LA GEOMETRIA NELLO SPAZIO n.1 Un eemento primitivo: o spazio. Lo spazio è caratterizzato dai seguenti assiomi: Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani. Ogni piano divide o spazio in due regioni, dette SEMISPAZI, di cui i piano stesso si dice origine o frontiera, tai che: a) i segmento che ha per estremi due punti A e B deo stesso semispazio non interseca i piano; ) i segmento che ha per estremi due punti C e D appartenenti a semipiani diversi interseca i piano in un punto. Da questo assioma discendono immediatamente due importanti considerazioni: a) un piano ed un semispazio sono figure convesse; ) una retta avente in comune con un piano α un soo punto P è divisa da P in due semirette che appartengono a semispazi opposti rispetto ad α. n.2 Un atro eemento primitivo: i piano I piano neo spazio è caratterizzato dai seguenti assiomi: Per tre punti deo spazio, non aineati, passa sempre uno ed un soo piano. Una retta passante per due punti di un piano giace interamente in que piano. Una retta giacente in un piano o divide in due regioni diverse, dette SEMIPIANI, di cui a retta stessa si dice origine o contorno, tai che: a) ogni segmento che congiunge due punti appartenenti ad uno stesso semipiano giace interamente in esso; ) ogni segmento che congiunge due punti appartenenti a semipiani diversi incontra a retta in un punto. Dai primi due assiomi discendono immediatamente due importanti considerazioni: a) se due piani hanno in comune tre punti non aineati, essi coincidono; ) per una retta ed un punto fuori di essa passa un piano ed uno soo; c) per due rette che si incontrano in un punto passa sempre un piano ed uno soo. n.3 La posizione di una retta rispetto ad un piano Un piano ed una retta che non gi appartiene possono avere un soo punto in comune e a RETTA si dice INCIDENTE IL PIANO. Se una retta ed un piano hanno due punti in comune aora a RETTA GIACE SUL PIANO e appartenendo ad esso ha infiniti punti in comune. Se una retta ed un piano non hanno punti in comune aora a RETTA si dice PARALLELA AL PIANO. n.4 La posizione reciproca di due rette. Due rette si dicono COMPLANARI quando appartengono ad uno stesso piano, SGHEMBE quando non c è acun piano che e contiene e quindi appartengono a piani diversi.
Si dice STELLA DI CENTRO P insieme di tutte e rette deo spazio che passano per i punto P che viene detto SOSTEGNO DELLA STELLA. L intersezione di una stea con un piano passante per i suo sostegno è un fascio di rette proprio. Due rette di una stea, dato che appartengono ad uno ed un soo piano, individuano uno ed un soo fascio. n.5 La posizione reciproca di due piani Se due piani hanno in comune tre punti non aineati, aora sono o stesso piano. Se due piani hanno in comune due punti A e B (oppure tre punti aineati), aora hanno anche in comune tutti i punti dea retta AB Se due piani distinti hanno in comune un punto, aora hanno in comune i punti di una ed una soa retta che passa per que punto. In conseguenza di ciò si può dire che due PIANI o sono COINCIDENTI, o si intersecano ungo una retta e sono INCIDENTI o non hanno punti in comune e sono PARALLELI. Per una retta passano infiniti piani. L insieme di tai piani si dice FASCIO PROPRIO DI PIANI e a retta ASSE DEL FASCIO. L insieme dei piani che passano per un punto si dice STELLA DI PIANI. n.6 Perpendicoarità tra retta e piano Ne piano esiste un'unica perpendicoare passante per un punto ad una retta data. Neo spazio questo è vero soo se i punto è a di fuori di essa. Per