Esercizi i Cinematica 9 settembre 009
Capitolo 1 Moti in una imensione 1.1 Problemi svolti 1. velocità meia Un automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità i 40 km/h e poi per lo stesso tempo alla velocità i 80 km/h. Trovare la velocità meia. L automobile percorre la istanza s = v 1 T + v T nel tempo complessivo t = T ; pertanto, la velocità meia si ottiene come:. velocità meia- v m = s t = v 1T + v T T = v 1 + v = 60 km/h 16.67 m/s. Un automobile viaggia per un certo tempo T alla velocità i 40 km/h, percorreno una istanza. Essa, quini, percorre una istanza ientica alla velocità i 80 km/h. Trovare la velocità meia. Lo spazio complessivamente percorso è s = ; mentre i ue tratti sono percorsi, rispettivamente, nei tempi t 1 = /v 1 e t = /v. Pertanto il tempo complessivamente trascorso è t = /v 1 + /v. Dunque: v 1 + = v 1v 53.3 km/h 14.8 m/s. v v 1 + v Si noti che in questo caso, la velocità meia non coincie con la meia elle velocità. 3. contro corrente v m = s t = Una barca naviga controcorrente lungo un fiume, a un approo (punto A) a un secono approo (punto B) alla velocità costante v 1 = 10 km/h rispetto alla riva. Successivamente torna inietro (al punto B al punto A) alla velocità v = 16 km/h rispetto alla riva. Sapeno che il motore ella barca ha lavorato sempre al massimo ella potenza in entrambi i percorsi, trovare la velocità ella corrente e la velocità ella barca rispetto alla corrente. Chiamiamo v b la velocità ella barca rispetto all acqua (che è la stessa per entrambi i tratti percorsi) e v c la velocità ella corrente (cioè, la velocità ell acqua rispetto alla riva). Nel primo tratto, la corrente si oppone al moto ella barca; nel secono tratto, invece, la trascina. Dunque possiamo legare le velocità rispetto alla riva a v b e v c come segue: Ricavano le ue incognite, si ha v 1 = v b v c, v = v b + v c. v b = v 1 + v = 13 km/h, v c = v v 1 = 3 km/h. 1
1. Moti in una imensione 4. contro corrente- Nella stessa situazione el problema preceente, sono note la velocità ella corrente v c = km/h e la velocità ella barca rispetto alla corrente v b = 10 km/h. Calcolare la velocità meia ella barca rispetto alla riva. Detta la istanza tra i punti A e B, si ha che la istanza complessiva percorsa è s =, mentre il tempo impiegato vale t = t 1 + t, con t 1 = /(v b v c ) e t = /(v b + v c ). Pertanto: v m = v b v c + v b +v c = v b v c v b = 9.6 km/h. 5. in frenata Un automobile, urante una frenata uniforme, passa in un minuto alla velocità i 40 km/h a quella i 8 km/h. Trovare il valore ell accelerazione e lo spazio percorso. Cominciamo col convertire i valori i velocità: v 1 = 40 km/h 11.11 m/s, v = 8 km/h 7.78 m/s. Dato che la frenata è uniforme e che avviene in t = 60 s, l accelerazione si può ricavare come a = v v 1 t = 0.055 m/s. Lo spazio percorso in t, si ottiene come s = 1 a t + v 1 t = 566.6 m. Si noti che nella valutazione i s, il termine proporzionale all accelerazione fornisce un contributo negativo. 6. treno in transito Un treno si muove tra ue stazioni, istanti = 1.5 km. Esso percorre la prima metà el tragitto con moto uniformemente accelerato e la secona metà con moto uniformemente ritarato. Data la velocità massima (v max = 50 km/h), calcolare il valore ellaccelerazione e il tempo totale i percorrenza. Dato il tipo i moto, le ue metà el tragitto sono percorse nello stesso tempo T/. Per ottenere tempo e accelerazione, basta mettere a sistema le ue relazioni che escrivono la prima metà el percorso: Risolveno il sistema, si ricava = 1 ( ) T a, v max = a T. a = v max = 0.18 m/s, T = v max a = 17 s. Si noti che è essenziale convertire il valore i v max in metri al secono: v max = 13.88 m/s. 7. 100 metri In una gara sulla istanza = 100 m, ue atleti impiegano lo stesso tempo i T = 10. s. Il primo impiega t 1 = s in accelerazione costante, poi mantiene la velocità costante fino alla fine; mentre il secono accelera per t = 3 s, poi mantiene la velocità costante. Determinare per ciascun concorrente laccelerazione e la velocità massima. Per ciscuno ei ue atleti, occorre consierare che lo spostamento complessivo viene compiuto in ue tratti i cui il primo (i urata t i, i = 1, ) è uniformemente accelerato, mentre il secono (i urata T t i ) è i moto uniforme alla velocità v max,i = a i t i.
