GEOMETRIA PREREQUISITI l l l l conoscere gli enti fondamentali della geometria iana e le loro rorietaá conoscere gli enti fondamentali nelle tre dimensioni conoscere le formule er il calcolo delle aree dei oligoni conoscere il teorema di Pitagora e i teoremi di Euclide CONOSCENZE 1. le nozioni generali dei oliedri. la relazione di Eulero 3. le nozioni generali dei rismi e il calcolo dell'area della suerficie laterale e totale 4. le nozioni generali della iramide e il calcolo dell'area della suerficie laterale e totale 5. le nozioni generali dei oliedri regolari e il calcolo dell'area della suerficie 6. il concetto di solidi equivalenti 7. il volume dei oliedri ABILITAÁ A. sviluare nel iano i oliedri B. calcolare l'area della suerficie laterale e totale di un risma C. calcolare l'area della suerficie laterale e totale di una iramide D. calcolare l'area della suerficie di un oliedro regolare E. calcolare i volumi dei oliedri PER RICORDARE I rismi: 1. un oliedro eá la arte di sazio delimitata da oligoni osti su iani diversi in modo tale che ogni lato sia comune a due di essi;. la relazione di Eulero dice che in ogni oliedro convesso la somma del numero delle facce e del numero dei vertici eá uguale al numero degli sigoli iuá due: f v ˆ s ; 3. il risma eá un oliedro costituito da due oligoni congruenti, osti su due iani aralleli e con i lati aralleli, e da tanti arallelogrammi quanti sono i lati di ciascuno dei due oligoni; 4. un risma retto ha gli sigoli laterali erendicolari ai iani delle basi; 5. un risma regolare eá retto e ha come basi due oligoni regolari; 6. il aralleleiedo eá un risma che ha come basi due arallelogrammi; 7. il aralleleiedo rettangolo eá un aralleleiedo retto che ha come basi due rettangoli; le sue facce sono a due a due congruenti; 8. il cubo eá un aralleleiedo rettangolo avente le tre dimensioni congruenti e quindi come facce sei quadrati congruenti; 9. l'area della suerficie laterale di un risma retto eá uguale al rodotto del erimetro della base er la misura dell'altezza del risma; formula diretta: A l ˆ h; formule inverse: ˆ A l : h; h ˆ A l : ; 10. l'area della suerficie totale di un risma retto eá uguale alla somma dell'area laterale con il doio dell'area di una base; formula diretta: A t ˆ A l A b ; formule inverse: A l ˆ A t A b ; A b ˆ A t A l : ;
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 11. l'area della suerficie di un aralleleiedo rettangolo eá data dalla formula: A t ˆ ab a c b c ; 1. la misura della diagonale di un aralleleiedo rettangolo eá uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle misure delle sue tre dimensioni: d ˆ a b c ; 13. l'area della suerficie laterale e totale di un cubo sono date risettivamente dal rodotto dell'area di una faccia er 4 e er 6; formule dirette: A l ˆ 4 l ; A t ˆ 6 l ; formule inverse: l ˆ A l : 4; l ˆ A t : 6; 14. la misura della diagonale di un cubo eá uguale al rodotto della misura dello sigolo er formula diretta: d ˆ l 3 ; formula inversa: l ˆ d : 3 (con 3 ˆ 1,73). 3 ; La iramide e i oliedri regolari: 15. la iramide eá la arte di una iramide indefinita comresa fra una sezione iana e il vertice; 16. una iramide eá retta se nella base si uoá inscrivere una circonferenza e il iede dell'altezza coincide con il centro di questa circonferenza; 17. l'aotema di una iramide retta eá l'altezza di uno qualunque dei triangoli che costituiscono le sue facce laterali; l'aotema di base eá il raggio della circonferenza inscritta e si calcola dividendo l'area del oligono di base er il semierimetro: r ˆ A : ; 18. una iramide eá regolare se eá retta e se ha come base un oligono regolare; 19. l'area della suerficie laterale di una iramide retta eá uguale al rodotto del semierimetro della base er la misura dell'aotema; formula diretta: A l ˆ a; formule inverse: ˆ A l : a; a ˆ A l : ; 0. l'area della suerficie totale di una iramide retta eá uguale alla somma dell'area laterale con l'area della base; formula diretta: A t ˆ A l A b ; formule inverse: A l ˆ A t A b ; A b ˆ A t A l ; 1. un oliedro eá regolare se tutte le sue facce sono oligoni regolari congruenti fra di loro e i suoi diedri e i suoi angoloidi sono congruenti fra loro;. l'area della suerficie dei oliedri regolari eá uguale al rodotto del numero di facce er il quadrato della misura del lato er il relativo numero fisso. I solidi equivalenti: 3. il volume di un coro consiste nella arte di sazio che il coro occua; 4. due solidi equivalenti hanno lo stesso volume; 5. rinciio di Cavalieri: due solidi equivalenti si ossono disorre, risetto ad un iano, in modo che ogni iano arallelo a questo li intersechi secondo sezioni equivalenti; 6. misurare il volume di un solido significa confrontarlo con un altro solido scelto come unitaá di misura e stabilire quante volte quest'ultimo