. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine. E MOE e molle sono elementi meccanici in grao i assorbire grani quantità i energia elastica senza che le tensioni agenti raggiungano livelli critici. A questo scopo le molle sono conformate geometricente in moo a permettere il verificarsi i grani spostenti manteneno le eformazioni in cpo elastico. ra le applicazioni si possono citare: attenuazione egli urti, riuzione o esaltazione elle vibrazioni, comano el movimento i organi, immagazzinento i energia, applicazione i forze proporzionali alla posizione. e molle vengono classificate, in base al tipo i sollecitazione che agisce nella sezione resistente, in molle i flessione e molle i torsione. Esistono sporaici esempi i molle i trazione-compressione. Si verà nel seguito che le molle a elica cilinrica (fig. e fig.) vengono classificate anche in base alla irezione ella forza agente rispetto all asse longituinale (cioè l asse el cilinro attorno a cui si avvolge l elica). In particolare si efiniscono molle a elica i trazione-compressione (la cui sezione è soggetta torsione) se la forza esterna agisce in irezione assiale e molle a elica i torsione (la cui sezione è soggetta flessione) se la forza esterna genera un momento avente asse parallelo all asse ella molla. Rigiezza a relazione tra forza applicata e inflessione ella molla è el tipo ( δ,, / / ) T T ( β,, I / N / ) E I N nelle quali -T δ-β E- I/N/ forza esterna- momento torcente esterno spostento - rotazione moulo elastico normale-tangenziale paretri geometrici a rigiezza ella molla è espressa come: K K T δ β (.,) (.,) essa ipene al moulo elastico el materiale e alla geometria ella molla. In molti casi può essere consierata costante e la molla risulta avere una relazione forza-spostento i tipo lineare. Capacità i immagazzinare energia a capacità i immagazzinare energia i una molla è espressa meiante il coefficiente i utilizzazione C u così efinito: Cu U U. (.5) U' rappresenta l energia corrisponente alla massima sollecitazione agente nell elemento; se V è il volume ella molla, per molle i flessione e torsione, rispettivente, si ha: U V σ E max U è l energia elastica effettivente immagazzinata nella molla: U σ ε V δ V (.6,7) U V max (.8,9) U γ V T β V Se le molle sono conformate come elementi monoimensionali i lunghezza, in base alla teoria elle travi, trascurano l eventuale effetto ella curvatura, l energia i eformazione assume la forma: M U E I f x M t U x (.,) I rispettivente nei casi i molle i flessione e i torsione. Nel caso in cui la tensione è uniformemente istribuita si ha C u e il materiale risulta utilizzato nel moo più efficace; nella pratica questo caso si può verificare solo per elementi monoassiali tesi o compressi. p.
. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine Molle a elica cilinrica i compressione-trazione (molle i torsione) e molle a elica cilinrica (fig.) sono costituite a un filo i sezione S, circolare o rettangolare, il cui asse si avvolge su un cilinro i ietro D con passo p, efinito come istanza tra ue spire, costante o variabile, formano un numero i spire N. Esse sono impiegate per resistere a sforzi iretti secono l asse el cilinro sul quale è avvolta l elica (cioè sforzi i trazione o compressione); eccezionalmente sono impiegate per trasmettere coppie agenti in un piano normale all asse el cilinro. Sotto l azione elle forze irette secono l asse el cilinro la sollecitazione principale alla quale è soggetto il filo è la torsione. Per ato passo p, l inclinazione α ella tangente all elica, la lunghezza l i una spira e la lunghezza complessiva per N spire l n, possono essere ottenute meiante le seguenti espressioni: tanα p D D l p + D cosα se α è sufficientemente piccolo si può scrivere: l D l N D n l N l N p D n + (.,) (.5,6) e spire terminali ella molla vengono conformate per vincolare la molla all esterno e, se sono orizzontali, sono consierate non attive ai fini ella rigiezza. Nel caso i molle