Appello del 25 novembre 2003

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1 ema esame el 5/11/00 COSUZIONE DI MCCINE NO Prof. Sergio Baragetti (llievi el Corso i Laurea in Ingegneria Meccanica) ppello el 5 novembre 00 Un motore elettrico asincrono trifase aziona una macchina operatrice meiante un riuttore a ingranaggi cilinrici a entatura elicoiale, secono lo schema in figura 1. 1 B a b 4 c Macchina operatrice figura 1 Sono noti: N 50 kw (potenza nominale el motore) a 00 mm ω ra/s (velocità angolare el motore) b 150 mm z 1 1 (numero enti el pignone 1) c 00 mm z 64 (numero enti ella ruota ) m n 6 mm (moulo normale) α n 0 (angolo i pressione) β 10 (angolo i inclinazione ell elica) z 5 (numero enti el pignone ) z 4 81 (numero enti ella ruota 4) m n 8 mm (moulo normale) α n 0 (angolo i pressione) β 8 (angolo i inclinazione ell elica) Si richiee: 1. Valori, irezione e verso elle spinte che si scambiano le ue coppie i ruote entate.. I iagrammi el momento torcente, el momento flettente e ell azione assiale nell'albero B.. Il imensionamento ella sezione - ell albero B. Si utilizzi una sezione circolare piena. 4. La verifica i resistenza a fatica illimitata ell'albero B nella sezione Il coefficiente i carico inamico per il cuscinetto a rotolamento posto in per ore. Per gli allievi che hanno l'obbligo i risponere a tutte le omane è inoltre richiesto il valore ell'interferenza necessaria per collegare stabilmente la ruota entata con l'albero B e lo schizzo ell albero in corrisponenza el supporto. Pag. 1 i 1

2 ema esame el 5/11/00 SVOLGIMENO Si tratta ello stuio i un riuttore a ue stai, a ruote cilinriche elicoiali. Inicheremo sempre con il peice 1 le granezze comuni alle ruote el primo staio (ingranaggio formato alle ruote 1 e ), e con il peice le granezze comuni alle ruote el secono staio (ingranaggio formato alle ruote e 4). I iametri primitivi e le forze saranno inicati con il peice ella ruota a cui si riferiscono. I valori numerici elle forze calcolate sono arrotonati all intero più prossimo. 1. Valori, irezione e verso elle spinte che si scambiano le ue coppie i ruote entate. Iniziamo a ricavare le caratteristiche salienti ei ue ingranaggi. Per quanto riguara il primo, ati i numeri ei enti elle ue ruote, si può ricavare immeiatamente il valore el rapporto i trasmissione, e el suo inverso, il rapporto i ingranaggio (che in questo caso, trattanosi i un riuttore i velocità, assume la enominazione i rapporto i riuzione). τ 1 u 1 z z 1 z z 1 1 0, ,047 Sono noti i valori el moulo normale, ell angolo i pressione normale e ell angolo i avvolgimento ell elica; ricaviamo il moulo frontale (m f1 ) e l angolo i pressione frontale (α f1 ), ricorreno alle relazioni: m mn 1 6 cos( β 1 ) cos(10) f 1 tg ( α f 1 6,09 mm tg( α n1) tg( α n1) ) α f 1 arctg 0, 8 cos( β1) cos( β1) Da questi ati si può ottenere il valore el iametro primitivo elle ruote el primo ingranaggio. Viste le richieste el tema, ci si concentrerà sulla ruota, la conotta: il suo iametro primitivo si ottiene a: p f m m z n1 z f 1 89,94mm Si assume che la potenza trasmessa al motore fluisca attraverso il riuttore senza perite, e che, quini, il renimento complessivo sia unitario. La velocità angolare ella ruota si ricava a ω ω 1 τ ,8 49,0 ra/s perciò: C N 50000W 49,ra / s ω 1016 Nm Pag. i 1

3 ema esame el 5/11/00 Le ruote a entatura elicoiale scambiano tre forze: una tangenziale, una raiale (che tene a allontanare le ruote), e una assiale, ovuta all inclinazione ell elica. Supponiamo che l albero motore ruoti in senso orario: le forze che si scambiano le ruote hanno quini la irezione mostrata in figura. B a c Macchina operatrice figura La forza tangenziale si ricava immeiatamente a: C 510N f tg f tg β ( ) 196 α N ( ) 919 N Queste forze sono irette secono lo schema in figura, aveno scelto il verso i rotazione illustrato. Pag. i 1