eá contenuto nel rimo; 7. il volume del aralleleiedo rettangolo eá uguale al rodotto delle misure delle tre dimensioni; formula diretta: V ˆ a b c oure V ˆ A b h; formule inverse: A b ˆ V : h; h ˆ V : A b ; 8. il volume del risma retto eá uguale al rodotto dell'area della base er la misura dell'altezza; formula diretta: V ˆ A b h; formule inverse: A b ˆ V : h; h ˆ V : A b ; 9. il volume del cubo eá uguale alla terza otenza della misura del suo sigolo; formula diretta: V ˆ `3; 3 formula inversa: l ˆ V ; 30. la iramide eá equivalente alla terza arte di un risma avente la base equivalente e l'altezza congruente a quella della iramide; formula diretta: V ˆ A b h : 3; formule inverse A b ˆ 3 V : h; h ˆ 3 V : A b ; 31. il volume di un oliedro regolare eá uguale al rodotto del cubo della misura dello sigolo er il numero fisso; formula diretta: V ˆ l 3 3 V r n; formula inversa: l ˆ ; n 3. il eso secifico di un coro eá dato dal raorto fra il eso e il volume; formula diretta Ps ˆ P V ;formule inverse P ˆ Ps V ; V ˆ P Ps.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 3 ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 Comleta la seguente definizione: un oliedro eá la arte di... delimitata da... osti su iani diversi in modo tale che ogni... sia in comune a due di essi. Comleta le seguenti definizioni: a. la relazione di Eulero dice che in un... la somma del numero delle... e del numero dei vertici eá uguale al numero di... iuá due; b. il risma eá un... costituito da due oligoni..., osti su due iani... e con i lati... e da tanti... quanti sono i lati di ciascuno dei due oligoni; c. un risma eá retto se... sono... ai iani delle basi; d. un risma eá regolare se eá... e ha come basi... 3 Indica quali delle seguenti affermazioni sono vere o false: a. un risma eá un aralleleiedo se le sue basi sono due arallelogrammi; b. il aralleleiedo rettangolo eá un aralleleiedo retto che ha er base un traezio rettangolo; c. il aralleleiedo rettangolo eá un aralleleiedo retto che ha er basi due rettangoli; d. le facce del aralleleiedo rettangolo sono rettangoli a due a due congruenti; e. le dimensioni di un aralleleiedo rettangolo sono i tre sigoli aventi lo stesso vertice in comune. V V V V V F F F F F 4 Comleta la seguente definizione: un cubo eá un... avente le 3 dimensioni... 5 Indica quale oliedro genera ciascuno dei seguenti svilui. a. b. c. d. 6 Qual eá la formula er calcolare l'area della suerficie laterale del risma retto? 7 Quali delle seguenti formule er calcolare l'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo sono corrette? a. A t ˆ a b a b c; b. A t ˆ a b a b c; c. A t ˆ a b b c a c. 8 Qual eá la formula er calcolare l'area della suerficie totale di un cubo?
4 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 Comleta le seguenti definizioni: a. la iramide eá la arte di una... comresa fra una sua... e il...; b. una iramide si dice retta se nella base si uoá... una circonferenza e... coincide con il centro di questa circonferenza; c. una iramide si dice regolare se eá... e se ha come base un... 10 Quale formula ermette di calcolare l'area della suerficie laterale della iramide retta? 11 Comleta la seguente definizione: un oliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono... e se i suoi diedri e i suoi angoloidi sono... 1 Quali oliedri regolari esistono? 13 Quando due solidi si dicono equivalenti? 14 Collega ogni solido con la formula er calcolare il suo volume: a. cubo a b c b. aralleleiedo rettangolo A b h 3 c. risma retto l 3 d. iramide A b h ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO BASE * 1 Verifica la relazione di Eulero nel caso di una iramide a base quadrata e di un risma a base esagonale. Esercizio Svolto L'area della suerficie totale di un risma a base triangolare La base di un risma retto eá un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 4 cm e 10 cm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'altezza del risma misura 8 cm. AC ˆ 4 cm BC ˆ 10 cm AA 0 ˆ 8cm A t Essendo il triangolo di base un triangolo rettangolo, ossiamo determinare la sua area: AC BC 4 10 A b ˆ ˆ cm ˆ 10 cm Per calcolare l'area della suerficie laterale abbiamo bisogno del erimetro di base e dobbiamo quindi calcolare la misura dell'iotenusa alicando il teorema di Pitagora. q AB ˆ AC BC ˆ 4 10 cm ˆ 576 100 cm ˆ 676 cm ˆ 6cm
