PROPOSIZIONI 33 E 34 SULLA SFERA E IL CILINDRO

PROPOSIZIONI 33 E 34 SULLA SFERA E IL CILINDRO Molte e mirabili furono le scoperte che egli fece; ma sulla tomba pregò, si dice, gli amici e i parenti di mettergli, dopo morto, un cilindro con dentro una sfera, e quale iscrizione la proporzione dell'eccedenza del solido contenente rispetto al contenuto Plutarco (Vite Parallele Marcello Cap. XVII, Par. 12) La parte più interessante dell intero libro Sulla sfera e il cilindro è rappresentata dalle Proposizioni 33 e 34 e dal loro corollario, punto d arrivo dell intero Libro I. Infatti Archimede per riuscire a determinare la superficie e il volume di una sfera, come vedremo analizzando tali proposizioni, deve ricorrere ai numerosi postulati, lemmi e teoremi precedentemente dimostrati proprio nella prima parte del Libro I, a partire dalle proprietà già dimostrate del cerchio e utilizzando in modo eccellente le proprietà delle figure in esame. Archimede, come ci fa sapere nel Metodo, aveva già intuito i risultati, partendo dalla conoscenza, ottenuta sempre in modo intuitivo, del volume della sfera. Infatti nella Misura del cerchio aveva già dimostrato (Prop 1) che la superficie di un cerchio è equivalente a quella di un triangolo rettangolo avente come cateti la lunghezza della circonferenza rettificata e il raggio; generalizzando il ragionamento aveva probabilmente dedotto che il volume della sfera è equivalente a quella di un cono avente per base un cerchio la cui superficie è equivalente a quella della sfera (come la lunghezza della circonferenza diventa un cateto del triangolo equivalente, così la superficie sferica diventa la base del cono equivalente) e per altezza il raggio della sfera. Quindi il problema di determinare il volume V della sfera è ricondotto a quello di determinare la superficie S della sfera, pensandola equivalente ad un cono di superficie quadrupla a quella del cerchio di raggio massimo. L intuizione è corretta, ma per dimostrarla Archimede deve sfruttare tutte le preposizioni che precedono le proposizioni 33 e 34 del Libro I. La rigorosa dimostrazione viene fatta utilizzando il metodo di esaustione, ragionando per assurdo sulle figure ottenute ruotando i poligoni inscritti e circoscritti al cerchio massimo della sfera. Ancora una volta si può

constatare come il metodo di esaustione non abbia un valore euristico, cioè non possa essere utilizzato per trovare un risultato, ma solo per dimostrare l esattezza di un risultato già noto. Quest opera, insieme con la Misura del Cerchio è stata una delle opere di Archimede più studiate, sia perché molto articolata, e quindi risultava difficile comprendere quale strada avesse condotto il matematico siracusano a determinare i suoi risultati, sia per gli importanti risultati in essa contenuti, relativamente a figure ben note della geometria piana e solida. Analizziamo le dimostrazioni fatte da Archimede seguendo i suoi passaggi, anche se utilizzeremo il linguaggio e il simbolismo moderni sia nell esporli che nel giustificare alcune affermazioni. Proposizione 33: La superficie di ogni sfera è quadrupla del suo circolo massimo In seguito, essendomi imbattuto in teoremi degni di considerazione, composi le loro dimostrazioni. Sono questi: dapprima che la superficie di ogni sfera è quadrupla del suo circolo massimo (Prima lettera a Dositeo,3) Espressa con il moderno simbolismo, la proposizione ci dice che: Dimostrazione: Dovendo dimostrare che la superficie di una sfera di raggio r è quadrupla di quella del cerchio di raggio massimo, cioè del cerchio di raggio r, Archimede considera una sfera di superficie S e un cerchio la cui superficie C sia quadrupla di quella del cerchio di raggio massimo (ossia ) e dimostra che S=C, procedendo con la reductio ad absurdum ipotizzando prima che C<S e poi C>S. Let C be a circle equal to four times the great circle. Then, if C is not equal to the surface of the sphere, it must either be less or greater therefore, since it is neither greater or less, C is equal to the surface of the sphere ( cit. The works of Archimedes, T.L. Heath) IPOTESI 1: supponiamo che la superficie del cerchio C sia minore della superficie S della sfera, C<S (disegno tratto da The works of Archimedes, T.L. Heath) Nella Proposizioni 2 del Libro I Archimede dimostra che: Date due grandezze diseguali, è possibile trovare due rette diseguali tale che la retta maggiore abbia rispetto alla minore rapporto minore di quello che la grandezza maggiore ha rispetto alla grandezza minore. Avendo perciò le due grandezze S e C, con S>C per ipotesi, per la Prop.2 è possibile prendere due(segmenti di) rette diseguali β e γ, con β>γ in modo che il loro rapporto sia minore del rapporto tra al superficie S della sfera e la superficie C del cerchio considerato:. Consideriamo poi un segmento di retta δ medio proporzionale tra β e γ; risulta: e

