.11) formano la cosiddetta parte singolare, definita in C\{z }, e gli altri r(z) := a +a 1 (z z )+...+a k (z z ) k +... (2.12) formano la parte regolare, convergente in un intorno circolare di centro z. La singolarità z si chiama polo di ordine m, lo sviluppo (2.1) prende il nome di sviluppo di Laurent di f, il coefficiente a 1 di fronte alla potenza di grado 1 si chiama residuo di f in z. Riassumiamo quanto trovato fino ad ora.

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-4 Teorema 2.3 (Sviluppo in serie di Laurent del quoziente di due funzioni olomorfe) Se f = g/h è il quoziente di due funzioni olomorfe in un disco B ρ (z ) dove z è uno zero isolato di h di ordine p (ed eventualmente uno zero di g di ordine q), f ammette lo sviluppo in serie k= m dove m := p q è l ordine di singolarità della funzione f. a k (z z ) k z B ρ (z )\{z }, (2.13) Quando p q la singolarità viene detta eliminabile, f è olomorfa in B ρ (z ) e la serie (2.13) è la sua serie di Taylor. Quando p > q, z viene chiamato polo di ordine m. Il coefficiente a 1 della potenza z 1 (che risulta nullo quando la singolarità è eliminabile e il primo termine della serie è una potenza di esponente non negativo) svolge un ruolo particolarmente importante e viene chiamato residuo di f in z. I coefficienti a k ammettono la formula di rappresentazione integrale a k = 1 f(z)(z z ) k dz < r < ρ. (2.14) 2πi z z C r(z ) Corone circolari e sviluppo in serie di Laurent La situazione descritta per il quoziente di due funzioni è in realtà di carattere più generale e dipende solo dal fatto che z sia una singolarità isolata di f. Addirittura, è possibile ottenere uno sviluppo in serie molto utile di ogni funzione olomorfa in una corona circolare. Consideriamo quindi il caso più generale in cui f è olomorfa in una { } corona circolare K r,r (z ) := z C : r < z z < R, r < R +. Si può dimostrare che vale la rappresentazione di Laurent: Teorema 2.4 (Sviluppo in serie di Laurent) Se f è olomorfa nella corona circolare K r,r (z ) allora f ammette lo sviluppo in serie k= C ρ(z ) a k (z z ) k z K r,r (z ) (2.15) dove i coefficienti a k sono dati dalla formula a k = 1 f(z)(z z ) k dz 2πi z z r < ρ < R. (2.16) Precisazione Raggi di convergenza. La serie (2.15) va intesa come la somma di due serie di potenze, la prima (parte regolare) + r(z) = a k (z z ) k ha raggio di convergenza almeno R (2.17) k=

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-5 mentre la seconda (parte singolare) è una serie di potenze nella variabile w := 1 z z s(z) : = 1 k= + a k (z z ) k = a h (z z ) h (2.18) h=1 + = a h w h ha raggio di convergenza almeno 1/r (2.19) h=1 In particolare, quando la funzione f è olomorfa in B R (z )\{z } = K,R (z ), la parte singolare ha raggio di convergenza 1/ = + ed è pertanto convergente in tutto C\{z }. Il caso di una corona circolare qualunque sarà particolarmente utile per studiare la cosiddetta trasformata Z. Singolarità isolate e residui Ora concentriamo la nostra attenzione sul caso delle singolarità isolate (che corrispondono a corone circolari il cui raggio interno è nullo): possiamo completare il quadro già descritto nel caso del quoziente di due funzioni. Teorema 2.5 (Classificazione delle singolarità) Supponiamo che f abbia una singolarità isolata in z, sia cioè olomorfa in B R (z ) \ {z }. Allora si possono presentare solo le seguenti tre situazioni: (singolarità eliminabile) f è limitato in un intorno di z : in questo caso esiste il limite l := lim z z f(z) e, definita f(z ) := l, la funzione così estesa risulta olomorfa in tutto B R (z ). (polo) lim z z f(z) = + : in questo caso esiste un intero m > (detto ordine di polo di u in z ) ed una funzione olomorfa f : B R (z ) C tale che 1 (z z ) mf (z), z B R (z )\{z }. (2.2) Di conseguenza f ammette la (univoca) decomposizione s(z) + r(z), con s, r date da (2.11,2.12) rispettivamente e a m. La parte singolare dello sviluppo di Laurent contiene termini non nulli fino all ordine m, mentre i coefficienti dei termini di ordine < m sono tutti nulli. (singolarità essenziale) f ha un comportamento caotico in ogni intorno di z : più precisamente, w C, ε > z B R (z ) : f(z) w ε. (2.21) Ancora una volta, f può essere decomposta in modo unico nella somma di parte regolare r, data dallo sviluppo (2.12) e olomorfa in B R (z ), e di una parte singolare s olomorfa in C \ {z }: quest ultima però si può scrivere solo come serie di infiniti termini, potenze di (z z ) 1 : s(z) = k=1 a k (z z ) k =...+a k (z z ) k +a k+1 (z z ) k+1 +...+a 1 (z z ) 1. (2.22) Questa ultima serie converge per ogni z C\{z }.