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 5 ABC ˆ AB AC BC ˆ 6 4 10 cm ˆ 60cm A l ˆ AA 0 ˆ 60 8 cm ˆ 480 cm A t ˆ A l A b ˆ 480 10 cm ˆ 70 cm 3 La base di un risma retto eá un triangolo rettangolo avente l'iotenusa e un cateto che misurano risettivamente 55 cm e 33 cm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'altezza misura 1 cm. 4 Un traezio isoscele con la base maggiore, la base minore e il lato obliquo lunghi risettivamente 38 cm, 0 cm e 15 cm eá la base di un risma retto. Calcola l'area della suerficie totale del risma saendo che l'altezza del solido eá 5 4 dell'altezza del risma. 5 In un traezio rettangolo la somma delle due basi eá 55 cm, una eá 5 dell'altra e il lato obliquo misura 13 6 cm. Calcola l'area della suerficie totale di un risma retto che ha er base il traezio rettangolo saendo che l'altezza del risma eá 18 cm. 6 Un risma retto ha er base un rombo. Calcola l'area della suerficie totale del risma saendo che le diagonali della base misurano 36cm e 48 cm e l'altezza del risma eá lunga 10 cm. 7 Esercizio Svolto Le formule inverse di un risma retto Un triangolo isoscele la cui base misura 36dm e il cui lato obliquo eá 5 della base eá la base di un 9 risma retto che ha l'area della suerficie laterale uguale a 167 dm. Calcola l'altezza del risma. AB ˆ 36dm AA 0 BC ˆ 5 9 AB A l ˆ 167 dm Calcoliamo la misura del lato obliquo del triangolo. BC ˆ 5 9 AB ˆ 5 9 364 dm ˆ 0 dm ABC ˆ AB BC ˆ 36 0 dm ˆ 76dm AA 0 ˆ A l : ˆ 167 : 76 dm ˆ dm 8 Un risma retto con l'area della suerficie totale uguale a 1360 dm, ha er base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 8 dm e 15 dm. Calcola la misura dell'altezza del risma. 9 Il erimetro di base di un aralleleiedo rettangolo eá 96cm e una dimensione eá 5 7 dell'altra. Calcola l'area della suerficie totale del aralleleiedo saendo che l'altezza misura 19 cm. (Suggerimento: il aralleleiedo rettangolo eá un risma retto che ha er basi due rettangoli) 10 La somma delle tre dimensioni di un aralleleiedo rettangolo eá 117 dm. Calcola l'area della suerfi-
6 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 11 cie totale del aralleleiedo saendo che due dimensioni della base sono una 3 dell'altra e che l'altezza del solido eá lunga 4 6dm. Esercizio Svolto La misura delle dimensioni e della diagonale di un aralleleiedo rettangolo L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá 708 cm. Calcola la misura delle tre dimensioni e della diagonale saendo che il erimetro di base eá 30 cm e una dimensione eá 3 dell'altra. Incognite A t ˆ 708 cm AB, BC ABCD ˆ 30 cm AA 0, BD 0 BC ˆ 3 AB Della base ABCD conosciamo il erimetro e il raorto fra i lati; calcoliamo la misura dei lati AB e BC: AB BC ˆ : ˆ 30 : cm ˆ 15 cm BC ˆ 15 : 5 Š cm ˆ 6cm AB ˆ 15 : 5 3Š cm ˆ 9cm A artire dall'area della suerficie totale determiniamo er differenza l'area della suerficie laterale er oi calcolare la misura dell'altezza. A b ˆ AB BC ˆ 9 6 cm ˆ 54 cm A l ˆ A t A b ˆ 708 54 cm ˆ 600 cm AA 0 ˆ A l : ˆ 600 : 30 cm ˆ 0 cm Calcoliamo infine la misura della diagonale note le misure delle 3 dimensioni. q d ˆ AB AD DD 0 ˆ 9 6 0 cm ˆ 517 cm ˆ,7 cm 1 L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá 14 dm. Calcola la misura delle tre dimensioni e della diagonale saendo che il erimetro di base eá 66 dm e una dimensione eá 5 6 dell'altra. 13 L'area della suerficie totale e di base di un aralleleiedo rettangolo sono risettivamente 1606 cm e 153 cm. Determina la misura dell'altezza e della diagonale del aralleleiedo saendo che una delle due dimensioni di base misura 9 cm. 14 Un cubo ha la misura dello sigolo di 1 cm. Calcola l'area della suerficie totale e la misura della diagonale. (Suggerimento: il cubo eá un aralleleiedo rettangolo avente le tre dimensioni congruenti) 15 Un cubo ha la misura dello sigolo di 15 cm. Calcola l'area della suerficie laterale e la misura della diagonale.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 7 16 Esercizio Svolto Lo sigolo di un cubo Un cubo ha l'area della suerficie totale di 1536cm. Calcola la misura dello sigolo. Dato A t ˆ 1536cm AB Per calcolare la misura della sigolo, basta alicare la formula inversa: AB ˆ A t : 6 ˆ 1536 : 6 cm ˆ 16cm 17 Un cubo ha l'area della suerficie laterale di 3136cm. Calcola la misura dello sigolo. 18 Un cubo ha l'area della suerficie totale di 6144 cm. Calcola l'area della suerficie laterale. 19 Esercizio Svolto L'area della suerficie totale di una iramide quadrangolare regolare Una iramide quadrangolare regolare ha lo sigolo di base e l'altezza che misurano risettivamente 16cm e 6cm. Calcola l'area della suerficie totale. AB ˆ 16cm VH ˆ 6cm A t Per determinare l'area della suerficie laterale dobbiamo rima calcolare la misura dell'aotema VK alicando il teorema di Pitagora al triangolo VHK. HK ˆ AB : ˆ 16 : cm ˆ 8cm q VK ˆ VH HK ˆ 6 8 cm ˆ 36 64 cm ˆ 100 cm ˆ 10 cm A l ˆ ABCD VK ˆ 4 16 10 cm ˆ 30 cm A b ˆ AB ˆ 16 cm ˆ 56cm A t ˆ A b A l ˆ 56 30 cm ˆ 576cm 0 Una iramide quadrangolare regolare ha lo sigolo di base e l'altezza che misurano risettivamente 0 cm e 4 cm. Calcola l'area della suerficie totale. 1 Una iramide quadrangolare regolare ha l'area di base di 104 cm e l'altezza lunga 30 cm. Calcola l'area della suerficie totale.
