Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1
Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di: l l l l l definire la funzione inversa di una funzione reale definire e rappresentare graficamente la funzione arcoseno e arcocoseno definire e rappresentare graficamente la funzione arcotangente e arcocotangente definire la funzione composta di due funzioni reali rappresentare graficamente le funzioni composte In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Alla fine di questa lezione sarai in grado di: definire la funzione inversa di una funzione reale; definire e rappresentare graficamente la funzione arcoseno e arcocoseno; definire e rappresentare graficamente la funzione arcotangente e arcocotangente; definire la funzione composta di due funzioni reali; rappresentare graficamente le funzioni composte. 2
Proprietà delle funzioni Sia f : A B una funzione reale di variabile reale Una funzione è detta iniettiva se a, a A, a a : f (a ) f (a ) Iniettiva il grafico di f intercetta una qualsiasi retta orizzontale al più in un punto Una funzione è detta suriettiva se b B a A : f(a)=b. f(a)=b Una funzione è detta biiettiva se essa è sia iniettiva che suriettiva, ovvero b B a A : f(a)=b. Non iniettiva esiste una corrispondenza biunivoca fra gli elementi dell insieme A e quelli di B la funzione è invertibile Prima di definire cos è una funzione inversa, ricordiamo alcune proprietà delle funzioni. Data una funzione f:a B La funzione è detta iniettiva se, per ogni a, a appartenenti all insieme A e diversi tra loro, si ha che f(a) f(a ). In altre parole, se a due valori distinti di a corrispondono sempre due valori distinti della funzione. In pratica, una funzione reale di variabile reale è iniettiva nel suo dominio se, comunque fissata una retta parallela all asse delle ascisse, il grafico della funzione intercetta tale retta al più in un punto. Una funzione è detta suriettiva se ogni elemento di B viene assunto come valore della funzione, ovvero se per ogni b appartenente all insieme B esiste un elemento a dell insieme A tale che f(a)=b. In altre parole, se l'immagine di f coincide con l'insieme B. Se la funzione è sia iniettiva che suriettiva allora si dice biiettiva, cioè se ogni elemento di B è immagine di uno ed un solo elemento di A. In tal caso si può dire che esiste una corrispondenza biunivoca fra gli elementi dell'insieme A e gli elementi dell'insieme B e la funzione è invertibile. 3
La funzione inversa di una funzione reale (parte 1) i legge f alla meno Se f : A B è una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e B, si definisce funzione inversa di f la funzione che ad ogni y B fa corrispondere il solo valore di x per cui f(x) = y. La funzione inversa della f(x) si indica con f -1 f -1 : B A Osservazione: Attenzione a non confondere f -1 (y) con f(y) -1 Esempio di svolgimento: Calcolare la funzione inversa della seguente funzione y=2x+3 1 3 (1) Trasformando si ottiene 2x = y 3 x = y 2 2 Diamo quindi la seguente definizione Se f:a B è una corrispondenza biunivoca tra gli insiemi A e B, allora è possibile definire la funzione inversa come quella funzione che ad ogni y appartenente a B fa corrispondere il solo valore di x per cui f(x)=y. La funzione inversa della funzione f(x) si indica con f -1. Il dominio di f -1 è B ed il codominio è A. Attenzione a non confondere f -1 (y) con f(y) -1. Il primo termine f -1 (y) indica la funzione inversa di f(y) invece il secondo f(y) -1 indica la funzione 1/f(y). Facciamo ora un esempio numerico e calcoliamo la funzione inversa della funzione lineare y=2x+3. Sappiamo che per qualunque valore di x si ottiene un solo valore di y e viceversa come si evince anche dal grafico. Per esempio per x=2 si trova che y=7. Ricavando la variabile x in funzione della y si ottiene la funzione inversa x=(1/2)y -3/2. Per disegnare la funzione inversa su un sistema cartesiano bisogna sostituire al posto della x la variabile y e viceversa. 4
In generale il grafico della funzione inversa f -1 è il simmetrico della funzione f(x) rispetto alla bisettrice del I e III quadrante. 5