i punto P che appartiene aa retta r si possono condurre infinite perpendicoari ad r, una per ciascun piano de fascio di centro r. Se una retta r è perpendicoare in un suo punto P ad atre due rette a e, aora è perpendicoare a tutte e soe e rette de fascio di centro P generato da a e. Pertanto si può dire che una RETTA r incidente un piano α in un punto P è PERPENDICOLARE AL PIANO α se è perpendicoare a tutte e rette di α che passano per P. I punto P viene detto PIEDE dea perpendicoare. I piano passante per un punto di una retta e perpendicoare aa retta stessa è unico. Affinché una retta sia perpendicoare ad un piano asta che sia perpendicoare a due rette quasiasi de piano passanti per i punto d intersezione dea retta con i piano. TEOREMA DELLE TRE PERPENDICOLARI Se una retta r è perpendicoare ad un piano α in un suo punto P e da questo punto si conduce una retta s perpendicoare ad una retta t di α, quest utima è perpendicoare a piano β individuato da r ed s. Si osservi che una quaunque retta de piano β incidente s e t ne punto che hanno in comune risuta perpendicoare a t. P r t s
n.7 paraeismo fra rette Due RETTE neo spazio si dicono PARALLELE se sono companari e non hanno punti d intersezione. Due rette perpendicoari ad uno stesso piano sono paraee e viceversa, se due rette sono paraee, un piano che è perpendicoare a una è perpendicoare anche a atra. Se due rette sono paraee, ogni piano che incontra una incontra anche atra. Due rette paraee ad una terza sono paraee fra oro. Siano r ed s due rette paraee. Sia t intersezione di due piani passanti rispettivamente per e rette r ed s. Aora t risuta paraea sia ad r che ad s. n.8 paraeismo tra rette e piani Una RETTA si dice PARALLELA ad un PIANO se non ha acun punto in comune con esso oppure se appartiene interamente ad esso. Se una retta passante per un punto esterno ad un piano è paraea ad una retta de piano, essa è paraea a piano. Se una retta r è paraea a due piani che si intersecano ungo una retta s aora risuta r//s. Una retta ed un piano perpendicoari ad una medesima retta, in due punti distinti, sono paraei. Se per una retta paraea ad un piano si conduce un piano quaunque che interseca i primo, a retta d intersezione dei due piani è paraea aa retta data. Una retta ed un piano paraei determinano su due rette paraee segmenti congruenti. L utimo risutato permette di giustificare a seguente definizione: Data una retta paraea ad un piano, si dice DISTANZA DELLA RETTA DAL PIANO a distanza di un punto quasiasi dea retta da piano. n.9 paraeismo tra piani Due PIANI distinti ridicono PARALLELI quando non hanno acun punto in comune. Due piani perpendicoari ad una stessa retta sono paraei Se due rette che s intersecano sono paraee ad un piano, i piano individuato dae due rette è paraeo a primo. Le intersezioni di due piani paraei con un terzo piano sono rette paraee. Se due piani sono paraei, ogni retta che incontra uno dei due piani incontra anche atro. Se due piani sono paraei, ogni retta perpendicoare a primo è pure perpendicoare a secondo. Due piani paraei ad un terzo sono paraei tra oro. Per un punto esterno ad un piano si può condurre un ed un soo piano paraeo a queo dato. Se due piani sono paraei e distanze di ciascun punto di uno da atro sono congruenti. Si dice DISTANZA DI DUE PIANI PARALLELI a distanza di un punto quaunque di uno di essi da atro. Due angoi, comunque situati neo spazio, aventi i ati rispettivamente paraei e concordi,sono congruenti ed i oro piani paraei.