8 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS Esercizio Svolto L'aotema di una iramide quadrangolare regolare Calcola la misura dell'aotema di una iramide quadrangolare regolare saendo che l'area della suerficie totale eá 864 cm e lo sigolo di base eá lungo 18 cm. A t ˆ 864 cm AB ˆ 18 cm VK Calcoliamo l'area di base e oi l'area della suerficie laterale sottraendo quest'ultima dall'area totale. A b ˆ AB ˆ 18 cm ˆ 34 cm A l ˆ A t A b ˆ 864 34 cm ˆ 540 cm Doo aver calcolato il erimetro di base alichiamo la formula inversa dell'area della suerficie totale er calcolare la misura dell'aotema. ABCD ˆ AB 4 ˆ 18 4 cm ˆ 7 cm VK ˆ Al ˆ 540 7 cm ˆ 15 cm 3 Calcola la misura dell'aotema di una iramide quadrangolare regolare saendo che l'area della suerficie totale eá 856cm e lo sigolo di base eá lungo 34 cm. 4 Calcola la misura dello sigolo di base e l'area della suerficie totale di una iramide quadrangolare regolare saendo che l'area della suerficie laterale eá 756cm e l'aotema eá lungo 18 cm. 5 Esercizio Svolto Il volume di un risma retto L'area della suerficie laterale di un risma retto a base quadrata eá 35 cm. Calcola il volume del risma saendo che l'altezza misura 4 cm. A l ˆ 35 cm AA 0 ˆ 4 cm V Per oter calcolare il volume abbiamo bisogno dell'area di base, quindi calcoliamo il erimetro di base e oi la misura dello sigolo alicando la formula inversa dell'area della suerficie laterale. ABCD ˆ A l : AA 0 ˆ 35 : 4 cm ˆ 56cm
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 9 AB ˆ : 4 ˆ 56 : 4 cm ˆ 14 cm A b ˆ AB ˆ 14 cm ˆ 196cm V ˆ A b AA 0 ˆ 196 4 cm 3 ˆ 83 cm 3 6 L'area di base di un risma retto a base quadrata eá 784 cm e l'altezza eá 9 dello sigolo di base. Calcola il volume del 7 risma. 7 Le diagonali di base di un risma retto a base rombica misurano risettivamente 48 dm e 8 dm. Calcola il volume del risma saendo che la sua altezza misura 5 dm. 8 L'area della suerficie laterale di un risma retto a base triangolare eá 160 cm. Calcola il volume del risma saendo che la base eá un triangolo rettangolo i cui cateti misurano risettivamente 1 cm e 5 cm. 9 Calcola il volume di un arelleleiedo rettangolo saendo che l'altezza misura 45 cm, che il erimetro 30 di base eá 16cm e le due dimensioni sono una 3 4 dell'altra. Esercizio Svolto Le dimensioni di un aralleleiedo rettangolo Il volume di un aralleleiedo rettangolo eá 167 cm 3. Calcola la misura delle due dimensioni di base saendo che sono una 3 dell'altra e che l'altezza misura 33 cm. V ˆ 167 cm 3 AB BC ˆ AB 3 BC AA 0 ˆ 33 cm Calcoliamo l'area di base alicando la formula inversa del volume: A b ˆ V : AA 0 ˆ 167 : 33 cm ˆ 384 cm Nella suerficie di base si evidenziano 3 ˆ 6quadrati di ugual suerficie, ciascuno con area uguale a: A quadrato ˆ A b : 6 ˆ 384 : 6 cm ˆ 64cm lato quadrato A quadrato ˆ 64 cm ˆ 8cm AB ˆ 8 3 cm ˆ 4 cm BC ˆ 8 cm ˆ 16cm 31 Il volume di un aralleleiedo rettangolo eá 630 cm 3. Calcola la misura delle due dimensioni di base saendo che sono una 5 7 dell'altra e che l'altezza misura 47 cm. 3 L'area di base e della suerficie laterale di un aralleleiedo rettangolo sono risettivamente 1815 cm e 167 cm. Calcola il volume del aralleleiedo saendo che le dimensioni di base sono una 3 5 dell'altra.
10 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 33 Esercizio Svolto Il volume di una iramide retta Una iramide retta ha er base un rettangolo il cui erimetro eá 80 cm e con le dimensioni una 3 5 dell'altra. Calcola il volume della iramide saendo che l'altezza misura 36cm. ABCD ˆ 80 cm BC ˆ 3 5 AB VH ˆ 36cm V Dalla raresentazione della base si caisce che il erimetro eá formato da 3 5 3 5 ˆ 16segmenti unitari ciascuno dei quali misura: AK ˆ 80 : 16 cm ˆ 5cm ertanto BC ˆ 3 5 cm ˆ 15 cm e AB ˆ 5 5 cm ˆ 5 cm A b ˆ AB BC ˆ 5 15 cm ˆ 375 cm V ˆ Ab VH 3 ˆ 375 36 3 cm 3 ˆ 4500 cm 3 34 Una iramide retta ha er base un rettangolo il cui erimetro eá 78 cm e con le dimensioni una 6 7 dell'altra. Calcola il volume della iramide saendo che l'altezza misura 39 cm. 35 Calcola il volume di una iramide quadrangolare regolare saendo che lo sigolo di base e l'altezza misurano risettivamente 1 cm e 35 cm. 36 Esercizio Svolto Le formule inverse del volume di una iramide Il volume di una iramide quadrangolare regolare eá 61 cm 3. Calcola la misura dell'altezza saendo che lo sigolo di base misura 9 cm. V ˆ 61 cm 3 AB ˆ 9cm VH Determiniamo l'area di base: A b ˆ AB ˆ 9 cm ˆ 81 cm Calcoliamo la misura l'altezza alicando la formula inversa del volume: VH ˆ V 3 ˆ 61 3 A b 81 cm ˆ 3 cm 37 Il volume di una iramide quadrangolare regolare eá 304 cm 3. Calcola la misura dell'altezza saendo che lo sigolo di base misura 16cm.
