Superfici e volumi. Obiettivi MATEMATICA, REALTAÁ E STORIA

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1 Suerfici e volumi Obiettivi l l l l calcolare misure di suerfici di oliedri calcolare misure di suerfici di articolari solidi di rotazione calcolare volumi di oliedri calcolare volumi di articolari solidi di rotazione MATEMATICA, REALTAÁ E STORIA Calcolare misure di suerfici e volumi eá una delle cose che, anche senza rendersene conto, si fa iuá sesso. Si calcola quanta lamiera si deve usare er costruire le lattine che devono contenere 0g di assata di omodoro o cl di bibita (calcolo di una suerficie noto il volume), si calcola quanta acqua uoá contenere un serbatoio di forma e dimensioni note, si studia che forma dare a un reciiente in modo che ossa contenere una data quantitaá di liquido utilizzando la minor quantitaá ossibile di materiale. L'uomo calcola suerfici e volumi nella costruzione di edifici anche er risettare le leggi e er ottimizzare le restazioni energetiche. I Comuni stabiliscono infatti un indice di fabbricabilitaáterritoriale definendolo come il raorto tra il volume dell'edificio che si vuole realizzare e la suerficie della zona stessa; nelle costruzioni di nuovi edifici questo limite non si uoá suerare. Le restazioni energetiche di un edificio sono molto influenzate dal raorto tra il volume e la suerficie esosta: a aritaá di volume, minore eá la suerficie esosta, maggiori sono le restazioni energetiche. La forma ideale da dare a un edificio sarebbe quindi quella sferica (vedi un esemio nella figura a lato), ma eá evidente che cioá non eá ossibile; una buona alternativa eá quella di costruzioni a forma di aralleleiedo, anche se si uoá intervenire con materiali adatti er oter creare forme iuá accattivanti dal unto di vista estetico. Anche la natura calcola suerfici e volumi. In una cellula i rocessi metabolici hanno luogo in tutto il suo volume, ma la cellula deve essere in grado di effettuare scambi con l'esterno attraverso la sua membrana, acquisendo nutrimento ed esellendo scorie. Quando una cellula aumenta di dimensioni, il suo volume aumenta molto iuá raidamente della suerficie (er esemio, raddoiando il raggio di una sfera, il volume aumenta di otto vol- Padiglione americano all'exo '67 disegnato da Buckminster Fuller Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI 1

2 te, mentre la suerficie aumenta di quattro volte), quindi insorgerebbero difficoltaá negli scambi attraverso la membrana che non garantirebbe iuá la quantitaá di nutrimento necessaria alla nuova massa. Esiste un raorto ottimale suerficie/volume oltre il quale la cellula si divide. I nostri olmoni devono essere contenuti nel volume abbastanza iccolo della cassa toracica, ma devono avere una grande suerficie er oter rendere ottimale lo scambio di ossigeno con anidride carbonica; cosõácome anche il nostro intestino occua un volume iccolo ma eá molto lungo, quindi ha una grande suerficie, aumentata anche dai villi intestinali. Nel dare una dimensione a tutti gli esseri viventi, la natura stabilisce roorzioni ben definite tra volume e suerficie ercheâ la struttura del coro di un animale deve essere tale da soortare lo sforzo di vivere in un ambiente soggetto alla forza di gravitaá. Se un uomo diventasse molto, troo alto, avrebbe seri roblemi a camminare ercheâ le sue ossa e i suoi muscoli, cresciuti molto di iuá in lunghezza che in larghezza, non riuscirebbero a reggere il eso e si sezzerebbero. Ne sa qualcosa l'uomo iuá alto del mondo, l'ucraino Leonid Stadnik, che con i suoi,7 metri di altezza necessita di aarecchiature seciali er camminare. Animali molto grandi, come er esemio la balenottera azzurra, che misura fino a metri e ha un eso equivalente a quello di 0 elefanti, ossono vivere solo in acqua, dove il loro eso viene attenuato dalla sinta dell'acqua stessa; fuori dal loro ambiente essi verrebbero schiacciati dal loro eso. Il roblema da risolvere Nei giochi si usano sesso i dadi e la caratteristica indisensabile di questo oggetto eá che ogni faccia deve avere la stessa robabilitaá di uscire di tutte le altre. Quello che tutti conosciamo eá il dado a 6 facce che ha la forma di un cubo, ma si ossono realizzare dadi con meno o iuá facce utilizzando i solidi latonici; il dado di questo tio con il massimo ossibile di facce eá quello a forma di icosaedro che ne ha 0. Esistono eroá dadi corretti che hanno 4, 0, 48, 60 e addirittura 10 facce. Nei giochi di ruolo si usano dadi con 0 facce a forma di rombo (figura 1); un solido di questo tio si chiama triacontaedro rombico. Le sue facce sono rombi che hanno una articolare caratteristica: il raorto tra la diagonale maggiore e la diagonale minore eá uguale alla sezione aurea, cioeá vale 1 ; i diedri formati da due facce consecutive misurano 144. Dimostra che la sua suerficie ha area uguale a 1 a e che il suo volume q eá uguale a 4 a, dove con a si eá indicata la misura del lato del rombo. Divisione cellulare Figura 1 1. MISURE DI SUPERFICI 1.1 Le suerfici dei oliedri Saiamo che le facce dei oliedri sono oligoni; se immaginiamo di "arire" un oliedro e distendere le sue facce su un iano (osserva come esemio le Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. 0 SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

3 figure e ), ossiamo calcolare l'area della sua suerficie sommando le aree di ciascun oligono. Un discorso a arte deve essere fatto invece er i solidi di rotazione quali cilindro, cono e sfera che non hanno delle facce oligonali da oter distendere su un iano. In questo caso dovremo enunciare assiomi aroriati che, analogamente a quanto fatto nel iano er la determinazione della lunghezza della circonferenza e dell'area del cerchio, ci orteranno alla formulazione di regole. Nel seguito, indicheremo con S` l'area della suerficie laterale, con S b quella di base, con S t quella della suerficie totale di un solido. Il risma La suerficie laterale di un risma retto eá costituita da tanti rettangoli quanti sono i lati di base, aventi tutti la stessa altezza (figura a); la sua area si ottiene quindi moltilicando la misura del erimetro di base, che indicheremo con, er quella dell'altezza h; la suerficie totale si ottiene oi sommando a quella laterale le aree delle due basi S` ˆ h S t ˆ S` S b Nel caso articolare del aralleleiedo rettangolo, indicando con a e b le misure delle dimensioni del rettangolo di base e con c quella dell'altezza, si ha che (figura b) S` ˆ a b c S t ˆ a b c ab Un'altra relazione imortante da ricordare relativamente al aralleleiedo rettangolo eá quella che ermette di calcolare la misura della sua diagonale. Poiche i triangoli ABC e ABD sono rettangoli, alicando il teorema di Pitagora si ha che (figura c): e quindi DB ˆ AB ˆ q CB AC ˆ q AB AD ˆ a b c a b Figura a. b. c. La iramide La suerficie laterale di una iramide eá costituita da tanti triangoli quanti sono i lati del oligono di base; se la iramide eá retta, saiamo che le altezze di questi triangoli sono tutte congruenti e costituiscono l'aotema della iramide. In Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI

4 questo caso, la suerficie laterale si ottiene moltilicando il semierimetro del oligono di base er l'aotema (figura ); er avere la suerficie totale basta oi aggiungere l'area del oligono di base S` ˆ a S t ˆ S` S b Se la iramide non eá retta, si dovraá calcolare l'area di ciascuna faccia e sommare oi i valori ottenuti. Figura Il tronco di iramide Sezionando una iramide P di vertice V con un iano arallelo alla base otteniamo due solidi (figura 4): l l una iramide iuá iccola P 0 di vertice V la cui base eá un oligono simile a quello della iramide data (in colore rosa) un secondo solido T che chiamiamo tronco di iramide (in azzurro nella stessa figura). Le caratteristiche di questo solido T sono le seguenti: n eá delimitato da due basi che sono i due oligoni simili costituiti dalla base della iramide data e dal oligono sezione; n le sue facce laterali sono dei traezi, in genere di basi e altezze diverse. Se la iramide P eá retta, saiamo che le altezze delle facce laterali sono tutte congruenti fra loro e costituiscono l'aotema; di conseguenza, anche le altezze delle facce laterali del tronco di iramide sono tutte congruenti fra loro ercheâ sono la differenza fra l'aotema della iramide P data e l'aotema della iramide P 0. In questo caso, e a maggior ragione quando la iramide P eá regolare, l'area S` della suerficie laterale del tronco di cono eá data dalla somma delle aree dei traezi che sono le facce laterali (figura ): Figura 4 Figura S` ˆ b1 B 1 a b B a :::::::: bn B a n ˆ ˆ 1 a b 1 b :::: b n B 1 B :::: B n dove i simboli b i indicano le misure delle basi minori di ciascun traezio e i simboli B i indicano le misure delle corrisondenti basi maggiori. In definitiva, tenendo resente che la somma dei b i eá il erimetro 0 della base della iramide P 0 e che la somma dei B i eá il erimetro della base della iramide P, l'area delle suerficie laterale di un tronco di iramide retto eá uguale a S` ˆ 1 a 0 ˆ a 0 dove evidentemente 0 e sono i semierimetri dei due oligoni di base. L'area S t della suerficie totale eá oi la somma dell'area della suerficie laterale con le aree A e A 0 dei due oligoni di base: Ioliedriregolari S t ˆ S` A A 0 Abbiamo visto che tetraedro, ottaedro e icosaedro si ottengono dall'accosta- 4 SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

5 mento di un certo numero di triangoli equilateri, il cubo dall'accostamento di sei quadrati e il dodecaedro dall'accostamento di dodici entagoni regolari (figura 6). Figura 6 Sviluo del tetraedro Sviluo dell'ottaedro Sviluo dell'icosaedro Sviluo del cubo Sviluo del dodecaedro Per calcolare l'area delle suerfici di questi solidi, indichiamo con s lo sigolo di ciascuno di essi e ricordiamo che: Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI

6 l l'area di un triangolo equilatero di lato s eá 4 s l l'area del quadrato di lato s eá s q 1 l l'area del entagono regolare di lato s eá uguale a 4 s 10 Infatti congiungendo il centro del oligono con i vertici si ottengono triangoli isosceli con l'angolo al vertice di 7 (figura 7); si ha cosõá che: AH ˆ 1 s OH ˆ 1 s cotan 6 ˆ 1 q 10 s 10 area ˆ 1 q s 1 10 s 10 ˆ 1 q 4 s 10 Le suerfici dei oliedri regolari sono quindi le seguenti (rivedi la figura 6): n area della suerficie di un tetraedro (4 facce triangolari) S ˆ 4 4 s ˆ s n area della suerficie di un ottaedro (8 facce triangolari) S ˆ 8 4 s ˆ s n area della suerficie di un icosaedro (0 facce triangolari) S ˆ 0 4 s ˆ s n area della suerficie di un cubo (6 facce quadrate). S ˆ 6s h ˆ ` area ˆ 1 ` Figura 7 ` ˆ 4 ` n area della suerficie di un dodecaedro (1 facce entagonali) S ˆ 1 1 q 4 s 10 q ˆ s Le suerfici dei solidi di rotazione Il cilindro ed il cono Per calcolare le suerfici di questi solidi seguiremo un ragionamento analogo a quello che eá stato fatto er arrivare alla determinazione della lunghezza della circonferenza; in quel caso si era dimostrato che la classe dei oligoni inscritti e quella dei oligoni circoscritti ad una circonferenza costituiscono una coia di classi contigue che ne definiscono la lunghezza. Cominciamo allora col dare alcune definizioni. Un risma retto si dice inscritto in un cilindro se le sue basi sono oligoni inscritti nelle basi del cilindro; si dice circoscritto se le sue basi sono oligoni circoscritti alle basi del cilindro. E' evidente che, avendo er basi dei oligoni regolari, un risma regolare eá semre sia inscrittibile che circoscrittibile ad un cilindro; er questo motivo considereremo nel seguito rismi regolari anche se cioá non eá indisensabile. 6 SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