Nella Proposizioni 3 del Libro I Archimede dimostra che: Date due grandezze diseguali e un cerchio, è possibile inscrivere nel cerchio un poligono, e circoscriverne un altro, in modo che il lato del poligono circoscritto abbia, rispetto al lato del poligono inscritto, rapporto minore di quello della grandezza maggiore alla minore. Consideriamo allora un piano secante la sfera e passante per il suo centro; esso individuerà un cerchio massimo, di raggio r. Circoscriviamo e inscriviamo in tale cerchio due poligoni simili, cioè con lo stesso numero di lati, in modo tale che (per la Prop.3) il rapporto tra il lato L del poligono circoscritto e il lato l del poligono inscritto risulti minore del rapporto β/δ: Se facciamo ruotare attorno al diametro del cerchio i suddetti poligoni regolari, si ottengono due figure solide (formate da due coni e da un certo numero di tronchi di cono) rispettivamente circoscritta e inscritta nella sfera di superficie F e F rispettivamente. Al crescere del numero dei lati dei poligoni, le superfici F e F variano, e quindi varia anche il loro rapporto. Nella Proposizioni 32 del Libro I Archimede dimostra che: Se in una sfera è inscritta una figura ed un altra è circoscritta, costruite nello stesso modo delle proporzioni precedenti [a partire] da poligoni simili, la superficie della figura circoscritta ha rispetto alla superficie della [figura] inscritta rapporto duplicato che il lato del poligono circoscritto al cerchio massimo ha rispetto al lato del poligono inscritto nello stesso cerchio e la stessa figura [circoscritta] ha rispetto alla figura [inscritta] rapporto triplicato dello stesso rapporto. Per questa proposizione possiamo dunque scrivere che: Nella Proposizioni 28 del Libro I Archimede dimostra che: Tutta la superficie della sfera è minore della superficie della figura ad essa circoscritta Nella Proposizioni 25 del Libro I Archimede dimostra che: La superficie della figura inscritta nella sfera e compresa da superficie coniche è minore del quadruplo del circolo massimo della sfera (e quindi minore del cerchio C da noi considerato) Perciò possiamo scrivere che: {

Ma questo è assurdo, perché in contraddizione con la disuguaglianza scritta in precedenza. Dunque la superficie S della sfera non può essere maggiore del cerchio C. IPOTESI 2: supponiamo che la superficie del cerchio C sia maggiore della superficie S della sfera, C>S Avendo perciò due grandezze S e C, con C>S per ipotesi, basandoci nuovamente sulla Prop. 2 del I Libro, è possibile prendere due (segmenti di) rette diseguali β e γ, con β>γ, in modo che il loro rapporto sia minore del rapporto tra la superficie C del cerchio e la superficie S della sfera : Consideriamo poi un segmento di retta δ medio proporzionale tra β e γ; risulta: e Consideriamo allora un piano secante la sfera e passante per il suo centro; esso individuerà un cerchio massimo, di raggio r. Circoscriviamo e inscriviamo a tale cerchio due poligoni simili, cioè con stesso numero di lati, in modo tale che (per la Prop.3 Libro I) il rapporto tra il lato L del poligono circoscritto e il lato l del poligono inscritto risulti minore del rapporto β/δ: Se facciamo ruotare attorno al diametro del cerchio i poligoni regolari così costruiti, si ottengono due figure solide (formate da due coni e da un certo numero di tronchi di cono) rispettivamente circoscritta e inscritta nella sfera di superficie F e F rispettivamente. Al crescere del numero dei lati dei poligoni, le superfici F e F variano, e quindi varia anche il loro rapporto. Per la Prop. 32 del Libro I, esposta precedentemente, possiamo dunque scrivere che: Nella proposizione 30 del Libro I Archimede dimostra che: La superficie della figura circoscritta alla sfera è maggiore del quadruplo di un circolo massimo di una sfera (e quindi maggiore del cerchio C da noi considerato) Nella proposizione 23 del libro I Archimede dimostra che: La superficie della figura inscritta alla sfera è minore della superficie della sfera stessa. Perciò possiamo scrivere che: { Ma questo è assurdo, perchè è in contraddizione con la disuguaglianza scritta in precedenza. Pertanto il cerchio C non può essere maggiore della superficie della sfera S. Non potendo essere C<S e neppure C>S, Archimede conclude che deve essere C=S, ossia il cerchio C è uguale alla superficie della sfera S.