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 11 38 Il volume di una iramide quadrangolare regolare eá 300 cm 3. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'altezza misura 4 cm. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO MEDIO ** 1 Esercizio Guidato L'area della suerficie totale di un risma retto L'area di base di un risma retto a base rombica eá 96cm. Determina l'area della suerficie totale del risma saendo che le diagonali di base sono una 3 dell'altra e che l'altezza misura 7 cm. 4 A b ˆ 96cm BD ˆ 3 4 AC AA 0 ˆ 7 cm A t Per calcolare l'area della suerficie laterale abbiamo bisogno del erimetro. Nel rombo si evidenziano 4 3 ˆ 6... di uguale... A quadrato ˆ A b : ::::: ˆ ::::: : ::::: cm ˆ 16cm lato quadrato A ˆ 16 cm ˆ 4cm BD ˆ 4 3 cm ˆ ::::: cm AC ˆ ::::: 4 cm ˆ 16cm s s AC AB ˆ BD 1 ˆ 16 cm ˆ ABCD ˆ AB ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ 40 cm A l ˆ ABCD ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ :::::::::::: A t ˆ ::::: ::::: A b ˆ ::::: ::::: cm ˆ 17 cm 6 8 cm ˆ 100 cm ˆ 10 cm L'area di base di un risma retto a base triangolare eá 43 cm. Determina l'area della suerficie totale del risma saendo che il triangolo eá isoscele, la base eá dell'altezza e l'altezza del risma misura 41 cm. 3 3 Un risma retto ha er base un triangolo rettangolo i cui cateti sono uno 5 dell'altro. Calcola l'area 1 della suerficie totale del risma saendo che l'area di base eá 750 dm e l'altezza del risma eá 15 13 dell'iotenusa.
1 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 4 Esercizio Guidato La misura dell'altezza di un risma retto L'area della suerficie totale di un risma retto che ha er base un traezio isoscele eá 430 cm e l'area di base eá 70 cm. Calcola la misura dell'altezza del risma saendo che la base maggiore e la base minore del traezio misurano risettivamente 6cm e 10 cm. A t ˆ 430 cm AA 0 A b ˆ 70 cm AB ˆ 6cm DC ˆ 10 cm Per oter determinare la misura dell'altezza dobbiamo calcolare l'area della suerficie laterale e il erimetro di base. A l ˆ A t A b ˆ ::::::::: ::::: cm ˆ ::::::::: cm Oeriamo ora sugli elementi della base er calcolare il erimetro: CH ˆ A b : ::::: ::::: ˆ 70 : ::::: ::::: Š cm ˆ 15 cm HB ˆ AB CD : ˆ 6 10 : Š cm ˆ 8cm q BC ˆ CH HB ˆ ::::: ::::: cm ˆ 5 64 cm ˆ 89 cm ˆ 17 cm ABCD ˆ AB BC CD DA ˆ 6 17 10 17 cm ˆ 70 cm AA 0 ˆ A l : ˆ ::::: : ::::: cm ˆ 7 cm 5 Un risma retto ha er base un triangolo rettangolo i cui cateti sono uno 3 dell'altro. Calcola l'area della 4 suerficie totale saendo che l'area della suerficie laterale eá 43 cm e che l'altezza del risma e l'iotenusa misurano risettivamente 1 cm e 15 cm. 6 L'area della suerficie laterale di un aralleleiedo rettangolo eá 3600 cm e le due dimensioni sono 7 una dell'altra. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'altezza del solido eá 5 cm. 7 Esercizio Guidato L'area della suerficie totale di un cubo La diagonale di un cubo misura 39,836dm. Calcola l'area della suerficie totale del cubo. Dato A 0 C ˆ 39,836dm A t AB ˆ A 0 C : 3 ˆ 39,836 : :::::::: dm ˆ ::::: dm A t ˆ ::::: A b ˆ 6 ::::: dm ˆ :::::::: dm
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 13 8 La diagonale di un cubo misura 7,71 cm. Calcola le misure delle dimensioni di un aralleleiedo 9 rettangolo avente la stessa suerficie totale del cubo saendo che le dimensioni di base sono una 1 3 dell'altra e l'area di base eá 48 cm. Esercizio Guidato L'area della suerficie totale di una iramide a base rettangolare Una iramide a base rettangolare con il iede dell'altezza nel unto di incontro delle diagonali di base eá alta 8 cm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che il erimetro di base eá 84 cm e una dimensione eá 5 dell'altra. VH ˆ 8cm ABCD ˆ 84 cm BC ˆ 5 AB A t 10 Una iramide a base rettangolare con il iede dell'altezza nel unto d'incontro delle diagonali di base eá alta 1 cm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che il erimetro di base eá 56cm e una dimensione eá 5 9 dell'altra. 11 Per calcolare l'area della suerficie laterale dobbiamo calcolare l'area delle singole facce laterali ercheâ la iramide non eá retta. Determiniamo le dimensioni del rettangolo di base: AB BC ˆ : ˆ 84 : cm ˆ 4 cm BC ˆ 4 : ::::: :::::Š cm ˆ 1 cm AB ˆ 4 : ::::: :::::Š cm ˆ ::::: cm Calcoliamo la misura degli aotemi VK e VT considerando i triangoli rettangoli VHK e VHT. q VK ˆ VH HK ˆ 8 15 cm ˆ 64 5 cm ˆ 89 cm ˆ 17 cm q VT ˆ VH HT ˆ 8 6 cm ˆ 64 36 cm ˆ 100 cm ˆ 10 cm AB ::::: A t ˆ A b A ABV A BCV ˆ AB ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ ::::: cm Esercizio Guidato ::::: ::::: ::::: L'area della suerficie totale di una iramide retta a base rombica L'altezza di una iramide retta a base rombica misura 10 cm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'area di base eá 400 cm e la diagonale minore della base misura 60 cm. ˆ
