Gavitazione Univesale Liceo Ginnasio Statale S.M. Legnani Anno Scolastico 2007/08 Classe 3B IndiizzoClassico Pof.Robeto Squellati 1 Le leggi di Kepleo Ossevando la posizione di Mate ispetto alle alte stelle, si nota che il suo moto è piuttosto complicato. Invece di muovesi lungo un semplice pecoso cuvo, mantenendo sempe il medesimo veso (come, ad esempio, fa il Sole nel cielo diuno con il suo sogee e tamontae), di tanto in tanto cambia diezione di moto (ciò è noto come moto etogado). Dopo qualche mese cambia di nuovo diezione e iassume quella che aveva in pecedenza. Anche gli alti pianeti del sistema solae mostano lo stesso compotamento paticolae; pe inciso si noti che il temine pianeta, nell etimologia geca, significa pe l appunto eante. L astonomo danese Tycho Bahe (1546-1601) seguì le taiettoie dei pianeti, in paticola modo quella di Mate, pe molti anni, egistandone la posizione sulla volta celeste con notevole pecisione (si tenga infatti pesente che le ossevazioni astonomiche si effettuavano ad occhio nudo, peché il cannocchiale e il telescopio non eano ancoa stati inventati). Giovanni Kepleo (1571-1630) collaboò dal 1600 al lavoo di Bahe e, dopo la mote di quest ultimo, poseguì le sue ossevazioni astonomiche. Kepleo fece buon uso del lavoo fatto da Bahe duante tutta la sua vita e, ielaboando i dati così diligentemente accolti, giunse a fomulae le te leggi del moto planataio che oggi potano il suo nome. LeggidiKepleo 1. Ogni pianeta descive attono al Sole un obita ellittica in cui il Sole occupa uno dei fuochi. 2. Il aggio vettoe, cioè il segmento congiungente la posizione del Sole e del pianeta nel descivee l obita, descive aee uguali in tempi uguali. La pate di teoia è un elaboazione pesonale dei contenuti elativi alla Gavitazione Univesale tattati solitamente nella scuola secondaia supeioe. Gli esecizi, invece, sono tatti da una accolta del pof. Felice Guzzetti il mio insegnante di fisica del liceo, a cui va il mio più sentito ingaziamento che li ha pazientemente selezionati, adattati o inventati nel coso di tanti anni, eputandoli significativi pe la loo oiginalità o pe il loo impatto didattico. Le poche immagini pesenti sono tatte da intenet. Questi appunti hanno l unico scopo di essee di ausilio agli studenti e non hanno alcun fine di luco, né tantomeno vogliono ledee in alcun modo ai diitti d autoe. Pe qualunque segnalazione (eoi, sviste, impecisioni, suggeimenti, segnalazione di violazione di Copyight, etc.) il mio ecapito è il seguente: obeto.squellati@tiscali.it 1
In alti temini, si dice che la velocità aeolae è costante. 3. Il appoto ta il quadato del peiodo di ivoluzione e il cubo del semiasse maggioe dell ellisse descitta è costante pe tutti i pianeti. In temini matematici: T 2 a 3 Si ossevi che k è costante pe tutti i pianeti obitanti attono al Sole, manonhalostessovaloesesi cambia il cento di attazione gavitazionale. In alti temine le leggi di Kepleo valgono anche pe tutti i copi celesti obitanti attono a qualsiasi pianeta o stella, ma il valoe costante del appoto ta quadato del peiodo di ivoluzione e cubo del semiasse maggioe dell obita è diveso da pianeta a pianeta. Dalle leggi di Kepleo è possibile dedue la legge di gavitazione univesale; in letteatua fisica questo poblema è noto come poblema inveso, essendo il poblema dietto lo studio del moto (e la deteminazione della foma delle obite) pe un punto soggetto all attazione gavitazionale. 