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-6 Abbiamo così la possibilità di rappresentare in unico modo tutti i casi che si possono presentare quando una funzione u è olomorfa attorno ad un punto z : essa ammette sempre uno sviluppo della forma s(z)+r(z) = a k (z z ) k + a k (z z ) k (2.23) n=1 dove la parte singolare s è identicamente nulla se f è olomorfa anche in z (e i coefficienti a k sono nulli fino all indice k = p se u ha uno zero di ordine p in z ), è una somma finita di m termini se f ha un polo di ordine m (e in tal caso i coefficienti a k sono tutti nulli per k < m), è una serie di infiniti termini se z è una singolarità essenziale; la rappresentazione (2.23) si chiama sviluppo in serie di Laurent di f in z. k= La formula (5.32) (per k = 1) suggerisce la seguente definizione Definizione 2.6 (Residuo) Sia z una singolarità isolata per la funzione olomorfa f; si chiama residuo di f in z l integrale Res(f;z ) = 1 f(z) dz. (2.24) 2πi C ρ(z ) dove C ρ (z ) è una circonferenza sufficientemente piccola da non contenere altre singolarità di f eccetto z. Il residuo si può equivalentemente definire attraverso lo sviluppo in serie di Laurent di f in z dato dalla (2.23): si trova infatti che Res(f;z ) := a 1 (cioè il coefficiente della potenza (z z ) 1 dello sviluppo di Laurent di f). Combinando il Teorema di Cauchy con la definizione precedente si arriva alla seguente formula fondamentale: Teorema 2.7 (Formula dei residui) Sia f olomorfa nell aperto D(f) = Ω \ Λ, dove Λ è un insieme di singolarità isolate, e sia Γ un circuito semplice, percorso in senso antiorario e non passante per alcuna delle singolarità di Λ, con A Γ Ω. Se z 1,z 2,...,z n sono le singolarità di Λ contenute in A Γ, allora n f(z)dz = 2πi Res(f;z j ). (2.25) Γ

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-7 Formule per il calcolo dei residui Se f è il quoziente di due funzioni g,h olomorfe in un intorno di z f(z) := g(z) h(z), h(z ) =, h (z ) Res(f;z ) = g(z ) h (z ). (2.26) La formula precedente è un caso particolare di polo semplice: in generale se z è un polo semplice per f (cioè l ordine di polo di z è 1 si ha Res(f;z ) = lim z z (z z )f(z). (2.27) Più in generale, se f ha un polo di ordine al più m in z, vale la [ ] 1 d m 1 Res(f;z ) = lim (m 1)! z z dz m 1 ((z z ) m f(z)). (2.28) Il residuo all Sia f una funzione olomorfa il cui dominio D(f) contenga almeno l esterno di un disco (tipicamente D(f) = C\Λ, Λ essendo costituito da un numero finito di singolarità isolate di f). Il cambiamento di variabile z = 1 w trasforma f nella funzione f(w) := f(1/w), che ha una singolarità isolata in. Si costruisce quindi la funzione g(w) := 1 w f( 1 2 w ) e si definisce Definizione 2.8 (Residuo all ) Nelle condizioni precedenti, si chiama residuo di f all il numero complesso ( ) Res(f; ) := Res g(w);w =, dove g(w) := 1 w 2f(1 ). (2.29) w Si può pensare che oltre alle singolarità in C una funzione complessa f abbia sempre una potenziale singolarità (eventualmente eliminabile) anche nel punto. L interesse di questo punto di vista sta nel seguente teorema, che rende possibile il calcolo dell integrale di f lungo un circuito Γ sommando i contributi delle singolarità di f che cadono al di fuori di Γ: tra queste deve sempre essere incluso. Teorema 2.9 (Variante della formula dei residui) Sia f olomorfa in C salvo un insieme Λ di punti isolati