soggette a trazione le spire terminali possono essere piegate a forma i gancio in moo a permettere la trasmissione ella forza. Quano la molla viene compressa totalmente raggiunge una lunghezza efinita lunghezza a pacchetto p. Nel caso i filo a sezione circolare i paretri geometrici ella molla sono: il ietro ella sezione el filo, il ietro meio ell elica D (il ietro esterno è D e D+), il numero i spire attive N (si noti che questo numero non è necessariente intero!), il numero i spire terminali, avvolte con inclinazione nulla, N', la lunghezza libera l ; la lunghezza a pacchetto p (N+N')+', con ' o ' a secona che le spire terminali siano integre o spianate come in fig. (l espressione i p è inicativa!). Il momento i inerzia polare ella sezione e il volume ella molla sono rispettivente: I p V l A N D n (.7,8) Tensioni Sotto l azione ella forza agente lungo l asse el cilinro tutte le sezioni ella molla, ugualmente orientate rispetto a e equiistanti alla sua retta azione, sono sollecitate allo stesso moo per cui la molla a elica cilinrica con passo costante è un solio i resistenza uniforme rispetto al carico. a generica sezione è sollecitata alle componenti normale N e tangenziale T ella forza e ai componenti flettente M f e torcente M t el momento MD/ ella forza stessa. Osservano la fig. si ottiene: sen α cosα N M D senα M D cosα f T t (.9,) (.,) eneralmente α è sufficientemente piccolo a aversi N, M f, T, M t D/ e la massima tensione tangenziale nel filo ovuta al momento torcente e al taglio può essere calcolata meiante la seguente equazione: D q + I p A (.) esseno / la istanza tra il punto più sollecitato al boro elle sezione e il baricentro, A e I P rispettivente l area e il momento inerzia polare ella sezione, q il fattore i torsione per sezioni non circolari. Il primo termine è la tensione massima ovuta alla sollecitazione i torsione, il secono è la tensione meia ovuta al taglio. Nel caso i filo a sezione circolare i ietro, sostitueno a A e I P le relative espressioni si ottiene: 8 D + D D MtD/ ig..- Molla a elica cilinrica. α (.).
. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine N α T M f D/ α M t ig..-orze agenti sulla sezione ella molla. α (a) (b) ig..- Tensioni nella spira: a) taglio, b) torsione, c) taglio e torsione, ) effettive. (c) () che fornisce la tensione i taglio nella fibra interna ella molla (fig.). a () può essere riscritta come segue: 8.5 D + C esseno C l inice i molla, C (.5) D (.6) che, per motivi tecnologici eve essere compreso nel cpo 6<C<. Introuceno il fattore i correzione elle tensioni i taglio s +.5 C (.7) si può scrivere: 8 D 8 C s s (.8) Si eve notare che le espressioni (-5,8) sono approssimate in quanto: la tensione ovuta al taglio ovrebbe essere eterminata per mezzo ella formula i Jurasy e teneno conto el fattore i taglio, le formule utilizzate sono valie per solii a asse rettilineo mentre la curvatura provoca un aumento ella tensione sul boro interno e un anento parabolico ella tensione (fig.). Questi effetti vengono inclusi nel coefficiente b, etto coefficiente i Bergstrasser, con il quale la (8) può essere riscritta come segue: b è ato a: b 8 D 8 C b b (.9) C C.65 + C + C + C (.) b tiene conto sia ella concentrazione i tensione che ell effetto el taglio. Il solo fattore i concentrazione elle tensioni è ato a: c b s C ( C + ) ( C )( C + ) (.) Per carichi statici la concentrazione i tensione ovuta alla curvatura può essere trascurata e a b può essere attribuito il valore s, mentre per carichi i fatica tipicente si usa c. Inflessione espressione ell abbassento δ può essere ottenuta meiante il teorema i Clapeyron. Per calcolare le inflessioni il fattore b e l'effetto el taglio possono essere trascurati. energia i eformazione nel caso i torsione () è ata a: D D D U x x N D a cui: (.) U D N (.) Poneno l energia i eformazione pari al lavoro compiuto alla forza e δ/ si ottiene la relazione tra lo spostento e la forza o la tensione: δ 8 D N D N (.) s.
. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine In alternativa, applicano il teorema i Castigliano, lo spostento δ si otterrebbe come δ U. Costante elastica a rigiezza ella molla K / δ è costante e è ata a: K 8 D N 8 C N (.5) e equazioni ottenute sono valie sia per molle in compressione che per molle in trazione. Coefficiente i utilizzazione In base alla (7) e alla (8) si ha: D N b 8 b 8 D U N D a cui, ricorano la (5) e la (), si ottiene C u.5/ b ; per b. si ha C u.5. (.6) Tensioni missibili Consierano le caratteristiche ei materiali per molle e tenuto conto ella possibilità i limitare la freccia massima, la tensione missibile può essere espressa come a σ r con a pari.5 o.5 rispettivente per materiali ferrosi e non. Un opportuno superento el limite i snervento, etto presetting, provoca elle tensioni resiue vantaggiose, che consentono i utilizzare valori i a più elevati: a.65 o a.55, rispettivente. Dimensionento Nel imensionento le variabili incognite sono D, e N. Solitente la rigiezza è un ato i progetto, a esempio, esprimibile meiante le frecce i lavoro δ e δ, o le lunghezze assunte alla molla l δ e l δ, e le relative forze e come K / δ( )/(δ δ ) o K / δ( )/( ). Se la rigiezza è un ato i progetto, è utile riscrivere l'espressione ella tensione (8) in funzione ella costante elastica come b/ s b/ s D N K CD N K (.7) Introuceno la tensione missibile, la (7) può essere esplicitata rispetto ai paretri geometrici D N CD N b/ s K (.8) e utilizzata in moo opportuno per il imensionento. In particolare, i paretri D e N possono essere imposti in base a vincoli sull ingombro. Poiché i coefficienti b/s ipenono a C (eq./7), i calcoli evono essere effettuati in moo iterativo, introuceno un valore iniziale i tentativo, generalmente unitario, e utilizzano il valore i C eterminato per calcolare un valore più preciso i b/s. Si noti che in vari casi, pur esseno ati i progetto le lunghezze e assunte alla molla, non si conosce la lunghezza libera l che è eterminata anche all inclinazione ell elica. È bene che, alla lunghezza a pacchetto p, la freccia sia pari al % ella freccia δ, in moo che l eventuale sovraccarico massimo sia limitato al %. In pratica il carico massimo possibile per la molla risulta max. e la freccia massima eve essere δ max.δ. Questo implica l ulteriore relazione: ( ) +.δ N + N + +.δ (.9) l p che permette i eterminare la lunghezza libera e l inclinazione ell elica. requenza critica elle molle a elica requentemente le molle a elica sono utilizzate imponeno un moto i elongazione e schiacciento molto rapio come, a esempio, nelle valvole i comano i un motore a combustione interna. In questi casi è necessario verificare che la frequenza naturale i vibrazione ella molla non sia prossima a quella ella forza applicata poiché la molla potrebbe anare in risonanza. a frequenza critica i una molla a elica per l armonica i orine a è ata a f a K a K a K a K m V ρ N D ρ N D ρ (.) esseno m la massa ella molla e ρ la ensità el materiale. a frequenza critica fonentale eve essere compresa fra 5 e volte la frequenza ella forza in moo a evitare risonanza..
. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine Molle a elica i torsione (molle i flessione) Queste molle sono costruite in moo analogo a quelle a elica i trazione o compressione, ma le estremità sono sagomate in moo a poter trasmettere un momento i asse parallelo all asse ella molla (cioè torcente) (fig.). e sezioni ella molla risultano soggette a una sollecitazione i flessione. Nella costruzione i queste molle si generano tensioni resiue agenti in verso opposto a quelle i esercizio, i conseguenza esse possono essere progettate per operare a livelli i tensione che uguagliano o anche superano la resistenza allo snervento el filo. Queste molle sono messe in esercizio avvolte attorno a una guia cilinrica che reagisce con la forza mostrata in fig.. Per sezione circolare i paretri geometrici ella molla sono: il ietro ella sezione el filo, il ietro meio ell elica D, il numero i spire N, il braccio ella forza R. a lunghezza e il volume ella molla sono ati alle (7) e (8) rispettivente, mentre il momento inerzia ietrale ella sezione è I 6 (.) Tensioni Poiché il cilinro a cui è avvolta la molla esplica una reazione, si può ritenere che sulle sezioni agisca un momento flettente costante ato al prootto i per R e l espressione ella tensione massima può essere scritta nella seguente forma: σ wr (.) esseno w un fattore i