Proposizione 34: Ogni sfera è quadrupla del cono avente base uguale al cerchio massimo della sfera e per altezza il raggio della sfera. Espressa con il moderno simbolismo, la proposizione ci dice che ( ) ( ) Dimostrazione: Dovendo dimostrare che il volume di una sfera di raggio r è quadrupla di quella del cono che ha come base il cerchio di raggio massimo (la cui area è quindi ) e altezza pari al raggio r, Archimede considera una sfera di volume V sfera e un cono avente base quadrupla del cerchio di raggio massimo (per cui l area di base diventa ) e altezza pari a r, e indicato con V cono il volume di tale cono. Egli dimostra che i loro volumi sono uguali, ossia che V sfera =V cono, procedendo con la reductio ad absurdum ipotizzando prima che V sfera > V cono e poi che V sfera < V cono. If now the sphere is not equal to thefour times the cone described, it is either grather or less..since then the sphere is neither less or greather than V, it is equal to V ( cit. The works of Archimedes, T.L. Heath) IPOTESI 1: supponiamo che il volume V sfera della sfera sia maggiore del volume V cono del cono, V sfera > V cono (disegno tratto da The works of Archimedes, T.L. Heath) Avendo perciò le due grandezze V sfera e V cono, con V sfera > V cono per ipotesi, per la Prop.2 è possibile prendere due (segmenti di) rette diseguali β e γ, con β>γ in modo che il loro rapporto sia minore del rapporto tra del rapporto tra il volume della sfera e il volume del cono:. Consideriamo poi tra β e γ due segmenti di retta medi proporzionali, δ e ε : ; risulta: {

Nella Proposizioni 3 del Libro I Archimede dimostra che: Date due grandezze diseguali e un cerchio, è possibile inscrivere nel cerchio un poligono, e circoscriverne un altro, in modo che il lato del poligono circoscritto abbia, rispetto al lato del poligono inscritto, rapporto minore di quello della grandezza maggiore alla minore. Consideriamo allora un piano secante la sfera e passante per il suo centro; esso individuerà un cerchio massimo, di raggio r. Circoscriviamo e inscriviamo in tale cerchio due poligoni simili, cioè con lo stesso numero di lati, in modo tale che (per la Prop.3) il rapporto tra il lato L del poligono circoscritto e il lato l del poligono inscritto risulti minore del rapporto β/δ: Se facciamo ruotare attorno al diametro del cerchio i poligoni regolari, così costruiti, si ottengono due figure solide rispettivamente circoscritta e inscritta nella sfera di volume V e V rispettivamente. Al crescere del numero dei lati dei poligoni, i volumi V e V variano, e quindi varia anche il loro rapporto. Nella Proposizioni 32 del Libro I Archimede dimostra che: Se in una sfera è inscritta una figura ed un altra è circoscritta, costruite nello stesso modo delle proporzioni precedenti [a partire] da poligoni simili, la superficie della figura circoscritta ha rispetto alla superficie della [figura] inscritta rapporto duplicato che il lato del poligono circoscritto al cerchio massimo ha rispetto al lato del poligono inscritto nello stesso cerchio e la stessa figura [circoscritta] ha rispetto alla figura [inscritta] rapporto triplicato dello stesso rapporto. Per questa proposizione possiamo dunque scrivere che: Nella Proposizioni 28 del Libro I Archimede dimostra che: Tutto il volume della sfera è minore del volume della figura ad essa circoscritta. Nella proposizione 27 del libro I Archimede dimostra che: Il volume del solido inscritto al sfera è minore del volume del cono. Perciò possiamo scrivere che: { Ma questo è assurdo, perché in contraddizione con la disuguaglianza scritta in precedenza. Dunque il volume della sfera non può essere maggiore del volume del cono. IPOTESI 2: supponiamo che il volume V sfera della sfera sia minore del volume V cono del cono, V sfera < V cono Avendo perciò le due grandezze V sfera e V cono, con V sfera < V cono per ipotesi, per la Prop.2 è possibile prendere due (segmenti di) rette diseguali β e γ, con β>γ in modo che il loro rapporto sia minore del rapporto tra del rapporto tra il volume della sfera e il volume del cono:. Consideriamo poi tra β e γ due segmenti di retta medi proporzionali, δ e ε : ;