14 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS VH ˆ 10 cm A b ˆ 400 cm BD ˆ 60cm A t Per determinare la misura del lato del rombo AB dobbiamo alicare il teorema di Pitagora sul triangolo rettangolo AHB; mentre er determinare la misura dell'aotema VK dobbiamo alicare lo stesso teorema al triangolo VHK. Calcoliamo gli elementi della base: AC ˆ A b : ::::: ˆ ::::::::::::: : :::::Š cm ˆ 80 cm HB ˆ DB : ˆ ::::: : cm ˆ ::::: cm q AB ˆ HB AH ˆ 30 40 cm ˆ AH ˆ ::::: : ˆ ::::: : cm ˆ ::::: cm 900 1600 cm ˆ 500 cm ˆ 50 cm Per calcolare la misura dell'aotema VK eá necessario conoscere la lunghezza del segmento HK che eá il... della circonferenza inscritta e corrisonde all'altezza del triangolo rettangolo BHC relativa all'iotenusa BC. HK ˆ VK ˆ ::::: HC BC ˆ q HK ::::: ˆ ::::: ::::: ::::: cm ˆ 4 cm ::::: ::::: cm ˆ ::::: ::::: cm ˆ ::::: cm ˆ ::::: cm Possiamo ora calcolare A l ˆ ABCD VK : ˆ 4 ::::: ::::: : Š cm ˆ ::::: cm A t ˆ A l A b ˆ 600 400 cm ˆ ::::: cm 1 L'altezza di una iramide retta a base rombica eá lunga 16, dm. Calcola l'area della suerficie totale saendo che l'area di base eá 1944 dm e una diagonale misura 54 dm. 13 Esercizio Guidato Il volume di un risma retto a base triangolare Un risma retto ha er base un triangolo isoscele con la base ari a 16 del lato obliquo. Calcola il 17 volume del solido saendo che l'area della suerficie laterale e la misura dell'altezza sono risettivamente 400 cm e 4 cm. AB ˆ 16 17 BC V A l ˆ 400 cm AA 0 ˆ 4 cm Calcoliamo il erimetro alicando la formula inversa dell'area della suerficie laterale ˆ A l : ::::: ˆ ::::: : 4 cm ˆ 100 cm
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 15 14 Un risma retto ha er base un triangolo isoscele con il lato obliquo ari a 13 dalla base. Calcola il 10 volume del solido saendo che l'area della suerficie laterale e la misura dell'altezza sono risettivamente 5616 cm e 5 cm. 15 Un risma retto ha er base un triangolo rettangolo con i cateti lunghi risettivamente 0,8 cm e 15,6 cm. Calcola il volume del risma saendo che l'area della suerficie laterale eá 187 cm. 16 Un aralleleiedo rettangolo ha l'area della suerficie laterale di 6880 cm e l'altezza lunga 19 cm. Calcola la misura dello sigolo di un cubo equivalente al aralleleiedo saendo che le dimensioni di base di quest'ultimo sono una 5 9 dell'altra. 17 Un aralleleiedo rettangolo eá equivalente ad un cubo con lo sigolo lungo 4 cm. Calcola l'area della suerficie totale del aralleleiedo saendo che l'altezza misura 7 cm e una dimensione di base eá doia dell'altra. 18 Determiniamo la lunghezza dei lati AB ˆ 16 : 16 17 ::::: Š ˆ 16 100 : 50 Š cm ˆ 3 cm BC ˆ 17 : ::::: ::::: ::::: Š ˆ 17 ::::: : ::::: Š cm ˆ ::::: cm Calcoliamo la misura dell'altezza CH alicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo HBC. HB ˆ AB : ˆ ::::::::: : cm ˆ 16cm CH ˆ BC ::::: ˆ ::::: ::::: cm ˆ 30 cm A b ˆ AB ::::: : ˆ 3 ::::: : cm ˆ ::::: cm V ˆ A b AA 0 ˆ ::::: ::::: cm 3 ˆ 0160 cm 3 Esercizio Guidato Il volume di una iramide retta L'area della suerficie totale e laterale di una iramide avente er base un rombo sono risettivamente 7776cm e 430 cm. Calcola il volume della iramide saendo che la diagonale minore della base misura 7 cm. A t ˆ 7776cm A l ˆ 430 cm BD ˆ 7 cm V Per oter calcolare il volume della iramide abbiamo bisogno dell'area di base e della misura dell'altezza. Calcoliamo l'area di base come differenza di aree e oi determiniamo le misure dell'aotema di base e dell'aotema della iramide er oter oi calcolare la misura dell'altezza. A b ˆ A t ::::: ˆ 7776 ::::: cm ˆ ::::: cm AC ˆ A b : BD ˆ ::::: : 7 cm ˆ 96cm HB ˆ ::::: : ˆ ::::: : cm ˆ ::::: cm q BC ˆ HB HC ˆ 36 48 cm ˆ 196 304 cm ˆ HC ˆ ::::: : ::::: ˆ ::::: : ::::: cm ˆ ::::: cm 3600 cm ˆ 60cm
16 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS HK ˆ ::::: HC BC ˆ ::::: 48 ::::: cm ˆ ::::: cm VK ˆ A l : ˆ ::::: : 60 Š cm ˆ ::::: cm VH ˆ VK HK ˆ 36 8,8 cm ˆ 1,6cm V ˆ ::::: VH : ::::: ˆ ::::: 1,6 : ::::: ˆ ::::: cm 3 19 L'area della suerficie totale di una iramide avente er base un rombo eá 150 cm. Calcola il volume della iramide saendo che le due diagonali di base misurano risettivamente 30 cm e 40 cm. 0 L'area della suerficie totale di una iramide quadrangolare regolare eá 4800 dm e l'area di base eá 1 dell'area laterale. Calcola il volume della iramide. ESERCIZI DI ABILITAÁ ) LIVELLO AVANZATO *** 1 L'area della suerficie totale di un risma retto a base rombica eá 1800 cm e l'area di base eá 1 13 dell'area laterale. Calcola la misura dell'altezza del risma saendo che una diagonale eá lunga 10 cm. L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá 1550 dm e due dimensioni sono risettivamente 3 e 5 della terza. Calcola il volume del solido. 