Il flusso di soluzione dei problemi aritmetici dall individuazione delle difficoltà all Intervento
Che cos è un problema? Un problema sorge quando un essere vivente ha una meta ma non sa come raggiungerla Duncker, 1935
Quando nasce un problema? Quando è necessario superare qualche ostacolo per raggiungere un determinato obiettivo o per rispondere a una certa domanda. Se otteniamo senza sforzo ciò che desideriamo, non ci troviamo di fronte nessun problema: stiamo semplicemente recuperando una risposta o una soluzione già pronta dalla nostra mente.
Abilità cognitive implicate nella soluzione dei problemi aritmetici Nel secondo ciclo della scuola primaria diventa sempre più importante che il bambino padroneggi abilità complesse, piuttosto che il semplice calcolo. Le difficoltà nella soluzione di problemi, si differenziano lungo il percorso scolastico dello studente, in corrispondenza del variare dei programmi e delle richieste didattiche.
Abilità cognitive implicate nella soluzione dei problemi aritmetici A livello di scuola primaria compariranno soprattutto difficoltà nel problem-solving aritmetico, in associazione a problemi di calcolo (ad es. alcuni bambini iniziano a mostrare difficoltà nel comprendere le nozioni tipiche dei primi problemi, quali il costo unitario, il costo complessivo, il resto, la differenza, ecc.). L introduzione dei concetti geometrici rende più variegate le richieste fatte al bambino, includendo la visualizzazione di rapporti spaziali elementari, la comprensione e memorizzazione di regole geometriche, e l uso di calcoli appropriati.
Abilità cognitive implicate nella soluzione dei problemi aritmetici L insegnamento di algoritmi (operazioni) di base per la soluzione di problemi tipici si associa quindi alla richiesta di flessibilità e intuizione per la soluzione di problemi che introducono elementi di novità. Successivamente vi è l introduzione di concetti complessi (frazioni, proporzioni, numeri decimali, figure geometriche che sono il risultato di rotazioni, ecc.). L aggiunta di elementi di logica e statistica, potrebbe mettere ulteriormente in difficoltà lo studente.
Il problema delle candele [Bunker,1945] Costituisce una dimostrazione del fenomeno di fissità funzionale. Richiesta: assicurare una candela ad una porta di legno. Sul tavolo nella stanza sono messi a disposizione: una scatola di puntine da disegno, dei fiammiferi e una candela.
Il problema delle candele [Bunker,1945] Molti dimostrano notevoli difficoltà nel trovare la soluzione, specie nel caso in cui la scatola sia piena di puntine, proprio perché tale percezione consolida l idea di una scatola come contenitore. Altri tentano di far sciogliere la cera della candela utilizzando la cera sciolta come base per fissare la candela (tutto ciò risulta efficace nella vita quotidiana, quando si deve fissare una candela su un piano orizzontale, ma scarsamente efficace se il piano è verticale).
Soluzione: problema delle candele La soluzione al problema consiste nell usare la scatola di puntine come supporto per la candela, fissandola alla porta con alcune puntine.
Abilità cognitive implicate nella soluzione dei problemi aritmetici I problemi insight stimolano particolarmente un pensiero di tipo «produttivo» (o creativo), che porta ad un idea nuova, originale, mai sorta prima. Importanza di non indebolire, o addirittura ostacolare, le capacità spontanee e creative degli alunni!!! Molti bambini con difficoltà, per una certa rigidità mentale, incontrano potenziali problemi nella soluzione di problemi nuovi e inconsueti. E quindi importante ridurre la ripetizione meccanica di procedure già apprese e limitare la presentazione di soluzioni già pronte.
Abilità cognitive implicate nella soluzione dei problemi aritmetici tentativi di classificazione dei problemi quali implicano maggiori difficoltà per i cattivi solutori? a ciascuna tipologia possono essere ricondotte difficoltà specifiche? Fuchs e Fuchs, nel 2002, hanno distinto fra problemi aritmetici semplici, problemi aritmetici complessi e problemi del mondo reale.
Fuchs e Fuchs (2002) LIVELLI DI DIFFICOLTA BASSO INTERMEDIO ELEVATO problemi aritmetici semplici, che presentano un testo breve e essenziale, con una domanda e con la richiesta di un unica operazione per ottenere la soluzione testo più lungo che contiene delle domande e dei dettagli non essenziali, ma nessun dato numerico irrilevante (per la soluzione sono necessarie da una a tre operazioni); problem-solving della vita reale: presenta un testo esteso, con dettagli non essenziali e con elementi numerici irrilevanti, che può richiedere lo stesso numero di operazioni di un problema complesso.