Se un piano incontra due piani paraei, e rette intersezione sono fra oro paraee. Se due piani sono paraei, ogni retta paraea a primo è paraea anche a secondo. Se due piani paraei intersecano due rette paraee, i segmenti che si vengono a determinare sono congruenti. TEOREMA DI TALETE un fascio di piani paraei individua su due rette trasversai insiemi di segmenti direttamente proporzionai. Viceversa se un fascio di piani individua su due rette segmenti in proporzione, tae fascio risuta costituito da piani paraei. n.10 diedri Due semipiani aventi a retta origine in comune dividono o spazio in due regioni opposte che hanno in comune soo i punti dei due semipiani. Si dice ANGOLO DIEDRO o più sempicemente DIEDRO ciascuna dee due parti in cui due semipiani aventi a stessa origine dividono o spazio, incusi i semipiani stessi. La retta origine dei due semipiani si dice SPIGOLO de diedro, i due semipiani si dicono FACCE e costituiscono a SUPERFICE de diedro. Dee due parti quea che contiene i proungamenti dee facce si dice DIEDRO CONCAVO atra si dice DIEDRO CONVESSO. Un diedro è soitamente convesso e se α e β sono e facce esso si indica con. ˆ I punti di un diedro che non appartengono ae facce si dicono interni, tutti i punti che non stanno sue facce e non sono interni si dicono esterni. Si dice poi che: - un DIEDRO è PIATTO se e due facce sono una i proungamento de atra, cioè i semipiani di un medesimo piano; un diedro piatto è un semispazio e una quaunque retta sceta su di esso costituisce o spigoo. Due diedri a cui somma è un diedro piatto si dicono SUPPLEMENTARI. - Un DIEDRO è GIRO quando e due facce sono semipiani coincidenti e contiene tutti i punti deo spazio; un diedro giro è o spazio stesso. Due diedri a cui somma è un diedro giro si dicono espementari. - Un DIEDRO è NULLO quando e due facce sono semipiani coincidenti e contiene soo i punti dee facce. - Due diedri si dicono consecutivi se hanno in comune una faccia e o spigoo. - Due diedri si dicono adiacenti se sono consecutivi e e facce non comuni sono i proungamento una de atra. La SEZIONE NORMALE DI UN DIEDRO è angoo ottenuto intersecando i diedro stesso con un piano perpendicoare ao spigoo. Tutte e sezioni normai di uno stesso diedro sono congruenti. Se due diedri hanno sezioni normai congruenti, sono congruenti e viceversa. La MISURA di un diedro si può identificare con a misura di una sua sezione normae e perciò si esprime in gradi o radianti.
Osservazione: se a sezione normae di un diedro è un angoo giro, piatto, retto,. aora i diedro è rispettivamente giro, piatto, retto,. e viceversa. Due DIEDRI si dicono OPPOSTI ALLO SPIGOLO se hanno o stesso spigoo e e facce sono una i proungamento de atra. Due diedri opposti ao spigoo sono congruenti. Si dice SEMIPIANO BISETTORE i semipiano che uscendo de diedro o divide in due diedri congruenti. - Ciascuna dee due parti in cui i piano isettore divide un diedro piatto si dice DIEDRO RETTO. Due diedri a cui somma è un diedro retto si dicono COMPLEMENTARI. n.11 perpendicoarità Due PIANI si dicono PERPENDICOLARI se, incontrandosi, formano quattro diedri congruenti e quindi retti. L esistenza di piani perpendicoari è assicurata da seguente teorema: se una retta è perpendicoare ad un piano, quaunque piano passante per essa è perpendicoare a piano dato. Per una retta perpendicoare ad un piano si possono condurre infiniti piani perpendicoari a piano dato. Se due piani sono perpendicoari, quaunque retta appartenente a uno di essi e perpendicoare aa oro intersezione è pure perpendicoare a atro, questa perpendicoare giace ne primo piano. Se due piani che si intersecano sono perpendicoari ad uno stesso piano, anche a oro intersezione è perpendicoare a questo piano. Due piani perpendicoari a rette perpendicoari, sono perpendicoari tra oro. Dato un piano e una retta, non perpendicoare ad esso, esiste uno ed un soo piano che contiene a retta data ed è perpendicoare a piano dato. Infine i seguente teorema permette di definire a distanza tra due rette sgheme. Date due rette sgheme,esiste