RISONANZA Introduzione. Sia data una rete elettrica passiva, con elementi resistivi e reattivi, alimentata con un generatore di tensione sinusoidale a frequenza variabile. La tensione di alimentazione e la corrente che circola nella rete sono grandezze isofrequenziali e sfate tra di loro: la corrente è in anticipo sulla tensione se prevale l elemento reattivo induttivo oppure in anticipo se prevale l elemento capacitivo. Esiste un particolare valore di frequenza per gli elementi reattivi della rete, per il quale la corrente risulta in fase con la tensione. Questa particolare condizione viene chiamata fenomeno di risonanza. Si può anche affermare che la risonanza è quella particolare condizione di funzionamento di una rete elettrica in regime sinusoidale per la quale l impedenza equivalente della rete si comporta come una resistenza pura. Appare ovvio che un circuito per poter entrare in risonanza deve possedere entrambi i tipi di elementi reattivi: induttivo e capacitivo e che questi, per una particolare frequenza tendono a compensarsi a vicenda. Si può, infine, osservare, che se in risonanza l impedenza è puramente resistiva, significa che le due potenze reattive, induttiva e capacitiva sono uguali e contrarie e quindi: Σ Q = 0 Si può concludere affermando che un circuito quando è in risonanza si comporta come se fosse un circuito in libera oscillazione privo di perdite, visto che queste sono solo a carico del generatore che alimenta il circuito. Si dice che tutta l energia reattiva viene palleggiata interamente tra gli elementi reattivi del circuito: induttanza e capacità. In altre parole, in un circuito percorso da una corrente alternata, la risonanza elettrica è un fenomeno stazionario che si manifesta ad una particolare frequenza in cui la reattanza capacitiva X C e la reattanza induttiva X L sono di uguale modulo, costringendo l'energia ad oscillare tra il campo magnetico dell induttanza ed il campo elettrico di un condensatore. Risonanza Serie. Si consideri una rete elettrica lineare, alimentata con un generatore ideale di tensione sinusoidale, come mostrato in fig. 1. FIGURA 1 - Circuito risonante RLC serie. 1
La corrente I che circola I nel circuito, utilizzando il metodo simbolico dell elettrotecnica, è data da: FIGURA 2 Corrente nel circuito RLC serie. La presenza della parte reattiva nell impedenza al denominatore di fig.2 indica che tensione e corrente sono tra loro sfasate di un certo angolo. Si dice che un circuito è in risonanza quando la tensione è in fase con la corrente. Come visto in precedenza, ciò accade per un particolare valore di frequenza f r, chiamato frequenza di risonanza, che rende la parte immaginaria dell impedenza nulla. In queste condizioni, l impedenza è puramente resistiva e la pulsazione ω r corrispondente alla frequenza f r è detta pulsazione di risonanza. Si può, quindi, scrivere che in risonanza: FIGURA 3 Condizione di risonanza per il circuito RLC serie. La pulsazione per la quale il circuito entra in risonanza è stata chiamata pulsazione di risonanza ω r e la sua espressione si determina dalla condizione di risonanza riportata in fig.3. 2
FIGURA 4 Pulsazione e frequenza di risonanza. La corrente che circola nel circuito in risonanza è in fase con la tensione ed è data dalla seguente relazione: FIGURA 5 La corrente in condizione di risonanza nel circuito RLC serie. E possibile tracciare l andamento del modulo dell impedenza in funzione della pulsazione. Per ω < ω r il modulo dell impedenza parte da valori infinitamente grandi per valori di ω prossimi allo zero in quanto predomina la reattanza capacitiva. Il suo valore scende man mano che aumenta quello della reattanza induttiva, fino ad assumere il valore minimo, in corrispondenza di ω = ω r che è uguale alla resistenza del circuito. Per ω > ω r il modulo dell impedenza ritorna a salire perché diventa preponderante il contributo della reattanza induttiva mentre decresce il contributo della reattanza capacitiva. 3
FIGURA 6 Andamento del modulo dell impedenza in funzione della pulsazione. L andamento del modulo dell impedenza del circuito RLC si può dedurre anche dall andamento dei moduli degli elementi passivi stessi al variare di ω, come mostrato in fig. 6. FIGURA 7 Andamento del modulo degli elementi di un circuito RLC in funzione della pulsazione. 4
