GEOMETRIA 3 IL CILINDRO richiami della teoria n Il cilindro eá il solido generato dalla rotazione comleta di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati; n il cilindro equilatero ha diametro di base ed altezza congruenti; n l'area della suerficie laterale del cilindro eá uguale al rodotto della lunghezza della circonferenza di base er la misura dell'altezza; formula diretta: A l ˆ 2 r h; formule inverse: r ˆ A l : 2 h ; h ˆ A l : 2 r ; n l'area della suerficie totale di un cilindro eá uguale alla somma dell'area della suerficie laterale con le aree delle basi; formula diretta: A t ˆ A l 2 A b ; formule inverse: A l ˆ A t 2 A b ; A b ˆ A t A l : 2; n il volume del cilindro eá uguale al rodotto dell'area del cerchio di base er la misura dell'altezza; formula diretta: V ˆ r 2 h; formule inverse: r ˆ V : h ; h ˆ V : r 2 ; n le formule delle aree delle suerfici e del volume del cilindro equilatero sono risettivamente: A l ˆ 4 r 2 ; A t ˆ 6 r 2 ; V ˆ 2 r 3. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 1 Risondi alle seguenti domande: a. che cosa determina un unto che ruota attorno a un asse? b. Che cosa determinano una linea, un segmento o una retta che ruotano attorno ad un asse? 2 Comleta la seguente definizione: si dice cilindro il solido generato dalla... di un... attorno ad uno dei suoi lati. 3 Disegna lo sviluo della suerficie totale di un cilindro. 4 Se tagliamo un cilindro con un iano erendicolare all'asse di rotazione, la sezione ottenuta eá un... 5 Qual eá la regola che ermette di determinare l'area della suerficie laterale di un cilindro? Come si esrime in simboli? 6 Quale delle seguenti formule ermette di determinare l'area della suerficie totale di un cilindro? a. A t ˆ A b A l ; b. A t ˆ 2 A b A l ; c. A t ˆ A b A l 2. 7 Quando un cilindro si dice equilatero? Come si trasformano le formule er determinare l'area della suerficie laterale e totale? 8 Qual eá la regola che ermette di calcolare il volume di un cilindro? Come si esrime in simboli?
2 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS APPLICAZIONE 9 Esercizio Svolto Le misure del raggio di base e dell'altezza di un cilindro sono risettivamente 16 cm e 27 cm; calcola l'area della suerficie totale del cilindro. r ˆ 16 cm h ˆ 27 cm Incognita A t A l ˆ 2 r h ˆ 216 27 cm 2 ˆ 864 cm 2 A b ˆ r 2 ˆ 16 2 cm 2 ˆ 256 cm 2 A t ˆ 2 A b A l ˆ 2256 864 cm 2 ˆ 1376 cm 2 10 Le misure del raggio di base e dell'altezza di un cilindro sono risettivamente 24 cm e 36 cm; calcola l'area della suerficie totale del cilindro. 2 880 cm 2 11 Le misure del diametro di base e dell'altezza di un cilindro sono risettivamente 70 cm e 46 cm; calcola l'area della suerficie totale del cilindro. 