una ed una soa retta perpendicoare ad entrame. I segmento, compreso tra e due rette date, è minore di quaunque atro segmento compreso tra esse. Tae segmento si dice DISTANZA TRA DUE RETTE SGHEMBE. Si dice ANGOLO DI DUE RETTE SGHEMBE angoo acuto o retto, formato da due rette, paraee ae date condotte da un punto quaunque deo spazio. Se angoo di due rette sgheme è retto e RETTE si dicono ORTOGONALI. Se due rette sono rispettivamente perpendicoari a due piani perpendicoari tra oro, esse sono ortogonai. n.12 angooidi Siano F un poigono e P un punto che non appartiene a piano su cui i poigono poggia. La SUPERFICIE descritta da tutte e semirette uscenti da P, detto VERTICE, che intersecano i ati de poigono F è detta PIRAMIDALE. Le semirette che partono da P e passano per i vertici di F si dicono SPIGOLI, gi angoi con vertice P e ati due spigoi consecutivi si dicono FACCE. Una superficie piramidae divide o spazio in due regioni distinte una interna ed una esterna. P La regione di spazio costituita daa superficie piramidae e da tutti i suoi punti interni è detta ANGOLOIDE ed è una figura soida. I vertici, gi spigoi e e facce dea superficie piramidae sono anche i vertice, gi spigoi e e facce de angooide. L insieme dee facce costituisce a superficie
de angooide. I diedri formati dai semipiani contenenti due facce consecutive si dicono diedri de angooide. Se a,, c, d, sono gi spigoi e O i vertice, angooide si indica con Ô acd.. Un angooide si dice TRIEDRO, TETRAEDRO, PENTAEDRO,.. a seconda che aia tre, quattro, cinque, facce. Se e facce di un angooide sono tutte uguai fra oro esso si dice REGOLARE. Un angooide si dice CONCAVO o CONVESSO a seconda che i poigono F sia concavo o convesso. In ogni triedro ogni faccia è minore dea somma dee atre due e maggiore dea oro differenza. In ogni angooide ciascuna faccia è minore dea somma di tutte e atre. La somma dee facce di un angooide è minore di quattro angoi retti. Due triedri sono direttamente o inversamente congruenti se hanno rispettivamente congruenti: due facce e i diedro compreso, due diedri e a faccia comune, e tre facce, i tre diedri. n.13 poiedri Si dice SUPERFICIE POLIEDRICA a figura formata da più poigoni convessi situati in piani diversi e disposti in modo che ciascun ato sia comune a due di essi e che i piano di ogni poigono asci tutti gi atri da una medesima parte. Si dice POLIEDRO a figura formata da una superficie poiedrica e da tutti i suoi punti interni. Ovvero un poiedro è una regione finita deo spazio deimitata da poigoni, detti facce, giacenti in piani diversi e tai che ogni ato sia comune a due poigoni. Si dice DIAGONALE i segmento congiungente due vertici non appartenenti aa stessa faccia. Un poiedro ha ameno quattro facce e in questo caso si dice TETRAEDRO, se ne ha cinque si dice PENTAEDRO, sei ESAEDRO, otto OTTAEDRO, dodici DODECAEDRO, venti ICOSAEDRO. n.14 poiedri regoari Un poiedro si dice regoare quando e sue facce sono poigoni regoari tutti congruenti tra oro e i suoi angooidi sono pure tutti congruenti tra oro. Esistono soo i seguenti cinque poiedri regoari: TETRAEDRO REGOLARE: si ottiene facendo concorrere in un vertice tre triangoi equiateri; ha 4 facce triangoari, 4 vertici e 6 spigoi e angooidi triedri; OTTAEDRO REGOLARE: si ottiene facendo concorrere in un vertice quattro triangoi equiateri; ha 8 facce triangoari, 6 vertici,12 spigoi, angooidi tetraedri; ICOSAEDRO REGOLARE: si ottiene facendo concorrere in un vertice cinque triangoiequiateri; ha 20 facce triangoari, 12 vertici, 30 spigoi e angooidipentaedri; ESAEDRO o CUBO: si ottiene facendo concorrere in un vertice tre quadrati; ha sei facce, 8 vertici, 12 spigoi e angooiditriedri; DODECAEDRO che si ottiene facendo concorrere in un vertice tre pentagoni regoari; ha 12 facce pentagonai, 20 vertici, 30 spigoi e angooidi triedri. I 5 poiedri regoari prendono i nome di soidi patonici per i significato simoico attriuito ad essi da fiosofo Patone. L icoesaedro è da disegnare. I paone da cacio è un poiedro semiregoare perché si aternano pentagoni ad esagoni.
