ELEMENTI DI SICUREZZA STRUTTURALE 1. Introduzione Il problema della sicurezza strutturale si presenta in ogni operazione di analisi e di progettazione delle opere dell Ingegneria Civile, e ne costituisce la parte fondamentale. - Tutte le scelte fatte dagli ingegneri discendono, più o meno esplicitamente, da considerazioni sulla sicurezza. - È necessario che gli ingegneri abbiano piena consapevolezza delle motivazioni e delle conseguenze di tali scelte, opportunamente codificate nelle normative di riferimento. - In particolare, è possibile eseguire l analisi ed il progetto di una struttura utilizzando diversi metodi, a cui possono essere associati diversi livelli di sicurezza. Il principale obiettivo di un ingegnere civile è quello di realizzare strutture affidabili, ovvero strutture che possano svolgere le funzioni per cui sono state ideate, progettate e costruite, e ciò in un determinato periodo di tempo ( vita utile ), e sotto prefissate condizioni di carico.
Le incertezze nella predizione dei carichi e delle caratteristiche dei materiali fanno sì che non si possa mai essere certi (in modo deterministico ) che una certa struttura sia sicura. Occorre confrontare le sollecitazioni S, legate ai carichi applicati alla struttura, con le resistenze R, legate alle caratteristiche dei materiali impiegati. Si definisce affidabilità, o probabilità di successo, la probabilità che la sollecitazione non superi la corrispondente resistenza: P S =A=P[S R] Il complemento ad uno è la probabilità di crisi: P C =1-P S = P[S>R]
2. Definizione probabilistica della resistenza Il primo passo per valutare la sicurezza di una struttura è quello di caratterizzare probabilisticamente la resistenza dei materiali impiegati. In Ingegneria delle Strutture per resistenza R si intende la capacità di far fronte ad una determinata sollecitazione S: ad esempio, il momento resistente di una sezione inflessa. La resistenza in un elemento strutturale è legata alle resistenze dei materiali utilizzati, che vanno determinate sperimentalmente mediante prove di laboratorio. Nel caso di materiali duttili si utilizzano prove a trazione. Nel caso di materiali fragili prove a compressione. Materiali Duttili σ Materiali Fragili σ σ 0 ε σ T ε σ 0 σ C In S.d.C. si opera nell ipotesi di comportamento elastico-lineare.
Si supponga, ad esempio, di prelevare presso una ferriera 120 barre di acciaio, e di sottoporre ciascuna di esse ad una prova di trazione, rilevando la tensione di snervamento σ y. I dati degli esperimenti (in N/mm 2 ) sono i seguenti: 397 373 397 427 433 387 430 396 460 423 390 368 392 369 395 418 404 428 345 414 403 407 407 394 377 407 384 383 369 399 379 371 370 410 405 398 392 335 384 374 381 399 408 429 392 414 390 425 425 376 394 390 394 405 418 402 417 392 415 407 405 418 376 415 398 395 414 444 377 424 414 388 345 404 402 413 433 426 411 437 411 421 416 419 410 397 394 355 398 409 343 388 415 389 381 377 383 409 381 411 391 421 406 425 434 438 405 402 419 432 394 408 424 379 403 389 418 398 410 420 σ y 460 440 420 400 380 360 340 0 20 40 60 80 100 120 i
Gli esperimenti hanno fornito valori compresi nell intervallo [335, 460]. Questi ultimi sono stati suddivisi in 15 intervalli di ampiezza costante, in modo da valutarne la frequenza, ossia il numero di risultati che ricadono in ciascun intervallo. Usualmente la frequenza viene rappresentata attraverso un istogramma come quello in figura. 20 frequenza 15 10 5 0 340 360 380 400 420 440 460 r
Nelle applicazioni pratiche si assume che i risultati di una campagna sperimentale possano essere approssimate dalla distribuzione gaussiana (o normale ). Quest ultima è definita dalla seguente funzione densità di probabilità: 1 1 r µ pr () r = exp 2πσ 2 σ R R R 2 dove µ R èil valor medio (indice di posizione ) e σ R èla deviazione standard (indice di dispersione ). Tali quantità, quando si hanno a disposizione n risultati sperimentali, si valutano come: n n 1 (i) 1 R = R = R n i= 1 n 1 i= 1 (i) ( ) µ r ; σ r µ 2 essendo r (i) l i-esimo risultato sperimentale, e n il numero di campioni disponibili.
