Risoluzione algebrica dei problemi geometrici La risoluzione algebrica di un problema geometrico avviene in generale secondo i seguenti passi: 1 passo: Leggere attentamente il testo, cercando di capire bene come rappresentarlo attraverso una costruzione geometrica e scrivere i dati del problema. 2 passo: Accertarsi di conoscere tutte le proprietà delle figure geometriche coinvolte (se, ad esempio, il problema riguarda un parallelogramma, occorre conoscere tutte le sue proprietà) e tutte le espressioni metriche dei teoremi fondamentali. 3 passo: Tracciare una figura seguendo le indicazioni del testo del problema, segnando sulla figura stessa tutti gli elementi che per ipotesi sono congruenti e scrivendo le misure note accanto agli elementi cui si riferiscono (ad esempio la misura di un lato o di un angolo). La figura deve essere generica, per evitare errori nella risoluzione (se, ad esempio, il problema riguarda un triangolo qualsiasi, occorre evitare di rappresentare un triangolo isoscele). 4 passo: Scegliere un incognita (o più incognite) e indicarla sulla figura. 5 passo: Tradurre l enunciato del problema nel linguaggio algebrico, scrivendo un equazione (o un sistema di equazioni) che esprimano una relazione (o più relazioni) fra i dati del problema e l incognita (o le incognite). 6 passo: Risolvere l equazione (o il sistema di equazioni). 7 passo:discutere il problema per stabilire se le soluzioni trovate sono accettabili (ad esempio, se l incognita è un angolo di un triangolo qualunque, la sua misura deve essere minore di 180 ). Nei problemi più semplici l equazione risolvente è già espressa in forma algebrica (ad esempio trovare il punto P, in modo che AP+AC+CB=2a). Per risolvere questo tipo di problemi si devono determinare, in funzione dell incognita scelta, tutti gli elementi presenti nell equazione risolvente che non sono già noti. Per esprimere un elemento in funzione dell incognita si deve individuare la relazione che intercorre tra l incognita e l elemento. Tale relazione può essere algebrica (ad esempio, se l incognita è AC=x e AB è uguale al triplo di AC aumentato di 2 AB=3AC+2=3x+2) o può essere geometrica (ad esempio, se l incognita è AB=x e AC=2, inoltre, il triangolo ABC è rettangolo in A, si può applicare il teorema di Pitagora e dedurre che BC 2 =AB 2 +AC 2 =x 2 +4).
Esempio Dato il quadrato ABCD, prolungare la diagonale AC dalla parte di A di un segmento AP=a. Determinare il lato del quadrato in modo che sia verificata la relazione PC 2 +PB 2 +PD 2 = 51a 2. Risoluzione 1-4 passo: PC 2 +PB 2 +PD 2 = 51a 2 AP=a AB=x (equazione risolvente) 5 passo: Per risolvere il problema si devono determinare PC, PB e PD in funzione di x. PC=PA+AC=a+ 2 x (ricordando che la diagonale di un quadrato è uguale al lato per 2 ); Per determinare PB e PD, si può tracciare la diagonale DB. In tal modo, detto O il punto di incontro delle diagonali e ricordando che le diagonali di un quadrato sono uguali e si dimezzano scambievolmente, si ha che: 6 passo: DO=OB=AO=OC=x 2 2. I triangoli POD e POB sono uguali e rettangoli, dunque applicando il teorema di Pitagora si ha: PB 2 =PD 2 =OP 2 +OD 2 =(a+x 2 2 )2 +( x 2 2 )2 Sostituendo le espressioni di PC, PB e PD nell equazione risolvente si ha: PC 2 +PB 2 +PD 2 = 51a 2 (a+ 2 x) 2 +2(a+x 2 2 )2 +2(x 2 2 )2 =51a 2 (a+ 2 x) 2 +2(a+x 2 2 )2 +2(x 2 2 )2 =51a 2 a 2 +2x 2 +2 2 ax+2a 2 +x 2 +2 2 ax+x 2 =51a 2