4 ema esame el 5/11/00 Per il secono ingranaggio, e in particolare la ruota entata, si applicano le stesse relazioni con i ovuti cambiamenti; si giunge perciò a: z 5 τ 0,08 z 81 4 z4 81 u,40 z 5 mn 8 m cos( ) β cos(8) f 8,08 mm tg( α n ) tg( α n ) tg ( α ) f α f arctg 0, 18 cos( β ) cos( β ) Da questi ati si può ottenere il valore el iametro primitivo elle ruote el secono ingranaggio. Viste le richieste el tema, ci si concentrerà sulla ruota. il suo iametro primitivo si ottiene a: m z p n f m f z 01,96mm Poiché le ruote sono montate sullo stesso albero, e non vi sono perite nella trasmissione, sarà: ω ω 49,0 ra/s C C 1016 Nm C 10060N f tg f tg β ( ) 697 α N ( ) 1414 N. I Diagrammi el momento torcente, el momento flettente e ell azione assiale nell'albero B. bbiamo eterminato tutte le forze che sollecitano l albero B. È possibile risalire ai iagrammi i azione interna ella struttura rammentano che, in conizioni i elasticità, e i linearità fra sforzi e eformazioni, è possibile consierare separatamente le iverse forze, e valutarne separatamente gli effetti, per poi ottenere, sovrapponenoli, il risultato complessivo..1. Momenti flettenti Sovrapposizione egli effetti. La struttura ella quale stiamo esegueno lo stuio consente il ricorso al principio i sovrapposizione egli effetti; ne stuieremo quini separatamente le forze. Consieriamo un sistema i riferimento a, r, t che abbia le irezioni riportate nella figura. r t uota a uota B figura Pag. 4 i 1

5 ema esame el 5/11/00 Effetti ella forza raiale Le forze raiali agiscono nel piano (a, r) e hanno irezione e verso come in figura 4. V, V figura 4 icaviamo le reazioni vincolari negli estremi e B meiante le equazioni i equilibrio alla rotazione rispetto al vincolo in, e alla traslazione; V V, a + V V, ( a + b) + V + V ( a + b) a 198N ( a + b + c) 7N ( a + b + c) 0 0 Il iagramma el momento flettente è riportato in figura 5. V, V Mf r 75 Nm Mf r 419 Nm figura 5 Si riportano in figura 6 i iagrammi el momento flettente ovuti alle singole forze: figura 6 Pag. 5 i 1

6 ema esame el 5/11/00.1. Effetti ella forza tangenziale Le forze tangenziali agiscono nel piano (a, t), perpenicolare a quello elle forze raiali., figura 7 icaviamo le reazioni vincolari negli estremi e B meiante l equazione i equilibrio alla rotazione rispetto al vincolo in e alla traslazione; B,,, ( a + b + c) + ( b + c) c 0 0 ( b + c) + c 850N ( a + b + c) +, 700N Il iagramma el momento flettente è riportato sotto., Mf t 1650 Nm Mf t 106 Nm figura 8 I iagrammi ei momenti flettenti prootti alle singole forze sono riportati sotto: figura 9 Pag. 6 i 1

7 ema esame el 5/11/00.1. Effetti ella forza assiale Le forze assiali agiscono nel piano (a, r), come le forze raiali. V, V figura 10 iportano le forze e sull asse ell albero, si introucono ue momenti i trasporto, in cui ogni forza ha come braccio il raggio primitivo ella ruota su cui agisce. f M f M V, V figura 11 icaviamo le reazioni vincolari negli estremi e B meiante l equazione i equilibrio alla rotazione rispetto al vincolo in, e alla traslazione; inoltre c è una componente i forza assiale, che si ricava con l equilibrio alla traslazione ell albero in irezione assiale. V, f f + + V 0 + V 0 ( a + b + c) 0 Pag. 7 i 1

8 ema esame el 5/11/00 V V, V f + ( a + b + c) 495N f 495N 495N Il iagramma el momento flettente presenta iscontinuità causate ai momenti i trasporto. Il iagramma è isegnato in moo a presentare le forze nella irezione e col verso corretto, quini hanno tutte valore positivo. V, Mf a 99 Nm Mf a 5,8 Nm Mf a 80 Nm Mf a 148 Nm V figura 1 I momenti singoli proucono i iagrammi isegnati sotto: M M.1.4. Composizione egli effetti figura 1 Il iagramma in figura 14 mostra l unione ei iagrammi ottenuti separatamente; in nero, il momento ovuto alle forze assiali, in rosso quello ovuto alle forze raiali, in blu quello elle forze tangenziali. Pag. 8 i 1

9 ema esame el 5/11/00 V, V, V, V figura Momento torcente Il momento è trasmesso all albero alle ruote e vale C. M C 1016 Nm (-) figura zione assiale Le azioni assiali non bilanciate sollecitano a compressione la porzione centrale ell albero e a trazione la parte prossima alla cerniera. Nella parte centrale la forza vale: -919 N ll esterno el secono staio, al lato ella cerniera, si ha N Pag. 9 i 1