3 3 Un aralleleiedo rettangolo ha l'area della suerficie laterale di 856cm e l'altezza lunga 49 cm. Calcola la misura dello sigolo di un cubo equivalente al aralleleiedo saendo che le dimensioni di base di quest'ultimo sono una 8 1 dell'altra. 4 Un cubo con lo sigolo lungo 4 cm eá equivalente ad una iramide quadrangolare regolare alta 56cm. Calcola l'area della suerficie totale della iramide. 5 Un aralleleiedo rettangolo alto 100 cm con una dimensione di base 1 dell'altra eá equivalente ad 4 una iramide quadrangolare regolare con lo sigolo di base lungo 40 cm e con l'area della suerficie totale di 5760 cm. Calcola l'area della suerficie totale del aralleleiedo. 6 Un cubo eá sormontato da una iramide quadrangolare regolare con la base coincidente con una faccia del cubo. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido saendo che lo sigolo del cubo misura 7 cm e l'altezza della iramide eá lunga 7 cm. 7 In un cubo vi eá una cavitaá a forma di iramide quadrangolare regolare con la base coincidente con quella del cubo. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido saendo che lo sigolo del cubo misura 96cm e l'altezza della iramide eá lunga 0 cm. 8 Un solido eá costituito da un aralleleiedo rettangolo sormontato da una iramide la cui base si ottiene congiungendo i unti medi dei lati della faccia sueriore del aralleleiedo. Calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido saendo che l'area della suerficie laterale e l'aotema della iramide misurano risettivamente 160 cm e 8 cm, mentre l'area della suerficie laterale e una dimensione di base del aralleleiedo misurano risettivamente 1400 cm e 1 cm. 9 In un aralleleiedo rettangolo, con le dimensioni di base lunghe 36cm e 30 cm e l'altezza che misura 7 cm, eá stata raticata una cavitaá a forma di aralleleiedo rettangolo che lo traassa er tutta
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS 17 l'altezza da arte a arte. Il foro eá ari a 1 del volume del aralleleiedo e le sue dimensioni sono una 3 dell'altra. Determina l'area della suerficie del solido cosõá ottenuto. 5 10 Sia ABC un triangolo rettangolo in A la base di una iramide. Il vertice V si trova sulla erendicolare al iano di ABC assante er A. Determina l'area della suerficie totale e il volume della iramide cosõá ottenuta saendo che i due cateti del triangolo di base e l'altezza (che coincide con lo sigolo VA) misurano risettivamente 16cm, 1 cm e 1,8 cm. 11 In un risma vi eá una cavitaá a forma di iramide quadrangolare regolare con la base coincidente con quella del risma e er vertice il centro della base oosta. Calcola l'area della suerficie totale e il eso del solido Ps ˆ 5 saendo che l'area della base comune eá 1764 dm e l'aotema della iramide eá lunga 35 dm. 1 Un solido eá formato da un cubo e da due iramidi quadrangolari regolari congruenti aventi le basi coincidenti con le due facce ooste del cubo. Saendo che la distanza tra i due vertici delle iramidi misura 119 cm e che il lato del cubo eá 3 di ciascuna delle due altezze delle iramidi, calcola l'area della suerficie totale e il volume del solido. 13 Un cubo di rame Ps ˆ 8,8, avente lo sigolo lungo 15 dm viene fuso con un risma entagonale di zinco Ps ˆ 6,8 avente l'area della suerficie laterale di 600 dm e l'altezza che misura 1 dm. Dalla fusione dei due solidi si ottiene un risma esagonale regolare avente l'area di base di 59 dm. Calcola l'altezza del risma e il suo eso. SOLUZIONE DEGLI ESERCIZI VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI CONOSCENZA 1 sazio, oligoni, lato. a. oliedro convesso, facce, sigoli; b. oliedro, congruenti, aralleli, aralleli, arallelogrammi; c. gli sigoli laterali, erendicolari; d. retto, due oligoni regolari. 3 a. V; b. F; c. V; d. V; e. V. 4 aralleleiedo rettangolo; congruenti. 5 a. aralleleiedo; b. aralleleiedo rettangolo; c. risma retto; d. cubo. 6 A l ˆ h. 7 a.; c. 8 A t ˆ 6 `. 9 iramide indefinita, sezione, vertice; b. inscrivere, il iede dell'altezza; c. retta, un oligono regolare. 10 A l ˆ a. 11 oligoni regolari congruenti fra di loro, congruenti fra loro. 1 tetraedro, cubo, ottaedro, dodecaedro, icosaedro. 13 quando hanno lo stesso volume. 14 a. ; b. ; c. ; d.. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO BASE 1 iramide: f ˆ 5; v ˆ 5; s ˆ 8; 5 5 ˆ 8 ; risma: f ˆ 8; v ˆ 1; s ˆ 18; 8 1 ˆ 18. 3 3036cm. 4 016cm. 5 100 cm. 6 98 cm. 8 31 dm. 9 944 cm. 10 8788 dm. 1 15 dm; 18 dm; 4 dm; 33,54 dm. 13 5 cm; 31,54 cm. 14 864 cm ; 0,784 cm. 15 900 cm ; 5,98 cm. 17 8 cm. 18 4096cm. 0 1440 cm. 1 300 cm. 3 5 cm. 4 1 cm; 1197 cm. 6 84 cm 3. 7 16800 dm 3. 8 160 cm 3. 9 43740 cm 3. 31 0 cm; 8 cm. 3 130680 cm 3 34 4914 cm 3. 35 1680 cm 3. 37 7 cm. 38 1440 cm.
