Esercizio 7.1 Il testo dell esercizio richiede di calcolare il prezzo ottimale per l impresa in concorrenza monopolistica (noto questo prezzo, è infatti possibile calcolare la variazione di prezzo richiesta). Sappiamo che la massimizzazione del profitto richiede che il costo marginale sia uguale al ricavo marginale. Data la funzione di costo totale dell esercizio e la funzione inversa di domanda, otteniamo il costo marginale: MC(y) = 20 + 2y. Possiamo calcolare i ricavo marginale come derivata del ricavo totale fatta rispetto y. Il ricavo totale è dato da: T R(y) = (60 y)y, quindi il ricavo marginale deve essere: MR(y) = 60 2y. Da MC(y) = MR(y), otteniamo quindi: 20 + 2y = 60 2y y = 10 data la produzione ottimale, possiamo calcolare il prezzo sostituendo y sulla funzione di domanda: p = 60 10 = 50. Pertanto, l impresa massimizza i profitti se p = 50. Dato che il prezzo fissato dall imprenditore era pari a 48, esso dovrà essere aumentato di 2 1
Esercizio 7.2 In assenza di campagna pubblicitaria, la quantità ottimale da produrre è calcolabile utilizzando la funzione di domanda e la funzione di costo totale proposte direttamente nel testo. Sappiamo che la massimizzazione dei profitti si ha quando il costo marginale è uguale al ricavo marginale (MC(y) = MR(y)), da cui: 2 = 8 y y = 6 p = 5 dove p è calcolato utilizzando la curva inversa di domanda. Possiamo allora calcolare i profitti in assenza di campagna pubblicitaria (π NO ): π NO = p y (10 + 2y ) π NO = 5 6 (10 + 2 6) = 8 Se l impresa decidesse di porre in essere la campagna pubblicitaria, la sua funzione di costo totale diventerebbe: TC(y) = 10 + 5 + 2y poiché sosterebbe anche i costi fissi della pubblicità, pari a 5. La funzione inversa di domanda sarebbe data da: p = 10 0.5y quindi il ricavo marginale diventerebbe: MR = 10 y. La solita uguaglianza tra costo e ricavo marginali da luogo a: 2 = 10 y y = 8 p = 6 Il profitto, nel caso di realizzazione della campagna pubblicitaria π SI sarebbe allora dato da: π SI = p y (15 + 2y ) π SI = 6 8 (15 + 2 8) = 17 Pertanto, all impresa converrà fare la campagna pubblicitaria perchè permette un incremento di profitti pari a π = 17 8 = 9. 2
Esercizio 7.3 Soluzione 1) La funzione di domanda che si rivolge alla singola impresa è data da y = Y 24, cioè: y = 100 2p p = 50 1 2 y dove l ultima equazione è la funzione inversa di domanda. marginale è quindi: MR = 50 y La funzione di ricavo Derivando la funzione di costo totale rispetto y otteniamo il costo marginale MC = 4y. L uguaglianza tra ricavo marginale e costo marginale porta all equazione: 50 y = 4y y = 10 p = 45 I profitti dell impresa quando nel mercato operano 24 imprese (π 24 ) sono allora dati da: π 24 = 45 10 (10 + 2 10 2 ) = 240 Se entra una nuova impresa, vale y = 25 Y 48, cioè y = 96 25 p. Risolvendo per p abbiamo p = 50 25 48y; calcolando il ricavo marginale, otteniamo: MR = 50 25 24 y Dall eguaglianza tra il ricavo marginale e il costo marginale otteniamo y e p : 50 25 24 y = 4y y = 1200 121 = 9.917 p = 50 25 48 1200 121 = 44.835 Il profitto della singola impresa quando nel mercato operano 25 imprese (π 25 ) è quindi pari a: π 25 = 44.835 9.917 ( 10 + 9.917 2) = 237.935 A causa dell ingresso di una nuova impresa, il profitto di ogni impresa si è ridotto di 2.65 = 240 237.935 Soluzione 2) L intero svolgimento poteva essere impostato utilizzando N per indicare il numero di imprese: y = 2400 N 48 N p p = 50 N 48 y da cui, il ricavo marginale: La scelta ottimale dell impresa è allora: MR = 50 N 24 y 50 N 24 y = 4y y = 1200 96 + N p = 50 25N N + 96 3