10 ema esame el 5/11/ N (-) 495 N (+) figura 16 Pag. 10 i 1

11 ema esame el 5/11/00. Il imensionamento ella sezione - ell albero B. Si utilizzi una sezione circolare piena. I iagrammi tracciati permettono i iniviuare quali sono le sezioni maggiormente sollecitate nell albero; tuttavia, le azioni non giacciono tutte nello stesso piano, e si evono comporre i momenti ottenuti fino a trovarne il momento risultante. La sezione sulla quale ci si concentra per eseguire il imensionamento è la sezione -, e è qui che si effettuerà la composizione elle azioni. Gli effetti i e giacciono nel piano (a, r); si possono perciò comporre scalarmente, otteneno un primo momento risultante. Nella sezione - si ha: M ' M f,() + M f,() Nm L azione tangenziale si manifesta nel piano (a,t) perpenicolare a questo; si compongono gli effetti in moo vettoriale: M f f, M ' + M, ( ) Nm questo è il valore complessivo el momento flettente nella sezione -. Nella sezione consierata non agisce momento torcente, né azione assiale, che è invece presente nelle restanti sezioni ell albero. Il imensionamento si può effettuare consierano solo la sollecitazione flessionale. Lo sforzo massimo generato alla flessione in una sezione circolare piena è: f,max M f, π 4 64 M π f, L albero è costruito in acciaio C40 con carico i rottura m 800MPa. Si eve verificare la isuguaglianza: lim f,max amm η ove lim è il carico limite, in questo caso p0, 0.6 m 480 MPa perché il C40 è un materiale uttile. η Sarà M f, p0, f,max π Il iametro minimo che si eve attribuire all albero è: M f, p0, η 41 mm π Si sceglie un iametro 50 mm. Pag. 11 i 1

12 ema esame el 5/11/00 4. La verifica i resistenza a fatica illimitata ell'albero B nella sezione -. L albero in esame ruota attorno al proprio asse, mentre i carichi che lo sollecitano sono fissi nello spazio: rispetto a un sistema i riferimento soliale all albero sono quini gli sforzi a ruotare, eterminano una sollecitazione alternata. Nella sezione - non agiscono altri sforzi che quelli ovuti al momento flettente: perciò si ha una sollecitazione monoassiale, per la quale è semplice valutare la vita a fatica. Un elemento i macchina è in grao i resistere inefinitamente a fatica alternata flessionale se vale: f,max Ff K b f b in cui Ff b b K f è lo sforzo unitario limite per fatica a flessione rotante; è il coefficiente che tiene conto elle imensioni ell elemento meccanico è il coefficiente che tiene conto ella finitura superficiale ell elemento; è il coefficiente i intaglio a fatica. Possiamo imporre, ate le imensioni e la lavorazione el pezzo (che supponiamo lavorato per asportazione i materiale, con una buona finitura superficiale): b 0,8 b 0,9 Consierano un raccoro con raggio 5 e una variazione i iametro moesta a cavallo ella sezione -, a esempio tale che D/1,0: K t 1,7 q 0,75 K f 1+q (K t -1)1,5 Supponiamo che l albero sia costruito in materiale bonificato: il valore i limite i fatica flessionale è Ff 400 MP. Impostano la verifica si ottiene che: ' f π Ff bb K M, f, max Ff f 15 MPa 19 MPa Poiché è verificato che f,max Ff è corretto affermare che l albero resiste inefinitamente a fatica. ' Ff Il coefficiente i sicurezza è f,max Pag. 1 i 1

13 ema esame el 5/11/00 5. Il coefficiente i carico inamico per il cuscinetto a rotolamento posto in per ore. Il cuscinetto posto in rappresenta un vincolo alla traslazione ell albero in senso perpenicolare all asse: è analogo a un carrello perché eve consentire lo spostamento in irezione assiale. Possiamo generare un vincolo i questo tipo con un cuscinetto a rotolamento, per esempio a singola corona i sfere: possiamo iniviuare le sue caratteristiche resistenziali i massima sfruttano la relazione base per eterminare la urata, ossia: L 10 C P ε in cui L 10 è la urata in milioni i cicli el cuscinetto; P è il carico raiale equivalente, eterminato alla combinazione elle azioni che agiscono sul cuscinetto in corrisponenza el vincolo; C è il coefficiente i carico inamico el cuscinetto, che rappresenta il valore i sollecitazione che consente al 90% ei cuscinetti i un eterminato tipo i raggiungere la urata i un milione i cicli; ε è il coefficiente che ipene al tipo i cuscinetto, che poniamo pari a aveno scelto un cuscinetto a sfere a singola corona. Sfruttano la relazione inversa, si trova: C Pε L10 in cui L 10 eve essere ricavato. Si conosce la urata el cuscinetto, ore; la velocità angolare ell albero lento è ω ω 1 τ , 49, ra/s che equivalgono a circa 470 giri al minuto. In un ora l albero compie 8189 rotazioni; in ore, ; unque, L 10 vale 81. Occorre eterminare il carico equivalente sul cuscinetto in operano la composizione elle reazioni vincolari: le reazioni causate a e a sono nello stesso piano, quini si sommano scalarmente; la reazione prootta a giace invece in un piano perpenicolare, quini si eve comporre in moo vettoriale alla risultante elle altre ue. Esseno: V, V, Si ha V 7 N 495 N V, +V, 868 N, V N Sul cuscinetto in non agiscono carichi assiali: il carico equivalente è uguale a. Si ottiene perciò: C 895, N Pag. 1 i 1