1. Moti in una imensione 3 (a) primo atleta: = 1 a 1 t 1 + a 1 t 1 (T t 1 ) a 1 = 5.43 m/s, (b) secono atleta = 1 a t + a t (T t ) a 1 = 3.83 m/s. Le velocità massime sono v max,1 = a 1 t 1 = 10.86 m/s, v max, = a t = 11.5 m/s. 8. 100 metri- Nella stessa gara el problema preceente, quale concorrente si trova in testa opo che è trascorso il tempo t = 6 s alla partenza? Poichè entrambi i concorrenti hanno si trovano già nella fase i moto uniforme, le istanze percorse a ciascuno i essi fino al tempo t valgono s 1 = 1 a 1 t 1 + v max,1 (t t 1 ) = 54.3 m, Dunque, il primo concorrente è in testa i.6 m. 9. frenata s = 1 a t + v max, (t t ) = 51.7 m. Unautomobile viaggia alla velocità v iniziale = 10 Km/h. Visto un ostacolo, il conucente riesce a fermarsi in = 110 m. Qual è l accelerazione e quanto tempo impiega? Valgono le relazioni = 110m = 1 at + v iniziale t, v finale = 0 = at + v iniziale, ove v iniziale = 33.3 m/s. Da queste ue equazioni si ricava a = v iniziale 5 m/s, t = v iniziale a 6.6 s. 10. lancio in aria Una palla viene lanciata a terra verso l alto con velocità iniziale v 0 = 1 m/s. (a) Quanto tempo impiega a raggiungere il punto più alto ella traiettoria? (b) Quanto vale la istanza a terra el punto pi alto? (c) Dopo quanto tempo al lancio ricae a terra? () Con che velocità la palla tocca terra? (a) v(t) = v 0 g t t max = v 0 g = 1.4 s; (b) = v 0 t max 1 g t max = 7.3 m; (c) t terra = t max =.48 s; () v terra = v 0 = 1 m/s.
1. Moti in una imensione 4 11. un sasso al tetto Un uomo lancia un sasso al tetto i un palazzo verso l alto, con velocità v 0 = 1.5 m/s. Il sasso raggiunge il suolo opo un tempo T = 4.5 s. Si calcoli : (a) l altezza el palazzo; (b) la massima altezza raggiunta al sasso; (c) la velocità con cui il sasso tocca il suolo. (a) La coorinata verticale el sasso a partire all istante el lancio vale y(t) = h + v 0 t 1 g t, a cui, poneno y = 0 per t = T, si trova h = 1 gt v 0 T = 36.4 m; (b) la velocità el sasso vale v(t) = v 0 gt a cui, poneno v(t max ) = 0, si ottiene t max = v 0 g y max y(t = t max ) = h + v 0 t max 1 g t max = 44.1 m. (c) v suolo v(t = T ) = v 0 gt = 9.4 m/s. 1. una barca in un fiume e quini Una barca naviga in un fiume, che ha una corrente con velocità v c = 1 m/s. Il suo motore è in grao i prourre una velocità i v barca = m/s rispetto alla corrente. Trovare la velocità ella barca rispetto alla riva in tre casi : (a) barca in favore i corrente; (b) barca contro corrente; (c) barca che naviga perpenicolarmente alla corrente. (a) v favore = v b + v c = 3 m/s; (b) v contro = v b v c = 1 m/s; (c) v = v b + v c.3 m/s. 13. una barca in un fiume- Una barca a motore si irige a velocità v b = 7. Km/h, in irezione perpenicolare alla riva i un fiume largo L = 500 m. A causa ella corrente essa approa più a valle a una istanza i = 375 m al punto i partenza. Trovare la velocità ella corrente e il tempo totale i attraversamento el fiume (si consieri un fiume senza anse nè curve e con spone parallelle). A metà ell attraversamento, un piccolo razzo i segnalazione viene sparato per errore con velocità v r = 0 m/s a una pistola posta nella barca e orientata verso l alto. Dire a quale istanza il razzo ricae in acqua rispetto al punto in cui avviene lo sparo. (si consieri g = 10 m/s ) Nella irezione perpenicolare al fiume si ha L = v b t, a cui t = L/v b = 50 s. In questo intervallo i tempo, la istanza percorsa lungo le spone vale = v c t, a cui si ottiene la velocità ella corrente v c = /t = 1.5 m/s. Il razzo parte, unque, con una componente orizzontale ella velocità pari a v r,orizz = vb + v c =.5 m/s. Esso rimane in aria per un tempo pari a t volo = v r /g = 4 s e pertanto rientra in acqua a istanza D r = t volo v r,orizz = 10 m.