7 Assumiamo come assioma la seguente rorietaá: Assioma. La suerficie laterale di un cilindro eá maggiore di quella di un qualsiasi risma inscritto e minore di quella di un qualsiasi risma circoscritto. Consideriamo allora l'insieme delle suerfici laterali dei rismi regolari inscritti e quello delle suerfici laterali dei rismi regolari circoscritti ad un cilindro, che indicheremo risettivamente con P i e P c. Questi insiemi sono: n searati, ercheâ, essendo il erimetro di un oligono inscritto in una circonferenza minore del erimetro di un oligono ad essa circoscritto, anche la suerficie laterale di un risma inscritto eá minore della suerficie laterale di un risma circoscritto n indefinitamente ravvicinati ercheâ, visto che eá semre ossibile trovare un oligono inscritto ed un oligono circoscritto ad una circonferenza i cui erimetri hanno una differenza che uoá essere resa minore di un qualsiasi segmento iccolo refissato, allora eá anche ossibile trovare un risma inscritto ed un risma circoscritto ad un cilindro tali che la differenza fra le loro suerfici laterali ossa essere resa iuá iccola di una qualsiasi altra suerficie iccola fissata. Le classi P i e P c costituiscono quindi una coia di classi contigue e ammettono ercioá un unico elemento searatore. Tenendo conto dell'assioma enunciato, ossiamo dire che Due insiemi A e B di grandezze omogenee sono: l l searati se a < b 8a A e 8b B indefinitivamente ravvicinati se: 8" >0 9a A ^ 9b B: b a <" Se valgono queste rorietaá, la coia A, B eá una coia di classi contigue. la suerficie laterale di un cilindro eá l'elemento searatore della coia di classi contigue P i e P c. La suerficie laterale di un cilindro uoá quindi essere sviluata in un rettangolo che ha er base la circonferenza rettificata della base e er altezza l'altezza del cilindro (figura 8); si giunge cosõá alle seguenti relazioni: Figura 8 S` ˆ r h S t ˆ r h r ˆ r h r Un analogo discorso vale er il cono. Diciamo che: una iramide retta si dice inscritta o circoscritta ad un cono se il suo vertice coincide con il vertice del cono e se la sua base eá risettivamente inscritta o circoscritta a quella del cono. Analogamente a quanto detto er il risma, una iramide regolare eá semre sia inscrittibile che circoscrittibile ad un cono; er questo, considereremo in seguito iramidi regolari. Assumiamo come assioma la seguente rorietaá: Assioma. La suerficie laterale di un cono eá maggiore di quella di una qualsiasi iramide inscritta e minore di quella di una qualsiasi iramide circoscritta. Allora, in modo del tutto analogo a quanto osservato er i rismi, ossiamo dire che Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI 7

8 la classe delle suerfici laterali delle iramidi regolari inscritte e quella delle suerfici laterali delle iramidi regolari circoscritte ad un cono costituiscono una coia di classi contigue che ammette come elemento searatore la suerficie laterale di quel cono. Figura 9 Questo significa che la suerficie laterale di un cono eá equivalente ad un settore circolare che ha er base la circonferenza della base e er altezza l'aotema del cono (figura 9). Valgono quindi le relazioni Il tronco di cono S` ˆ r a S t ˆ r a r ˆ r a r In modo del tutto analogo a quanto fatto er il tronco di iramide, ossiamo definire un tronco di cono come quel solido che si ottiene togliendo da un cono C il cono C 0 che si ha sezionando C con un iano arallelo alla base; i due cerchi sono le basi, la differenza fra gli aotemi dei due coni raresenta l'aotema del tronco (figura 10). La suerficie laterale di un tronco di cono si definisce in modo analogo a quella del cono, come elemento searatore della coia di classi contigue costituite dai tronchi di iramide inscritti e circoscritti al tronco stesso. Lo sviluo della suerficie laterale di questo solido eá quindi quella in figura 11 e si uoá calcolare togliendo dalla suerficie laterale del cono comleto C la suerficie laterale del cono C 0. Se indichiamo con r e R le misure dei raggi delle due circonferenze di base, si dimostra che la misura S` della sua area eá data dalla formula S` ˆ 1 a r R ˆ a r R Figura 10 Figura 11 L'area S t della suerficie totale di conseguenza eá uguale a: S t ˆ a r R r R a. La sfera La suerficie sferica, a differenza di quella del cilindro e di quella del cono, non si uoá sviluare su un iano; er questo, giungere alla determinazione della sua area non eá cosõá immediato. Sembra che giaá Archimede avesse scoerto che l'area di una suerficie sferica fosse quattro volte l'area del cerchio massimo e Galileo trovoá oi lo stesso risultato er via serimentale. Egli costruõáuna suerficie sferica ed il relativo cerchio massimo con una lamiera omogenea, ovunque dello stesso sessore, e esoá oi i due oggetti trovando che il eso della suerficie sferica eá quattro volte quello del cerchio massimo. Noi cercheremo di giungere a questo risultato er via geometrica. Cominciamo con l'osservare che un arco di circonferenza che ruota di una rotazione comleta attorno ad un diametro che non la interseca, come in figura 1, genera una zona sferica, oure una calotta nel caso limite in cui un estremo dell'arco coincida con uno degli estremi del diametro. b. Figura 1 8 SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

9 Consideriamo adesso una oligonale inscritta nell'arco considerato che abbia i lati e gli angoli congruenti fra loro ed una analoga oligonale circoscritta all'arco (figura 1); tali oligonali si dicono regolari e la distanza dei lati della oligonale inscritta dal centro della circonferenza si chiama aotema della oligonale. Saiamo che la lunghezza della oligonale inscritta eá minore della lunghezza dell'arco che, a sua volta, eá minore della lunghezza della oligonale circoscritta; siamo quindi ortati ad accettare il seguente assioma: Figura 1 Assioma. La suerficie di una zona sferica generata dalla rotazione comleta di un arco di circonferenza attorno ad un diametro eá semre minore della suerficie generata dalla rotazione di una oligonale regolare circoscritta all'arco ed eá semre maggiore della suerficie generata dalla rotazione di una oligonale regolare inscritta nell'arco. Se adesso consideriamo la classe S i delle suerfici ottenute facendo ruotare le oligonali regolari inscritte con un semre maggiore numero di lati e la classe S c delle suerfici ottenute facendo ruotare le oligonali regolari circoscritte, con ragionamenti simili a quelli fatti nel caso di cilindro e cono, ossiamo dimostrare che S i e S c sono una coia di classi contigue; allora ossiamo definire la suerficie di una zona sferica come l'elemento searatore di tale coia di classi. Se riusciamo a trovare l'area delle suerfici S i e S c, abbiamo trovato anche l'area di una zona sferica. Si uoá dimostrare che valgono le seguenti rorietaá. n Consideriamo, in uno stesso iano, un segmento AB ed una retta r che non intersechi AB se non in uno dei suoi estremi; ruotando intorno a r, AB genera una suerficie S. Indichiamo con M il unto medio del segmento AB, con O l'intersezione dell'asse di rotazione con la erendicolare er M ad AB, e infine con A 0 e B 0 le roiezioni di A e B sull'asse di rotazione (figura 14). L'area di S eá uguale al rodotto della misura della circonferenza che ha er raggio MO er la misura del segmento A 0 B 0 : Figura 14 Area S ˆ MO A 0 B 0 Conseguenza immediata di cioá eá che: n l'area S della suerficie generata da una oligonale regolare che ruota attorno ad un asse assante er il centro della circonferenza e che non la incontra eá uguale al rodotto della misura della circonferenza che ha er raggio l'aotema a della oligonale er la misura ` della roiezione della oligonale sull'asse di rotazione. Con riferimento alla figura 1 Figura 1 S ˆ a` con ` ˆ A 0 D 0 Infatti, er la recedente rorietaá, l'area della suerficie generata dalla rotazione di AB eá OM A 0 B 0, l'area generata dalla rotazione di BC eá ON B 0 C 0 e cosõá via. Sommando le varie arti e tenendo resente che i segmenti OM, ON, OP..., sono congruenti e raresentano l'aotema della oligonale, si ottiene l'area cercata: S ˆ a A 0 B 0 B 0 C 0 C 0 D 0 ::: ˆ a` Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI 9

