Ottca gemetrca Msura dell ndce d rrazne cn un prsma La msura dell ndce d rrazne d un mezz trasparente s basa sulla legge d Snell. La dcltà spermentale cnsste nella msura degl angl e r. Un metd per superate tale dcltà è quell d nvare un ragg d luce su una przne d materale taglat a prsma tranglare e determnare due quanttà aclmente msurabl: l angl d devazne del ragg e l angl al vertce del prsma. Sa dunque dat un prsma d vetr d ndce d rrazne n, a sezne tranglare e cn angl al vertce φ (ved gura). Un ragg d luce A A gacente sul pan d sezne ncntra l prsma nel punt A dve subsce rrazne. Il ragg prsegue lung AB, subsce una secnda rrazne n B e uresce dal prsma, prseguend lung BB. Dcam rspettvamente, r gl angl d ncdenza e rrazne n A e, r gl angl d ncdenza e rrazne n B. Le rette AD e BD sn perpendclar rspettvamente n A e B a due lat del prsma. L angl δ n E cmpres tra le rette A A e BB è dett angl d devazne del ragg. NOTA: trascurare ragg rless. a) Cnsderand l trangl ABC, trvare la relazne tra l angl φ e gl angl r, ; b) cnsderand l trangl AEB trvare la relazne tra l angl δ e gl angl, r,, r. E` sempre pssble prs n una stuazne smmetrca, n cu r, r. c) scrvere n quest cas le due relazn relatve a punt (a) e (b) e determnare l ndce d rrazne medante la legge d Snell n unzne delle quanttà msurabl φ e δ. Suggerment: esprmere r n unzne d φ e n unzne d φ e δ. Sluzne π π ' π π π r + ' + φ, da cu segue r + ' a) Ntam che l angl CAB vale r e l angl CBA ABC è dunque. La smma degl angl del trangl φ.
b) L ampezza dell angl estern n E al trangl AEB è uguale alla smma degl angl ntern nn adacent EAB e EBA. Il prm è uguale a δ r + r' ' c) In tal cas r φ, δ ( r) r, l secnd a r' ', qund φ δ + φ δ + φ sn sn n sn r φ sn, da cu r, e applcand la legge d Snell:
Dspesne da lastra pana Un ragg d luce banca ncde su una lastra d vetr a acce parallele d spessre t cn un angl d ncdenza. A causa della dspersne della luce, l ragg s separa n un pennell d ragg asscat cascun ad una requenza lumnsa dversa. Sa d l spstament trasversale del ragg generc. Dett n e n V gl ndc d rrazne delle requenze vsbl estreme (crrspndent alla radazne rssa e vletta, rspettvamente), a) trvare l spstament laterale d per una requenza generca. Esprmerla n unzne dell angl. b) Trvare la larghezza trasversale d del pennell d ragg rratt. Carl e Francesca stann studand l enmen, quand Carl s chede se sa pssble runre nuvamente n un unc ragg banc ragg clrat rratt dalla lastra. Dp averc pensat un p Francesca esclama: C è un prncp d ttca che permette d rspndere aermatvamente e senza are calcl alla tua dmanda, basta usare una secnda lastra uguale alla prma. c) A quale prncp s rersce Francesca? d) Cme dev essere psta la lastra per rttenere l ragg banc? Sluzne a) Detta l la lunghezza del cammn del ragg generc nel vetr, vale la relazne e la relazne tra l e d è d l ( r) sn( r) t cs r sn, qund sn r t sn cs t sn cs r n cs d l sn t cs r
d b) La larghezza del pennell d ragg è data dalla derenza tra valr d d delle requenze estreme: t sn cs. n sn n sn V c) Al prncp d reversbltà` del cammn ttc. d) Detta n la drezne perpendclare a quella de ragg n ara, la secnda lastra dev essere psta smmetrcamente alla prma rspett a n (ved gura).