2 Deduzione della legge di gavitazione univesale Denotiamo con m la massa della Tea e con M la massa del Sole. Pendiamo in consideazione l attazione gavitazionale sulla Tea ad opea del Sole e ipotizziamo che l obita sia cicolae con aggio. Pe il secondo pincipio della dinamica (limitandoci a consideae il modulo della foza) abbiamo che = k F = ma c, (1) dove a c indica l acceleazione centipeta. sappiamo che v = ω Dalle elazioni cinematiche iguadanti il moto cicolae unifome a c = ω 2 = v2 ω = 2π T (2) dove T indica il peiodo. La foza agente sulla Tea può quindi essee espessa nella foma F = ma c = mω 2 = m µ 2 2π = m 4π2. (3) T T 2 avendo sostituito nella (1) le elazioni (2). Sapendo inolte che vale la teza legge di Kepleo, possiamo scivela nella foma T 2 = k 3, sostituendo quindi nella elazione (3) il peiodo di ivoluzione al quadato e ottenendo F = m 4π2 k 2. Cambiamo oa punto di vista e ipotizziamo che sia la Tea ad essee immobile e che sia il Sole a obitale attono. Denotiamo quindi con F 0 la foza di attazione gavitazionale agente sul Sole ad opea della Tea. Con passaggi pefettamente analoghi a quelli appena svolti, possiamo ottenee l analoga elazione F 0 = M 4π2 k 0 2. Si ossevi che il valoe di è il medesimo in quanto la distanza ta il Sole e la Tea è la medesima, mente è vaiata la costante pensente nella teza legge di Kepleo, in quanto il cento attattoe gavitazionale è cambiato. Oa, in foza del tezo pincipio della dinamica (azione e eazione) si ha F = F 0 m 4π2 k 2 = M 4π2 k 0 2 m k = M k 0 k 0 m = km. (4) 2
Pendiamo oa in consideazione, sepaatamente, le due espessioni delle foze F e F 0. Modifichiamo quindi l espessione fomale di entambe le foze senza tuttavia alteane il valoe, moltiplicando e dividendo la pima pe la massa del Sole, la seconda pe la massa della Tea: F = m 4π2 k 2 = m 4π2 k 2 M M = 4π2 km mm 2, F 0 = M 4π2 k 0 2 = M 4π2 k 0 2 m m = 4π2 k 0 m mm 2. Oa, in foza della (4) possiamo poe 4π 2 km = 4π2 k 0 m = G e iscivee quindi la pima della pecedenti elazioni nel seguente modo: F = G mm 2 Si ossevi che a questo punto l espessione di F edif 0, che sappiamo essee uguali, non dipendono più dalle paticolai costanti k o k 0 della teza legge di Kepleo, ma da una costante unica, detta pe l appunto costante di gavitazione univesale. La legge di gavitazione univesale può essee quindi fomulata nel seguente modo: Legge 1 (Gavitazione Univesale) Il modulo della foza con cui inteagiscono due copi qualsiasi dotati di massa è diettamente popozionale al podotto delle loo masse e invesamente popozionale al quadato della ecipoca distanza (o, più pecisamente, dalla distanza ta i centi di massa dei due copi). La diezione lungo cui agisce la foza è quella della etta congiungente i centi di massa. La foza gavitazionale è sempe attattiva. La costante di gavitazione univesale, indicata con G, espime la popozionalità ta le suddette gandezze ed è la medesima pe qualsiasi coppia di copi dotati di massa, ovunque si tovino nell univeso. Nel Sistema Intenazionale G =6, 67259 10 11 N m2 kg 2, dimensionalmente [G] = l 3 m 1 t 2. Ossevazione 1 Se una data massa è soggetta all azione gavitazionale di un ceto numeo di alte masse, la foza isultante su di essa è semplicemente il vettoe isultante dalla somma delle singole foze. Questa popietà della foza di gavità è chiamata pincipio di sovapposizione. La sovapposizione implica, ad esempio, che la foza gavitazionale isultante che agisce sui nosti copiinquestomomentosiailvettoesommadellefoze esecitate dalla Tea, dalla Luna, dal Sole e così via. Ossevazione 2 La legge di gavitazione univesale (o legge di Newton) solitamente è enunciata pendendo in consideazione copi puntifomi. Ma come possiamo calcolae, alloa, la foza gavitazionale pe copi estesi? Il metodo geneale è quello di suddividee l oggetto in un insieme di elementi di massa talmente piccola da potesi consideae puntifome (al limite di massa infinitesima) e poi utilizzae il pincipio di sovapposizione pe calcolae la foza gavitazionale isultante (nomalmente utilizzando il calcolo integale). Pe un oggetto di foma qualsiasi tale calcolo si pesenta, solitamente, piuttosto