e sia Γ un circuito semplice, percorso in senso antiorario e non passante per alcuna delle singolarità di Λ. Se ẑ 1,ẑ 2,...,ẑ n sono le singolarità di Λ che cadono al di fuori di A Γ, allora Γ ( f(z)dz = 2πi Res(f; )+ n ) Res(f;ẑ j ) (2.3) Corollario 2.1 (La somma di tutti i residui è nulla) Sia f olomorfa in C salvo un insieme di singolarità isolate Λ = {z 1,z 2,,z n }. Allora la somma di tutti i residui contando anche quello all è nulla Res(f, )+ n Res(f;z k ) =. (2.31) k=1 Osservazione Come si può tentare di prevedere se il residuo all è nullo? Supponiamo che f sia asintotica ad una potenza 1 z m per z : ad esempio, se f = P/Q è una funzione razionale avremo m = grado(q) grado(p). Se m 2 (quindi il grado di Q prevale su quello di P di almeno due unità, in particolare f tende a per z ) possiamo dire immediatamente che Res(f; ) =. Infatti, cambiando variabile f(1/w)w 2 w m 2 per w e w m 2 è una singolarità eliminabile se l esponente m 2 è nonnegativo.

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-8 Il calcolo degli integrali su R Concludiamo con alcune formule utili per il calcolo degli integrali su R. Supporremo che f sia olomorfa in C salvo un insieme finito di singolarità isolate Λ disgiunto da R: porremo Λ + := { z Λ : Imz > } = { z + 1,,z+ n + }, Λ := { z Λ : Imz < } = { z 1,,z n }, (2.32) Teorema 2.11 Sia f come sopra tale che f(z) = O( z 2 ) per z. Allora f(x)dx = 2πi n + n Res(f;z + j ) = 2πi Res(f;z j ). (2.33) Si osservi come, grazie all ipotesi sull andamento asintotico di f per z, nel caso considerato dal Teorema 2.11 il residuo di f all è nullo. Teorema 2.12 (Lemma di Jordan) Sia f come sopra tale che lim z. Allora 2πi f(x)e iαx dx = 2πi n + n Res(f(z)e iαz ;z = z + j ) se α > ; (2.34) Res(f(z)e iαz ;z j ) se α <. Cosa succede se qualche singolarità case sull asse reale R? In tal caso gli integrali (2.33) e (2.34) non esistono. Si può però parlare di valor principale dell integrale, se almeno la singolarità è un polo semplice. Diamo la definizione Definizione 2.13 (Integrale nel senso del valor principale) Sia f : R \ Λ R R una funzione continua, con un numero finito di singolarità isolate che costituiscono l insieme Λ R = {x 1,x 2,...,x m }. Si dice che f è integrabile nel senso del valor principale se esiste il limite v.p. f(x) dx := lim f(x)dx, (2.35) R R,ε R ε,r dove m R ε,r := ( R,R)\ (x k ε,x k +ε). (2.36) k=1 Si può così dimostrare la seguente estensione del Lemma di Jordan:

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-9 Teorema 2.14 (Lemma di Jordan) Sia f olomorfa in C tranne che in un insieme finito di singolarità isolate Λ con Λ + := { z Λ : Imz > } = { z + 1,,z+ n + }, Λ := { z Λ : Imz < } = { z1, },z n, Λ R :=Λ R = { (2.37) } x 1,x 2,,x m. Supponiamo che lim z e che le singolarità di Λ R siano poli semplici. Allora v.p. 2πi f(x)e iαx dx = 2πi n + n m Res(f(z)e iαz ;z = z + j )+πi Res(f(z)e iαz ;z = x k ) (α > ); k=1 m Res(f(z)e iαz ;z j ) πi Res(f(z)e iαz ;x k ) (α < ). k=1 (2.38) Approfondimenti In questa sezione conclusiva, riprendiamo con maggior profondità alcuni aspetti cui in precedenza abbiamo solo accennato. La formula di Cauchy e l analiticità delle funzioni olomorfe Il primo passo consiste nel dimostrare la formula di Cauchy a partire dal teorema di Cauchy. Teorema 2.15 (Formula di Cauchy) Sia f : D(f) C una funzione olomorfa nell aperto regolare D(f), sia Γ un circuito contenuto in D(f) e z A Γ. Allora il valore di f in z dipende dai valori di f su Γ tramite la seguente formula di Cauchy f(z ) = 1 2πi Γ f(z) z z dz. (2.39) Dimostrazione Grazie al teorema di Cauchy abbiamo che f(z) f(z) dz = dz, (2.4) Γ z z C ρ(z ) z z per ogni ρ > tale che C ρ(z ) A Γ. A questo punto scriviamo f(z) f(z) f(z ) dz = dz + C ρ(z ) z z C ρ(z ) z z = C ρ(z ) C ρ(z ) f(z) f(z ) z z dz +f(z ) f(z ) z z dz C ρ(z ) 1 z z dz (2.41) e l ultimo integrale vale esattamente 2πi (vedi l ultimo esercizio della precedente lezione). Ci siamo ricondotti a mostrare che f(z) f(z ) dz = (2.42) C ρ(z ) z z Poiché u è derivabile in z, il rapporto incrementale di u in z è sicuramente limitato in modulo da una costante M, se z è abbastanza vicino a z. Di conseguenza, applicando la (1.97) abbiamo f(z) f(z ) dz C ρ(z ) z z 2πρM, e questa disuguaglianza conclude la dimostrazione, essendo l integrale in (2.42) indipendente da ρ e potendosi scegliere ρ arbitrariamente piccolo. Vediamo subito qualche conseguenza di questa formula; la prima non ne è che la riscrittura nel caso in cui Γ è un cerchio e z il suo centro.

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-1 Corollario 2.16 (Teorema della media) Sia f olomorfa in D(f) e B R (z ) D(f). Allora f(z ) = 1 2π f(z +Re it )dt. (2.43) 2π La seconda conseguenza, ancor più importante, è che se f è olomorfa nell aperto D(f), allora essa è derivabile un numero arbitrario di volte, le sue derivate si possono calcolare con un formula analoga alla (2.39) e la serie di Taylor associata alle sue derivate in un punto z converge a f in ogni disco B ρ(z ) contenuto in D(f). Corollario 2.17 (Analiticità delle funzioni olomorfe) Se f è olomorfa in D(f) allora f è di classe C in D(f) e per ogni disco B ρ(z ) contenuto in D(f) valgono le formule f (k) (z ) = 1 f(z) dz (2.44) k! 2πi C ρ(z ) (z z ) k+1 + k= f (k) (z ) (z z ) k z B ρ(z ). (2.45) k! Dimostrazione Non è limitativo supporre che z = (basta una traslazione). Dalla formula di Cauchy, si ottiene 1 f(ξ) 2πi C ρ() ξ z dξ. Se ora sviluppiamo la funzione z 1 ξ z in serie di potenze rispetto a z, tenendo fisso ξ, otteniamo 1 + ξ z = z k ξ k+1 k= rappresentazione che certo vale per tutti gli z interni al cerchio B ρ(), in quanto ξ sta sulla circonferenza. Otteniamo quindi 1 ( + f(ξ) zk ) 2πi C ρ() ξ k+1 dξ. k= Si tratta ora di verificare che si può scambiare l ordine tra l integrale e la serie: questo si può sicuramente fare se la serie converge uniformemente rispetto a ξ sulla circonferenza di integrazione. Per verificarlo, fissiamo z e applichiamo il criterio di Weierstrass, osservando che la funzione zk ξ C ρ() f(ξ) ξ k+1 è sicuramente limitata da z k max ρk+1 u. C ρ() Poichè la serie + z k max u = max ρk+1 u 1 C ρ() C ρ() ρ z k= converge, la convergenza è dunque uniforme rispetto a ξ, e si ottiene che è la tesi. + k= z k( 1 2πi C ρ() f(ξ) ) ξ k+1 dξ Dunque, dalla semplice richiesta di derivabilità in D(f) siamo passati alla analiticità, che fornisce informazioni preziosissime sulla struttura locale di u, che svilupperemo nella prossima lezione; inoltre dalla (2.45) seguono alcune importanti maggiorazioni delle derivate di u nel punto z, se sappiamo che u è olomorfa in un disco di centro z : Corollario 2.18 (Stime di Cauchy) Supponiamo che il disco chiuso B R (z ) sia contenuto nel dominio D(f) della funzione olomorfa f e sia M := max f(z) ; si ha allora z z =R u (k) (z ) k! M Rk. (2.46)