TEOREMA DI EULERO: se s è i numero degi spigoi, f queo dee facce, v queo dei vertici di un poiedro convesso, è vaida a reazione f+v=s+2. Le conseguenze sono che non esistono poiedri in cui tutte e facce aiano più di cinque spigoi e che i poiedri in cui e facce aiano ugua numero di ati e gi angooidi ugua numero di spigoi possono essere soo quei patonici. n.15 atri poiedri: prismi e piramidi Siano F un poigono e d una retta non appartenente a piano su cui giace F. si dice SUPERFICIE PRISMATICA INDEFINITA insieme dee rette aventi a direzione di d passante per i vertici e per i punti dei ati di F. La parte di spazio deimitata daa superficie prismatica e contenente i poigono F si dice PRISMA INDEFINITO. Le sezioni di un prisma indefinito con piani paraei sono poigoni congruenti e quindi è possiie dare a seguente definizione. Si dice PRISMA a parte di prisma indefinito deimitato da una coppia di piani paraei. I poigoni individuati dai due piani paraei si dicono BASI, i paraeogrammi che o deimitano si dicono FACCE LATERALI, a distanza tra i piani dee asi si dice ALTEZZA. In definitiva un prisma è un poiedro che ha come asi due poigoni giacenti su piani paraei diversi e come facce aterai tanti paraeogrammi quanti sono i ati di ase. Se gi spigoi aterai sono perpendicoari ai piani di ase aora i PRISMA si dice RETTO atrimenti oiquo. Se in un prisma retto i poigoni di ase sono regoari aora si dice che i PRISMA è REGOLARE. Ne disegno è rappresentato un prisma esagonae. Nei prismi regoari e facce aterai sono rettangoi tutti congruenti. La superficie aterae S si cacoa motipicando i perimetro di ase per atezza S 2 p h La superficie di ase S è quea de poigono regoare (per i pentagono, esagono, si cacoa come semiperimetro per apotema) La superficie ae S si cacoa sommando quea aterae con e due di ase S S 2S I voume si cacoa V A h Un caso particoare di prisma è i PARALLELEPIPEDO: prisma che ha per asi due paraeogrammi. Se gi spigoi di un PARALLELEPIPEDO sono perpendicoari ae asi aora esso diventa RETTO. Se a ase di un PARALLELEPIPEDO retto è un rettangoo aora si dice che è RETTANGOLO. e se a e sono e dimensioni de rettangoo di ase e h atezza si ha: superficie aterae S =2h(a+) superficie di ase S =a superficie ae S =2h(a+2)+2a 2 2 2 Diagonae = a h I voume si cacoa V A h= ah
Se e dimensioni di un paraeepipedo rettangoo sono tutte uguai tra oro, cioè a==h= ato, aora esso si dice CUBO. superficie aterae S = 4 2 superficie di ase S = 2 superficie ae S = 6 2 Diagonae = 3 I voume V 3 Se si considera un angooide di vertice V ed un piano α non passante per V che incontra tutti i suoi spigoi si dice PIRAMIDE intersezione de semispazio individuato da α contenente V con angooide. La sezione de angooide con i piano è un poigono che si dice BASE dea piramide, i vertice e gi spigoi de angooide compresi tra i vertice e a ase sono i VERTICE e gi SPIGOLI LATERALI dea piramide, a distanza de vertice da piano si dice ALTEZZA. L intersezione determina sue facce de angooide dei triangoi che si dicono FACCE LATERALI e a oro unione si dice SUPERFICE LATERALE. L unione dea superficie aterae con quea di ase si dice SUPERFICIE TOTALE. Come per i prismi e piramidi prendono i nome da numero dei ati dea ase. Così si hanno piramidi triangoari, quadrangoari,.. a piramide triangoare è un TETRAEDRO. Ciascuna faccia si può considerare ase e si dicono opposti gi spigoi che non hanno vertici in comune. Una PIRAMIDE si dice RETTA se ha per ase un poigono circoscriviie ad un cerchio, i cui centro coincide con a proiezione de vertice sua ase. I segmenti congiungenti i vertice con i punti di contatto dei ati dea ase con a circonferenza inscritta sono e atezze dee facce aterai e sono congruenti fra oro. L atezza comune dee facce aterai si dice APOTEMA. Se p indica i semiperimetro de poigono di ase e a apotema si ha: superficie aterae S =p a superficie di ase S superficie ae S S S voume V 1 3 A h Se una piramide ha per ase un poigono regoare si dice PIRAMIDE REGOLARE. Se si tagia con un piano paraeo aa ase una piramide si ottiene un poigono simie a poigono di ase e i ati e i perimetri di questi due poigoni sono proporzionai ae distanze de oro piano da vertice e e aree ai quadrati di queste distanze. n.16 soidi di rotazione: ciindro, cono e sfera Facendo compiere una rotazione competa ad un semipiano α intorno aa sua retta origine r, ossia a ASSE DI ROTAZIONE r, a inea giacente su di esso genera una superficie detta SUPERFICIE DI ROTAZIONE e viene detta GENERATRICE. Ogni punto dea generatrice descrive una circonferenza, detta PARALLELO, che giace su un piano perpendicoare a asse di rotazione ed ha i centro su esso.