difficile. Pe un copo unifome di foma sfeica il isultato finale è paticolamente semplice. Newton (che inventò anche il metodo pe effettuae questi calcoli) dimostò che la foza isultante esecitata da una sfea su una massa puntifome è la stessa che si avebbe se tutta la massa della sfea fosse concentata nel suo cento. La stessa cosa accade se si consideano due copi sfeici. Tale isultato isulta quindi paticolamente impotante peché ci pemette di tattae i pianeti (e a maggio agione gli oggetti di dimensioni odinaie) come se fosseo oggetti puntifomi, semplificando notevolmente i calcoli necessai pe descivene il moto. Dedotta quindi le legge di gavitazione univesale, passiamo ad applicala pe dedue in modo immediato alcune elazioni inteessanti. Si ossevi che, pe non appesantie la notazione, le successive elazioni iguadanti gandezze vettoiali velocità, acceleazione,... veano icavate limitatamente ai moduli; diezione e veso saanno omesse, essendo immediatamente deducibili dalla legge di gavitazione univesale o dalle infomazioni elementai sulla taiettoia. 3
2.1 Acceleazione di gavità sulla supeficie di un pianeta Consideiamo un copo di massa m c che si tovi sulla supeficie di un pianeta di aggio R (supponiamo, pe fissaeleidee, cheilpianetasialatea). Lafozaagente su tale copo è stata espessa, nello studio della dinamica, come foza peso, quantificata come podotto della massa del copo pe l acceleazione di gavità: P = m c g. Essendo tuttavia tale foza di natua gavitazionale, potà paimenti essee scitta mediante la legge di gavitazione univesale: F = G m cm R 2 a patto di conoscee il aggio R e la massa M del pianeta. Tali diffeenti elazioni possono essee uguagliate, vistocheespimonolamedesimafoza P = F m c g = G m cm R 2. Semplificando la massa del copo a pimo e a secondo membo otteniamo la elazione g = GM R 2 (5) che ci pemette di calcolae l acceleazione di gavità sulla supeficie di un qualsiasi pianeta, noti il aggio e la massa. Tale elazione può essee immediatamente genealizzata ad una elazione che espima la vaiazione dell acceleazione di gavità (e conseguentemente della foza peso) al vaiae dell altezza h dal suolo: g = GM (R + h) 2 2.2 Velocità obitale di un satellite Consideiamo un satellite di massa m s che desciva un obita cicolae attono ad un pianeta avente aggio R e massa M. Supponiamo inolte che il satellite si tovi ad un altezza h ispetto al suolo. La pemanenza in obita è gaantita dall equibio, in ogni punto della taiettoia, ta la foza centipeta (che in questo caso è l attazione gavitazionale del pianeta) e la foza centifuga, dovuta al moto acceleato del sistema di ifeimento solidale con il satellite stesso. La foza attattiva vale quindi F = G m sm (R + h) 2 mente la foza centifuga, in foza delle usuali elazioni pe il moto cicolae vedi (2) può essee espessa come F c = m s a c = m s ω 2 v 2 (R + h) =m s R + h. Uguagliando le pecendenti elazioni m s GM (R + h) 2 = m s v 2 R + h da cui, semplificando la massa del satellite e i denominatoi, si icava v = GM R + h 4
2.3 Enegia potenziale gavitazionale nel caso geneale Nello studio della meccanica abbiamo intodotto l espessione dell enegia potenziale gavitazionale (ossia quella foma di enegia dipendente dalla posizione ispetto ad un livello di ifeimento, solitamente il suolo) nella foma U E p = mgh pecisando tuttavia che tale elazione ha validità nell ipotesi che g sia costante, ossia quando le altezze ispetto alla quota di ifeimento sono molto infeioi ispetto alla misua del aggio del copo che genea il campo gavitazionale più intenso (in simboli: h R). In ealtà, l espessione geneale dell enegia potenziale gavitazionale elativa ad un copo di massa M (un pianeta ad esempio) ed un oggetto di massa m èlaseguente E p = GmM (6) dove indica la distanza ta i centi di massa dei due