Fuchs e Fuchs (2002) COSA CONTRIBUISCE AD AUMENTARE LA DIFFICOLTA che uno studente incontra nel riconoscere un problema nuovo come appartenente a un problema di tipo familiare, per il quale è noto un metodo risolutivo? La varietà delle possibili soluzioni la quantità delle informazioni la posizione delle informazioni necessarie per comprendere il problema Gli autori hanno dimostrato un deficit nella soluzione di tutti e tre i tipi di problemi in studenti di scuola primaria con difficoltà specifiche in aritmetica e con difficoltà anche nella comprensione; inoltre le difficoltà nella soluzione dei problemi sono più severe nei bambini che presentano difficoltà anche nella comprensione.
Abilità cognitive implicate nella soluzione dei problemi aritmetici Anche delle lesioni a carico del lobo frontale possono essere causa di severi deficit nel funzionamento cognitivo, fra cui l abilità di risolvere problemi. Secondo Shallice [1982] il Sistema Attentivo Supervisore, situato nel lobo frontale, svolge le funzioni di programmare, pianificare e operare su un problema. Il danno a carico del lobo frontale determinebbe l incapacità della persona a controllare e formare un piano d azione.
Abilità cognitive implicate nella soluzione dei problemi aritmetici Il processo di soluzione può essere suddiviso in un certo numero di stadi e, all interno di ogni stadio, si possono distinguere vari processi cognitivi.
La metacognizione Alcuni ricercatori hanno considerato la possibilità che abilità sovraordinate di tipo metacognitivo possano influenzare in modo causale la prestazione. Si è infatti osservato che i buoni solutori possiedono un livello più alto di capacità metacognitive che permettono loro di analizzare in modo migliore la struttura del compito, di scegliere in modo flessibile le strategie più adatte e di utilizzare in modo maggiormente produttivo le risorse cognitive.
Processi metacognitivi di controllo Ann Brown ha descritto alcuni processi metacognitivi di controllo implicati nella soluzione di un problema, risultati altamente correlati col successo in matematica [Lucangeli e Cornoldi 1997]: prevedere se si è in grado di risolverlo (previsione); predisporre un progetto di soluzione (pianificazione); tenere sotto controllo il processo risolutivo (monitoraggio); valutare il risultato conseguito (valutazione).
Predittori del successo nella risoluzione di problemi In studenti della scuola dell obbligo il miglior predittore del successo nella risoluzione dei problemi è costituito dalla conoscenza dello schema del problema, seguito dall abilità di comprensione del testo; la conoscenza dello schema è maggiormente applicabile a problemi di tipo routinario (quali possono essere considerati quelli verbali di tipo scolastico) mentre nei problemi in cui è più rilevante la richiesta di pensiero ipotetico deduttivo e nei problemi meno scontati, si riscontra in modo più significativo l influenza delle abilità di pianificazione [Passolunghi, 1999].
Componenti cognitive coinvolte nell abilità di soluzione dei problemi sembrano ricondursi alle seguenti abilità cognitive/metacognitive (Lucangeli et al., 1998): la comprensione della situazione problema attraverso l identificazione e l integrazione delle informazioni verbali/aritmetiche; la rappresentazione dello schema; la classificazione della struttura del problema, corrispondente alla categorizzazione; la pianificazione delle procedure e delle operazioni (esecuzione di algoritmi); il monitoraggio e la valutazione.
Comprensione del testo La componente iniziale è la comprensione del testo, in particolare dei termini che esprimono relazioni quantitative tra le informazioni presentate.
Rappresentazione La rappresentazione permette di integrare in un formato visivo di tipo figurale o schematico le informazioni quantitative e le loro relazioni, così come sono state estratte dalla comprensione del testo.
Categorizzazione La categorizzazione permette di riconoscere la struttura profonda (ossia lo schema matematico espresso dal tipo di relazioni tra le quantità e il tipo di incognita da conoscere) del problema sottostante agli aspetti superficiali. Gli aspetti superficiali sono le informazioni che, anche se modificate, non cambiano la struttura profonda (ad esempio, cambiare un termine come «biglie» con «fiori», «bambini» con «cuccioli», ecc).
Pianificazione La pianificazione permette di stabilire le fasi o le tappe intermedie necessarie per raggiungere la soluzione e il loro ordine reciproco.
A questo punto si utilizzano le competenze del calcolo per risolvere in termini matematici le idee definite dalle componenti precedenti. Queste competenze saranno diverse a seconda del tipo di calcoli necessari (addizioni, frazioni, equazioni, ecc).
Autovalutazione Una volta trovata la soluzione matematica può essere utilizzata la componente di autovalutazione del proprio lavoro (questo particolare tipo di valutazione fa riferimento non solo al proprio giudizio su come si ritiene sia stato svolto il problema, ma anche il giudizio generale sulle proprie abilità di soluzione, assimilabile quindi al senso di autoefficacia in ambito scolastico).
Le cinque componenti dell abilità di soluzione di problemi matematici (Lucangeli et al., 1998)
La soluzione di un problema matematico implica conoscenza concettuale relativa al significato delle operazioni aritmetiche conoscenza delle procedure necessarie per eseguirle E possibile che queste abilità, più strettamente legate al processo matematico, da sole non siano sufficienti per sviluppare un elevata abilità nella soluzione. Come possono essere individuate le difficoltà di soluzione di problemi e in che modo è possibile intervenire?