La funzione inversa di una funzione reale (parte 2) Osserviamo che non tutte le funzioni sono invertibili! f: R R f(x) = x 2 f(1)=1 e f(-1)=1 la funzione non è invertibile Se una funzione non è iniettiva in tutto il dominio ma lo è solo in un suo sottoinsieme, la sua restrizione a quell intervallo è una funzione invertibile. Bisogna notare che non tutte le funzioni sono invertibili. Prendiamo in considerazione ad esempio la funzione y = x 2 rappresentata in figura. Questa funzione non è invertibile perché, come si può evincere dal grafico, ad uno stesso valore della y corrispondono due valori diversi della x. Per esempio il valore y =1 si ottiene sia con x=1 sia con x=-1. In questo caso la funzione non è invertibile poiché essa non è iniettiva. Tuttavia, se invece di considerare la y = x 2 definita su tutto l insieme R consideriamo ad esempio solo l asse positivo delle x, allora la funzione risulta invertibile. In pratica è possibile invertire la restrizione di una funzione ad un intervallo, se la funzione risulta iniettiva in esso. 6
La funzione arcocoseno e arcoseno Le funzioni goniometriche sono definite su tutto l insieme R dei numeri reali, ma non sono iniettive su tale insieme. Esse risultano iniettive se si restringe opportunamente il loro dominio, segue che le funzioni : π π sen, [ 1,1 ] e 2 2 cos :[ 0, π] [ 1,1 ] La funzione inversa di sen(x) è la funzione arcoseno arcsen Ad esempio: π π 2 2 ( x) :[ 1,1], π 2 sen =1 arcsen y = arcsen( x) ( 1) sono invertibili. π = 2 La funzione inversa di cos(x) è la funzione arcocoseno arccos ( x) :[ 1,1] [ 0,π ] y = arccos( x) Ad esempio: cos ( π ) = 1 arccos ( 1) = π Vediamo ora nel dettaglio le funzioni inverse delle funzioni goniometriche. Ricordiamo che le funzioni goniometriche non sono iniettive quindi non sono invertibili. Per poterle rendere funzioni iniettive bisogna fare una restrizione sul dominio, individuando degli intervalli in cui esse risultano iniettive. Quindi, risulteranno invertibili la funzione seno definita nell intervallo [-π/2,π/2] e la funzione coseno definita in [0,π]. La funzione inversa della funzione sen(x) è una funzione definita nell intervallo chiuso [ 1,1] a valori nell intervallo chiuso [-π/2,π/2]. Essa si indica con la scrittura y =arcsen(x) e determina il valore dell angolo il cui seno è x. Ad esempio poiché il seno di π/2 è uguale a 1 allora l'angolo il cui seno è uguale a 1 è π/2 e quindi: arcsen(1) = π/2. La funzione inversa della funzione cos(x) è una funzione definita nell intervallo chiuso [ 1,1] ed ha immagine nell intervallo chiuso [0,π]. Essa si indica con la scrittura y =arccos(x) e determina il valore dell angolo il cui coseno è x. Ad esempio poiché il coseno di π è uguale a -1 allora l'angolo il cui coseno è uguale a -1 è π e quindi: arccos(-1)=π. 7
La funzione arcotangente e arcocotangente π π La funzione tangente ristretta all intervallo aperto ; è biiettiva quindi è invertibile. 2 2 π π L inversa della funzione tg(x) è la funzione arcotangente arctan 2 2 arctan ( 0) = 0 ( x) : R, La funzione cotangente è biiettiva, quindi invertibile, se il suo dominio è ristretto all intervallo aperto ]0,π[. L inversa della funzione ctg(x) è la funzione arccotangente arc cot an ( x) : R ] 0,π [ arc cot an ( 0) π = 2 Vediamo ora il caso particolare della funzione arcotangente e arcocotangente. La funzione tangente ristretta all intervallo aperto (-π/2,π/2) è biiettiva quindi è invertibile. La funzione inversa della funzione tan(x) si indica con la scrittura y=arctan(x), è definita in tutto R ed ha immagine nell intervallo aperto (-π/2,π/2). Essa determina il valore dell angolo la cui tangente è x. Ad esempio 0 è l'angolo la cui tangente è uguale a 0 quindi: arctan(0)=0. La funzione cotangente ristretta all intervallo aperto (0, π) è biiettiva quindi è invertibile. La funzione inversa della funzione cotan(x) si indica con la scrittura y=arccotan(x), è definita in tutto R ed ha immagine nell intervallo aperto (0,π). Essa determina il valore dell angolo la cui cotangente è x. Ad esempio 0 è l'arco la cui cotangente è uguale a π/2 quindi: arccotan(0)=π/2. 8