L intersezione di un piano quaunque contenente asse di rotazione è una inea congruente aa generatrice e si dice MERIDIANO. Se si considera una figura F su semipiano α e si compie una rotazione competa si descrive un soido detto SOLIDO DI ROTAZIONE o SUPERIFICIE ROTONDA e i contorno dea figura genera a sua superficie. I caso dea rotazione di rette paraee a asse: ciindri. Si dice SUPERFICIE CILINDRICA CIRCOLARE INDEFINITA a superficie generata daa rotazione di una retta paraea a asse di rotazione. Si dice CILINDRO INDEFINITO i soido ottenuto daa rotazione dea striscia di piano individuata da asse di rotazione e da una sua paraea. La parte di spazio de ciindro indefinito deimitata da due piani distinti perpendicoari a asse di rotazione si dice CILINDRO CIRCOLARE RETTO o CILINDRO. I ciindro può essere visto come i soido generato daa rotazione competa di un rettangoo attorno ad un suo ato. I cerchi individuati dai piani secanti sono e BASI, i segmenti di generatrice compresa tra i piani dee asi si dicono LATI, a distanza tra i piani dee asi ALTEZZA. Un CILINDRO è EQUILATERO se i ato e quindi atezza è congruente a diametro di ase. La superficie aterae di un ciindro è equivaente ad un rettangoo che ha per ati atezza h de ciindro e a circonferenza, di raggio r, rettificata di ase. Quindi si ha: superficie aterae S =2πrh 2 superficie di ase S = 2 πr S S 2S 2πr hr superficie ae voume V r 2 h I caso dea rotazione di rette incidenti asse: coni. Si dice SUPERFICIE CONICA CIRCOLARE INDEFINITA a superficie generata daa rotazione di una semiretta avente origine V su asse di rotazione. Si dice CONO INDEFINITO i soido ottenuto daa rotazione de angoo individuato da asse di rotazione e daa semiretta. Tutte e generatrici sono uguamente incinate rispetto a asse. I raggi dei paraei sono cono proporzionai sia ae distanze dei rispettivi piani da vertice, sia ae distanze dei punti dei paraei da vertice stesso. Le sezioni di un cono indefinito con i piani perpendicoari a asse sono cerchi, e cui aree stanno tra oro come i quadrati dee rispettive distanze da vertice. La parte di spazio de cono indefinito contenente i vertice e deimitata da un piano perpendicoare a asse di rotazione si dice CONO CIRCOLARE RETTO o CONO. I cono può essere visto come i soido generato daa rotazione competa di un triangoo rettangoo attorno ad un suo cateto. I cerchio sezione è a BASE, i segmento di generatrice compreso fra i vertice e a circonferenza di ase si dice APOTEMA, i segmento che unisce i vertice con i centro dea circonferenza di ase si dice ALTEZZA ed è a distanza de vertice daa ase. Un CONO è EQUILATERO se apotema è congruente a diametro di ase. La superficie aterae è equivaente ad un settore di circonferenza che ha per arco a circonferenza de cono e per raggio apotema. superficie aterae S =πra
superficie di ase S = πr 2 S S superficie ae S πra r voume si cacoa V 1 3 A h Superficie di una SFERA S 4r 2 Voume di una SFERA: V 4 3 r3 Esercizi di geometria deo spazio: Quesito 1-2003 Proema 1-2003 Quesito 2 e 4-2006 Quesito 4-2009.