Il grafico mostra come prima di r, il modulo della reattanza capacitiva sia maggiore del modulo di quella induttiva; ne segue che il modulo dell impedenza per pulsazioni basse è molto alto e poi comincia a decrescere con l aumentare dei valori della pulsazione, perché comincia a farsi sentire l effetto del modulo della reattanza induttiva. In corrispondenza della pulsazione di risonanza, r, i due moduli reattivi sono uguali e la loro somma algebrica, come mostrato in fig. 5, risulta nulla. L impedenza per questo valore di pulsazione diventa puramente resistiva. Per valori maggiori di r predomina la reattanza induttiva che aumenta all aumentare di mentre la reattanza capacitiva all aumentare della pulsazione tende a 0. L andamento del modulo della corrente segue, ovviamente, in modo inverso l andamento del modulo dell impedenza. Per ω < ω r la corrente dominata dalla reattanza capacitiva risulta essere in anticipo sulla tensione e per valori di ω prossimi allo 0, la corrente è praticamente nulla. Poi inizia ad aumentare con la pulsazione, raggiungendo il suo valore massimo per ω = ω r. In risonanza, la corrente è in fase con la tensione e raggiunge il suo valore massimo. Per ω > ω r la corrente inizia a diminuire, predominando la reattanza induttiva. Per questi valori di pulsazione la corrente è in ritardo sulla tensione. FIGURA 8 Andamento del modulo della corrente in funzione della pulsazione. Dalla fig.8 si nota che per basse frequenze ( pulsazioni ), fino a valori prossimi a f r il circuito ha un comportamento R-C, perché predomina la reattanza capacitiva; alla frequenza di risonanza f r il circuito è puramente ohmico e per frequenze superiori alla f r il circuito ha un comportamento R-L, con corrente in ritardo sulla tensione di alimentazione. In condizione di risonanza, la caduta di tensione ai capi della resistenza R è uguale alla tensione del generatore. La tensione V L ai capi della bobina e la V C ai capi del condensatore sono molto più elevate della tensione del generatore, provocando il fenomeno della sovratensione, ma sfasate tra loro di 180 e quindi si annullano. 5
Coefficiente di risonanza. Per comprendere il comportamento dei circuiti elettrici risonanti e quanto i fenomeni reattivi siano influenti rispetto ai fenomeni dissipativi della rete rete elettrica, occorre introdurre un parametro, chiamato coefficiente di risonanza. Si definisce coefficiente di risonanza il rapporto tra la potenza reattiva impegnata negli elementi reattivi dello stesso tipo, cioè quella impegnata dalle bobine o quella impegnata dai condensatori e la potenza attiva dissipata dallo stesso circuito, calcolate alla pulsazione ω r. FIGURA 9 Coefficiente di risonanza. Il coefficiente di risonanza Q è dato, quindi, dal rapporto tra la reattanza induttiva o capacitiva e la resistenza del circuito alla risonanza. Il valore di Q è tanto più elevato, quanto più l elemento resistivo è trascurabile rispetto agli elementi reattivi. I valori di Q nei circuiti applicativi, sono maggiori di 1 per raggiungere anche il centinaio. Se il generatore di tensione non è ideale, occorre considerare, al fine del calcolo del coefficiente di risonanza la resistenza totale R Tot, somma della resistenza interna R i del generatore e della resistenza R della rete. Si parla in questo caso di coefficiente di risonanza a carico Q c. 6
FIGURA 10 Coefficiente di risonanza a carico. Il coefficiente di risonanza di fig. 9, ricordando che l espressione della pulsazione di risonanza è mostrata in fig.4, si può dimostrare essere espresso anche da: FIGURA 11 Altra espressione del coefficiente di risonanza. Al diminuire della resistenza R la curva di risonanza riportata in fig.8 diventa sempre più appuntita e ciò significa che il circuito diventa più selettivo; in altre parole per un segnale formato da più armoniche, tra tutte le meno ostacolate sono: a) la componente con frequenza di risonanza f r; ; b) le componenti con frequenze molto prossime a quella di risonanza, mentre le altre vengono praticamente eliminate. Le proprietà selettive di un circuito risonante si valutano con la banda passante, definita nel paragrafo successivo, e con il fattore o cifra di merito o di bontà, detto anche coefficiente di risonanza o di sopraelevazione di tensione Q definito sopra. Maggiore è Q, maggiore è la selettività del circuito e maggiore è la sovratensione parziale rispetto alla tensione totale. Q è un indice della capacità di un circuito ad immagazzinare energia rispetto alla possibilità di dissiparla nella resistenza. L importanza ingegneristica di questo fattore Q è notevole e si può spiegare con un esempio. Si supponga di alimentare il circuito RLC serie di fig.1 con una tensione sinusoidale avente valore efficace di 220V e frequenza angolare ω = ω r ; in condizione di risonanza serie ai capi della resistenza R si ha una d.d.p. di valore efficace di 220 mentre ai di C ed L le tensioni sono uguali ed in opposizione di fase. Il valore efficace della tensione ai capi di questi elementi reattivi si può calcolare come segue: 7