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-11 Corollario 2.19 (Teorema di Liouville) Se una funzione f è olomorfa in tutto il piano complesso, essa è limitata se e solo se è costante. Dim.Bastaosservarechef èsviluppabileinseriedipotenzeattornoaelosviluppoharaggiodiconvergenzainfinito. La (2.46) mostra allora che tutti coefficienti a partire dal primo sono nulli, potendosi scegliere R arbitrariamente grande. A titolo di curiosità scientifica, come ultima conseguenza vediamo la dimostrazione del cosiddetto Teorema fondamentale dell algebra, il quale non è in realtà un teorema di algebra ma di analisi. La semplicità della dimostrazione può nascondere la profondità del risultato: naturalmente noi abbiamo ormai alle spalle un consistente bagaglio teorico, che finisce per rendere banali le conclusioni, ma queste vanno contemplate alla luce di tutto quanto si è costruito finora. Corollario 2.2 (Teorema fondamentale dell algebra) Ogni polinomio a coefficienti complessi non costante, ha almeno una radice in campo complesso. Dim. Supponiamo per assurdo che il polinomio P non abbia alcuna radice e sia di grado almeno uno; ne segue che la funzione z 1/P(z) è definita e olomorfa in tutto il piano complesso. D altra parte, avendo P grado almeno uno, ci si convince facilmente che lim P(z) = +, e quindi lim 1 z + z + P(z) =. Essendo continua in C ed infinitesima all infinito, la funzione 1/P è sicuramente limitata: per il precedente Teorema di Liouville, deduciamo che 1/P è costante, giungendo così ad una contraddizione. La funzione Γ di Eulero A titolo di esercizio, proviamo ad applicare alcuni dei risultati ottenuti allo studio della funzione Gamma di Eulero. Fissato il numero complesso z := x+iy C consideriamo l integrale Γ(z) := e t t z 1 dt (2.47) che, quando è convergente, definisce una funzione di z, chiamata appunto funzione Gamma. Osserviamo innanzitutto che, essendo t ],+ [ t z 1 = e (z 1)logt = e (x 1)logt e iylogt = t x 1 e iylogt per cui il modulo dell integrando è { e t t z 1 = e t t x 1 t x 1 per < t 1 e t t x 1 per t > 1. (2.48) Scomponiamo l integrale in due parti 1 Γ (z) := e t t z 1 dt, Γ (z) := e t t z 1 dt, Γ = Γ +Γ (2.49) 1 Γ risulta sempre ben definita, poiché il modulo dell integrando si annulla esponenzialmente all infinito, mentre Γ è convergente se x 1 > 1, cioè se la parte reale di z è maggiore di. Concludiamo quindi che l integrale (2.47) è ben definito per ogni z C con parte reale strettamente positiva. Passiamo a studiarne la regolarità: derivando formalmente rispetto al parametro z, si ottiene per Γ 1 Γ (z) = e t t z 1 logtdt (2.5) e, se x α > si ottiene per il modulo dell integrando la stima uniforme e t t z 1 logt t α 1 che è integrabile in (,1); poiché la stima non dipende da z, concludiamo per il teorema di derivazione sotto il segno di integrale (che vale anche per la derivazione complessa!) che la funzione Γ è derivabile in senso complesso in ogni semipiano x α, con α > ; essendo α arbitrario, Γ è olomorfa nel semipiano Rez >. Con analoghi ragionamenti, considerando stavolta i semipiani x β, concludiamo che Γ è derivabile in senso complesso in ciascuno di tali semipiani, e quindi in tutto C. Concludiamo quindi che Γ definisce una funzione olomorfa nel semipiano dei numeri complessi con parte reale strettamente positiva.