10 Ragioniamo adesso in questo modo: se aumentiamo il numero dei lati della oligonale, l'aotema tende ad essere uguale al raggio r della circonferenza, quindi l'area della suerficie generata dalla oligonale diventa r`. Ma ` eá l'altezza della zona, quindi ossiamo concludere che l'area di una zona o di una calotta sferica di una sfera di raggio r eá uguale al rodotto della misura della circonferenza massima er la misura della sua altezza h: S ˆ rh A questo unto, visto che la sfera uoá essere considerata come una calotta di altezza r, ossiamo concludere che l'area di una suerficie sferica eá data da Figura 16 S ˆ r r ˆ 4r cioeá l'area di una suerficie sferica eá uguale a quattro volte l'area del cerchio massimo. Si uoá inoltre dimostrare che l'area S f di un fuso sferico di una sfera di raggio r, delimitato da due iani che definiscono un diedro di amiezza (figura 16), eá dato dalla formula: S f ˆ r se eá esresso in radianti S f ˆ 90 r se eá esresso in gradi VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Scegli fra quelle indicate la formula corretta er calcolare: a. la suerficie laterale di un risma retto: h h h b. la suerficie laterale di una iramide retta: a a h c. la suerficie di un cubo di sigolo `: 4` ` 6` d. la suerficie di un tetraedro di sigolo `: 4 ` ` ` e. la suerficie totale di un cilindro: r r h r h r r h f. la suerficie totale di un cono: r r a r a r r a. MISURE DI VOLUMI Il concetto di area riferito a suerfici iane come caratteristica che hanno in comune tutte le suerfici equivalenti, nello sazio si trasforma nel concetto di volume, inteso come caratteristica che hanno in comune tutti i solidi che occuano la stessa arte di sazio. In questo aragrafo vogliamo vedere come calcolare il volume dei solidi di cui ci siamo occuati finora. Cominciamo col dire che, se nel iano abbiamo assunto come unitaá di misura delle suerfici un quadrato di lato refissato u, nello sazio assumeremo come unitaá di misura un cubo di sigolo u. Premettiamo il seguente teorema. Gli esercizi di questo aragrafo sono a ag. Teorema. I volumi di aralleleiedi rettangoli aventi basi congruenti sono roorzionali alle risettive altezze. 10 SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

11 Dimostrazione. Con riferimento alla figura 17, consideriamo i aralleleiedi P 1, P, P,... che hanno tutti la stessa base. Ricordiamo che il criterio generale di roorzionalitaá afferma che due insiemi di grandezze sono direttamente roorzionali se e solo se si conserva la congruenza e la somma; nel nostro caso, se due aralleleiedi che hanno la stessa base hanno altezze congruenti, allora sono congruenti; inoltre se l'altezza di un aralleleiedo eá la somma delle altezze di altri due, er esemio h ˆ h 1 h, allora anche il aralleleiedo P eá la somma dei aralleleiedi P 1 e P. I due insiemi di grandezze sono quindi roorzionali. Figura 17 Possiamo adesso dimostrare che: Teorema. Il volume di un aralleleiedo rettangolo eá dato dal rodotto delle misure delle sue dimensioni. Dimostrazione. Consideriamo il aralleleiedo rettangolo di dimensioni A, B, H e indichiamo con V(A, B, H) il suo volume; sia oi V(U, U, U) il volume del cubo di sigolo U; consideriamo oi i aralleleiedi rettangoli di dimensioni A, B, U il cui volume eá V(A, B, U) ea, U, U il cui volume eá V(A, U, U) (figura 18). Per il teorema recedente ossiamo dire che Figura 18 V A, B, H V A, B, U ˆ H U V A, B, U V A, U, U ˆ B U V A, U, U V U, U, U ˆ A U i due aralleleiedi hanno entrambi le basi di dimensioni A e B e le altezze sono H e U i due aralleleiedi hanno entrambi le basi di dimensioni A e U e le altezze sono B e U i due aralleleiedi hanno entrambi le basi quadrate di dimensione U e le altezze sono A e U Moltilicando membro a membro queste tre relazioni segue che V A, B, H V U, U, U ˆ H U B U A U Il raorto H esrime la misura della dimensione H risetto all'unitaá U ed analogamente gli altri raorti esrimono le misure delle dimensioni B e A risetto U V A, B, H alla stessa unitaá di misura; il raorto esrime la misura del volume del aralleleiedo dato risetto al cubo reso come unitaá di misura. Indi- V U, U, U cando con V il volume del aralleleiedo e con a, b, c le misure delle dimensioni del aralleleiedo, si ha allora che V ˆ a b c Nel caso articolare in cui il aralleleiedo sia un cubo il cui sigolo misura a, si ha che V ˆ a. Abbiamo cosõá trovato una regola er calcolare il volume di un aralleleiedo rettangolo e di un cubo. Vediamo ora come rocedere er trovare analoghe Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI 11

12 regole er gli altri solidi. Come nel iano, anche nello sazio diremo che due figure sono equivalenti se hanno la stessa estensione. Il confronto fra figure nello sazio er vedere se hanno la stessa estensione, cioeá se sono equivalenti, si serve di un assioma che rende il nome di Princiio di Cavalieri e che si basa sulle seguenti considerazioni. Consideriamo due solidi che abbiano la base sullo stesso iano e consideriamo tutti i ossibili iani aralleli ad (in figura 19 ne abbiamo disegnato uno); le sezioni dei due solidi con tali iani ossono essere oligoni diversi fra loro, ma se hanno la stessa area, cioeá se sono equivalenti a coie, eá logico ensare che la loro sovraosizione generi due solidi che hanno la stessa estensione. Enunciamo allora il seguente assioma. Figura 19 Princiio di Cavalieri. Se due solidi si ossono disorre in modo che siano equivalenti le sezioni con ogni iano arallelo ad un iano fissato, essi sono equivalenti. Il rinciio di Cavalieri ci ermette di dimostrare alcuni teoremi di equivalenza che ci consentiranno di giungere facilmente al calcolo delle misure dei volumi dei rinciali solidi. Due rismi che hanno basi equivalenti ed altezze congruenti sono equivalenti. Dimostrazione. Collochiamo i due rismi su uno stesso iano come in figura 0 e sezioniamo i due solidi con un iano arallelo ad. Le sezioni ottenute sono congruenti alle basi dei due solidi e, oicheâ le due basi sono equivalenti er iotesi, anche le sezioni lo sono. Allora, er il rinciio di Cavalieri i due rismi sono equivalenti. Figura 0 Due iramidi che hanno basi equivalenti ed altezze congruenti sono equivalenti. Dimostrazione. Oeriamo come nel caso recedente disonendo le due iramidi sullo stesso iano come in figura 1 e sezioniamo oi i due solidi con un iano arallelo ad. Indichiamo con A e B le basi delle due iramidi e con A 0 e B 0 i risettivi oligoni sezione ottenuti. Tali oligoni sono simili alla base della roria iramide e, oicheâ si trovano alla stessa distanza dal iano della base, il raorto di similitudine eá lo stesso nelle due iramidi; indichiamo con k tale raorto. Saiamo che se due oligoni sono simili di raorto k, le loro aree stanno nel raorto k, quindi ossiamo dire che area A 0 area A ˆ k e area B 0 area B ˆ k Figura 1 cioeá, confrontando i due raorti area A 0 area A ˆ area B 0 area B 1 SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