Funzione composta Siano X, Y e Z dei sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali. Considerate le funzioni f : X Y e g : Y Z, si definisce funzione composta di g con f, e si indica con g f = g(f(x)), l'applicazione da X a Z che trasforma ogni elemento di X in uno di Z. La composizione delle funzioni f e g è possibile solo se f (X) Y. Osserviamo che g f f g Esempio di svolgimento: Determinare la funzione composta g f di y = f(x) = x+1 e z = g(y) = y 2 (1) g f = g (f(x)) = (x+1) 2 Esempio di svolgimento: Determinare la funzione composta f g di y = g(x) = x 2 e z = f(y) = y+1 (1) f g = f (g(x)) = x 2 +1 Siano X, Y e Z dei sottoinsiemi dell insieme R dei numeri reali. Consideriamo due funzioni f e g tali che f: X Y e g: Y Z, allora si definisce funzione composta di g con f la funzione che trasforma ogni elemento di X in uno di Z applicando ad esso prima f e poi g. La funzione composta si indicata con g f si legge g composta con f. Non è sempre possibile comporre due funzioni tra loro. La condizione affinché sia possibile calcolare la funzione composta g f in un punto x 0 (fissato nel dominio di f ) è che il valore f (x 0 ) appartenga anche al dominio di g. Quindi che il codominio f (X ) sia contenuto nell insieme Y, dominio della funzione g. Analogamente si deduce la condizione sufficiente affinché si possa definire la funzione f g. Osserviamo ora, con alcuni esempi, che la composizione di funzioni non è una operazione commutativa per cui g f è diversa da f g Data la funzione y=x+1 e z=y 2 calcoliamo la funzione g f applicando la definizione si ottiene che la g f (x)= (x+1) 2 Ora operiamo con le stesse funzioni ma invertendo la f con la g e viceversa e vediamo cosa accade.applicando la definizione si ottiene che la f g(x) =x 2 +1 9
Rappresentazione grafica delle funzioni composte Siano f e g due funzioni componibili, è possibile tracciare il grafico della funzione composta a partire dai loro grafici disegnati sullo stesso piano cartesiano. Dopo aver tracciato la bisettrice y = x si può ottenere il valore in ogni punto x della funzione composta procedendo in questo modo: si sceglie il punto x 0 e si determina il punto A sul grafico della funzione f si traccia da A la parallela all asse x fino a incontrare la bisettrice nel punto B si determina il punto C sul grafico della funzione g, mediante la retta verticale passante per tale punto si determina il punto cercato intersecando la retta orizzontale passante per C e quella verticale passante per A. Vediamo ora un semplice metodo per tracciare il grafico della funzione composta partendo dai grafici delle funzioni f e g. Siano f e g due funzioni componibili, è possibile tracciare il grafico della funzione composta a partire dai loro grafici disegnati sullo stesso piano cartesiano. Dopo aver tracciato la bisettrice del primo e terzo quadrante y = x si può ottenere il valore in ogni punto x della funzione composta procedendo in questo modo: si sceglie il punto x 0 e si determina sul grafico della funzione f il punto A di ordinata f (x 0 ) si traccia da A la retta parallela all asse x fino a incontrare la bisettrice nel punto B si determina il punto C sul grafico della funzione g Il punto C ha la stessa ordinata della funzione composta g f. Si può quindi tracciare il punto di coordinate x 0 e g (f (x 0 )) appartenente alla funzione composta. 10
Conclusione Funzioni Reali Funzione composta Proprietà biettiva Grafico delle funzioni composte Funzione inversa arcoseno e arcocoseno arcotangente e arcocotangente In questa lezione abbiamo definito le condizioni per determinare la funzione inversa di una generica funzione f. Abbiamo imparato che una funzione f è invertibile solo se gode della proprietà biiettiva. Anche le funzioni non biiettive possono essere invertite, ma come abbiamo visto, è necessario effettuare una opportuna restrizione sul dominio e quindi renderle biiettive in un sottoinsieme. In seguito abbiamo definito e rappresentato le funzioni inverse del seno e del coseno, l arcoseno e l arcocoseno, e le funzioni inverse della tangente e della cotangente, l arcotangente e l arcocotangente. Abbiamo, infine, definito cos è una funzione composta, e abbiamo imparato un metodo per tracciarne il grafico partendo dal grafico delle funzioni che la compongono. 11