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-12 Esercizio Ripetere i medesimi ragionamenti, applicando però un teorema reale di derivazione sotto il segno di integrale (cioè per le derivate parziali rispetto ad x ed y); concludere comunque che Γ è olomorfa, verificando le condizioni di Cauchy-Riemann. Le derivate successive di Γ si calcolano allo stesso modo: ogni volta un ulteriore logaritmo nell integrale, che però non ne altera la sommabilità; in particolare Γ (z) = e t t z 1 logtdt, Γ (z) = e t t z 1 (logt) 2 dt. (2.51) Per comprendere l importanza di questa funzione, proviamo a calcolarla in z +1, integrando poi per parti; si ottiene: Γ(z +1) = e t t z dt = [ e t t z] t=+ + ( e t )zt z 1 dt t= = z e t t z 1 dt, poiché la parte finita è nulla. Deduciamo la fondamentale relazione funzionale Γ(z +1) = zγ(z) (2.52) e di conseguenza Γ(z +n) = (z +n 1)Γ(z +n 1) = (z +n 1)(z +n 2)Γ(z +n 2) =... = (z +n 1)(z +n 2)...(z +1)zΓ(z). Poiché Γ(1) = e t dt = 1 si conclude che, per ogni intero n N (2.53) Γ(n+1) = n(n 1)...1Γ(1) = n! (2.54) Osserviamo che si ritrova anche la formula (guardata sempre con un po di sospetto)! = Γ(1) = 1. La relazione (2.52) permette di estendere di estendere γ anche ai valori di z con parte reale negativa; difatti si può porre Γ(z +n) Γ(z) := (2.55) (z +n 1)(z +n 2)...(z +1)z purchè z non sia un intero negativo ed n sia sufficientemente grande per cui z + n abbia parte reale positiva. Osserviamo che, a priori, la definizione potrebbe dipendere da n, ma ciascuna delle funzioni così definite è olomorfa e coincide con l iniziale Γ(z) se Rez > ; per il principio del prolungamento analitico, esse devono coincidere dappertutto, e quindi non vi è alcuna ambiguità. Adesso non si può resistere alla tentazione di calcolare Γ(1/2). Cominciamo a riscrivere l integrale (2.47) con la sostituzione t := s 2 ; si ottiene Γ(z) = 2 e s2 s 2z 1 ds (2.56) per cui Γ(1/2) = 2 e s2 ds. (2.57) Vediamo come dall espressione (2.56) seguono varie relazioni interessanti. Partiamo dal prodotto Γ(z)Γ(w): posto Γ(z) = 2 e u2 u 2z 1 du, Γ(w) = 2 e v2 v 2w 1 dv, si ha per il teorema di Fubini Γ(z)Γ(w) = 4 e (u2 +v 2) u 2z 1 v 2w 1 dudv (2.58) da cui, passando in coordinate polari, u = ρcosθ,v = ρsinθ π/2 Γ(z)Γ(w) = 4 dρ 2(z+w) 1 e ρ2 (cosθ) 2z 1 (sinθ) 2w 1 dθ π/2 = Γ(z +w)2 (cosθ) 2z 1 (sinθ) 2w 1 dθ. (2.59)

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-13 Ricapitolando Γ(z)Γ(w) π/2 Γ(z +w) = 2 (cosθ) 2z 1 (sinθ) 2w 1 dθ. (2.6) In particolare scegliendo z = w = 1/2 si trova la notevole formula Γ(1/2) = e s2 ds = π. (2.61) Calcoliamo ora Γ(z)Γ(1 z), < x < 1; dalla (2.6) si ha π/2 Γ(z)Γ(1 z) = 2 (cosθ) 2z 1 (sinθ) 2(1 z) 1 dθ π/2 = 2 (cosθ) 2z 1 (sinθ) 1 2z dθ π/2 = 2 (tanθ) 1 2z dθ (tanθ = ξ) ξ 1 2z = 2 1+ξ 2 dξ (ξ2 = η) η z = 1+η dη. che ora calcoliamo con metodo complesso. A z fissato, scegliamo ovviamente la branca della funzione (2.62) η η z come e z logη (2.63) con l argomento del logaritmo in ],2π[ e taglio lungo il semiasse dei reali positivi. Con ragionamenti usuali otteniamo (1 e 2πzi η z ( η z ) ) dη = 2πiRes ;η = 1 = 2πie iπ(z 1) (2.64) 1+η 1+η Finalmente Γ(z)Γ(1 z) = π sinπz. (2.65) Benché i calcoli appena svolti valgano solo se la parte reale di z è strettamente compresa tra e 1, ancora