13 Questo significa che, se A e B sono equivalenti, anche A 0 e B 0 lo sono. Dunque, er il rinciio di Cavalieri, le due iramidi sono equivalenti. Una iramide eá equivalente alla terza arte di un risma che ha la base congruente a quella della iramide e la stessa altezza. Dimostrazione. Consideriamo darima una iramide a base triangolare ABCD e oeriamo la seguente costruzione (figura ): n tracciamo er il vertice D il iano arallelo alla base della iramide n tracciamo da B e da C le arallele allo sigolo AD che incontrano risettivamente in E einf il iano n congiungiamo oi E ed F con D. Considerando che, er la costruzione fatta, i triangoli ABC e DEF sono congruenti, quello che abbiamo ottenuto eá un risma che ha er base la base della iramide e er altezza l'altezza della iramide. Se ora tracciamo anche il iano DFB, il risma rimane suddiviso nelle tre iramidi ABCD, DFEB e BCFD. Osserviamo che le rime due iramidi sono equivalenti ercheâ hanno congruenti le basi ABC e DEF e le risettive altezze; le iramidi DFEB e BCFD sono anch'esse equivalenti ercheâ hanno le basi BEF e BFC congruenti e la stessa altezza. In definitiva le tre iramidi considerate sono equivalenti fra loro. Allora la iramide a base triangolare considerata eá la terza arte di un risma che ha la stessa base e la stessa altezza di quella della iramide. Osserviamo ora che una iramide che ha er base un oligono qualsiasi uoá semre essere vista come la somma di iuá iramidi a base triangolare; basta infatti tracciare le diagonali del oligono uscenti da un vertice e considerare i tetraedri che hanno er base i triangoli ottenuti e er vertice il vertice della iramide (figura ). Ciascuno di questi tetraedri eá equivalente alla terza arte di un risma che ha er base quel triangolo e er altezza l'altezza della iramide. La somma dei tetraedri, cioeá la iramide, eá allora equivalente alla terza arte della somma dei rismi, ma la somma dei rismi eá un risma che ha er base la base della iramide e er altezza la stessa altezza. Resta quindi dimostrato l'enunciato del teorema. Figura Figura In modo del tutto analogo, sezionando con dei iani aralleli alla base e controllando l'equivalenza delle figure iane ottenute, si dimostra che valgono anche i seguenti teoremi. Un cilindro ed un risma sono equivalenti se hanno le basi equivalenti e la stessa altezza. Un cono ed una iramide sono equivalenti se hanno le basi equivalenti e la stessa altezza. Le formule er il calcolo dei volumi I teoremi di equivalenza che abbiamo visto ci ermettono di trovare delle formule er esrimere la misura del volume di uno dei solidi che abbiamo studia- Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI 1

14 to. Possiamo infatti ricondurci in ogni caso al calcolo della misura del volume di un aralleleiedo a noi giaá nota. Indicando con S b la misura dell'area di base e con h quella dell'altezza si ha che: n oicheâ un risma eá equivalente ad un aralleleiedo avente la base equivalente a quella del risma e la stessa altezza, la misura del volume di un risma si calcola con la formula V risma ˆ S b h n oicheâ una iramide eá equivalente alla terza arte di un risma avente la stessa base e la stessa altezza, la misura del volume di una iramide si calcola con la formula V iramide ˆ 1 S b h n oicheâ un cilindro eá equivalente ad un risma avente la base equivalente a quella del risma e la stessa altezza, la misura del volume di un cilindro si calcola con la formula V cilindro ˆ S b h cioeá V cilindro ˆ r h n oicheâ un cono eá equivalente ad una iramide avente la base equivalente a quella del cono e la stessa altezza, la misura del volume di un cono si calcola con la formula V cono ˆ 1 S b h cioeá V cono ˆ 1 r h n il volume di un tronco di iramide si uoá calcolare sottraendo dal volume della iramide P il volume della iramide P 0 (rivedi la figura 4). Suonendo di conoscere le misure b e B delle aree delle due basi minore e maggiore del tronco e quella h della sua altezza si dimostra che tale volume eá uguale a (vedi a questo roosito l'esercizio guida n. 1 nella arte riservata agli esercizi sulle cometenze) V tronco di iramide ˆ 1 hb b bb n il volume di un tronco di cono si uoá calcolare sottraendo dal volume del cono C il volume del cono C 0 (rivedi la figura 10). Suonendo di conoscere le misure r e R dei raggi dei cerchi che costituiscono le basi del tronco e quella h della sua altezza si dimostra che tale volume eá uguale a (vedi a questo roosito l'esercizio guida n. dello stesso gruo) Figura 4 V tronco di cono ˆ 1 hr R rr Valutiamo adesso il volume della sfera. Consideriamo dunque una sfera di centro O e raggio r, il cilindro equilatero ad essa circoscritto e i due coni che hanno er basi le basi del cilindro e er vertice il centro della sfera (figura 4). Il solido che si ottiene togliendo dal cilindro i due coni rende il nome di anticlessidra. Dimostriamo che vale il seguente teorema. 14 SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

