Approssimazione polinomiale di funzioni e dati Approssimare una funzione f significa trovare una funzione f di forma più semplice che possa essere usata al posto di f. Questa strategia è utilizzata nell integrazione numerica in cui invece di calcolare b a f (x) dx si calcola b f a (x) dx dove f è, ad esempio, un polinomio. In altri contesti possiamo avere una funzione f nota solo in determinati punti. In questo caso la determinazione di f consentirà di approssimare con una funzione nota esplicitamente l andamento della legge f che ha generato i dati.
Interpolazione polinomiale Date n + 1 coppie di valori {(x i, y i )} n i=0 grado n, Π n P n tale che cerchiamo un polinomio di Π n (x i ) = y i, i = 0,..., n. I punti x i si dicono nodi d interpolazione. Teorema Dati n + 1 nodi distinti x 0,..., x n e i corrispondenti valori y 0,..., y n esiste un unico polinomio Π n P n tale che Π n (x i ) = y i per i = 0,..., n.
Interpolazione polinomiale Dimostrazione Unicità: se ci fossero due polinomi Π n, Π n P n tali che Π n (x i ) = Π n (x i ) = y i allora la differenza Π n Π n P n e ha almeno n + 1 radici diverse perché (Π n Π n )(x i ) = 0 per i = 0,..., n. Dal teorema fondamentale dell algebra segue che Π n Π n 0.
Interpolazione polinomiale Dimostrazione Esistenza: costruiremo il polinomio interpolatore. n Consideriamo i polinomi (di grado n) l i (x) = (ricordiamo che per ipotesi { x i x j se i j.) 1 se i = j Chiaramente l i (x j ) = quindi 0 se i j j=0, j i x x j x i x j Π n (x) = n y i l i (x) i=0 è un polinomio di grado n che interpola i dati {(x i, y i )} n i=0.
Interpolazione polinomiale Un altro modo per costruire il polinomio interpolatore Π(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 è risolvere il sistema lineare di n + 1 equazioni con n + 1 incognite a 0, a 1,..., a n a n x n i + a n 1 x n 1 i + + a 1 x i + a 0 = y i i = 0,..., n. In forma matriciale x0 n x n 1 0... x 0 1 x1 n x1 n 1... x 1 1. xn n xn n 1... x n 1 a n a n 1. a 0 = y 0 y 1. y n
Interpolazione polinomiale La matrice di questo sistema si dice matrice di Vandermonde x 0 x 1 del vettore.. x n Il suo determinante è 0 i<j n (x j x i ) che è diverso da zero se i nodi d interpolazione sono distinti. In generale tende ad essere mal condizionata.
Errore di interpolazione Se i dati sono della forma { (xi, f (x i )) } n i=0 per una funzione f assegnata, allora chiamaremo Π n f il polinomio iterpolatore. Vogliamo adesso stimare f (x) Π n f (x). Teorema Dati n + 1 nodi distinti x 0,..., x n e un altro punto x appartenenti al dominio di definizione di una funzione f. Sia I x il più piccolo intervallo che contiene questi n + 2 punti. Supponiamo che f C n+1 (I x ). Allora esiste un punto ξ I x tale che f (x) Π n f (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! n (x x i ). i=1
Errore di interpolazione Se i nodi sono equispaziati x i = x 0 + ih per i = 0, 1,..., n e x [x 0, x n ] si può dimostrare che n n!hn+1 (x x i ) 4 i=1 quindi per ogni x [x 0, x n ] h n+1 f (x) Π n f (x) max f (n+1) (x) x 0 x x n 4(n + 1). Se stiamo lavorando in un intervallo [a, b] con x 0 = a, x n = b e h = (b a)/n h n+1 lim n 4(n + 1) = 0 ma questo non garantisce che max x [a,b] f (x) Π n f (x) tenda a zero per n.
Controesempio di Runge Si consideri la funzione f (x) = 1 1 + x 2 5 x 5 e il suo polinomio interpolatore in n + 1 nodi equispaziati Π n f (x). Disegnado il grafico della funzione f e dei polinomi interpolatori per diversi valori di n si osserva che per certi punti x [ 5, 5] lim f (x) Π nf (x) 0. n Il fenomeno è più marcato agli estremi dell intervallo. Questo fenomeno è legato alla scelta di nodi equispaziati. Scegliendo opportune distribuzioni dei nodi si può avere convergenza uniforme dei polinomi interpolatori alla funzione.
Controesempio di Runge 1 Interpolazione in nodi equispaziati funzione n=5 n=9 n=13 8 7 Interpolazione in nodi equispaziati funzione n=6 n=10 n=14 0.5 6 5 0 4 3 0.5 2 1 1 0 1.5 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 1 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Grafico di f (x) = 1 1+x 2 e dei polinomi interpolatori di grado 5, 9 e 13 in nodi equispaziati dell intervallo [ 5, 5]. Grafico di f (x) = 1 1+x 2 e dei polinomi interpolatori di grado 6, 10 e 14 in nodi equispaziati dell intervallo [ 5, 5].
Controesempio di Runge Nodi di Chebyshev nell intervallo [ 1, 1] ( ˆx i = cos i π ) i = 0,..., n. n Nodi di Chebyshev nell intervallo [a, b] x i = a + b 2 + b a ˆx i. 2 Interpolando nei nodi di Chebyshev, se f è continua ( ) lim max f (x) Π nf (x) = 0. n x [a,b]
Controesempio di Runge 1 0.9 Interpolazione nei nodi di Chebyshev funzione n=5 n=9 n=13 1.2 1 Interpolazione nei nodi di Chebyshev funzione n=6 n=10 n=14 0.8 0.7 0.8 0.6 0.6 0.5 0.4 0.4 0.3 0.2 0.2 0 0.1 0 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 0.2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Grafico di f (x) = 1 1+x 2 e dei polinomi interpolatori di grado 5, 9 e 13 nei nodi di Chebyshev dell intervallo [ 5, 5]. Grafico di f (x) = 1 1+x 2 e dei polinomi interpolatori di grado 6, 10 e 14 nei nodi di Chebyshev dell intervallo [ 5, 5].