una volta il principio della continuazione analitica ci dice che la (2.65) vale non appena entrambi i membri siano definiti, cioè quando z non è intero (reale). Inoltre, la relazione precedente ci dice che Γ(z) non si annulla mai e ci permette anche di classificare le singolarità di γ nei punti z := n, n = 1,2,... Sostituendo z con z, otteniamo infatti la relazione π Γ( z) = Γ(1+z)sinπz. (2.66) Quando z tende ad un intero n, Γ(1 + z) tende a n!, mentre sinπz ha uno zero semplice, essendo la derivata uguale a πcos(πn) = π( 1) n. Di conseguenza, il secondo membro della (2.66) ha un polo semplice, il cui residuo è Res(Γ; n) = ( 1)n. (2.67) n! Passiamo finalmente a studiare il comportamento della funzione Γ per z = x reale positivo. Osserviamo innanzitutto che, grazie alla (2.51), Γ è una funzione convessa; essendo analitica e poiché Γ(1) = Γ(2) = 1, essa avrà un unico minimo nell intervallo ]1,2[, e già sappiamo che lim x +Γ(x) = +, Γ(x) 1, quando x tende a. (2.68) x La formula di Stirling Indirizziamo ora la nostra attenzione per caratterizzare l andamento di Γ quando x + ; come conseguenza otterremo la preziosissima formula di Stirling per il fattoriale n! e n n n ( n ) n 2πn = 2πn. (2.69) e Ovviamente la difficoltà sta nel rinormalizzare l integrale (2.47), per poi passare al limite grazie ai teoremi di Beppo Levi e di Lebesgue. Ci viene in aiuto lo studio della funzione integranda (consideriamo subito Γ(x + 1) anziché Γ(x)) t e t t x (2.7) la cui derivata rispetto a t è e t t x +xe t t x 1 = e t t x 1 (x t); (2.71)

2. ZERI, SINGOLARITÀ E RESIDUI 2-14 deduciamo che la funzione (2.7) ha un massimo assoluto per t = x, dove vale e x x x, che quindi scivola all infinito quando x +. Una buona idea è allora quella di ricentrare la funzione, con la traslazione t := x+s, che fornisce ( ) x+s x Γ(x+1) = e (x+s) (x+s) x ds = e x x x e s ds x x x (2.72) = e x x x e s+xlog(1+s/x) ds. x A questo punto quardiamo come si comporta asintoticamente l esponente di e per x + s+xlog(1+s/x) = s+x(s/x) x(s 2 /2x 2 )+o(1/x 2 ) = s 2 /2x+o(1/x 2 ); ci si può quindi aspettare che l integrale si comporti come e s2 /2x ds x che ancora diverge; per rinormalizzarlo, basa allora fare la sostituzione s := xt, ottenendo per la (2.72) e s+xlog(1+s/x) ds = x x e xt+xlog(1+t/ x) dt. x Ritornando allo sviluppo dell esponente, si trova ora t x+xlog(1+t/ x) = t 2 /2+o(1/ x), da cui congetturiamo che lim x + e xt+xlog(1+t/ x) dt = e t2 /2 dt = 2π. (2.73) x Se quest ultima formula è vera, la (2.69) risulta dimostrata; si tratta cioè di giustificare il passaggio al limite sotto il segno di integrale della (2.73). Spezzando in due l integrale, come e xt+xlog(1+t/ x) dt + e xt+xlog(1+t/ x) χ[ x,] (t)dt si vede con un po di pazienza, che il primo integrando decresce con x, ed è perciò maggiorato uniformemente (scegliendo x = 1) da e t+log(1+t) = (1 + t)e t che è integrabile su [, + [. Applicando il teorema della convergenza dominata di Lebesgue, possiamo così giustificare il primo passaggio al limite. Per quanto riguarda il secondo integrando sull intervallo ],], si può controllare che esso cresce con x, e si può così applicare il teorema di convergenza monotona, trattandosi di funzioni non negative. Concludiamo che Γ(x + 1) (x/e) x 2πx. (2.74)