2± 50 4x 2 +4 2 ax-48a 2 =0 x 2 + 2 ax-12a 2 =0 x= 2 x= 3 2 a e x=2 2 a a= 2± 5 2 2 a 7 passo: La soluzione x= 3 2 non è accettabile, perché la misura di un segmento non può essere negativa. Dunque il problema ammette come unica soluzione AB=2 2 a. Nei problemi più complessi l equazione risolvente è da determinare. Per individuare l equazione risolvente è sufficiente individuare una relazione tra gli elementi coinvolti nel problema, dopo averli espressi in funzione dell incognita (ad esempio, il triangolo ABC è rettangolo in A, inoltre AC=4x, BC=3x e AB=2x+1. Per il teorema di Pitagora si ha (5x+1) 2 = (4x) 2 +(3x) 2, che rappresenta l equazione risolvente). Oppure si può cercare di esprimere la stessa quantità in due modi diversi, in funzione dell incognita (ad esempio, applicando il teorema di Pitagora al triangolo ABC si ottiene che AC=4x+1, invece applicando il primo teorema di Euclide si ottiene AC=6x-3, dunque l equazione risolvente è 4x+1=6x-3). Esempio Un trapezio isoscele ABCD, di cui AB è la base maggiore, è circoscrivibile a un cerchio. Il trapezio ABCD è inscritto in una semicirconferenza di diametro AB=2r. Determinare la base minore CD =2x, il lato BC e il raggio del cerchio inscritto nel trapezio. Risoluzione 1-4 passo: AB=2r (per simmetria AH=HB=r) CD =2x (per simmetria DL=LC=x) BC=? OH=? 5 passo: Per risolvere il problema innanzitutto si devono determinare BC e OH in funzione di x. Ricordando che i segmenti di tangente condotti da un punto esterno a una circonferenza sono congruenti si ha che: AH=AN=r=KB=BM ND=DL=x=LC=CM
Pertanto: BC=BM+CM=r+x Osservando la figura, è evidente che CK=LH e OH= 1 2 LH. Poiché il triangolo CKB è rettangolo in K, per il teorema di Pitagora si ha: CK 2 =CB 2 -KB 2 Dal momento che: KB=HB-HK=r-x (perché HK=LC=x) si ha che: CK 2 =CB 2 -KB 2 = (r+x) 2 -(r-x) 2 =4rx CK=2 rx OH= rx A questo punto tutti gli elementi della figura sono stati espressi in funzione di x, quindi occorre determinare l equazione risolvente. Tracciata la diagonale AC, si ha che il triangolo ACB è rettangolo, in quanto inscritto in una semicirconferenza. Di esso sono noti, in funzione di x, il cateto CB, l ipotenusa AB e l altezza CK. A tale triangolo si possono dunque applicare il primo e il secondo teorema di Euclide. Se si sceglie di applicare il primo teorema di Euclide si ha: CB 2 =KB AB CB 2 =(r+x)2r Ma CB=BM+CM=r+x, dunque CB 2 =(r+x) 2 Eguagliando le due espressioni di CB 2 si ha: (r+x) 2 =(r-x)2r x 2 +4rx-r 2 =0 6 passo: x 2 +4rx-r 2 =0 x=-2r± 5 r Se si sceglie di applicare il secondo teorema di Euclide si ha: CK 2 =KB AK Sostituendo a CK, KB e AK le loro espressioni in funzione di x si ha: 4rx=(r-x)(r+x) x 2 +4rx-r 2 =0 x=-2r 5 ± r Ovviamente le soluzioni trovate con i due teoremi sono uguali! 7 passo: La soluzione x=-2r- 5 r non è accettabile, perché la misura di un segmento non può essere negativa. Dunque x=(-2+ 5 )r e il problema ammette come unica soluzione: 2 CD=2x=2(-2+ 5 )r, BC=(-1+ 5 )r, OH= r ( ) 2+ 5 = r 2+ 5.