Dspersne d un prsma Un ragg d luce banca ncde su un prsma d vetr d angl d apertura φ 60 cn un angl d ncdenza 45. A causa della dspersne della luce, l ragg s separa n un pennell d ragg asscat cascun ad una requenza lumnsa dversa. Dett n.5 l ndce d rrazne della radazne rssa e n V.5 quell radazne vletta (crrspndent a lmt delle requenze vsbl), determnare numercamente: a) gl angl d rrazne r, r V nel punt d entrata per la radazne rssa e vletta; b) gl angl d ncdenza, V nel punt d uscta per la radazne rssa e vletta; c) gl angl d rrazne r, r V nel punt d uscta per la radazne rssa e vletta; d) l ampezza del pennell d ragg uscent, vver dell angl ε ndvduat da ragg rss e vlett. Suggerment: trvare prelmnarmente la relazne tra r, e φ. Sluzne a) Nel punt d entrata applcham la legge d Snell: r arcsn sn arcsn sn 45 7. 9 n.5 r V arcsn sn arcsn sn 45 7. 5 n.5 V b) Dalla relazne φ r ttenam: ' 60 7.9. 08 ' V 60 7.5. 47 c) Nel punt d uscta applcham d nuv la legge d Snell:
r ' r ' V ( n sn ' ) arcsn(.5sn.08 ) 5. arcsn ( n sn ' ) arcsn(.5sn.47 ) 55. arcsn d) Inne l angl ε è dat dall espressne: V V ε r' r' 55. 5.. 9 V
razne da gcca d acqua Sa data una gcca d acqua serca d ndce d rrazne n. e AOB sa una sezne passante per l centr O della gcca. Sa a una retta passante per l centr O e un ragg d luce parallel ad a ncda sulla gcca nel punt A. Il ragg subsce rrazne (trascurare l ragg rless) e s prpaga nella gcca n a B, ve subsce una secnda rrazne e esce dalla gcca (trascurare anche qu l ragg rless). S può dmstrare che per l acqua, l punt B sta dalla stessa parte d A rspett alla retta a. Sa K l ntersezne tra l ragg uscente e la retta a. Trvare a) l espressne dell angl d devazne δ del ragg lumns n unzne dell angl d ncdenza. b) trvare per quale valre d l angl δ è massm e determnare tale massm. Cn rerment al trangl AOC c) dmstrare quant aermat, cè che per l acqua, B sta dalla stessa parte d A rspett alla retta a. Suggerment: dmstrare che l angl OAC è sempre mnre d r. Sluzne a) Dcam α l angl acut cmpres tra la retta a e la retta OB e ntam che l angl cmpres tra la retta a e la retta OA è uguale a. Cnsderam l trangl AOB: la smma de su angl è
r + ( π α) π, da cu pssam esprmere α n unzne d : α r. Cnsderand l trangl OBX, vale la relazne α +δ. Da queste due eqq. pssam esprmere δ n unzne degl angl e r : δ ( r). Medante la legge d Snell pssam esprmere r n unzne d e qund δ n unzne d : r arcsn n sn, δ arcsn n sn. b) Per trvare l massm studam l segn della dervata rspett a : dδ d n sn n cs sn n sn 0 La dseguaglanza rte è sempre sddsatta, e qund nn c è massm relatv, nltre la unzne è crescente. Il massm asslut s trva qund all estemtà destra π/ dell ntervall,ve δ vale δ π arcsn π arcsn.44rad 8.49 n. c) Dett γ l angl OAC, cnsderand l trangl OAC, vale la seguente relazne: γ. Dbbam dmstrare che r>γ, vver snr > snγ, usand la legge d Snell a prm membr e la relazne tra e γ a secnd: n sn > sn. Esprmend l prm membr n unzne d /: n sn cs > sn e semplcand, ttenam cs > n. Questa dsuguaglanza è sempre vercata n quant l csen è una unzne decrescente n (0, π/) e qund maggre del valre che assume all estrem destr: cs > cs π che è a sua vlta maggre d n..
Specch cnvess E` dat un specch cnvess d ragg. Qual sn le pszn per cu un ggett vrtuale avra` un mmagne reale? a) rspndere cn un anals algebrca; b) rspndere cn un anals graca. Sluzne a) usand l eq. degl specch, rcavam la pszne dell mmagne:. Per la cnvenzne de segn, e sn negatv. Anche l mmagne sa reale ccrre che sa pstv, e cò accade quand > 0, vver per tra l vertce e l uc. b) Quand l ggett s trva sul uc, l mmagne è all nnt. <, cè l ggett deve trvars Se s trva a SX del uc ragg rless cnvergn e s ha un mmagne reale. Vceversa se l ggett s trva a DX del uc ragg dvergn e s ha un mmagne vrtuale.