1. Moti in una imensione 5 14. cauta a una torre (un problema in ue imensioni) Un oggetto viene lanciato a una torre i altezza H = 5 m, in irezione orizzontale, con velocità v 0 = 15 m/s. A che istanza cae, rispetto al boro ella torre? In quanto tempo? Rispetto a un riferimento con origine alla base ella torre, la posizione ell oggetto è ata alle coorinate orizzontale: x(t) = v 0 t, verticale: y(t) = h 1 g t. Pertanto esso tocca il suolo (cioè, si ha y = 0) quano 0 = h 1 g t suolo t suolo = atterrano alla istanza x(t = t suolo ) = v 0 t suolo 33.9 m. h g.6 s, 1. Problemi a svolgere 1..1 Moto rettilineo uniforme 1. velocità meia Un corpo si muove su una retta con velocità costante v 1 = 10 m/ s per 10 s, quini con velocità v = 5 m/ s per altri 5 s. Qual è la sua velocità meia?. incontro tra talpe Due talpe scavano una galleria parteno a ue punti istanti = 0 m e muovenosi l una incontro all altra. Sapeno che entrambe si muovono con la velocità costante v = 1 m/ s, calcolare opo quanto tempo si incontrano. 3. un aereo in ritaro Un aeroplano mantiene per un ora la velocità i 80 km/ h, e poi, per un ulteriore mezz ora, la velocità i 340 km/ h. Quanto spazio percorre? Qual è la sua velocità meia? 4. ue peoni Due peoni sono fermi al semaforo ai lati opposti i una straa larga 1 m, in attesa i attraversarla. Quano scatta il vere, il primo si muove con velocità v 1 = 1, 8 m/ s, l altro con con velocità v = 1, m/ s. Dopo quanto tempo si incontrano e a quali istanze ai bori ella straa? 1.. Moto uniformemente accelerato 1. un colpo i fucile Un colpo i fucile viene sparato verticalmente verso l alto con velocità iniziale v 0 = 50 m/ s. In quanto tempo il proiettile raggiunge l altezza h = 1000 m?. in un tubo catoico Un elettrone in un tubo catoico i un televisore viene accelerato a fermo per un tratto lungo l = 3 10 m, acquistano la velocità i v = 3 10 6 m/ s. Calcolare la sua accelerazione. 3. un auto che accelera Una macchina parte a ferma con accelerazione costante pari a m/ s, accelerano per cinque seconi. Nei successivi 10s, essa si muove i moto uniforme. Quanto spazio percorre? Qual è la sua velocità meia? 4. cauta Un corpo cae a fermo. Calcolare lo spazio che esso percorre tra il settimo e l ottavo secono all inizio ella cauta.
1. Moti in una imensione 6 5. tra ue semafori Su una straa rettilinea ci sono ue semafori posti a istanza = 450 m l uno all altro, in cui il vere scatta nello stesso istante e si mantiene acceso per t = 30 s. Un automobilista si trova, fermo, al primo i essi e parte con accelerazione costante al momento in cui si accene la luce vere. Quanto vale l accelerazione minima che gli permette i passare al secono semaforo quano esso ha ancora la luce vere? 6. moto accelerato Un corpo si muove con accelerazione costante. La sua velocità iniziale è v 0 = 0 m/ s e raoppia opo che il corpo ha percorso 100m. Calcolare l accelerazione. 7. ue sassi Due sassi vengono lanciati a terra verso l alto a istanza i 1s l uno all altro, con velocità iniziali uguali, pari a 5 m/ s. A che quota si incontrano? 8. tra ue cavalcavia Un automobile transita sotto un cavalcavia autostraale alla velocità i 10 km/ h. Dopo aver percorso 50 m, l auto passa sotto un secono cavalcavia alla velocità i 130 km/ h. Se il moto si è svolto con accelerazione costante, quanto tempo è trascorso tra i ue passaggi? 9. un altro moto accelerato In un intervallo i 3 s, un corpo che si muove i moto uniformemente accelerato opo essere partito a fermo, percorre 8 m. Quale spazio percorrerà nei successivi 3 s? 10. sorpassi Un automobile parte a ferma a un semaforo nel momento in cui si accene la luce vere, muovenosi con accelerazione costante a = 3 10 3 m/ s. Una secona auto, che si muove alla velocità costante i 60 km/ h, sorpassa la prima nell istante in cui essa parte. Dopo quanto tempo le ue auto si incontrano i nuovo?