Si usano ue metoi ifferenti per misurare il carico i rottura i un filo i acciaio e si fanno 0 misure per ognuno ei metoi. I risultati, espressi in tonnellate, sono i seguenti: Metoo :..5.7..6.5.6.4.6.9 Metoo B:.5.6.6.7.5.6.5.5.6.5 i) stimare la precisione i ciascun metoo ii) calcolare la meia e il rispettivo errore per ciascun metoo. Esprimere l errore anche in termini percentuali iii) ire quante misure si ovrebbero fare con il metoo meno preciso in moo a ottenere un errore uguale a quello ell altro metoo. i) La precisione è ata alla eviazione stanar che risulta pari a: Metoo : S =0.; Metoo B: S B =0.07 ii) S 0. x.5 S 0.06 N 0.5 0. 06 SB 0.07 xb.56 S 0.0 B N 0.56 0.0 0.06 err% 00.79%.5 0.0 err% 00 0.6%.56 iii) Il metoo è quello meno preciso. Per avere un errore sulla meia uguale a quello el metoo B è necessario effettuare un numero N i misure tale a avere: S S B S N' S B 0 N N' 8 S ' 0 S B
Si consieri il parallelepipeo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati ella base e l altezza trovano i seguenti valori: a =(4 ± ) cm; b =(0 ± ) cm; cm; h=(6 ± ) cm Calcolare: ) Il perimetro ella base con il suo errore ) L area i base con il suo errore ) Il volume el parallelepipeo con il suo errore ) La base è un rettangolo il cui perimetro è pari a: p a b 8 0 48 cm Per il calcolo ell errore applico la formula i propagazione per somme/ifferenze: 7 8. cm p a b 49 ) L area i base è pari a: ab 40 cm Per il calcolo ell errore applico la formula i propagazione per prootti/rapporti: h a b p=(48 ± 8) cm a a b b 4 0 0.69 0.6940 5.6cm =(40 ± 5) cm
Si consieri il parallelepipeo a base rettangolare rappresentato in figura. Si sono misurati i lati ella base e l altezza trovano i seguenti valori: a =(4 ± ) cm; b =(0 ± ) cm; cm; h=(6 ± ) cm Calcolare: ) Il perimetro ella base con il suo errore ) L area i base con il suo errore ) Il volume el parallelepipeo con il suo errore a b h Per il calcolo ell errore applico la formula i propagazione per prootti/rapporti: 905 5040 0.7797 0.7797 6 0 4 cm h b a h b a =(5000 ± 000) cm ) Il volume è pari a: 5040 cm h b a
Tre biologi, attraverso tre ifferenti tecniche i misura, calcolano il tasso i riprouzione i una colonia i batteri, cioè misurano il tempo necessario affinché la popolazione ella colonia i batteri raoppia. I tempi registrati sono: biologo : tempo =.4 ± 0.6 giorni biologo : tempo =.8 ± 0. giorni biologo : tempo =. ± 0.6 giorni Trovare la miglior stima el tempo e la sua incertezza. Determinare la compatibilità tra i valori ottenuti al biologo e. Si tratta semplicemente i applicare le formule ella meia pesata. xi.4.8. N i i 0.6 0. 0.6.778 5 i.778 0.556.67 95 x i i.89 60.56 X X best best N i N i x N i i i i i X best X best 60.56 0.556 0.556.79998 0.809 Teneno conto elle cifre significative:(.8 0.) Compatibilità:..4 t 0.94 P(t=0.94)=65.8% CL=4.7% 0.6 0.6 giorni
Un analisi conotta si 000 uomini ha rivelato che le altezze sono istribuite normalmente attorno al valore (.780 ±0.005) m. Dire quanti uomini ci si attene con: i) ltezza compresa tra.75 e.8 m ii) tezza maggiore i.85 m iii) ltezza maggiore i.65 m iv) ltezza compresa tra.65 e.75 m La istribuzione elle altezze è centrata sul valore meio.78 m con eviazione stanar pari a: S x S x N 0.005 000 0.58 i) l intervallo [.75-.8] è simmetrico rispetto al valore meio Per il calcolo ella probabilità associata a tale intervallo si ricava apprima il valore i t e poi si guara la tabella ella gaussiana: i è quini una probabilità i circa il 5% che gli uomini abbiano un altezza tra.75 e.78 m. Esseno il campione composto a 000 iniviui, ci si aspetta un numero pari a: 5 N 000 50 00 x x x t S x x t S x.75.78 t 0.58.8.78 t 0.58 0.0 t 0.9 0.58 0.0 t 0.9 0.58
ii) tezza maggiore i.85 m ii) Il numero i uomini con altezza maggiore i.85 m si trova anano a eterminare apprima il valore i t corrisponente a.85:.85.78 t 0.58 0.44 Dalla tabella ella gaussiana, si trova che P(t=0.44) = 4% e corrispone all a probabilità i avere un altezza tra.7 e.85 m (area blu). Noi siamo interessati però all area rosa che è pari a: P 00 P( t) 00 4 x.85 % Esseno il campione composto a 000 iniviui, ci si aspetta un numero pari a:.0.5.0 N 000 0 00.5.0 0.5 0.0...4.5.6.7.8.9.0....4
iii) tezza maggiore i.65 m iii) Il numero i uomini con altezza maggiore i.65 m si trova anano a eterminare apprima il valore i t corrisponente a.65:.78.65 t 0.58 0.8 Dalla tabella ella gaussiana, si trova che P(t=0.8) = 59% circa e corrispone all a probabilità i avere un altezza tra.65 e.9 m (area blu). Noi siamo interessati però alla somma ell area blu e rosa che è pari a: P 00 P( t) 00 59 x.65 P( t) 59 79.5%.0.5 Esseno il campione composto a 000 iniviui, ci si aspetta un numero pari a:.0.5 N 79.5 000 00 795.0 0.5 0.0...4.5.6.7.8.9.0....4