5 670 cm 2 12 Esercizio Svolto L'area della suerficie laterale e la misura dell'altezza di un cilindro sono risettivamente 840 cm 2 e 35 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume del cilindro. A l ˆ 840 cm 2 h ˆ 35 cm Incognite A t V A b ˆ r 2 ˆ 12 2 cm 2 ˆ 144 cm 2 Determiniamo la misura del raggio di base alicando la formula inversa dell'area della suerficie laterale. r ˆ A t ˆ 2 A b A l ˆ 2 144 840 cm 2 ˆ 1128 cm 2 V ˆ A b h ˆ 144 35 cm 3 ˆ 5040 cm 3 Al 2 h ˆ 840 cm ˆ 12 cm 2 35 13 L'area della suerficie laterale e la misura del raggio di base di un cilindro sono risettivamente 2156 cm 2 e 22 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume del cilindro. 3 124 cm 2 ; 23 716 cm 3 Š 14 L'area di base di un cilindro eá 324 cm 2 ; calcola l'area della suerficie totale e il volume del cilindro saendo che l'altezza eá 11 6 del raggio di base. 1 836 cm2 ; 10 692 cm 3 Š 15 Il volume e l'altezza di un cilindro misurano risettivamente 5808 cm 3 e 48 cm; calcola l'area della suerficie totale. 1 298 cm 2 Š 16 Il volume e il raggio di base di un cilindro misurano risettivamente 2592 dm 3 e 9 dm; calcola l'area della suerficie totale. 738 dm 2
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 3 17 Il volume e l'altezza di un cilindro misurano risettivamente 13005 cm 3 e 45 cm; calcola l'area della suerficie totale. 2 108 cm 2 Š 18 Un cilindro equilatero ha la misura del raggio di base di 12 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume. 864 cm 2 ; 3 456 cm 3 Š (Suggerimento: il cilindro equilatero ha l'altezza congruente al diametro) 19 Un cilindro equilatero ha l'area della suerficie totale di 3750 cm 2 ; calcola l'area della suerficie laterale e il volume. 2 500 cm 2 ; 31 250 cm 3 20 L'area della suerficie laterale di un cilindro equilatero eá 4900 cm 2 ; calcola l'area della suerficie totale e il volume. 7 350 cm 2 ; 85 750 cm 3 21 L'area della suerficie totale di un cilindro equilatero eá 2646 dm 2, calcola il volume. (Suggerimento: un cilindro equilatero ha il diametro congruente all'altezza) 18 522 dm 3 22 L'area della suerficie laterale di un cilindro equilatero eá 576 cm 2, calcola il volume. 3 456 cm 3 Š 23 Il volume di un cilindro equilatero eá 93312 dm 3, calcola l'area della suerficie totale. r 3 V (Attenzione alla formula inversa del volume r ˆ 2 24 Esercizio Guidato ) 7 776 dm 2 Š L'area di base di un cilindro eá 1296 cm 2 e l'altezza eá 5 del raggio di base. Calcola l'area della suerficie totale e il 4 volume. A b ˆ 1296 cm 2 Incognite A t h ˆ 5 4 r V Ricaviamo la misura del raggio dall'area di base er oi determinare la misura dell'altezza. r ˆ ::::: : ˆ ::::::: : ::::: cm ˆ ::::: cm h ˆ 5 4 r ˆ 5 ::::: cm ˆ 45 cm 4 A l ˆ 2 r h ˆ 2 ::::: 45 cm 2 ˆ :::::::::: cm 2 A t ˆ 2 A b A l ˆ 2 1296 :::::::::::: cm 2 ˆ 5 832 cm 2 V ˆ A b ::::: ˆ 1296 ::::: cm 3 ˆ 58320 cm 3 25 Calcola l'area della suerficie totale e il volume di un cilindro saendo che l'area di base eá 784 cm 2 e l'altezza eá 11 7 della base. 4 032 cm2 ; 34 496 cm 3 Š 26 Un cilindro ha il diametro di base lungo 30 cm mentre l'altezza eá 9 del raggio. Calcola il volume del 5 cilindro. 6 075 cm 3 Š 27 Esercizio Guidato L'area della suerficie totale di un cilindro eá 288 cm 2 ; calcola il volume saendo che l'area di base eá 1 6 dell'area laterale.
4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS A t ˆ 288 cm 2 A b ˆ 1 6 A l Incognita V Determiniamo il valore dell'area di base e dell'area laterale raresentando il raorto con dei quadratini. L'area della suerficie totale eá quindi divisa in... quadratini. A b ˆ A t : ::::: ˆ 288 : ::::: cm 2 ˆ :::::::: cm 2 A l ˆ ::::: 6 ˆ :::::::: 6cm 2 ˆ 216 cm 2 r ˆ A b : ˆ 36 : cm ˆ 6cm h ˆ A l : 2 ::::: ˆ :::::::: : 2 ::::: Š cm ˆ 18 cm V ˆ A b ::::: ˆ 36 ::::: cm 3 ˆ 648 cm 3 28 L'area della suerficie totale di un cilindro eá 448 cm 2 ; calcola il volume saendo che l'area di base eá 1 dell'area laterale. 1 280 cm3š 5 29 L'area della suerficie totale di un cilindro eá 1188 cm 2 ; calcola il volume saendo che l'area di base eá 3 5 dell'area laterale. 4 860 cm3š 30 Calcola il volume di un cilindro saendo che l'area della suerficie totale eá 3840 dm 2 e il raggio eá 3 7 dell'altezza. 32 256 dm 3 31 Calcola l'area della suerficie totale di un cilindro saendo che il volume eá 6336 cm 3 e il raggio eá 3 11 dell'altezza. 1 344 cm 2 Š 32 Calcola il eso di un tubo in ferro (Ps ˆ 7,89) del diametro di 5 cm, lo sessore di 3 mm e la lunghezza di 2 m. 6 986 gš
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 5 IL CONO richiami della teoria n Il cono eá il solido generato dalla rotazione comleta di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti; n il cono equilatero ha il diametro di base e l'aotema congruenti; n l'area della suerficie laterale di un cono eá uguale al rodotto della lunghezza della semicirconferenza di base er la misura dell'aotema; formula diretta: A l ˆ r a; formule inverse: r ˆ A l : a ; a ˆ A l : r ; n l'area della suerficie totale di un cono eá uguale alla somma dell'area della suerficie laterale e dell'area di base: A t ˆ A l A b oure A t ˆ r a r ; formule inverse: A l ˆ A t A b ; A b ˆ A t A l ; n il cono eá equivalente ad un terzo di un cilindro avente le misure del raggio di base e dell'altezza uguali; formula diretta: V ˆ r 2 h : 3; formule inverse: r ˆ 3 V : h ; h ˆ 3 V : r 2 ; n le formule er il calcolo dell'area delle suerfici e del volume del cono equilatero sono risettivamente: A l ˆ 2 r 2 ; A t ˆ 3 r 2 ; V ˆ r 3 3 : 3. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 33 Comleta la seguente definizione: si dice cono il solido generato dalla... di un... attorno ad uno dei suoi cateti. 34 Aiutandoti con la figura a lato definisci i seguenti elementi del cono: VO : ::::::::::::::::::::::::: OA : ::::::::::::::::::::::::: VA : :::::::::::::::::::::::::: 35 Raresenta lo sviluo della suerficie totale di un cono. 36 Qual eá la regola che ermette di determinare l'area della suerficie laterale di un cono? Come si esrime in simboli? 37 Quale delle seguenti formule ermette di determinare l'area della suerficie totale di un cono? a. A t ˆ A b A l ; b. A t ˆ A b A l ; c. A t ˆ 2 A b A l ; d. A t ˆ A l A b. 38 Quando un cono si dice equilatero? Come si trasformano le formule er determinare l'area della suerficie laterale e totale? 39 Qual eá la regola che ermette di calcolare il volume di un cono? Come si esrime in simboli? APPLICAZIONE 40 Esercizio Svolto Un cono ha la misura del raggio di base e dell'altezza risettivamente di 15 cm e 28 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume.