15 Una sfera eá equivalente all'anticlessidra. Dimostrazione. Come nei casi recedenti, sezioniamo la figura costruita con un iano arallelo alla base (figura ). Se tale iano assa er il centro della sfera, allora la sezione della sfera eá il cerchio massimo, la sezione dell'anticlessidra eá ancora il cerchio massimo e quindi le due sezioni sono equivalenti. Se il iano non assa er il centro, la sezione che si ottiene dalla sfera eá un cerchio di raggio HA, quella che si ottiene dall'anticlessidra eá la corona circolare delimitata dai cerchi di raggi HC e HB. L'area del cerchio di raggio HA eá HA L'area della corona circolare eá HC HB Osserviamo adesso che HC eá rorio il raggio della sfera (ertanto HC ˆ AO ˆ r e che, visto che il cono ha il raggio di base congruente all'altezza, anche HB OH. Inoltre, se alichiamo il teorema di Pitagora al triangolo OAH, si ha che AH ˆ OA OH. Da tutto cioá deriva che: HC HB ˆ OA OH cioeá HC HB ˆ AH Allora il cerchio sezione del iano con la sfera eá equivalente alla corona circolare sezione del iano con l'anticlessidra; er il rinciio di Cavalieri la sfera e l'anticlessidra sono quindi equivalenti. Il teorema dimostrato ci indica il modo di calcolare la misura del volume di una sfera: V sfera ˆ V cilindro V cono ed essendo V cilindro ˆ r r ˆ r V cono ˆ 1 r r ˆ 1 r si ha che V sfera ˆ r 1 r ˆ 4 r Figura Figura 6 Ivolumidelleartidellasfera Abbiamo detto nel recedente caitolo che un settore sferico eá definito dalla rotazione comleta di un settore circolare attorno alla retta di un diametro che non lo attraversa. In figura 6a mostriamo il caso in cui il settore AOB ruota attorno alla retta t del diametro assante er A, mentre in figura 6b eá il settore COD che ruota attorno alla retta s di un diametro qualsiasi (che non lo attraversa). Si dimostra che il volume di un settore sferico eá dato dal rodotto di un terzo del raggio della sfera er l'area della calotta oure della zona sferica corrisondenti: V settore sferico ˆ 1 r (area della calotta o della zona sferica) a. Poiche abbiamo visto che l'area della calotta o della zona eá uguale a rh, il volume si uoá esrimere sinteticamente con la formula V settore sferico ˆ 1 r rh ˆ r h b. Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI 1

16 Questa formula ci ermette di calcolare facilmente il volume di un segmento sferico. n Il volume di un segmento sferico a una base si ottiene togliendo (o aggiungendo a seconda dei casi) dal volume del corrisondente settore sferico il volume del cono che ha er base la base del segmento e vertice nel centro della sfera (figura 7); sviluando i calcoli (vedi a questo roosito l'esercizio guida n. nella arte riservata agli esercizi sulle cometenze) si giunge alla formula: Figura 7 V segmento sferico a una base ˆ 1 h r h n Il volume di un segmento sferico a due basi si ottiene come differenza di due segmenti sferici a una base (figura 8); con metodi analoghi al recedente (vedi l'esercizio n. 4 nella arte riservata agli esercizi dello stesso gruo) si arriva alla formula: Figura 8 V segmento sferico a due basi ˆ 1 hr r h essendo h l'altezza del segmento, r 1 e r i raggi delle due basi. Il volume di uno sicchio sferico di amiezza (rivedi la figura 16) si calcola con le formule: V sicchio sferico ˆ r se eá esresso in radianti V sicchio sferico ˆ r 70 se eá esresso in gradi VERIFICA DI COMPRENSIONE 1. Comleta: a. due rismi sono equivalenti se... b. una iramide e un risma hanno basi equivalenti; i due solidi sono equivalenti se... c. un cilindro e un cono hanno basi equivalenti; i due solidi sono equivalenti se... d. se da un cilindro equilatero si tolgono i due coni aventi ciascuno er base una base del cilindro e er altezza un segmento congruente alla metaá dell'altezza del cilindro si ottiene SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

17 Per il calcolo della suerficie basta calcolare l'area di un rombo; indicando con x la semidiagonale maggiore e con y la semidiagonale minore saiamo che (figura 9): 8 x y ˆ 1 >< er le iotesi fatte >: x y ˆ a alicando il teorema di Pitagora s s Risolvendo il sistema troviamo che: x ˆ a e y ˆ a L'area di una faccia eá: s s a a ˆ a L'area della suerficie del solido eá quindi: 0 a ˆ 1a. Il calcolo del volume eá un o' iuá comlesso. Possiamo immaginare che il triacontaedro sia formato da 0 iramidi che hanno er base una faccia le cui altezze convergono tutte in un unto V che eá il centro del oliedro (figura 0); il volume si uoá quindi calcolare sommando i volumi di tutte queste iramidi. Per il calcolo dell'altezza VO ragioniamo cosõá (figura 1): dal centro del rombo di base tracciamo la erendicolare OH al lato; la OA OB misura di questo segmento eá data dall'esressione, cioeá: r AB r a a OH ˆ ˆ a a oicheâ due facce consecutive del solido formano un angolo di 144,la faccia laterale della iramide forma un angolo di 7 con il iano della base; questa eá quindi l'amiezza dell'angolo che l'aotema VH della iramide forma con il segmento OH Figura 9 Figura 0 La risosta al quesito iniziale Figura 1 l'altezza della iramide si ottiene quindi alicando il secondo teorema sui triangoli rettangoli al triangolo VOH : q VO ˆ OH tan 7 ˆ a Possiamo adesso calcolare il volume del solido: 1 V ˆ {z } 0 q a a numero iramidi {z } volume di una iramide q ˆ 4 a Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI 17

18 I concetti e le regole Le suerfici dei oliedri Per calcolare la misura della suerficie di un oliedro basta sviluare tale suerficie in un iano e calcolare le aree dei oligoni cosõá ottenuti; in questo modo, con lo stesso significato dei simboli usato nel testo, si ottengono le seguenti formule: l risma: St ˆ S b h l iramide retta: St ˆ S b a l tronco di iramide retta: St ˆ a 0 A A 0 l cubo: St ˆ 6` l tetraedro regolare: St ˆ s l ottaedro regolare: St ˆ s l icosaedro regolare: St ˆ s q l dodecaedro regolare: St ˆ s 10 Le suerfici dei solidi di rotazione Per calcolare la misura della suerficie di un cilindro, si considerano le successioni dei rismi inscritti e circoscritti al cilindro con un numero crescente di facce laterali; tali successioni costituiscono una coia di classi contigue di cui la suerficie laterale del cilindro eá l'elemento searatore. Analogamente: l l er calcolare la misura della suerficie di un cono si considerano le successioni delle iramidi inscritte e circoscritte al cono con un numero crescente di facce laterali er calcolare la misura della suerficie di una sfera si considera la rotazione attorno al diametro delle oligonali inscritte e circoscritte ad una semicirconferenza con un numero crescente di lati. In conseguenza di cioá si ottengono le seguenti formule: l cilindro: S` ˆ rh S b ˆ r S t ˆ r h r l cono: S` ˆ ra S b ˆ r S t ˆ r a r l tronco di cono: St ˆ a r R r R l sfera: St ˆ 4r l fuso sferico: S ˆ r ( in radianti) S ˆ 90 r ( in gradi) Volumi ed equivalenza nello sazio Il volume di un solido eá la caratteristica comune a tutti i solidi che hanno la medesima estensione saziale; l'unitaá di misura dei volumi eá il cubo di lato unitario. Si dimostra che: l l i volumi di aralleleiedi rettangoli che hanno basi congruenti sono roorzionali alle risettive altezze il volume di un aralleleiedo rettangolo di dimensioni a, b, c eá dato dalla formula V ˆ abc. Due solidi si dicono equivalenti se hanno la stessa estensione. Il rinciio di Cavalieri enuncia un criterio er stabilire se due solidi sono equivalenti: ± se due solidi si ossono disorre in modo che risultino equivalenti tutte le loro sezioni con iani aralleli al iano della base, allora essi sono equivalenti. 18 SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