Esistono prove standardizzate volte a misurare queste abilità? La varietà di problemi che lo studente deve affrontare e la loro complessità hanno scoraggiato la predisposizione di prove standardizzate in grado di fornire una stima oggettiva dell apprendimento matematico di soluzione di problemi.
IL TEST SPM L unica prova specifica disponibile in Italia è l SPM (Soluzione di problemi matematici) [Lucangeli, Tressoldi e Cendron 1998], che si caratterizza come strumento diagnostico esplorativo.
Modello teorico dello strumento Lo strumento è basato sul modello teorico che considera cinque componenti fondamentali implicate nella soluzione di problemi: comprensione delle informazioni presenti nel problema e delle loro relazioni; rappresentazione delle informazioni mediante uno schema in grado di strutturarle e integrarle; categorizzazione del problema in base alla struttura profonda; pianificazione del proprio percorso di esecuzione della soluzione; valutazione della correttezza della procedura.
Dalla classe III primaria alla III secondaria di primo grado La batteria di valutazione prevede quattro problemi per ogni classe, dalla terza classe della scuola primaria alla terza classe della scuola secondaria di primo grado, da somministrare in uscita per la rispettiva classe di appartenenza o in entrata alla classe successiva.
Modalità di somministrazione La prova può essere proposta individualmente o collettivamente. Non è una prova a tempo; gli alunni del campione di standardizzazione hanno evidenziato che è sufficiente un ora per risolvere i quattro problemi.
Modalità di somministrazione La sequenza corretta di svolgimento della valutazione con questo test prevede quindi che il bambino debba: leggere attentamente il problema; non eseguire alcun tipo di operazione legata alla soluzione del problema stesso fino a quando non avrà svolto i passaggi preliminari; segnare la risposta corretta per ciascuna delle componenti cognitive e meta-cognitive indicate (comprensione, rappresentazione, categorizzazione, piano di soluzione); risolvere il problema indicato; autovalutare la corretta esecuzione della procedura di svolgimento del problema.
Le quattro alternative di risposta Il bambino deve scegliere la risposta corretta fra quattro alternative, che sono state mantenute costanti per tutte le componenti nelle quali i problemi sono stati scomposti. Le quattro alternative seguono questa strutturazione: una risposta irrilevante (I): riporta informazioni che, pur essendo presenti nel testo del problema, non servono per la soluzione; una risposta errata (E): riporta delle informazioni che, se utilizzate, portano a un risultato non corretto; una risposta parziale (P): riporta dati corretti ma non completi per la soluzione; una risposta corretta (C): riporta tutti i dati utili per la soluzione.
Attribuzione del punteggio Per facilitare l attribuzione del punteggio sul protocollo di valutazione sono state predisposte delle «griglie di correzione» dalle quali si può immediatamente desumere se le risposte fornite sulle componenti comprensione, rappresentazione, categorizzazione e piano di soluzione sono corrette, parziali, errate o irrilevanti.
La lettura del risultato ottenuto Per ciascun bambino si sommano i punteggi ottenuti nello svolgimento dei diversi problemi. Se il punteggio totale supera il valore del 50 percentile, la prestazione si può considerare sufficiente. Se, al contrario, la prestazione del soggetto ricade sotto il 10 percentile, è importante indagare la situazione delle altre cinque componenti. Per ciascuna delle altre componenti si sommano i punteggi ottenuti nei diversi problemi e si valuta se il totale supera il 10 percentile. Le componenti il cui punteggio supera questo valore soglia possono essere considerate efficienti; quelle, al contrario, che non lo superano, richiedono un training di recupero.
Qualche utile suggerimento.
Se è carente la rappresentazione un approfondimento diagnostico potrebbe riguardare la valutazione dell esistenza di difficoltà di memorizzazione e uso delle informazioni visuospaziali. In questo caso sono opportuni sia esercizi specifici per il recupero di queste difficoltà, sia un training per l educazione della capacità di rappresentazione di descrizioni di problemi. Per questo scopo, il libro Problemi per immagini (Bortolato, 1994) rappresenta un ulteriore utile sussidio.
Se è carente la classificazione può essere migliorata facendo riferimento agli esempi utilizzati educando la capacità di riconoscere la struttura interna dei problemi, indipendentemente dalla descrizione degli oggetti o eventi presenti nel testo. Un processo graduale è quello di partire facendo dividere problemi simili per caratteristiche superficiali (ad esempio si parla sempre di mele), ma che richiedono operazioni aritmetiche diverse; poi problemi che richiedono più operazioni, poi problemi che richiedono operazioni diverse, ma si differenziano anche per caratteristiche superficiali.
Difficoltà nella pianificazione e nell autovalutazione possono essere potenziate facendo riferimento alle apposite unità presenti nel libro Matematica e metacognizione di Cornoldi et al. (1995).
Altro utile strumento Risolvere problemi aritmetici di Passolunghi