Problemi 1. Nel triangolo ABC, isoscele sulla base AB, sia AH l altezza relativa al lato CB. Determinare CH e HB sapendo che AB e il lato AC sono rispettivamente lunghi 6a e 5a. Determinare, inoltre, sul prolungamento di AH, dalla parte di H, un punto P in modo che sia verificata la relazione PB² = 2/5 PA². (CH = 7/5 a; HB = 18/5 a; PH = 6/5 a, 26/5 a) 2. E data una semicirconferenza di centro O e diametro AB = 2r. Determinare sul segmento AB un punto P in modo che, detto C il punto di incontro della perpendicolare, condotta da P ad AB, con la semicirconferenza, sia verificata la seguente relazione: 2AC 2 + 5CP 2 +CB 2 = 8r 2. (AP=2r,2/5r) 3. L area di un triangolo equilatero è di 64 3 cm 2. Si prolunghi ogni lato, nello stesso senso, di un segmento uguale alla quarta parte del lato stesso. Si congiungano gli estremi di tali segmenti e, dopo aver dimostrato che il triangolo così ottenuto è ancora equilatero, determinarne perimetro e area. (2p=12 31 cm; Area=124 3 cm 2 ) 4. Nel trapezio rettangolo ABCD la proiezione HB del lato obliquo CB sulla base maggiore AB misura a ed è congruente all altezza. Determinare la misura della base minore sapendo che è verificata la relazione (CA 2 +AB 2 )/CD 2 =37/8. (CD=4/3a) 5. Determinare sui lati AB, BC, CD e DA del quadrato ABCD, di area 25a 2, i punti M, N, P, Q in modo che i segmenti AM, BN, CP, DQ siano rispettivamente proporzionali a 1, 2, 3, 4 e l area del quadrilatero MNPQ sia 12a 2. (AM=a, 13/12a) 6. Dividere un segmento a in due parti tali che la differenza dei loro quadrati sia d 2. ((a 2 +d 2 )/2a, (a 2 -d 2 )/2a) 7. In un rettangolo ABCD si ha AB=5a e AD=2a. Determinare un punto R su AD e un punto S su AB in modo che sia DR= 1 2 RS=1 4 SB. (DR=a(22-107 )/13) 8. Determinare i cateti AC e BC di un triangolo rettangolo ABC, sapendo che un cateto differisce dall altro di ( 3+ 1) a e che la differenza tra il doppio del
quadrato dell ipotenusa e il quadrato della somma dei cateti è equivalente all area del triangolo. (( 3 1) + a, 2( 3 1) + a) 9. Due corde parallele di una circonferenza misurano rispettivamente 126 cm e 112 cm, e stanno da una stessa parte rispetto al centro. Sapendo che la loro distanza è di 17 cm calcolare le misure delle loro distanze dal centro e la misura del raggio della circonferenza. (33 cm, 16 cm, 65 cm) 10. Calcolare la misura del lato del quadrato inscritto in un triangolo avente la base di 80 cm e l altezza di 45 cm (28,8 cm) 11. La base di un triangolo isoscele è i 3/2 dell altezza e il perimetro misura 64 dm. Dal centro della circonferenza inscritta nel triangolo si conduca la parallela alla base. Calcolare l area dei due poligoni in cui il triangolo dato risulta diviso dalla parallela. (75 dm 2, 117 dm 2 ) 12. Nella circonferenza di centro O e raggio r e data la corda AB, lato del quadrato inscritto. Si conduca per B la retta t perpendicolare ad AB e sia H la proiezione ortogonale di O su t. Preso un punto P su t nel semipiano, di origine AB, non contenente il centro O, si determini la lunghezza di PB in modo che il quadrato costruito sul segmento AP sia equivalente a 8/9 del quadrato costruito sul segmento PH. ( r 2,7r 2 ) 13. Sui lati dell angolo MON di 120 sono dati i segmenti OA = a su OM e OB = 2a su ON. Si prenda sulla bisettrice dell angolo MON un punto P e si determini la sua distanza da O in modo che sia verificata la relazione PO²+PA²=7/4 PB². (PO = 2a) 14. Sia data una circonferenza di raggio r e sia t una retta a essa tangente. A quale distanza dalla retta t si deve tracciare una corda PQ della circonferenza, parallela alla retta t stessa, affinché, dette R ed S le proiezioni ortogonali di P e Q su t, il rettangolo PQSR abbia perimetro 6r? (r, 9/5r) 15. Calcola il perimetro e l area di un triangolo rettangolo ABC, sapendo che la somma delle proiezioni (BH+CH) dei cateti sull ipotenusa BC è di 25 cm e che la differenza delle proiezioni (BH-CH) dei cateti sull ipotenusa è di 7 cm. (60 cm, 150 cm 2 )