risulta: { Consideriamo allora un piano secante la sfera e passante per il suo centro; esso individuerà un cerchio massimo, di raggio r. Circoscriviamo e inscriviamo in tale cerchio due poligoni simili, cioè con lo stesso numero di lati, in modo tale che (per la Prop.3) il rapporto tra il lato L del poligono circoscritto e il lato l del poligono inscritto risulti minore del rapporto β/δ: Se facciamo ruotare attorno al diametro del cerchio i poligoni regolari, così costruiti, si ottengono due figure solide rispettivamente circoscritta e inscritta nella sfera di volume V e V rispettivamente. Al crescere del numero dei lati dei poligoni, i volumi V e V variano, e quindi varia anche il loro rapporto. Per la Prop. 32 del Libro I, esposta precedentemente, possiamo anche in questo caso scrivere che: Nel Corollario della Proposizioni 31 del Libro I Archimede dimostra che: la figura circoscritta alla sfera è maggiore del quadruplo del cono avente per base il circolo massimo della sfera e per altezza il raggio della sfera (ossia del nostro V cono ) Archimede aveva inoltre che il volume della sfera è maggiore del volume della figura ad essa inscritta. Possiamo perciò scrivere che: { Ma questo è assurdo, perché in contraddizione con la disuguaglianza scritta in precedenza. Dunque il volume della sfera non può essere minore del volume del cono. Non potendo essere V sfera > V cono e neppure V sfera < V cono, Archimede conclude che deve essere V sfera = V cono ossia il volume della sfera è pari a quello di un cono avente base quadrupla del cerchio di raggio massimo e altezza pari al raggio della sfera. Per quanto osservato all inizio, possiamo dunque affermare che volume di una sfera di raggio r è quadrupla di quella del cono che ha come base il cerchio di raggio massimo e altezza pari al raggio r. Corollario: Ogni cilindro avente per base il circolo massimo della sfera e l altezza uguale al diametro della sfera è una volta e mezza la sfera, e la sua superficie, comprese le basi, è una volta e mezza la superficie della sfera. Oltre a questi: che per qualunque sfera il cilindro avente la base uguale al circolo massimo della sfera e l altezza uguale al diametro della sfera supera della metà la sfera, e così la sua superficie [totale] supera della metà la superficie della sfera (Prima lettera a Dositeo,3).

Espressa con il moderno simbolismo, la proposizione ci dice che: a) il volume del cilindro circoscritto alla sfera è pari a 3/2 del volume della sfera; b) la superficie totale del cilindro circoscritto alla sfera è pari a 3/2 della superficie della sfera Osserviamo che sia il rapporto tra i volumi del cilindro e della sfera in esso inscritta, sia il rapporto tra le rispettivi superfici vale sempre 3/2 Dimostrazione: a) Archimede considera la proposizione 10 del XII Libro degli Elementi, nella quale Euclide dimostra che ogni cono è la terza parte del cilindro che ha uguale base e altezza. Di conseguenza il cilindro è pari a sei volte il cono avente la stessa base e ma altezza uguale al raggio della sfera inscritta nel cilindro. ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) Ma per la Proposizione 34 del I Libro Archimede ha dimostrato che la sfera è quadrupla dello stesso cono (avente raggio di base r e altezza r): ( ) ( ) Quindi si può concludere che il volume del cilindro è 3/2 il volume della sfera in esso inscritta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b)nella proposizione 13 del I Libro Archimede ha dimostrato che: la superficie di un qualunque cilindro retto, esclusa la base, è uguale ad un cerchio, il raggio del quale è medio proporzionale tra il lato del cilindro e il diametro della base del cilindro, ossia ha dimostrato che la superficie laterale del cilindro circoscritto ad una sfera di raggio r è uguale alla superficie di un cerchio che ha il raggio medio proporzionale tra l'altezza del cilindro e il diametro della base di questo. Vediamo di capire tale affermazione usando il moderno simbolismo: ( )

Se indichiamo con x il raggio del cerchio tale che x sia medio proporzionale tra l altezza del cilindro e il diametro della base di questo, deve essere: ma essendo il diametro del cilindro uguale alla sua altezza ( si tratta di un cilindro equilatero), risulta: e quindi La superficie di tale cerchio sarà, cioè pari alla superficie laterale del cilindro, come affermato da Archimede. Sapendo che ciascuna delle basi di un cilindro ha area pari a, la superficie totale del cilindro, comprese le basi, è pari, dice Archimede, a sei volte la superficie del cerchio massimo della sfera inscritta nel cilindro (di raggio r): ( ) Ma nella Proposizione 33 Archimede ha dimostrato che la superficie della sfera è quattro volte la superficie del suo cerchio di raggio massimo: Di conseguenza, conclude Archimede, la superficie del cilindro è uguale a 3/2 la superficie della sfera: Della sfera e del cilindro è forse l opera più complessa e ricca di risultati importanti di Archimede; non è perciò strano che Archimede abbia voluto che il risultato del Corollario che abbiamo appena visto fosse scolpito sulla sua tomba.