Il grafico della funzione densità di probabilità, per definizione, sottende un area unitaria. Scalando opportunamente l istogramma che rappresenta la frequenza dei risultati sperimentali, è possibile verificare l accordo con la distribuzione gaussiana. 0.02 0.015 pr 0.01 0.005 0 340 360 380 400 420 440 460 r
All aumentare del numero dei campioni, aumenta l accuratezza della descrizione statistica della variabile aleatoria. In figura è mostrato il confronto nel caso di 300 campioni. 0.02 0.015 pr 0.01 0.005 0 340 360 380 400 r 420 440 460
Si definisce valore caratteristico della resistenza R, e si indica con R k, quel valore della resistenza che ha la probabilità del 5% di essere minorato. p(r) R R = µ κσ k R R P[R < R k] = 0.05 Rk r Statisticamente, in altre parole, ci sono 5 campioni ogni 100 che presentano un valore della resistenza minore di quello caratteristico. Nel caso di distribuzione gaussiana, il valore caratteristico si può valutare come: R = µ κσ k R R con κ= 1.645 (solo la distribuzione gaussiana). Questo valore deve essere opportunamente incrementato se il numero di campioni disponibili non consente una stima accurata di valor medio e deviazione standard.
3. Definizione probabilistica della sollecitazione In Ingegneria delle Strutture per sollecitazione S si intende una generica quantità significativa della risposta strutturale: ad esempio, sforzo normale taglio e momento flettente in una sezione di una trave; le componenti di tensione in un punto; gli spostamenti di un nodo; etc. Le sollecitazioni sono gli effetti delle azioni A sulla struttura. In generale le azioni A sono variabili aleatorie, in quanto non si possono prevedere con certezza. Nell Ingegneria Civile le azioni si possono distinguere in: - Azioni permanenti: che hanno variazioni nel tempo piccole e rare. Ad esempio, in un edificio il peso proprio degli elementi strutturali, ed i cosiddetti carichi permanenti, rappresentanti da chiusure verticali, tramezzi, pavimenti, intonaci, etc. - Azioni variabili: che hanno variazioni nel tempo frequenti. Ad esempio, in un edificio, i cosiddetti sovraccarichi accidentali, rappresentati dal mobilio in un appartamento, dal peso dei veicoli in un autorimessa, il peso del materiale stoccato in un deposito, etc. - Azioni accidentali: che hanno un elevato periodo di ritorno, cioè si ripresentano dopo lungo tempo. Ad esempio, il sisma.
Per ciascuna azione A si determina il valore caratteristico A k, tipicamente quel valore dell azione che ha il 5% di probabilità di essere maggiorato. Quindi si valuta il valore di progetto A d ( design = progetto), come combinazione lineare di azioni permanenti, variabili ed accidentali, tenendo conto della probabilità che le diverse azioni agiscano contemporaneamente sulla struttura. Le normative forniscono direttamente i valori caratteristici delle azioni ed i coefficienti da utilizzare nelle combinazioni di carico. Una volta nota l azione di progetto, si calcolano le sollecitazioni di progetto S d secondo i metodi dell Analisi Strutturale ; queste vanno confrontate con le corrispondenti resistenze di progetto R d : R d Rk = γ dove γ 1 è un coefficiente di sicurezza che può variare a seconda della tipologia strutturale, del metodo di analisi, delle conseguenze più o meno gravi di una crisi della struttura, etc.
La verifica di sicurezza è positiva se risulta R d S d p(r) R R = d R k 1.15 R k r S d La figura mostra che, sebbene molto piccola, esiste la probabilità che la sollecitazione superi la resistenza.
4. Verifiche di resistenza 4.1 Metodo delle tensioni ammissibili Le sollecitazioni (tensioni) prodotte nella struttura dalle azioni applicate, ipotizzando che gli elementi strutturali permangano in campo elastico-lineare per qualunque livello delle azioni. Le sollecitazioni così determinate devono risultare in ogni punto della struttura non maggiori dei corrispondenti valori ammissibili, S am, ricavate dalle resistenze caratteristiche dei materiali attraverso un opportuno coefficiente di sicurezza γ am : S S = Di solito il confronto si opera in termini di tensione: am R γ k am σ id σ = am σ γ 0 am dove σ id è la tensione ideale e σ 0 è la tensione di snervamento (per materiali duttili) o di rottura (per materiali fragili).
La condizione σ id σ am deve essere verificata in ogni punto della struttura. Nella pratica le verifiche sono eseguite solo nei punti maggiormente sollecitati. ( σ ) σam A questo metodo storico possono muoversi le seguenti critiche: id max - I coef. di sicurezza sono elevati Psicologicamente pericoloso, in quanto i progettisti possono avere la sensazione di disporre di margini molto ampi - E un metodo deterministico Tutte le incertezze sono tenute in conto dai coef. di sicurezza. - Si esegue un unica verifica di sicurezza Più correttamente bisognerebbe considerare la pericolosità delle varie azioni agenti sulla struttura. - Il comportamento della struttura è elastico-lineare fino alla crisi Si trascurano tutte le non linearità (ad esempio, le cerniere plastiche, la cui formazione può completamente modificare la distribuzione delle sollecitazioni).