.0 Esercizi iv) tezza compresa tra.65 m e.75 m iv) Si ha a che fare con un intervallo non simmetrico (entrambi gli estremi sono a sinistra el valore centrale ella istribuzione. Si ricavano i corrisponenti valori i t e le probabilità associate, isegnano le gaussiane..78.65 t 0.8 P( t) 59% 0.58.0.78.75 t 0.9 P( t) 5% 0.58.5.5.0.0.5.5.0.0 0.5 0.5 0.0...4.5.6.7.8.9.0....4 0.0...4.5.6.7.8.9.0....4 P( t) P( t ) P.65 x.75 % N 000 0 00
Si etermina il volume i un cilinro misuranone il iametro e l altezza. Se i risultati elle ue misure sono: iametro: (8 ± ) cm, altezza: (40 ± ) cm Si chiee: Quale è l errore sul volume? E quale il suo errore relativo (percentuale)? Se si potesse migliorare una sola elle ue misure, quale bisognerebbe scegliere per ottenere un errore più piccolo sul volume? Il volume i un cilinro è il prootto ell area i base per l altezza: r h 8 h.4 40 009.6cm ERRORE RELTIO SUL OLUME: h h 8 40 0.065 0.00065 0.5 5% ERRORE SSOLUTO SUL OLUME: 0.5 0.5009.6 504.8 =000 ± 500 cm Nell espressione el volume el cilinro il iametro è elevato al quarato. Ciò fa si che nella formula i propagazione per prootti e rapporti compare il fattore moltiplicativo () in corrisponenza ell errore relativo sul iametro. E quini il iametro a avere un peso maggiore nel calcolo ell errore sul volume.
Un chimico eve prelevare 50 ml i soluzione utilizzano una pipetta a 0 ml. Effettua pertanto 5 pipettate. Sapeno che la precisione nominale ella pipetta è pari a 0.5 ml, calcolare l errore associato al volume totale prelevato Il volume totale prelevato è la somma el volume i 5 pipettate: tot 4 5 L errore sul volume totale si ricava quini utilizzano la formula i propagazione egli errori per somme e ifferenze: tot ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4 5 ) tot Gli errori sui singoli volumi i sono tutto pari a 0.5 ml (precisione ella pipetta). Quini: 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 50.5 5 0.5 0. ml 4
Si consieri una sferetta i massa m=5.40 ± 0.04 g, ella quale si vuole eterminare la ensità. Qual è la precisione con cui i eve eterminare il iametro ella sferetta per avere un errore percentuale sulla ensità inferiore all %? E richiesto un errore percentuale sulla ensità inferiore all %, cioè: 0.0 m m La ensità ella sferetta si esprime come: m con 4 La ensità ella sferetta si può quini riscrivere come: m K (ove K è una costante che racchiue tutti i termini numerici) Risolveno la isuguaglianza rispetto all errore relativo sul iametro si ha: 0.% 0.00 9 0 9.75 0 9.75 9 5.40 0.04 0.0 0.0 5.40 0.04 0.0 5 5 m m
Due carpentieri misurano con un metro a nastro la larghezza i una porta. Il primo trova 46.8 cm, il secono 48.6 cm. Sapeno che l incertezza su ognuna elle ue misure può essere stimata pari a 5 mm, ire a quale livello i confienza le ue misure sono compatibili tra loro Per calcolare il CL si calcola apprima il valore i t : t 48.6 46.8 0.5 0.5.8 0.707.55 Dalla tabella ella gaussiana si ricava che la probabilità corrisponente è: P(t)=98.9% Il livello i confienza CL è quini pari a: CL=00- P(t)=00%-98.9%=.08%
I risultati ottenuti a 4 ricercatori circa la misura ella velocità i propagazione el suono nell aria sono: ricercatore : v = 40 ± 8 m/s ricercatore : v = 4 ± 6 m/s ricercatore : v = 0 ± 6 m/s ricercatore 4: v = 45 ± m/s Si chiee, quale è la miglior stima ella velocità e quale è la sua incertezza. Inicare, inoltre, il grao i compatibilità tra la misura che ha ato il risultato maggiore e quella che ha ato il risultato minore. xi 40 i 8 i 0.056 x i i 5.08 54.44 X best 4.6 X. 5 0.584 best 0.584 Teneno conto elle cifre significative: 44 m / s 4 0 6 6 0.0778 0.009 9.50076.90 I ati a confrontare per il calcolo i CL sono il terzo e il quarto: 45 0 5 t 0.9 6 6.8 45 0. 8.95 Dalla tabella ella gaussiana si ricava che la probabilità corrisponente è: P(t)=64.4% N i 0.584 54.44 Il livello i confienza CL è quini pari a: CL=00- P(t)=00%-64.4%=5.76%
Si vuole eterminare il volume i un cilinro i cui si è misurato il raggio i base (r=0 cm) e l altezza (h=50 cm), entrambe con un errore pari a cm. Quanto vale il volume? E il suo errore? Il volume i un cilinro è il prootto ell area i base per l altezza: r h 0 50 5700.4 cm ERRORE RELTIO SUL OLUME: r r h h 0 50 0.04 0.0004 0. 0% ERRORE SSOLUTO SUL OLUME: 0. 0.5700 40 =6000 ± 000 cm