oggetti consideati. Nel caso di un pianeta (che ha con ottima appossimazione una foma sfeica) il cento di massa si tova nel cento della sfea, pe cui pe un oggetto odinaio di massa m (in geneale con m M) deve valee R. In questa sede non ci inteessa pendee in esame in quale modo e sotto quali ipotesi si giunga all espessione dell enegia potenziale gavitazionale (che ichiede la conoscenza del calcolo integale), tuttavia possiamo accennae a quale sia il significato del segno meno che compae nella sua espessione. Si ossevi infatti che, avendo intodotto il segno meno, l enegia potenziale cesce al cescee della distanza dal copo (sebbene il suo valoe isulti negativo); l enegia potenziale quindi si annulla pe, aggiungendo in questo modo il suo valoe massimo. Tale convenzione sul segno ci saà utile in seguito, pe la deteminazione della velocità di fuga da un pianeta o una stella. A questo punto ci inteessa mostae come sia possibile icondusi all espessione E p = mgh se h R. Calcoliamo il lavoo che compie la foza gavitazionale su un oggetto che cade sul suolo da un altezza h espimendolo come vaiazione di enegia potenziale gavitazionale, espessa nella foma (6) si icodi infatti che vale il teoema di consevazione dell enegia, non essendo pesente alcuna foza dissipativa. Otteniamo: L = E p = GmM R + GmM µ 1 R + h = GmM R 1 = GmM R + h (R + h) R. R (R + h) Se vale l ipotesi h R, alloa R (R + h) ' R 2. Inolte, dalla elazione (5) sappiamo che g = GM R 2 GM = gr 2 pe cui, sostituendo GM = gr 2 nella elazione pecedente si ottiene L = mgr 2 R + h R R 2 = mgr 2 h = mgh = (mgh mg 0) R2 che, a pate il segno, coincide con l usuale espessione dell enegia potenziale gavitazionale. 2.4 Velocità di fuga Come ultima applicazione dei concetti e delle elazioni testè intodotte, deteminiamo la velocità da impimee ad un oggetto in modo tale da libealo definitivamente dall attazione gavitazionale del pianeta (o della stella) da cui viene lanciato nello spazio. Tale velocità viene solitamente indicata come velocità di fuga. Supponiamo che l oggetto in questione abbia massa m e si tovi sulla supeficie di un pianeta di aggio R e di massa M. Supponiamo inolte che tale oggetto sia lanciato con una velocità di modulo v (non ha alcuna impotanza la diezione con cui viene lanciato ispetto al suolo). Al momento del lancio tale oggetto avà quindi un enegia totale pai a E i = E c + E p = 1 2 mv2 GmM 5
data dalla somma di enegia cinetica ed enegia potenziale gavitazionale. L oggetto saà completamente libeo dall effetto dell attazione gavitazionale del pianeta nel momento in cui saà in gado di aivae a una distanza infinita dal pianeta con velocità nulla. In alti temini la sua enegia totale, alla fine del viaggio, dovà essee E f =0 anche in questo caso somma di enegia cinetica, nulla peché v =0, ed enegia potenziale gavitazionale, nulla popio pe l intoduzione del segno meno nella sua definizione (vedi 2.3). Dal teoema di consevazione dell enegia si ottiene quindi E i = E f 1 2 mv2 GmM =0 1 2 mv2 = GmM dove,nell ultima uguaglianza, è possibile semplificae la massa dell oggetto in quanto compae sia a pimo sia a secondo membo. In questo modo è possibile icavae 2GM v f = che pe l appunto espime la velocità di fuga. Siossevichesev<v f il copo è destinato a tonae sul pianeta o, paimenti, è destinato a descivee un obita ellittica attono al pianeta: è il caso, ad esempio, di una cometa come quella di Halley, che non avendo velocità sufficiente pe libeasi dall attazione gavitazionele del Sole, tona peiodicamente vicino alla nosta stella. Se v = v f ilcopohaenegiaesattamentesufficiente pe allontanasi definitivamente dal pianeta da cui viene lanciato, aivando tuttavia a distanza infinita con velocità nulla; in questo caso è possibile dimostae che la sua taiettoia è paabolica, con il pianeta occupante il fuoco della paabola. Infine, se v>v f, il copo si allontana definitivamente dal pianeta e giunge a distanza infinita con velocità non nulla, o equivalentemente con un esiduo di enegia cinetica; in questo caso la taiettoia è ipebolica e il pianeta occupa uno dei fuochi dell ipebole. Pe la Tea, a titolo di esempio, la velocità di fuga èpaiacica11, 2km/ s. 6