FIGURA 12 Tensioni ai capi degli elementi reattivi in risonanza. Dalla definizione di Q, di fig. 10, i moduli di queste tensioni si possono anche scrivere come: FIGURA 13 Modulo delle tensioni ai capi degli elementi reattivi in risonanza. In altre parole, queste tensioni valgono 220V moltiplicate per il valore di Q. Ad esempio, nell ipotesi che i valori di R, L e C siano tali che risulti un valore di Q=10, il condensatore e l induttore hanno ai loro capi una tensione di valore efficace pari a 2200V e, presumibilmente, si tratta di un valore che distrugge entrambi gli elementi. Considerando che Q è inversamente proporzionale ad R e che, nella maggior parte dei circuiti, si tende a rendere R quanto più piccola è possibile, è chiara l importanza che assume Q: dovendo decidere come alimentare il circuito, bisogna stare attenti alla pulsazione ω ed al valore di Q, in quanto, se la pulsazione è vicina o addirittura uguale a quella di risonanza e se Q è elevato, è molto probabile che le tensioni ai capi di C ed L siano tali di distruggere il circuito stesso. Si può anche osservare che se l ampiezza del segnale sinusoidale e quindi anche il suo valore efficace, sia particolarmente debole; ne segue che se si vuole amplificarlo si può sfruttare il concetto di risonanza, perché si è visto, che quanto più la pulsazione di alimentazione si approssima alla pulsazione di risonanza, tanto più la tensione che si trova ai capi della resistenza R tende a crescere. Considerando che la ω di alimentazione è fissa, si può variare la pulsazione di risonanza ω r del circuito in modo che si avvicini quanto più è possibile alla ω del generatore. A tal fine occorre intervenire sui di L o C. Di solito si opera sul valore di C, utilizzando i condensatori a capacità variabile. Le variazioni di C provocano ovviamente variazioni di Q e si potrà quindi scegliere quel valore di C e quindi di ω r e di Q per ottenere l amplificazione voluta del segnale sinusoidale in ingresso. 8
Banda passante Si definisce banda passante, l intervallo di frequenze, intorno alla frequenza di risonanza, per le quali la corrente ha un valore superiore ad dove I r è il valore massimo della corrente che si ha solo in condizione di risonanza. Gli estremi di questo intervallo di frequenze sono individuati da due valori f 1 e f 2, chiamati rispettivamente: f 1 = frequenza di taglio inferiore f 2 = frequenza di taglio superiore. La banda passante viene definita dalla seguente differenza: La curva di risonanza mostrata in figura 12 consente di definire graficamente la banda passante: FIGURA 14 Banda passante e frequenze di taglio. 9
Le due frequenze di taglio f 1 e f 2 non sono simmetriche rispetto alla frequenza di risonanza f r ; infatti è possibile dimostrare che la frequenza di risonanza è la media geometrica delle due frequenze suddette e precisamente: Nei circuiti pratico-applicativi, dove Q è molto elevato, si approssima la frequenza di risonanza come la media aritmetica delle due frequenze di taglio: FIGURA 15 Legame tra Banda passante e frequenze di taglio. Quando la frequenza della corrente è uguale alla frequenza di taglio, lo sfasamento è uguale a 45 quindi la reattanza del circuito è uguale alla resistenza del circuito. Per dimostrare che la frequenza di risonanza è la radice quadrata del prodotto delle due frequenze di taglio, si considera proprio l affermazione precedente. Se lo sfasamento fra tensione e corrente è 45 quando la frequenza del segnale sinusoidale uguale ad f 1 significa che l impedenza presenta la parte immaginaria uguale alla resistenza. Per basse frequenze predomina la reattanza capacitiva, quindi possiamo scrivere che: FIGURA 16 Pulsazione di taglio inferiore ricavata dalla condizione di risonanza. Risolvendo l equazione di fig. 16 si ottengono due valori per 1t, di cui 1t1 accettabile, perché è negativo: non è 10