6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS OB ˆ r ˆ 15 cm VO ˆ h ˆ 28 cm A t ˆ A b A l ˆ 225 476,4 cm 2 ˆ 701,4 cm 2 V ˆ A b h : 3 ˆ 225 28 : 3 cm 3 ˆ 2100 cm 3 Incognite VB ˆ a ˆ r 2 h 2 ˆ 15 2 28 2 cm ˆ 31,76 cm A l ˆ r a ˆ 15 31,76 cm 2 ˆ 476,4 cm 2 A t A b ˆ r 2 ˆ 15 2 cm 2 ˆ 225 cm 2 V 41 Un cono ha le misure del raggio di base e dell'aotema risettivamente di 20 cm e 43 cm; calcola l'area della suerficie totale. 1 260 cm 2 42 Un cono ha le misure del diametro di base e dell'altezza risettivamente di 48 cm e 10 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume. 1 200 cm 2 ; 1 920 cm 3 43 L'area di base di un cono eá 1024 cm 2 ; calcola l'area della suerficie totale e il volume saendo che l'aotema misura 68 cm. 3 200 cm 2 ; 20 480 cm 3 44 Un cono ha la circonferenza di base e l'aotema che misurano risettivamente 70 cm e 91 cm; calcola l'area della suerficie totale e il volume. 4 410 cm 2 ; 34 300 cm 3 45 Esercizio Svolto Il volume di un cono eá 6480 cm 3 e la misura dell'altezza eá 15 cm; calcola l'area della suerficie totale. V ˆ 6480 cm 3 h ˆ VO ˆ 15 cm Incognita A t Calcoliamo l'area di base alicando la formula inversa del volume A b ˆ 3 V ˆ 3 V h VO ˆ 3 6480 cm 2 ˆ 1296 cm 2 15 r r A r ˆ OB ˆ b ˆ 1296 cm ˆ 36 cm Alichiamo il teorema di Pitagora al triangolo VOB er determinare la misura dell'aotema: q a ˆ VB ˆ VO 2 OB 2 ˆ 15 2 36 2 cm ˆ 225 1296 cm ˆ 1521 cm ˆ 39 cm A l ˆ r a ˆ OB VB ˆ 36 39 cm 2 ˆ 1404 cm 2 A t ˆ A b A l ˆ 1296 1404 cm 2 ˆ 2700 cm 2 46 L'area della suerficie laterale di un cono eá 960 cm 2 ; calcola l'area della suerficie totale e il volume saendo che il raggio di base misura 24 cm. 1 536 cm 2 ; 6 144 cm 3
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 7 47 L'area della suerficie laterale e di base di un cono sono risettivamente 20535 cm 2 e 12321 cm 2 ; calcola il volume. 607 836 cm 3 48 Il volume e la misura dell'altezza di un cono sono risettivamente 5000 cm 3 e 37,5 cm; calcola l'area della suerficie totale. 1 250 cm 2 49 Il volume e la misura del raggio di base di un cono sono risettivamente 207646 cm 3 e 94 cm; calcola l'area della suerficie totale. 19 881 cm 2 50 Esercizio Guidato Calcola l'area della suerficie totale e il volume di un cono saendo che l'area di base eá 324 cm 2 e il raggio di base eá 3 5 dell'altezza. r ˆ A b : ˆ h ˆ 5 3 r ˆ 5 3 q a ˆ VB ˆ VO 2 OB 2 A b ˆ 324 cm 2 Incognite A t r ˆ 3 5 h V Calcoliamo la misura del raggio di base alicando la formula inversa dell'area di base er oi calcolare la misura dell'altezza con il raorto dato. :::::::: : cm ˆ 18 cm ::::: cm ˆ 30 cm ˆ 30 2 18 2 cm ˆ A l ˆ ::::: a ˆ ::::: 34,99 cm 2 ˆ :::::::::: cm 2 A t ˆ A b A l ˆ :::::::: :::::::::: cm 2 ˆ 953,82 cm 2 V ˆ A b h : ::::: ˆ 324 ::::: : ::::: cm 3 ˆ 3240 cm 3 900 324 cm ˆ 1224 cm ˆ 34,99 cm 51 Calcola l'area della suerficie totale e il volume di un cono saendo che l'area di base eá 625 dm 2 eil raggio di base eá 5 8 dell'altezza. 1 804,25 dm2 ; 8 333,33 dm 3 52 Esercizio Guidato L'area della suerficie totale di un cono eá 600 cm 2 ; calcola il volume saendo che l'area di base eá 3 dell'area laterale. 5 A t ˆ 600 cm 2 A b ˆ 3 5 A l Incognita V Determiniamo il valore dell'area di base e dell'area laterale raresentando il raorto con dei quadratini.