si nota che, ovviamente, sia la quantità prodotta dalla singola impresa che il prezzo di vendita dipendono dal numero di imprese presenti sul mercato. Il profitto sarà quindi: ( π N = 50 25N )( ) [ ( ) ] 1200 1200 2 10 + 2 N + 96 96 + N 96 + N che, per chi ha voglia di sviluppare lunghi passaggi analitici, può essere semplificata in: π N = 10 2904 N 96 + N Sostituendo N = 24 oppure N = 25 in una delle funzioni di profitto presentate nelle due equazioni precedenti si ottengono (ovviamente) gli stessi risultati ottenuti nella soluzione 1). 4
Esercizio 7.4 La metodologia per la soluzione dell esercizio è la stessa vista negli esercizi precedenti. In questo caso è necessario calcolare ( il ) costo marginale partendo dal costo medio. Il costo totale è: TC = AC y = 100 y + 2 y = 100 + 2y. Il costo marginale è quindi: MC = 2 L uguaglianza tra ricavo marginale (dato da: MR = 198 2y) e costo marginale (uguale a 2=) permette di ottenere: y = 98 p = 100 5
Esercizio 7.5 Il calcolo del numero di imprese operanti nel lungo periodo in un sistema di concorrenza monopolistica richiede la soluzione del sistema presentato all equazione 7.1 del testo, dove la prima equazione ci dice che il prezzo deve essere uguale al costo medio e la seconda equazione richiede che funzione inversa di domanda e funzione di costo medio abbiano la stessa pendenza. Riportiamo, per comodità, l equazione 7.1: { p(y,n) = AC(y) d p(y,n) dy = dac(y) dy Data la funzione di costo totale, calcoliamo allora la funzione di costo medio: AC(y) = 4y 2 20y + 99 e impostiamo il sistema 7.1 con i dati forniti dal testo: { 90 10 N y = 4y2 20y + 99 10 N = 8y 20 Ci troviamo quindi a dover risolvere un sistema di due equazioni con due incognite (y e N). Dalla seconda equazione è agevole calcolare: N = 200 80y Possiamo sostituire questo risultato nella prima equazione: 90 200 80y y = 4y 2 20y + 99 90 20y + 8y 2 = 4y 2 20y + 99 10 che, semplificata, da luogo a 4y 2 9 = 0. Si ottiene allora facilmente: y LP = 3 2 = 1.5 pertanto, nel lungo periodo ogni impresa si troverà a produrre 1.5 unità del bene y. Dato che la seconda equazione del sistema ci dice che N = 200 80y, avremo N LP = 80. Nel lungo periodo nel mercato ci saranno 80 imprese. Abbiamo così risposto alla domanda del testo. Si noti che, per N = 80, la funzione di domanda per la singola impresa è: quindi il ricavo marginale sarà: p = 90 8y MR = 90 16y L impresa che si comporta razionalmente sceglierà la quantità y da produrre sulla base dell eguaglianza tra ricavo e costo marginale: 90 16y = 12y 2 40y + 99 12y 2 24y 9 = 0 6
risolvendo rispetto ad y e scegliendo la radice maggiore (quella corrispondente alla situazione in cui il costo marginale è crescente) otteniamo y = 1.5; di conseguenza, p = 78. Calcoliamo i profitti: π = 78 1.5 (4 1.5 3 20 1.5 2 + 99 1.5) = 0 cioè, l impresa massimizza i propri profitti, ma ottiene extraprofitti nulli. Questo è necessario, perchè le imprese in concorrenza monopolistica hanno extra-profitti pari a zero nel lungo periodo. Se, dopo aver calcolato il comportamento ottimale per la singola impresa quando nel mercato operano 80 imprese (N LP = 80), non avessimo ottenuto il risultato che per la singola impresa è ottimale produrre 1.5 e se i profitti non fossero stati nulli, allora ci dovevano essere errori nei passaggi analitici. 7