3 Esecizi 1. Se la Tea avesse un aggio doppio di quello che ha e la stessa densità, la foza con cui attae un copo di quale fattoe veebbe alteata? [2] 2. Calcolae il valoe dell acceleazione di gavità sulla Luna sapendo che il appoto ta il suo aggio e quello della Tea vale 0, 273 e il appoto ta le ispettive masse vale 1/81, 5. [g L =1, 6m/ s 2 ] 3. Se la Tea avesse un aggio quaduplo di quello che ha e una densità uguale alla metà di quella eale, la foza con cui attae un copo di quale fattoe veebbe alteata? [2] 4. Se la massa della Tea, quella della Luna e la distanza Tea-Luna addoppiasseo, quale saebbe il nuovo peiodo della Luna? (T Luna =28gioni) [T =56gioni] 5. Qual è il peiodo di un satellite che uota attono alla Tea su un obita di aggio pai a 1/4 del aggio dell obita della Luna? Quale saà il appoto ta la velocità delle satellite e quella della Luna? Si consideino T Luna =28gioni e d Tea-Luna = 384.000 km. [T =3, 5 gioni, =2] 6. Tovae il peiodo di ivoluzione attono al Sole di un asteoide che si muove su un obita cicolae compesa fa l obita di Mate e quella di Giove e tale che le aggio della sua obita sia 4 10 11 m. [T =4, 35 anni] 7. Se la distanza Tea-Luna addoppiasse, quale saebbe il nuovo peiodo della Luna? Quale saebbe il appoto ta la nuova velocità obitale e la velocità obitale eale della Luna? [T ' 79 gioni, ' 0, 707] 8. La velocità obitale della Luna è 1, 03 km/ s. Nel viaggiae con questa velocità pe 3s, di quanto è caduta la Luna veso la Tea? Si confonti questo valoe con la distanza pecosa in 3s da un oggetto che cade in possimità della Tea. Qual è il appoto ta le tue distanze? Peché? [h =1, 22 cm, ' 3.600] 9. Di quando si dovebbe salie al di sopa della supeficie teeste affinché l acceleazione di gavità cambi del 10%? Diquantosidovebbescendeesottolasupeficie teeste pe ossevae da stessa vaiazione? Si consideino noti aggio e massa della Tea. [h ' 336 km, p ' 307 km] 10. Sapendo che la distanza di Mate dal Sole è il 158% di quella della Tea dal Sole, si detemina la duata dell anno maziano. [T ' 2 anni] 11. La capsula Apollo è stata messa in obita cicolae attono alla Luna a 110 km di altezza dalla sua supeficie. Tenuto conto che l acceleazione di gavità a quella quota è di 1, 4m/ s 2 e le aggio della Luna è 1740 km, calcolae il peiodo di otazione della capsula. [T ' 2h] 12. Sapendo che la distanza Tea-Luna è pai a 60 volte il aggio della Tea ( T = 6400 km) e che la Luna compie una otazione in 27, 32 gioni, calcolae la quota h ispetto alla supeficie teeste di un satellite atificiale avente il peiodo di 12 h. [h =20.270 km] 13. Se la Tea, supposta sfeica e omogenea, avesse il diameto pai a 1/5 di quello eale e densità doppia, di quale fattoe vaieebbe la sua massa e l acceleazione di gavità sulla sua supeficie? [2/125, 2/5] 14. Si considei l attazione gavitazionale Tea-Luna e si detemini a quale distanza dal cento della Luna deve tovasi un copo affinché l attazione teeste sia ispettivamente uguale e quatto volte quella lunae. Gandezze note: d Tea-Luna = 384.000 km, m Luna =1, 234% m Tea. [d 1 =38.392 km, d 2 = 69.805 km] 15. Un astonauta di massa 100 kg attea su un pianeta che ha una massa e un aggio entambi la metà di quelle teesti. Quanto pesa su quel pianeta? [P = 1960 N] 16. Un satellite di massa 3000 kg descive una taiettoia cicolae di aggio 8500 km. Tovae la sua enegia cinetica, la sua enegia potenziale e la sua enegia totale. [E c =7, 06 10 10 J, E p = 14, 12 10 10 J, E tot = 7, 06 10 10 J] 17. Se la Tea avesse un aggio quaduplo di quello che ha e la stessa densità, la velocità di fuga di quale fattoe veebbe alteata? [4] 7