8 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS L'area della suerficie totale corrisonde quindi a 8 quadratini. A b ˆ A t : 8 3 ˆ :::::::: : ::::: 3 cm 2 ˆ 225 cm 2 A l ˆ A t : 8 5 ˆ 600 : ::::: ::::: cm 2 ˆ 375 cm 2 r ˆ OB ˆ A b : ::::: ˆ 225 : ::::: cm ˆ 15 cm a ˆ VB ˆ A l : r ˆ 375 : ::::: ::::: Š cm ˆ ::::: cm h ˆ VO ˆ VB 2 OB 2 ˆ 25 2 15 2 cm ˆ V ˆ ::::: h : 3 ˆ :::::::: ::::: : 3 ˆ1500 cm 3 625 225 cm ˆ 400 cm ˆ 20 cm 53 L'area della suerficie totale di un cono eá 10404 cm 2 ; calcola il volume saendo che l'area di base eá 4 5 dell'area laterale. 78 608 cm3š 54 L'area della suerficie totale di un cono eá 10584 dm 2, calcola il volume saendo che l'area di base eá 3 5 dell'area laterale. 111 132 dm3š 55 Il volume di un cono equilatero eá 42773,472 cm 3, calcola l'area della suerficie totale. 5 292 cm 2 Š r 3 3 V (Attenzione alla formula inversa del volume r ˆ 3 56 L'area della suerficie totale di un cono equilatero eá 1323 cm 2, calcola il volume. 5 346,684 cm 3 Š 57 Calcola il volume di un cono saendo che l'area della suerficie totale eá 4410 cm 2 e il raggio eá 5 dell'aotema. 34 300 cm3š 13 58 Calcola l'area della suerficie totale di un cono saendo che il volume eá 81648 cm 3 e il raggio eá 9 dell'altezza. 8 308,44 cm2š 14
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 SOLIDI SOVRAPPOSTI 59 Un cilindro eá sormontato da un cono con la base concentrica a quella del cilindro e il raggio di base e l'altezza risettivamente 15 16 e 4 del raggio e dell'altezza del cilindro. Calcola l'area della suerficie 3 totale e il volume del solido saendo che il volume del cilindro eá 30720 cm 3 e la sua altezza misura 30 cm. 4 568 cm 2 ; 42 720 cm 3 Š 60 Un solido di acciaio Ps ˆ 7,5 eá formato da un cilindro e da un cono sovraosto con le basi coincidenti e le altezze risettivamente congruenti. Saendo che la circonferenza di base eá 104 cm 2 e che l'area della suerficie laterale del cono eá 3380 cm 2, calcola il eso del solido. 3 311 318,4 gš 61 In un reciiente cavo cilindrico, avente il raggio interno della base lungo 18 cm, si versa dell'acqua; in un secondo momento vi si immerge un cono che fa innalzare il livello dell'acqua di 3 cm. Calcola il volume del cono e la misura del raggio di una sfera che immersa nell'acqua ha innalzato il livello alla stessa altezza del cono. 972 cm 3 ;27cmŠ 62 Sulle basi di un cilindro sono aoggiati due coni congruenti con le basi concentriche con quelle del cilindro e raggio maggiore. Il raggio di base dei due coni misura 16 dm e la somma e la differenza dell'altezza del cilindro con uno dei due coni sono risettivamente 120 dm e 60 dm. Calcola l'area della suerficie totale e il eso del solido Ps ˆ 2,5 saendo che il raggio del cilindro eá 2 15 della sua altezza. 3 472 dm 2 ; 141 928 kg 63 La misura dello sigolo di un cubo eá 42 cm. Nel cubo eá raticata una cavitaá a forma di cono, rofonda 28 cm e con la base inscritta in una faccia del cubo. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido. 11 507,16 cm 2 ; 61163,76 cm 3 Š 64 Un solido eá formato da un cilindro equilatero sormontato da un cono equilatero con la base concentrica con quella del cilindro e raggio minore risetto a quello del cilindro di 8 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido saendo che l'altezza del cilindro misura 40 cm. 2 544 cm 2 ; 16 997,66 cm 3 Š 65 Un solido alto 40 cm eá costituito da un cubo sormontato da un cilindro equilatero avente la base inscritta nella faccia sueriore del cubo. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido. 3 656 cm 2 ; 14 280 cm 3 Š