FIGURA 17 Valori della pulsazione di taglio inferiore. Analogo discorso vale per la frequenza di taglio superiore: FIGURA 17 Pulsazione di taglio superiore ricavata dalla condizione di risonanza In questo caso predomina la reattanza induttiva. Risolvendo l equazione di secondo grado, si ottengono due valori di cui uno, 2t1, è negativo e quindi va scartato. FIGURA 18 Valori della pulsazione di taglio superiore. 11
Eseguendo il prodotto delle due soluzioni:, 1t2 e 2t1 si ottiene: FIGURA 19 Calcolo del prodotto tra 1t2 e 2t1 La relazione di fig. 19 verifica di conseguenza anche: Si può dimostrare, infine, che la banda passante dipende dalla relazione: FIGURA 20 Banda passante in funzione della frequenza di risonanza e Q. 12
Esistono curve di risonanza universali che mostrano come varia la selettività del circuito con il variare di Q FIGURA 21 Esercizio Nel circuito serie R-L-C di fig. 1 i valori degli elementi passivi sono: R=10Ω; L=0,2H; C=60μF Si calcolino: a) la frequenza di risonanza; b) le frequenze di taglio inferiore e superiore; c) la banda passante; d) il coefficiente di risonanza. Soluzione a) la frequenza di risonanza vale : 13
b) le pulsazioni di taglio 1 e 2 valgono: FIGURA 22 Pulsazioni di taglio. Le frequenze di taglio, di conseguenza valgono: E possibile, a questo punto, verificare che la frequenza di risonanza è la media geometrica delle due frequenze di taglio: c) la banda passante si può calcolare con i due seguenti metodi: d) Il coefficiente di risonanza 14
FIGURA 23 Curva di risonanza. 15
Risonanza Parallelo. Si consideri la rete elettrica rappresentata in fig. 23. Si determini la relazione tra la corrente erogata dal generatore ideale di corrente I e la tensione V ai capi del bipolo. FIGURA 23 Circuito RLC parallelo. A tal scopo si calcoli l'ammettenza Y vista ai capi del generatore: FIGURA 24 Espressione dell ammettenza Y del circuito parallelo. La tensione V ai capi del dipolo è data dalla seguente espressione: FIGURA 25 Tensione ai capi del bipolo parallelo. La condizione di risonanza del circuito si otterrà quando la tensione V e la corrente I sono in fase tra loro e ciò accade quando la parte immaginaria dell ammettenza è nulla. 16
FIGURA 26 Condizione di risonanza per un circuito RLC parallelo. E possibile tracciare l'andamento del modulo dell'ammettenza del circuito passivo RLC parallelo è mostrato in fig. FIGURA 27 Andamento del modulo dell ammettenza in funzione di ω. Come mostra il grafico, il modulo di Y per valori di ω < ω r è dominato dal valore dell induttanza della bobina; per ω = ω r il modulo dell ammettenza è uguale all inverso della resistenza del circuito ( conduttanza ) e raggiunge il suo minimo; per ω > ω r prevale la reattanza capacitiva. 28. L'andamento del modulo della tensione ai capi del bipolo RLC parallelo è mostrato in fig. 17
FIGURA 28 Andamento del modulo della tensione in funzione di ω. Ovviamente, l andamento della V in funzione di ω è opposto a quello dell ammettenza. Il valore massimo della tensione ai capi del bipolo RLC parallelo viene raggiunto alla pulsazione di risonanza. Coefficiente di risonanza parallelo Per il circuito risonante parallelo è possibile determinare il coefficiente di risonanza, o fattore di merito o di bontà, definito come il rapporto tra la potenza reattiva e la potenza attiva in gioco nella rete. Sia V la tensione ai capi del generatore, la potenza reattiva e la potenza attiva valgono: FIGURA 29 Potenza reattiva e potenza attiva in risonanza. 18
Il coefficiente di risonanza, quindi, vale: FIGURA 29 Coefficiente di risonanza parallelo. Analogamente a quanto visto per il circuito serie, si possono avere dei fenomeni di sovracorrente; infatti, in condizioni di risonanza si ha ai capi del bipolo la tensione massima: V = R I Indicando con I L e con I C i moduli delle correnti nell'induttore e nel condensatore, si può scrivere. FIGURA 30 Sovracorrenti sugli elementi reattivi in risonanza. 19
Esercizio Dato il bipolo di figura, determinare per quali valori di L si ha la risonanza alla Soluzione Per determinare i valori di L che portano alla risonanza il circuito di figura, si deve ricavare l espressione dell impedenza totale del circuito o l ammettenza totale del circuito ed imporre che la parte immaginaria sia nulla. L ammettenza Y del circuito di figura è data da: 20
Si uguagli a zero la parte immaginaria e si esegua il denominatore comune: Si risolva l equazione in X L : A questo punto si ricavi il valore di Xc e e lo si sostituisca con quello di R nell ultima forma dell equazione (1). 21