19 In base a questo rinciio si dimostra che: l l l l l l due rismi sono equivalenti se hanno basi equivalenti ed altezze congruenti due iramidi sono equivalenti se hanno basi equivalenti ed altezze congruenti una iramide eá equivalente alla terza arte di un risma che ha la base equivalente a quella della iramide e la stessa altezza un cilindro eá equivalente a un risma che ha la base equivalente a quella del cilindro e la stessa altezza un cono eá equivalente a una iramide che ha la base equivalente a quella del cono e la stessa altezza una sfera eá equivalente all'anticlessidra. Misure dei volumi In base ai teoremi di equivalenza si ricavano le seguenti formule er il calcolo dei volumi: l risma: V ˆ Sb h l iramide: V ˆ 1 S bh l cilindro: V ˆ r h 1 l cono: V ˆ r h 1 l tronco di iramide: V ˆ h B b bb 1 l tronco di cono: V ˆ h r R rr l sfera: V ˆ 4 r l settore sferico: V ˆ r h l segmento sferico a una base: V ˆ 1 h r h 1 l segmento sferico a due basi: V ˆ h r 1 1 r 6 h l sicchio sferico: V ˆ r ( in radianti) V ˆ r ( in gradi) 70 Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI 19

20 Suerfici e volumi MISURE DI SUPERFICI la teoria eá a ag. RICORDA n Con la convenzione usata nella arte di teoria er i simboli, le suerfici dei solidi fondamentali si calcolano alicando le seguenti formule: Prisma S` ˆ h S t ˆ h S b Piramide S` ˆ a S t ˆ a S b Tronco di iramide S` ˆ a 0 S t ˆ S` A A 0 Cilindro S` ˆ rh S t ˆ rh r ˆ r h r Cono S` ˆ ra S t ˆ ra r ˆ r a r Tronco di cono Sfera S ˆ 4r S` ˆ a r R S t ˆ a r R r R Comrensione 1 Siega che cos'eá lo sviluo iano di un solido e descrivi gli svilui di un risma e di una iramide. Enuncia le regole er il calcolo della misura della suerficie totale di un risma e di una iramide, distinguendo il caso in cui il risma e la iramide sono retti. Siega oi come si calcola la misura della diagonale di un aralleleiedo. L'area della suerficie laterale di una iramide si trova moltilicando il semierimetro di base er la misura dell'aotema. Questa regola eá vera: a. er qualsiasi iramide b. solo er le iramidi rette c. solo er le iramidi regolari. 4 Doo aver siegato quando un risma retto eá inscritto o circoscritto ad un cilindro, indica quali sono le caratteristiche delle classi P i e P c dei rismi inscritti e circoscritti ad un cilindro e definisci quindi la suerficie laterale di un cilindro. Esrimi oi la formula er il calcolo dell'area di tale suerficie. Siega quando una iramide retta eá inscritta o circoscritta ad un cono, indica quali sono le caratteristiche delle classi di queste iramidi e definisci quindi la suerficie laterale di un cono. Dai infine la formula er il calcolo della suerficie totale. 6 Dato un arco di circonferenza, siega che cos'eá una oligonale regolare e indica le sue caratteristiche. Enuncia l'assioma relativo alla suerficie di una zona sferica. 7 Dato un arco di circonferenza, considera la classe S i delle suerfici che si ottengono facendo ruotare oligonali regolari inscritte nell'arco attorno ad un diametro della circonferenza e la classe S c delle su- 0 SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

21 erfici che si ottengono facendo ruotare oligonali regolari circoscritte; quali sono le caratteristiche di queste classi? Definisci, di conseguenza, la suerficie di una zona sferica. 8 Considera un segmento AB che, ruotando attorno ad una retta r del suo iano che lo interseca al iuá in un estremo, genera una suerficie S. Siega come si calcola l'area di S. 9 Facendo ruotare una oligonale regolare attorno alla retta di un diametro della circonferenza cui si riferisce, in modo che l'asse di rotazione non intersechi la oligonale, si ottiene una suerficie S. Enuncia la regola er il calcolo dell'area di S e dimostrala. 10 Lo sviluo in un iano di una suerficie sferica: a. daá origine a un cerchio b. daá origine a un settore circolare c. daá origine a un rettangolo d. non si uoá realizzare. 11 Enuncia il teorema che ermette di calcolare l'area di una zona sferica e deduci da esso la formula er il calcolo dell'area di una suerficie sferica. 1 L'area della suerficie di una sfera di raggio r eá equivalente: a. alla suerficie totale del cilindro ad essa circoscritto b. alla suerficie laterale del cilindro ad essa circoscritto c. alle due aree di base del cilindro ad essa circoscritto d. alla suerficie totale del cilindro equilatero in essa inscritto. 1 Il fuso sferico di una sfera di raggio r, il cui diedro ha amiezza, ha suerficie uguale a: 4 a. r b. 4 r c. r d. r Alicazione Problemi sui oliedri 14 La somma delle tre dimensioni di un aralleleiedo rettangolo eá 8a, trova la suerficie totale del solido saendo che una dimensione eá doia di un'altra ed eá anche i della terza. 880a Š 1 L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá cm ; trova le lunghezze delle sue dimensioni saendo che una delle dimensioni di base eá metaá dell'altra e che l'altezza eá uguale alla somma di tali dimensioni. 4cm, 8cm, 1cmŠ 16 Un risma retto ha er base un triangolo equilatero e le sue facce laterali sono equivalenti alla base. Trova le lunghezze degli sigoli saendo che l'area della suerficie totale eá 4 `. 6`, ` 17 ESERCIZIO GUIDA In un aralleleiedo rettangolo gli sigoli di base AB e BC e l'altezza BF sono roorzionali ai numeri, 4 e e la loro somma eá 60cm; calcola la misura della suerficie totale del solido. Condotto il iano che assa er due sigoli oosti e incontra le basi lungo una diagonale, calcola la suerficie totale di ciascuno dei due rismi che si ottengono. I dati del roblema indicano che: AB : ˆ BC : 4 ˆ BF : Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI 1