concentrazione elle tensioni il cui valore ipene alla curvatura el filo e al fatto che la tensione sia eterminata sulla fibra interna o esterna. Wahl ha eterminato il seguente valore per la fibra interna che risulta essere la più sollecitata: esseno CD/ l inice i molla. wi C C C C ( ) (.) Inflessione angolo i rotazione ell estremità ella molla β può essere ottenuto utilizzano il teorema i Clapeyron. energia i eformazione in flessione () risulta R R U x x E I I E (.) a cui si ottiene: U (.5) D N R E Poneno l energia i eformazione pari al lavoro compiuto alla forza e Rβ / si ottiene: β 6 D N R E D N σ E (.6) In alternativa, applicano il teorema i Castigliano, si la relazione (6) potrebbe essere ottenuta all'espressione Rβ U/. Costante elastica a rigiezza ella molla K M/ β (R)/ β è costante e è ata a: w K E E (.7) 6 D N 6 C N In alcuni casi si preferisce riferire la costante elastica a un giro completo. In questo caso si moltiplica la (7) per e si ottiene: D ig.. - Molla i flessione a elica. R.5
. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine anmm K E (.8) giro. D N Queste equazioni sono state ottenute senza tenere conto ella curvatura el filo. e prove sperimentali mostrano che la costante. eve essere leggermente aumentata. equazione: fornisce migliori risultati. Coefficiente i utilizzazione In base alla (7) e alla (8) si ha K E (.9).8 D N max D N R 8 w w σ U V K R N D K E E E a cui, ricorano la (5) e la (5), si ottiene C u.5/k w (.5) Dimensionento e problematiche el imensionento sono simili a quelle elle molle i torsione a elica, a eccezione el fatto che la resistenza ipene solo al ietro come mostra l eq.(). In questo caso può essere imensionato inipenentemente agli altri paretri introuceno la tensione missibile σ nella (). Per il imensionento egli altri paretri, la tensione () può essere espressa in funzione ella costante elastica come σ E w R D N K (.5) e esplicitata rispetto al prootto D N o al prootto C N introuceno la tensione missibile σ E D N K σ R w E C N wr K σ (.5a,b) Molle a barra i torsione (molle i torsione) e molle a barra i torsione sono schematizzabili come semplici barre a asse rettilineo i lunghezza, a sezione costante, incastrate a un estremità, sollecitate all estremità libera a una coppia torcente T; la sezione libera ruota rispetto alla sezione incastrata i un angolo β e l asse ella barra rimane rettilineo. Se la barra è i sezione circolare i paretri geometrici ella molla sono: il ietro ella sezione, la lunghezza. Il momento i inerzia polare è ato alla (7). Tensioni a tensione tangenziale al boro esterno è: 6 T (.5) Inflessione e inflessioni possono essere calcolate meiante il teorema i Clapeyron. energia i eformazione () per la trave soggetta a momento torcente costante è: U 6 T (.5) Poneno l energia i eformazione pari al lavoro fatto alla forza agente e Tβ/ si ottiene: β T Costante elastica a rigiezza ella molla K T/ β è costante e è ata a: Coefficiente i utilizzazione In base alla (7) e tenuto conto che V /, si ha K (.55) (.56).6
. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine U V max T 6 T a cui, ricorano la (5) e (5), si ottiene C u.5 (.57) Dimensionento Anche in questo caso il ietro si ricava irettente alla (5). Se il valore ella costante elastica K è un ato i progetto, esprimeno la tensione (5) in funzione i K (56) si può eterminare il valore i come T (.58) K Barra i torsione con manovella Se il momento agente sulla barra i torsione è provocato R cos(β β) a una forza i irezione costante agente su una manovella i lunghezza R, come in fig.5, per grani variazioni ell angolo i torsione, tale momento risulta β x variabile in moo non lineare con lo spostento δ ella β forza. In conseguenza i ciò, la relazione tra la forza applicata e lo spostento δ non è lineare. δ In generale la manovella scarica () forma un R angolo β con l orizzontale (fig.5); se la barra è i sezione circolare, sempre con riferimento alla fig.5, i paretri geometrici ella molla sono: ig..5 - Barra i torsione con manovella. il ietro ella sezione, la lunghezza ella barra, la lunghezza ella manovella R, l angolo tra la manovella e la irezione orizzontale in assenza i forza β. Tensioni Dalla (55) e alla fig.5 si osserva che, per la generica rotazione β, sulla barra agisce un momento torcente ato a: T β cos( β β ) R (.59) Introuceno tale espressione nella (5), si ottiene la tensione i torsione agente al boro ella barra in funzione ell angolo i rotazione o ella forza: 