10 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS LA SFERA richiami della teoria n La sfera eá il solido generato dalla rotazione comleta di un semicerchio attorno al suo diametro; n la suerficie sferica eá l'insieme di tutti i unti dello sazio che hanno la stessa distanza da un unto detto centro; n l'area della suerficie sferica eá equivalente alla suerficie laterale del cilindro equilatero ad essa circoscritto ed eá uguale a quattro volte l'area di un suo cerchio massimo; formula diretta: A ˆ 4 r 2 ; formula inversa: r ˆ A : 4 ; n il volume della sfera eá uguale al rodotto dei 4 di er il cubo della misura del raggio; formula diretta: 3 V ˆ 4 3 r 3 ; formula inversa: r ˆ 3 3 V : 4. COMPRENSIONE DELLA TEORIA 66 Comleta la seguente definizione: si dice sfera il solido generato dalla... di un... attorno al suo... 67 Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere o false: a. un iano eá esterno ad una sfera di raggio r e centro O se la distanza di O dal iano eá uguale al raggio; V F b. un iano eá esterno ad una sfera se non hanno alcun unto in comune con essa; V F c. un iano eá tangente ad una sfera di raggio r e centro O se la distanza di O dal iano eá uguale al raggio V F d. un iano eá tangente ad una sfera se hanno in comune un segmento; V F e. un iano eá secante ad una sfera di raggio r e centro O se la distanza di O dal iano eá maggiore del raggio; V F f. un iano eá secante ad una sfera se hanno tutti i unti di un cerchio in comune. V F 68 Qual eá la regola che ermette di determinare l'area della suerficie della sfera? Come si esrime in forma simbolica? 69 Quale delle seguenti formule ermette di calcolare il volume della sfera? a. V ˆ 4 5 r 3 ; b. V ˆ 3 4 r 3 ; c. V ˆ 4 3 r 3 ; d. V ˆ 4 3 r 2. APPLICAZIONE 70 Esercizio Svolto La circonferenza massima di una sfera misura 46 cm; calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 11 Dato C massima ˆ 46 cm Incognite A V A ˆ 4 r 2 ˆ 4 23 2 cm 2 ˆ 2116 cm 2 V ˆ 4 3 r 3 ˆ 4 3 233 cm 3 ˆ 16222,6 cm 3 Calcoliamo la misura del raggio della sfera che equivale al raggio della circonferenza massima. r ˆ C massima : 2 ˆ 46 : 2 cm ˆ 23 cm 71 La circonferenza massima di una sfera misura 84 cm; calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera. 7 056 cm 2 ; 98 784 cm 3 72 La circonferenza massima di una sfera misura 200,96 cm; calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera. 4 096 cm 2 ; 43 690,6 cm 3 73 Esercizio Svolto Calcola il volume di una sfera saendo che l'area della suerficie sferica eá 1764 cm 2. Dato A ˆ 1764 cm 2 Incognita V Per calcolare la misura del raggio, alichiamo la formula inversa: r ˆ A : 4 ˆ 1764 : 4 cm ˆ 441 cm ˆ 21 cm V ˆ 4 3 r 3 ˆ 4 3 213 cm 3 ˆ 12348 cm 3 74 Calcola la misura del raggio di una sfera saendo che l'area della suerficie sferica eá 1296 cm 2. 18 cmš 75 Calcola il volume di una sfera saendo che l'area della suerficie sferica eá 11664 cm 2. 209 952 cm 3 76 Calcola il volume di una sfera saendo che l'area della suerficie sferica eá 2826 cm 2. 4 500 cm 3 Š 77 Il volume di una sfera eá 62208 cm 3 ; calcola la misura del raggio. 36 cmš 78 Calcola la misura del diametro di una sfera il cui volume eá 2 304 dm 3. 24 cmš 79 Il volume di una sfera eá 333396 cm 3 ; calcola l'area della suerficie sferica. 15 876 cm 2 Š 80 Il volume di una sfera eá 24416,64 cm 3 ; calcola l'area della suerficie sferica. 1 296 cm 2 Š 81 Esercizio Guidato Un iano secante una sfera forma er intersezione una circonferenza lunga 48 cm; saendo che la distanza del iano dal centro della sfera misura 32 cm, calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera.