18 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO MEDIO 1 quadrati, estensione; A quadrato ˆ A b : 6 ˆ 96 : 6 cm ˆ 16cm ; BD ˆ 4 3 cm ˆ 1 cm; AC ˆ 4 4 cm ˆ 16cm; ABCD ˆ AB 4 ˆ 10 4 cm ˆ 40 cm; A l ˆ ABCD AA 0 ˆ 40 7 cm ˆ 1080 cm ; A t ˆ A l A b dm ˆ 1080 96 cm ˆ 17 cm. 4959,08 cm. 3 1750 dm. 4 A l ˆ A t A b ˆ 430 70 cm ˆ 1890 cm ; CH ˆ A b : AB CD ˆ 70 : 6 10 Š cm ˆ 15 cm; q BC ˆ CH HB ˆ 15 8 cm ˆ 17 cm; AA 0 ˆ A l : ˆ 1890 : 70 cm ˆ 7 cm. 5 540 cm. 6 539 cm. 7 AB ˆ A 0 C : 3 ˆ 39,836 : 1,73 dm ˆ 3 dm; At ˆ 6 A b ˆ 6 3 dm ˆ 3174 dm. 8 1 cm; 4 cm; 45 cm. 9 BC ˆ 4 : 7 Š cm ˆ 1 cm; AB ˆ 4 : 7 5Š cm ˆ 30 cm; AB VT BC VK A t ˆ A b A ABV A BCV ˆ AB BC ˆ 30 10 1 17 ˆ 30 1 cm ˆ 864 cm. 10 564 cm. 11 AC ˆ A b : BD ˆ 400 : 60Š cm ˆ 80 cm; HB ˆ DB : ˆ 60 : cm ˆ 30 cm; HB HC 30 40 AH ˆ AC : ˆ 80 : cm ˆ 40 cm; raggio; HK ˆ ˆ cm ˆ 4 cm; q BC 50 VK ˆ HK VH ˆ 4 10 cm ˆ 576 100 cm ˆ 676 cm ˆ 6cm; A l ˆ ABCD VK : ˆ 4 50 6 : Š cm ˆ 600 cm ; A t ˆ A l A b ˆ 600 400 cm ˆ 5000 cm. 1 4374 dm. 13 ˆ A l : AA 0 ˆ 400 : 4 cm ˆ 100 cm; AB ˆ 16 : 16 17 17 Š ˆ 16 100 : 50 Š cm ˆ 3 cm; BC ˆ 17 : 16 17 17 Š ˆ 17 100 : 50 Š cm ˆ 34 cm; HB ˆ AB : ˆ 3 : cm ˆ 16cm; CH ˆ BC HB ˆ 34 16 cm ˆ 30 cm; A b ˆ AB CH : ˆ 3 30 : cm ˆ 480 cm ; V ˆ A b AA 0 ˆ 480 4 cm 3 ˆ 0160 cm 3. 14 8080 cm 3. 15 4867, cm 3. 16 60 cm. 17 3616 cm. 18 A b ˆ A t A l ˆ 7776 430 cm ˆ 3456cm ; AC ˆ A b : BD ˆ 3456 : 7 cm ˆ 96cm; HB ˆ DB : ˆ 7 : cm ˆ 36cm; HC ˆ AC : ˆ 96 : cm ˆ 48 cm; HK ˆ HB HC BC ˆ 36 48 60 cm ˆ 8,8 cm; VK ˆ A l : ˆ 430 : 60 Š cm ˆ 36cm; V ˆ A b VH : 3 ˆ 3456 1,6 : 3 ˆ 4883, cm 3. 19 1000 cm 3. 0 18474,66 dm 3. VALUTAZIONE DEGLI ESERCIZI DI ABILITAÁ : LIVELLO AVANZATO 1 30 cm. 3750 dm 3. 3 4 cm. 4 1064,5 cm. 5 851 cm. 6 3400 cm ; 419904 cm 3. 7 56064 cm ; 8396cm 3. 8 1848 cm ; 5004,8 cm 3. 9 1699 cm. 10 435, cm ; 409,6cm 3. 11 9408 dm ; 164640 kg. 1 19074 cm ; 191607 cm 3. 13 1 dm; 43735, kg.