Sstema d specch È dat un strument ttc rmat da due specch cncav, cassal, d ragg rspettv cm (specch d destra) e 6 cm (specch d snstra), pst a dstanza V V d8 cm. Un ggett è pst a dstanza 5 cm dall specch d destra. Trvare cl metd algebrc: a) la prma mmagne rmata dall specch d destra; b) la secnda mmagne, cè l mmagne della prma mmagne, rmata dall specch d snstra (attenzne che ra la luce prvene da destra); c) la terza mmagne, cè l mmagne della secnda mmagne, rmata dall specch d destra; d) gl ngrandment d cascun passagg e l ngrandment ttale. Sluzne a) Applcham la legge degl specch: 0cm +, da cu qund. b) Applcham d nuv la legge degl specch, determnand prelmnarmente la dstanza ggett dall specch d snstra: ; +, da cu d 8 0 8cm 5 4 cm 4. 8 6 8 4 5 c) Trvam la dstanza ggett dall specch d destra:, e cm. 5 0,
4 66 d 8 cm. cm 5 5 5, qund cm 66., e qund applcham la legge degl specch d) L ngrandment de var passagg e`: 0 5 4 5 8 G ; G ; e quell ttale: 5 5 6 Gtt G G G. 5 G 66 5 5 6
Lastra pana E` data una lastra d vetr d ndce d rrazne n e spessre s. Un ggett puntrme P e` pst a dstanza dalla acca d snstra. Cnsderare la lastra cme una cppa d dttr pan e applcand l equazne del dttr n n n n + a) trvare la dstanza dell mmagne Q d P, generata dalla lastra per rrazne, dal centr C della lastra. Suppnam ra che l ggett nn sa puntrme, ma sa PP (cn P pst a destra d P) gacente lung una perpendclare alla lastra e d lunghezza O; b) trvare la lunghezza I dell mmagne QQ d PP. Sluzne n a) Applcham l equazne del dttr alla superce d snstra, pnend PH : + 0 n rslvam per la dstanza mmagne del prm dttr, msurata a partre da H: n Applcham ra l equazne del dttr alla secnda superce, pnend PK : + 0
ve l valre d e` dat da s slvam per la dstanza mmagne del secnd dttr, msurata a partre da K: n s n n s n s n + la dstanza dell mmagne dal centr della lastra sara` dunque s n s s d + b) La lunghezza dell mmagne s ttene per derenza tra le pszn delle mmagn de punt estrem ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) O P P n s P n s P P P I ' ' '
Sstema dttr-specch È dat un dttr ara-vetr (ndc d rrazne par a e n). A dstanza a destra del dttr è stuat un specch cncav d ragg. Un ggett è pst a dstanza > 0 dal dttr, Trvare: a) la prma mmagne dell ggett dvuta al dttr (quand ragg prvengn da snstra) e l ngrandment trasversale; b) l mmagne rmata dall specch e l ngrandment trasversale; c) la secnda mmagne rmata dal dttr (quand ragg prvengn da destra) e l ngrandment trasversale; d) speccare le caratterstche dell mmagne nale. Sluzne a) Prma mmagne del dttr n < L eq. del dttr pan e`: da cu e l ngrandment e` n + 0 0 G n b) Immagne dell specch; ra > 0
+ L eq. dell specch e`: da cu e l ngrandment e` c) Secnda mmagne del dttr; ra > > 0 0 G n + 0 < L eq. del dttr pan e`: da cu e l ngrandment e` n 0 G n d) l mmagne nale e` vrtuale, capvlta e rmpcclta cn ngrandment G G G G + n
Mpa La mpa è mlt spess dvuta ad un allungament del bulb culare, d md che l crstalln (che è una lente dermable a cale reglable) nn resce ad aumentare a sucenza la prpra lunghezza cale per rmare l mmagne sulla retna d ggett mlt lntan. Cnsderam un mdell semplcat dell cch, n cu trascuram l att che è rempt da sstanze dverse dall ara. Nelle gure seguent è rprtata la stuazne d un cch nrmale e d un mpe. max è la massma lunghezza cale raggungble dal crstalln; per un cch nrmale è uguale alla dstanza L nrm tra retna e crstalln. Per un cch mpe max resta uguale, ma L mpe L nrm +x > L nrm, d cnseguenza l mmagne sulla retna nn è pù stgmatca. Per crreggere questa stuazne s antepne all cch una lente dvergente, d cale, a dstanza D dal crstalln, cme ragurat d segut: Tutt cò premess, determnare: a) l espressne della dstanza cale della lente crrettva n unzne dell allungament x del bulb culare e de parametr n gc (D e max L nrm ); b) calclare la ptenza P della lente crrettva, espressa n dttre, per la seguente scelta d valr: L nrm mm x 0.5 mm D 5 mm.