12 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS C intersezione ˆ 48 cm OP ˆ 32 cm Incognite A V 82 Un iano secante una sfera forma er intersezione una circonferenza lunga 108 dm; saendo che la distanza del iano dal centro della sfera misura 72 dm, calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera. 32 400 dm 2 ; 972 000 dm 3 83 Un iano secante una sfera forma er intersezione un cerchio d'area 6561 cm 2 ; saendo che la distanza del iano dal centro della sfera eá 108 cm, calcola l'area della suerficie sferica e il volume della sfera. 72 900 cm 2 ; 3 280 500 cm 3 Š 84 A ˆ 4 :::::::: ˆ 4 ::::: cm 2 ˆ 6400 cm 2 V ˆ 4 3 ::::: ˆ 4 3 ::::: cm3 ˆ 85333,3 cm 3 Esercizio Guidato PQ ˆ C intersezione : ::::: ˆ :::::::: : 2 cm ˆ 24 cm q OQ ˆ OP 2 PQ 2 ˆ ::::: 24 2 cm ˆ ::::: cm L'area della suerficie sferica eá 10816 cm 2 ; calcola l'area del cerchio intersezione formato da un iano secante la sfera, saendo che la sua distanza dal centro della sfera misura 20 cm. A ˆ 10816 cm 2 OP ˆ 20 cm OQ ˆ A : ::::: ˆ q PQ ˆ OQ 2 ::::: ˆ Incognita A intersezione 10816 : 4 52 2 20 2 cm ˆ cm ::::::: cm ˆ 52 cm 2304 A intersezione ˆ PQ 2 ˆ ::::::: cm 2 ˆ 2304 cm 2 cm ˆ ::::: cm 85 L'area della suerficie sferica eá 93636 cm 2 ; calcola l'area del cerchio intersezione formato da un iano secante la sfera, saendo che la sua distanza dal centro della sfera misura 72 cm. 18 225 cm 2 Š 86 Il volume di una sfera eá 4500 cm 3 ; calcola l'area del cerchio intersezione formato da un iano secante la sfera, saendo che la sua distanza dal centro della sfera misura 12 cm. 81 cm 2
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 13 GLI ALTR richiami della teoria n La rotazione di un: a. triangolo rettangolo attorno all'iotenusa genera due coni sovraosti con la base in comune; formule: A solido ˆ A l1 A l2 ; V solido ˆ V 1 V 2 ; b. triangolo isoscele attorno alla base genera due coni congruenti sovraosti con la base in comune; formule: A solido ˆ 2 A l1 ; V solido ˆ 2 V 1 ; c. triangolo ottusangolo attorno al rolungamento del suo lato genera un cono con una cavitaá a forma conica; formule: A solido ˆ A l1 A l2 ; V solido ˆ V 1 V 2 ; d. traezio rettangolo attorno alla base maggiore genera un cilindro e un cono sovraosto con la base in comune; formule: A solido ˆ A l cilindro A l cono A b cilindro ; V solido ˆ V cilindro V cono ; e. traezio rettangolo attorno alla base minore genera un cilindro e un cono in esso cavo; formule: A solido ˆ A l cilindro A l cono A b cilindro ; V solido ˆ V cilindro V cono ; f. traezio isoscele attorno alla base maggiore genera un cilindro e due coni sovraosti con la base in comune; formule: A solido ˆ A l cilindro 2 A l cono ; V solido ˆ V cilindro 2 V cono ; g. traezio isoscele attorno alla base minore genera un cilindro e due coni in esso cavi; formule: A solido ˆ A l cilindro 2 A l cono ; V solido ˆ V cilindro 2 V cono. APPLICAZIONE 87 Esercizio Guidato Il erimetro e la misura della base di un triangolo isoscele sono risettivamente 112 cm e 42 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido generato dalla rotazione comleta del triangolo attorno alla base. 2 ABC ˆ 112 cm AB ˆ 42 cm Incognite A solido V solido AC ˆ 2 AB : 2 ˆ ::::: ::::: : 2Š cm ˆ 35 cm CH ˆ BC 2 HB 2 ˆ ::::: 21 2 cm ˆ Il triangolo isoscele ABC ruotando di 360 attorno alla base AB genera due coni congruenti con le basi coincidenti, aventi come raggio l'altezza CH, come altezza le semibasi AH e HB e come aotema i lati AC e BC. ::::: 441 cm ˆ A l cono ˆ r a ˆ CH CB ˆ ::::: ::::: cm 2 ˆ 980 cm 2 A solido ˆ 2 :::::::::: ˆ 2 ::::::: cm 2 ˆ 1960 cm 2 V cono ˆ Ab h 3 784 cm ˆ 28 cm ˆ ::::: BH : 3Š ˆ ::::: 21 : 3Š cm 3 ˆ 5488 cm 3 V solido ˆ 2 V cono ˆ 2 :::::::::::::::: cm 3 ˆ 10976 cm 3
14 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 88 Un triangolo isoscele ha l'area di 480 cm 2 e la misura dell'altezza di 30 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido generato dalla rotazione comleta del triangolo attorno alla base. 2 040 cm 2 ; 9 600 cm 3 Š 89 Un traezio rettangolo ha l'area di 300 cm 2 e la misura delle due basi risettivamente 18 cm e 42 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido generato dalla rotazione comleta del traezio attorno alla base maggiore. 720 cm 2 ; 2 600 cm 3 Š 90 In un triangolo rettangolo la somma dei cateti eá 63 cm e la loro differenza 9 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione comleta del triangolo attorno all'iotenusa. 1 360 cm 2 ; 6 998,4 cm 3 Š 91 In un traezio isoscele la base maggiore e l'altezza misurano risettivamente 156 cm e 36 cm e il lato obliquo eá 1 della base maggiore. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido generato 4 dalla rotazione comleta del traezio attorno alla base maggiore. 11 880 cm 2 ; 176 256 cm 3 Š 92 L'area della suerficie totale di un solido generato dalla rotazione comleta di un traezio rettangolo attorno alla base minore eá 10080 cm 2. Calcola il volume del solido saendo che la differenza delle due basi e il lato obliquo del traezio misurano risettivamente 40 cm e 58 cm. 147 000 cm 3 Š 93 Un triangolo rettangolo ha un cateto e l'altezza relativa all'iotenusa che misurano risettivamente 12 cm e 9,6 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione comleta del triangolo attorno all'iotenusa. 268,8 cm 2 ; 614,4 cm 3 Š 94 In un traezio isoscele l'altezza eá lunga 15 cm, la somma e la differenza delle due basi misurano risettivamente 40 cm e 16 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione comleta del traezio attorno alla base maggiore. 870 cm 2 ; 3 900 cm 3 Š 95 In un traezio isoscele la somma e la differenza delle due basi misurano risettivamente 38 cm e 16 cm ed il erimetro eá 58 cm. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido ottenuto dalla rotazione comleta del traezio attorno alla base minore. 444 cm 2 ; 780 cm 3 Š 96 In un triangolo isoscele il raorto tra un lato obliquo e la base eá 5 e la loro differenza eá 3 cm. Calcola 6 l'area della suerficie totale e il volume del solido ottenuto facendo ruotare il triangolo di 360 attorno ad uno dei lati congruenti. 475,2 cm 2 ; 1 036,8 cm 3 Š