Infine, si vuole sottolineare che non risulta a priori ragionevole: -scartarela struttura se la verifica locale non è soddisfatta: pur operando a favore di sicurezza, infatti, si devono sostenere costi maggiori dovuti a rinforzi e a sottostrutture integrative; - ovvero, accettare la struttura se soddisfatta: così facendo, infatti, si può operare a sfavore di sicurezza in quanto è possibile riscontrare comportamenti del sistema strutturale in disaccordo con le ipotesi del metodo. La trave della struttura in figura, ad esempio, raggiunto il momento al limite elastico (M e ) ha comunque ancora una riserva di resistenza dovuta alla diffusione della plasticità all'interno della sezione fino al raggiungimento del momento di completa plasticizzazione della sezione M pl. Di contro, la colonna, raggiunto il carico limite ammesso dal metodo di calcolo, non ha ulteriori risorse. Con una progettazione basata sul metodo delle tensioni ammissibili, pur essendo implicitamente uguale il coef. di sicurezza, il livello di sicurezza associato ai due differenti elementi strutturali è diverso.
4.2 Metodo semi-probabilistico agli stati limite La misura della sicurezza di una struttura deve essere valutata prendendo in esame tutti gli aspetti del suo comportamento ed utilizzando per ciascuno di essi un metodo di analisi che tenga conto di tutte le variabili in gioco e di tutte le fonti di incertezza. Alla prima esigenza si fa fronte istituendo un elenco degli stati limite. Alla seconda organizzando la misura della sicurezza, per quanto possibile, sulla base di criteri probabilistici. Il metodo che ne deriva è comunemente detto semi-probabilistico agli stati limite.
E semi-probabilistico in quanto, al contrario di un metodo probabilistico esatto non si confrontano le funzioni densità di probabilità della resistenza R e della sollecitazione S. Nella figura di destra è riportata la densità di probabilità del margine di sicurezza Z=R-S. p(r) R p(z) Z p(s) S P c r, s z= r s Un tale confronto, infatti, non solo risulta computazionalmente molto oneroso, ma richiederebbe un numero campioni molto elevato per definire con grande precisione le statistiche delle variabili aleatorie R ed S.
Nel metodo semi-probabilistico agli stati limite, per ciascuno stato limite, si definiscono il valore di progetto della resistenza, R d =R k /γ r, ed i valori caratteristici delle azioni, A k ; da queste, mediante combinazioni di carico che dipendono dalla tipologia strutturale, dalla destinazione d uso, dal particolare stato limite, etc., si risale al valore di progetto della sollecitazione. La verifica è positiva allorquando R d S d. Ad esempio si possono avere: - Lo stato limite elastico, quando si forma la prima cerniera plastica. - Lo stato limite di collasso, quando la formazione delle cerniere plastiche trasforma la struttura in un cinematismo. - Lo stato limite di esercizio, quando le deformazioni risultano eccessive per la l ordinaria fruizione della costruzione.
P q Formazione della prima cerniera plastica Stato limite elastico Trasformazione della struttura in un cinematismo Deformazioni eccessive Stato limite di collasso Stato limite di esercizio
5. Verifica e progetto delle travi in campo elastico Nell ambito del corso di Scienza delle Costruzioni si fa l ipotesi che i materiali che compongono la struttura abbiano un comportamento elastico lineare Inoltre, le azioni sulle strutture vengono assegnate senza ricavarle da situazioni reali o dalle prescrizioni normative Ciò comporta che nel caso di S.d.C., ai fini didattici, le verifiche saranno eseguite applicando il metodo storico delle tensioni ammissibili. Bisogna avere chiaro però che nel momento in cui gli elementi strutturali da progettare sono dei modelli matematici che schematizzano la realtà fisica è necessario eseguire le verifiche col metodo semiprobabilistico agli statilimite Il metodo alle tensioni ammissibili, nell ambito delle ipotesi esposte in precedenza, è in grado di predire in modo opportuno, nel processo di verifica, con quale margine di sicurezza una trave elastica è in grado di sopportare le azioni in campo elastico e consente anche nella fase di progetto, di dimensionare la sezione trasversale della trave in modo tale che essa sia in grado di resistere ai carichi previsti.