6 cos β ( β β ) R (.6) angolo i rotazione può essere posto in funzione ella forza meiante la seguente relazione non lineare: cos β ( β β ) R (.6) Rigiezza (forza -spostento δ) a rigiezza intesa come erivata ella funzione che esprime la forza applicata rispetto allo spostento δ el suo punto i applicazione risulta essere funzione i β e è ata a: K δ ( β ) β δ β δ (.6) Per ottenerne l'espressione in funzione ei vari paretri è necessario esprimere la forza e lo spostento in funzione i β. espressione ella forza esercitata in funzione ell angolo i rotazione, in base alla (6), è: R cos β ( β β ) a freccia intesa come spostento el punto i applicazione el carico è ata a: ( ) δ R sen β + sen β β (.6) (.6).7
. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine Derivano l espressione el carico e quella ella freccia rispetto a β si ottiene rispettivente: ( ) ( ) + β tan β β β R cos β β alle quali, utilizzano la (6), si ottiene: K δ ( β ) δ R cos β ( β β ) ( ) ( β β ) + β tan β β R cos (.65,66) (.67) a (67) mostra che la rigiezza è variabile con la eformazione angolare e che essa è minima per un valore ell'angolo β<β. Quano l asse ella manovella è orizzontale (β β ) il braccio è massimo e la rigiezza iventa: K δ (.68) R Per molle montate su veicoli è opportuno fare in moo che tale posizione coincia con quella sotto carico statico (β s β ) in moo che la molla abbia rigiezza crescente con lo spostento. Dimensionento In generale le granezze a imensionare sono β,, e R. Se i ati i progetto sono il carico statico s, cui eve corrisponere la posizione orizzontale (β β s β ), e la variazione i freccia δ (fig.6) tra la posizione statica δ s e la freccia massima δ M ( δδ M δ s ), in base alla (6) si può scrivere una prima relazione: R s βs β (.69) Dalla fig.6 si osserva che β Msen δ/r+β, per cui alla (6), imponeno che sia pari alla tensione missibile el materiale, si ottiene una secona relazione: δ sen + β R sostitueno β con la (69) nella (7), si ottiene la seguente relazione (.7) 6 sen δ R R s + (.7) nella quale le incognite sono,, R; occorre pertanto fissarne ue per ricavare la terza. A esempio, per ricavare si può scrivere la seguente relazione risolvibile in moo iterativo: 6 R s sen δ R (.7) Si noti che la raice nella (7) è cubica. Se la (7) non converge è necessario riconsierare gli altri paretri, in particolare e R. Molle a balestra (molle i flessione) e molle a balestra sono usualmente costruite come travi incastrate o appoggiate a sezione rettangolare avente base b e altezza h in generale variabili, sulle quali agisce una forza (all estremità per quelle incastrate, in mezzeria per quelle appoggiate) che provoca flessione. Tensione In una trave incastrata con carico i estremità la tensione massima (al boro superiore) nella generica sezione i ascissa x e la tensione massima nella sezione i incastro sono ate rispettivente a: σ β β M x 6 s M δ s δ ig..6 - Dati i progetto. δ M x b h b h σ 6. (.7,7) In questa ultima b e h sono i valori all incastro (x). Il coefficiente i utilizzazione i una molla a sezione costante risulta molto basso. Nel caso in cui b e h sono costanti, esseno il volume ato a Vbh l, le espressione i U' (6) e U (8) sono rispettivente.8
. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine b w h ig..7 - a molla a balestra. A estra confronto tra molla a balestra incastrata e appoggiata. U M x E I b h E σ 8 (.75,76) U b h E b h E e effettuano il rapporto si ottiene C u.. Per ottenere una migliore utilizzazione el materiale impiegato, conteneno oltremoo il peso, è opportuno che la tensione σ x sia costante rispetto a x. e travi i uniforme resistenza possono essere ottenute variano sia b che h imponeno che sia σ x σ max : x 6 6 b h b h (.77,78) Se si mantiene costante lo spessore hh, la larghezza b eve variare linearmente con x, mentre, se si mantiene costante la larghezza bb, lo spessore h eve variare in moo parabolico; nei ue casi si ha b x b x h h (.79,8) Nel primo caso la trave assume la forma i una barra triangolare che è il moello base per le molle a balestra. a molla a balestra (fig.7) si ottiene infatti tagliano la barra triangolare in una serie i strisce, simmetricente isposte nella barra originale (quella centrale i larghezza w e le altre w/), accostanole a ue a ue in moo a creare una foglia i larghezza w, e isponeno le foglie l una sotto l altra a partire alla più lunga. Se N è il numero elle foglie si ha b Nw. a barra triangolare e la corrisponente