18. Un azzo viene lanciato dalla Tea veso la Luna. Quando si tova a 345.000 km dalla Tea la sua acceleazione è nulla. Quale dovà essee la minima velocità iniziale delle azzo pe pote aggiungee tale punto e cadee sulla Luna pe effetto dell attazione lunae? In tal caso con quale velocità il azzo colpià la Luna? Il azzo ha una massa di 100 kg esiconsideinonotiiseguentivaloi: m Tea =6 10 24 kg, m Luna =7, 3 10 22 kg, Luna = 1800 km, Tea = 6400 km, d Tea-Luna = 384000 km. [v 1 =1, 1 10 4 m/ s, v 2 =2, 27 10 3 m/ s] 19. Calcolae il lavoo che la foza gavitazionale esegue su un copo di massa 1kg quando viene allontanato dal suolo fino ad un altezza pai al aggio teeste. [L = 3, 13 10 7 J] 20. Deteminae l enegia potenziale gavitazionale di 8 copi ciascuno di massa m, posti nei vetici di un cubo di lato a. Si detemini poi tale valoe quando m è la massa della Tea e a èladistanzatea-sole. [E p = 3, 65 10 51 J] 8
4 Simulazione compito: poblemi ed esecizi In questa sezione è pesentato un compito in classe, assegnato in una classe IV Liceo Scientifico, pe quanto concene la sola capacità nel isolvee poblemi ed esecizi, non le conoscenze teoiche e lo studio. Il compito è da svolgee, con il solo ausilio di una calcolatice scientifica, in un lasso di tempo pai a 60 min cica. Gli esecizi sono sostanzialmente pesentati in odine cescente di difficoltà. 1. Due palle da bowling di massa 6, 5kg e aggio 0, 11 m sono in contatto l una con l alta. Qual è l intensità della foza di attazione gavitazionale ta le due palle? Si tascui qualsiasi alta inteazione gavitazionale. 2. Titan is the lagest moon of Satun, and the only moon in the sola system known to have a substantial atmosphee. (a) Find the acceleation of gavity on Titan s suface, given that its mass is 1, 35 10 23 kg and its adius is 2.570 km. (b) Find the escape speed on Titan s suface. 3. L acceleazione di gavità sulla supecie della Luna è cica 1/6 dell acceleazione di gavità teeste. Dato che il aggio della luna è cica un 1/4 del aggio teeste, tovae la massa della Luna in funzione della massa della Tea. 4. Se la Tea avesse aggio doppio ispetto a quello eale e densità pai ad un tezo di quella effettiva, di quanto vaieebbe l acceleazione di gavità sulla sua supeficie? 5. Un tipico satellite GPS (Global Positioning System sistema di posizionamento globale) obita a un altitudine di 2 10 7 m ispetto al suolo. Tovae: (a) il peiodo obitale, (b) il modulo della velocità obitale. 6. La cometa di Halley, che obita intono al Sole (M Sole =1, 989 10 30 kg), descive un obita ellittica. Quando è nel suo punto più vicino al Sole (peielio) è a una distanza di 8, 823 10 10 m e si muove con una velocità di modulo 54, 6km/ s. Il punto di maggioe distanza dal Sole (afelio) è6, 152 10 12 m. (a) Il modulo della velocità della cometa di Halley è maggioe o minoe di 54, 6km/ s quando è all afelio? Giustificae la isposta. (b) Calcolae il modulo della sua velocità nell afelio. 7. A quale aggio dovebbe essee contatto il Sole pe avee una velocità di fuga pai a quella delle luce e diventae quindi un buco neo? Si ossevi che i buchi nei hanno velocità di fuga maggioe o uguale alla velocità della luce, pe questo non vediamo alcuna emissione luminosa da pate loo. 8. Sulla Tea una pesona può saltae veticalmente e salie in questo modo fino ad un altezza h dal suolo. Qual è il aggio del più gande asteoide sfeico da cui una pesona può sfuggie saltando? Espimee il isultato in funzione della densità dell asteoide e dell altezza a cui la pesona può saltae (si assuma che l asteoide abbia densità costante). 9