Verifica e progetto delle travi in campo elastico Si noti che le fasi successive dell analisi e verifica elastica della struttura possono riassumersi nei seguenti passi fondamentali: 1) Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione, risolvendo delle strutture isostatiche o iperstatiche 2) Individuazione nella struttura delle sezioni più sollecitate dall esame dei diagrammi delle caratteristiche della sollecitazione 3) Calcolo nelle sezioni più sollecitate delle tensioni normali e tangenziali 4) Individuazione dei punti della sezione più sollecitati 5) Applicazione del criterio di verifica che si ritiene più adeguato (tensioni ammissibili, semiprobabilistico agli stati limite)
La verifica strutturale col metodo delle tensioni ammissibili b q z x h sezione assegnata y l y T = max ql 2 ql Ty ( z) = qz 2 Ty T max 3T τ y max = 2bh Tresca σ = 2τ σ id max amm l ql 2 x y Huber Von Mises σ = τ σ id max 3 amm ql qz Mx( z) = z 2 2 l ql M max = 8 Passi 1 e 2: Calcolo delle caratteristiche della sollecitazione ed individuazione delle sezioni maggiormente sollecitate 2 2 x Mx M max y 6M x min 2 σ = bh 6M x max 2 σ = Passi 3 e 4: Calcolo delle tensioni normali e tangenziali ed individuazioni dei punti maggiormente sollecitati bh σ = σ σ id σ γ = σ max amm id Passo 5: Verifica amm
Progetto delle travi in campo elastico Il problema del progetto o dimensionamento è un problema inverso rispetto a quello della verifica: noti i carichi attesi, le luci da coprire e i vincoli da utilizzare occorre dimensionare la sezione traversale della trave Il problema non ha soluzione unica: diverse sezioni possono sopportare in campo elastico gli sforzi indotti dai carichi Il dimensionamento o progettazione degli elementi strutturali può eseguirsi in modo diretto per strutture isostatiche per le quali le caratteristiche della sollecitazione non dipendono dalle dimensioni delle sezioni trasversali σ max M x,max x = σamm; W = Wmin = W ymax I M σ x,max amm Modulo di resistenza elastica Dalle tabelle si sceglie la sezione La progettazione di strutture iperstatiche in generale deve essere eseguita in modo indiretto, effettuando dapprima un predimensionamento di massima ed effettuando successivamente la verifica
Progetto delle travi in campo elastico e predimensionamento di massima Sistema iperstatico Schemi per il predimensionamento
6. Verifica a carico critico euleriano Comportamento tipico di elementi lunghi e sottili che lavorano a compressione Coll aumento del carico di compressione si raggiunge un valore al quale l elemento sottile invece di limitarsi ad accorciarsi, si inflette bruscamente ed in genere si spezza Questo valore è detto carico critico di punta dell elemento e costituisce un fattore fondamentale di cui va tenuto conto nella progettazione Il valore del carico di compressione sotto il quale un pilastro sottile si ingobba può corrispondere a sollecitazioni inferiori di sicurezza determinati in base alla normale resistenza a compressione
Verifica a carico critico euleriano Il carico critico di un pilastro dipende dal materiale dal quale questo è costituito, dalla sua lunghezza, dalla forma della sezione e dai vincoli ai suoi estremi Il carico critico è proporzionale al modulo di elasticità del materiale: un montante di acciaio ha una resistenza al carico di punta tre volte superiore a quella di un montante in alluminio delle stesse dimensioni Il carico critico è inversamente proporzionale al quadrato della lunghezza dell elemento Profilati in cui la massa del materiale è disposta a distanza relativamente grande dall asse longitudinale (scatolari, H) sono i più adatti a resistere all ingobbamento Il carico critico di punta aumenta coll aumentare del grado di vincolo all estremità dell elemento compresso: il carico critico di un pilastro incastrato solo alla base è inferiore a quello del pilastro incastrato e appoggiato all altra estremità
Verifica a carico critico euleriano Il carico critico o carico critico di Eulero risulta pressione critica di Eulero N c = π EI 2 min 2 l0 lunghezza libera di inflessione l = α l 0 α: funzione delle condizioni di vincolo c 2 2 Nc 2 EI 2 ρ π E E 2 2 2 A l0a l0 λ σ = = π = π = snellezza snervamento verifica a carico di punta σ max σ amm ωλ ( ) coefficiente >1 tabellato
Verifica a carico critico euleriano l0 = l l0 = l/2 l 0 = 2 l l0 = l l0 l/ 2 l 0 = 2 l
Si sa solo quando si sa poco: con il sapere aumenta l incertezza. Johann Wolgang Goethe (1749-1832)