balestra a foglie multiple hanno tensioni e inflessioni quasi ientiche, poiché le foglie agiscono come elementi elastici in parallelo (vei paragrafo seguente). e ifferenze sono ovute a fattori: l attrito fra le foglie prouce smorzento nella molla a foglie multiple, la molla a foglie multiple può sopportare carichi in una sola irezione ato che carichi i verso opposto tenono a separare le foglie. Riassumeno, i paretri geometrici ella molla sono: lo spessore h, il numero elle foglie N, la larghezza ella foglia w o la larghezza totale b, la lunghezza. Il momento i inerzia, variabile rispetto all asse x, e il volume ella molla sono rispettivente: b h x I V b h (.8,8) In base ai paretri geometrici introotti, l eq.(7) può essere riscritta come segue: σ 6 6 b h N w h (.8) Inflessione e inflessioni possono essere calcolate meiante il teorema i Clapeyron. energia i eformazione per trave inflessa a sezione variabile (), esseno M( x), è ata a: U x x x x E b h x b h E a cui: (.8) ( ) ( ) 6 ( ).9
. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine U b h E (.85) Poneno l energia i eformazione pari al lavoro fatto alla forza agente e δ/ si ottiene: δ 6 bh E σ (.86) a stessa espressione può essere ottenuta applicano il teorema i Castigliano, erivano l energia i. eformazione rispetto alla forza, cioè δ U Costante elastica a rigiezza ella molla K / δ è costante e è ata a: Coefficiente i utilizzazione In base alla (6) e alla (8) si ha max V 9 E bh E h E b h N w h K E E 6 6 (.87) σ U (.88) a cui, ricorano la (5) e la (8), si ottiene C u.. Dimensionento Solitente i ati i progetto sono il carico statico s, la freccia elastica sotto carico statico δ s, la freccia massima δ e/o il carico massimo. e variabili a imensionare h,, b e N sono legate fra loro alle equazioni ella tensione (8), ello spostento (86) e ella costante elastica (87). Si noti che le relazioni (8) e (86) non sono inipenenti, quini ue elle variabili geometriche evono essere fissate con regole empiriche, eotte alla pratica costruttiva. In generale con il calcolo si eterminano lo spessore h e il numero elle foglie N. Se la costante elastica K è assegnata o eterminabile alle frecce e ai carichi, esprimeno la tensione (8) in funzione i K h E σ (.89) K è possibile ricavare la seguente relazione utile per il imensionento: h K σ (.9) E e formule ella tensione, ello spostento e ella rigiezza sono valie anche per il caso i balestra appoggiata (fig.7) consierano che i simboli e si riferiscono rispettivente a metà ella lunghezza complessiva e a metà ella forza agente in mezzeria e l abbassento si riferisce alla sezione i mezzeria. ig..8 Che tipi i molle riconoscete in questa raffinata sella Broos?.
. Petrucci ezioni i Costruzione i Macchine Molle in serie e parallelo In vari casi più molle vengono utilizzate simultaneente. e configurazioni più tipiche sono quelle i molle in serie e parallelo. In questi casi è utile conoscere la relazione tra le costanti elle singole molle utilizzate e la costante i molla ell insieme. Serie Nel caso i molle in serie (fig.9), tutti gli elementi sono soggetti alla stessa forza mentre lo spostento el punto i applicazione è ato alla somma egli allungenti ei singoli elementi: δ δ + δ (.9,9) Nel caso i ue elementi, in base alla efinizione i K si ottiene: K K K δ δ + δ K + K K + K K + K In generale i (.9) K (.9) K Parallelo Nel caso i molle in parallelo (fig.), tutti gli elementi sono soggetti allo stesso allungento che coincie con lo spostento el punto i applicazione ella forza, mentre la forza complessiva è ata alla somma elle forze agenti nei singoli elementi: δ δ δ + (.95,96) Nel caso i ue elementi, in base alla efinizione i K si ottiene: + + + (.97) δ δ δ δ K K K In generale K K (.98) i Si eve notare che le foglie ella molla a balestra agiscono in parallelo in quanto sono soggette tutte alla stessa freccia δ. Il comportento a flessione ell'insieme elle foglie è ifferente rispetto a quello i un unico elemento con sezione uguale all insieme elle sezioni elle foglie (e quini i altezza pari al prootto Nh) in quanto le foglie sono fisicente separate e non si trasmettono azioni tangenziali (a parte quelle ell attrito). Per questo motivo nella (8) compare l altezza h ella singola foglia elevata al quarato moltiplicata per il numero elle foglie, cioè il prootto Nh, e non l altezza complessiva elle foglie elevata al quarato, cioè il prootto N h. δ δ δ δ δ ig..9 - Molle in serie. ig.. - Molle in parallelo..