NOTA BENE: a n della sluzne dell esercz l crstalln può essere cnsderat cme una lente a cale ssa d valre max. Sluzne a) applcham la legge delle lent sttl alla lente crrettva per trvare ve cade l mmagne che essa rma: + ' ' < pché l ggett è all nnt, ne segue che 0 qund a snstra della lente. Questa mmagne unge da ggett per l crstalln, che dsta da essa D ' > 0. applcand la legge delle lent, ttenam: + ve l valre dell mmagne dev essere uguale (per ptes) alla dstanza della retna: Ne segue da cu, rslvend per trvam: b) per valr dat, ttenam: + D ' max max + x max max ' D x ( + 0.5) max ( + x) ' 5 5 08 056mm 0.5 Ovvamente negatva. La ptenza è l nvers della dstanza cale espressa n metr, qund P 0. D '.056 95 + x max
Sstema d lent Un sstema d lent e` rmat da una lente cnvergente d lunghezza cale 5 cm e da una secnda lente cnvergente d cale 0 cm psta a 70 cm a destra della prma. Un ggett e` pst a dstanza 0 cm a snstra della prma lente. Dsegnare l sstema. Determnare a) la dstanza dell mmagne dvuta alla prma lente e le caratterstche dell mmagne (/V, D/C) e l ngrandment relatv; b) la dstanza dell mmagne dvuta alla secnda lente, le caratterstche dell mmagne e l ngrandment relatv; c) le caratterstche dell mmagne dvuta alle due lent e l ngrandment relatv; Sluzne Il sstema e` l seguente a) Applcham l equazne delle lent alla prma lente + e 5 0 4 60 60 60 da cu 60 cm, l mmagne e` reale (). L ngrandment e` dat da G 0 qund l mmagne e` capvlta (C) e ngrandta.
b) Applcham l equazne delle lent alla secnda lente d 70 60 0cm da cu + e 0 0 0 0 0 e -0 cm, l mmagne e` vrtuale (V). L ngrandment e` dat da G + 0 qund l mmagne e` drtta (D) e ngrandta. c) L mmagne d tutt l sstema e` vrtuale, capvlta (VC) e ngrandta, l ngrandment vale G G G ( ) ( + ) 6
Telescp Vglam cstrure un telescp (del tp d Galle d Kepler) avend a dspszne cnque lent, le cu dstanze cal sn: +00 cm, -0 cm, +0 cm, +80 cm, -0 cm. a) qual sn le pssbl cppe per cu l ngrandment vsuale V è maggre (n valre asslut) d 5 e la lunghezza l del telescp è mnre uguale a 00 cm? b) Se vlessm avere esattamente V 7 e l44, qual sarebber valr delle dstanze cal d bettv e culare? Sluzne a) per cstrure un telescp ccrre un bettv a grande cale, qund le scelte pssbl per l bettv sn la e la 4. Abbam cs le seguent cmbnazn d lent:,, 5, 4, 4, 45. Dalle denzn ttenam la seguente tabella: V b c l b + c cppa 5 4 4 45 V -0 +0-0 -8 +8-9 l 90 0 80 70 90 60 le scelte pssbl sn dunque la e la 4 (telescp kepleran) e la 4 (telescp gallean). b) Nel cas gallean V7, l44, avrem l sstema che rslt da` 7 Nel cas kepleran V-7, l44, avrem l sstema b c b + c b 6cm c 8cm 44 che rslt da` b 7 + 44 b c c b 5cm c 9cm
Telescp rlettre Un telescp è rmat da un specch cncav S d cale e da un specch cnvess S d cale, ed è cstrut n md che lr uch cncdan. agg parallel prvenent da una stella ncdn sul telescp nclnat d un angl α, vengn rless dall specch S e qund dall specch S e urescn dal telescp attravers un apertura pratcata nell specch S, nclnat d un angl β. Determnare a) l angl β n unzne dell angl α e delle dstanze cal degl specch; b) qual è l ngrandment vsuale V d quest telescp? Suggerment: la determnazne dell mmagne d cascun specch è ndpendente dalla presenza dell altr specch, e qund dal att che S ntercetta parte de ragg. Altrettant nnluente per la rmazne dell mmagne d S è la presenza dell apertura. Sluzne a) È nt che l mmagne d un punt all nnt gace sul pan cale. Basterà qund un ragg per trvare l mmagne Q della stella. Prendam l ragg prncpale che passa per l vertce dell specch S, ess è rless smmetrcamente rspett all asse e nterseca l pan cale a dstanza y, dall asse. Questa dstanza è data dalla relazne y tgα Prendam Q cme ggett vrtuale dell specch S, e usam cme ragg prncpal quell che ncde sul vertce d S e quell parallel all asse. I ragg rless sn parallel, e rman un angl β cn l asse. Il valre d quest angl è
tgβ y tgα b) l ngrandment vsuale è V tgβ tgα cme per telescp d Galle e Kepler.