22 Alicando la rorietaá del comorre otteniamo: AB BC BF : 4 ˆAB :! 60 : 1 ˆ AB :! AB ˆ 1 Utilizzando la stessa roorzione uoi trovare le altre due dimensioni del aralleleiedo. 0cm ; 1800cm Š 18 L'area della suerficie totale di un aralleleiedo rettangolo eá 888a. Calcola la misura delle sue dimensioni saendo che sono roorzionali ai numeri 4,, 16, trova oi anche la lunghezza della diagonale. 1 1a, 9a, 16a, d ˆ 481a 19 In un risma regolare a base esagonale l'area della suerficie totale eá 648 cm e di esso si sa che la suerficie laterale eá uguale alla somma delle sue suerfici di base. Doo aver trovato le lunghezze dello sigolo s di base e dell'altezza h del risma, determina a che distanza dalla base si deve condurre un iano, arallelo alla base, in modo che la suerficie totale di uno dei due rismi che si ottengono sia i 4 dell'altra. s ˆ 6 cm, h ˆ 9cm, d ˆ 18 7 cm _ d ˆ 4 7 cm 0 In un risma quadrangolare regolare l'area della suerficie totale eá 64` mentre la somma di tutti i suoi sigoli eá 80`. Determina le dimensioni del solido. 6`, 8`; `, 16 ` 1 Una iramide quadrangolare regolare ha lo sigolo di base che eá lungo 6`, mentre lo sigolo delle facce laterali eá lungo 9`; calcola la lunghezza dello sigolo s di un cubo che ha la stessa suerficie della iramide e la lunghezza della sua diagonale. q s ˆ ` 6 q 1 ; d ˆ ` 4 In una iramide triangolare regolare l'altezza ha la stessa lunghezza dello sigolo di base. Se l'area della sua suerficie totale eá di cm, trova la misura dello sigolo di base s, di quello delle facce laterali s 0 e dell'aotema a della iramide. s ˆ 18cm, s 0 ˆ 1 cm, a ˆ 9 cm Una iramide ha er base un rettangolo di area 96cm le cui dimensioni sono una i dell'altra e l'altezza della iramide cade nel centro del rettangolo; si sa oi che il raorto fra le aree di due facce la- 4 terali consecutive eá uguale a. Trova la lunghezza dell'altezza h della iramide ed esrimi una valutazione, eventualmente arossimata, dell'amiezza degli angoli che le facce laterali formano con il iano di base. h ˆ 4 cm; 4 ; arctan In una iramide quadrangolare regolare le facce laterali formano un angolo con il iano di base. Se l'area della suerficie totale della iramide eá k, calcola, in funzione di k, le lunghezze dello sigolo di base s, dello sigolo delle facce laterali s 0, dell'aotema a e dell'altezza h nel caso in cui: a. ˆ 0 q b. ˆ 4 a: s ˆ k, s 0 ˆ k r q 7 q, a ˆ k, h ˆ k q c. ˆ 60 6 q b: s ˆ h ˆ k 1, s 0 ˆ k q 1, a ˆ k q c: s ˆ k, s 0 1 ˆ 6 k, a ˆ k, h ˆ k 7 In un triangolo ABC rettangolo in A, il raorto fra il cateto AB e la sua roiezione sull'iotenusa eá uguale a e l'area del triangolo eá uguale a 6 cm. Dal vertice A dell'angolo retto traccia la semiretta er- SUPERFICI E VOLUMI Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

23 endicolare al iano di ABC e rendi su di essa un unto V in modo che sia AV ˆ 6cm. Calcola: a. le lunghezze degli altri sigoli delle facce laterali della iramide ABCV b. la suerficie totale della iramide. a: 18cm, 6 cm; b cm 6 Una iramide quadrangolare regolare di vertice V ha lo sigolo di base di lunghezza 4a e lo sigolo delle facce laterali di lunghezza a. Doo aver calcolato l'amiezza dell'angolo che ciascuna delle facce laterali forma con il iano di base, determina a che distanza d da V si deve condurre un iano arallelo a quello di base in modo che il tronco di iramide che si ottiene abbia la suerficie laterale uguale a quella della iramide staccata dal iano. 4, d ˆ a 7 Sezionando una iramide quadrangolare regolare con un iano assante er il suo vertice e er la diagonale di base si ottiene un triangolo di erimetro a nel quale il raorto fra il lato obliquo e 10 la diagonale di base eá uguale a 4 ; calcola: a. l'area della suerficie totale della iramide b. l'amiezza dell'angolo che ciascuna faccia laterale forma con il iano di base. 1a ;60 8 Una iramide retta a base quadrata ha gli angoli diedri formati dalla base con le facce laterali che sono ami 60 e di essa si sa che il lato di base eá 4a. Determina a quale distanza dal vertice occorre condurre un iano arallelo alla base in modo che la suerficie laterale della iramide che si stacca sia uguale a quella del tronco di iramide che si viene a formare. distanza del vertice dal iano ˆ 6a 6 9 In un tronco di iramide quadrangolare regolare gli sigoli delle due basi sono uno il trilo dell'altro; si sa inoltre che le facce laterali formano angoli diedri di amiezza 60 con il iano della base maggiore. Qual eá l'altezza del tronco se la sua suerficie totale eá 416`? 4 ` 0 Un solido eá formato da un risma regolare a base triangolare e da due iramidi regolari, aventi ciascuna la base coincidente con una base del risma, con il vertice rivolto verso l'interno del risma. L'altezza di ciascuna iramide eá uguale al lato di base e l'altezza del risma eá quattro volte il lato di base. Determina: lo sigolo di base del risma, la sua altezza e l'aotema di ciascuna delle due iramidi saendo che la suerficie totale del solido eá 84 " 9 `. r # 4`; 16`, 1 ` 1 In una iramide quadrangolare regolare di vertice V il diedro che la faccia laterale forma con il iano della base eá di 60 ; si sa inoltre che la distanza del centro della base da ciascuna delle facce laterali misura 1a. Calcola l'area della suerficie totale della iramide. Il iano assante er V e er la diagonale di base e un iano arallelo alla base stessa e osto a distanza x da V individuano un tronco di iramide; esrimi in funzione di x la sua suerficie totale e determina oi il valore di x er il quale tale suerficie vale a. S ˆ 04a ; x ˆ 6aŠ Problemisuisolididirotazione Siano O e O 0 i centri delle due circonferenze di base di un cilindro di raggio r e altezza 4r; determina la osizione di un unto V sul segmento OO 0 in modo che i due coni di vertice V e basi coincidenti con le basi del cilindro abbiano le suerfici laterali che stanno nel raorto. OV ˆ r _ OV ˆ r Š L'altezza di un cono circolare retto eá la metaá dell'aotema di lunghezza a; calcola, in funzione di a, la misura della suerficie totale del cono e quella del cilindro in esso inscritto che ha altezza ari ad 1 di quella del cono. h 4 a ; 9 a 6 i Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS SUPERFICI E VOLUMI