Corso di Geometria III - A.A. 216/17 Esercizi (ultimo aggiornamento del file: 2 ottobre 215) Esercizio 1. Calcolare (1 + 2i) 3, ( ) 2 + i 2, (1 + i) n + (1 i) n. 3 2i Esercizio 2. Sia z = x + iy. Determinare parte reale e immaginaria di z 4 1, z, z 1 z + 1, 1 z 2. Esercizio 3. Mostrare che ( 1 ± i ) 3 3 = 1 e 2 per tutte le combinazioni di segni indicate. ( ±1 ± i ) 6 3 = 1 2 Esercizio 4. Calcolare le parti reali e immaginarie dei numeri complessi z z 2 + 1 con z = x + iy e w w 2 con w = x iy + 1 e quindi verificare che le due espressioni danno numeri complessi coniugati. Esercizio 5. Determinare il modulo dei seguenti numeri complessi 2i(3 + i)(2 + 4i)(1 + i), (3 + 4i)( 1 + 2i) ( 1 i)(3 i) Esercizio 6. Calcolare le radici quadrate e le radici quarte complesse del numero i. Esercizio 7. Mostrare che, dato n N, per ogni z C esistono al più n radici n-esime distinte e stabilire quali sono i numeri complessi per cui esistono esattamente n radici n-esime, tutte distinte fra loro. Esercizio 8. Dimostrare che per ogni z, w C z w z w. Esercizio 9. Provare che a) Se a = 1 oppure b = 1, allora fare se a = b = 1? b) Se a < 1 e b < 1, allora a b 1 ab 1 a b 1 ab < 1. = 1. Che eccezione si deve.
2 Esercizio 1. Mostrare che l inversa della proiezione stereografica trasforma z, z C in due punti antipodali della sfera di Riemann se e solo se zz = 1. Esercizio 11. Stabilire quando l equazione complessa az + b z + c = ha esattamente una soluzione e trovarne un espressione in termini di a, b e c. Esercizio 12. Stabilire condizioni necessarie e sufficienti sui coefficienti a, b e c affinchè l equazione complessa az + b z + c = rappresenti una retta. Esercizio 13. Siano β, β C e r, r le rette in C di equazioni Im((z z o )β) =, Im((z z o)β ) =. Sotto quale condizione si ha che r ed r sono fra loro ortogonali? Esercizio 14. (Opzionale) Mostrare che le diagonali di un parallelogramma si intersecano nei loro punti medi e che le diagonali di un rombo sono fra loro ortogonali. Esercizio 15. Sia ω = cos ( ) ( 2π n + i sin 2π ) n, n N. Provare che 1 + ω h + ω 2h + + ω (n 1)h = per ogni intero h che non è multiplo di n. Esercizio 16. Le funzioni z, Re z, Im z sono derivabili in senso complesso? Stabilirlo a) prima usando la definizione di derivata e b) poi usando anche le equazioni di Cauchy Riemann. Esercizio 17. Verificare che la funzione f : C C, f(z) := z 2, è derivabile in senso complesso solo nel punto z =. Esercizio 18. Verificare che la funzione f : C C, f(z) := z 3, soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann. Esercizio 19. Provare che se f(z) e f(z) sono entrambe olomorfe in un aperto connesso U, allora f è costante in U. Esercizio 2. Provare che una funzione f(z) è olomorfa se e solo se lo è la funzione f(z). Esercizio 21. Dato un polinomio reale P (x), i) mostrare che esistono α i R, h i N e un polinomio reale Q(x) con la proprietà Q(x o ) per ogni x o R, tali che P (x) = (x α 1 ) h 1... (x α r ) hr Q(x)
ii) dimostrare, senza usare il Teorema di Lucas ma imitando i punti della sua dimostrazione, che se gli zeri di P (x) sono tutti reali (ovvero, se Q(x) = cost.) e appartengono tutti a un semiasse I = (, a) o (a, + ), anche gli zeri reali di P (x) appartengono tutti allo stesso semiasse I. Esercizio 22. Determinare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze: 3 n p z n, n=1 ( 1) n n 3 n (z i)n, n= z n!, n= q n2 z n ( q < 1). n=1 Esercizio 23. Espandere 2z+3 z+1 in serie di potenze di z 1. Qual è il raggio di convergenza della serie ottenuta? Esercizio 24. Se f(z) = n= a nz n, qual è la somma della serie n= n3 a n z n? Esercizio 25. Se a n z n ha raggio di convergenza R, qual è il raggio di convergenza di a n z 2n? E di a 2 nz n? Esercizio 26. Calcolare il valore di e z per z = π 2 i, 3 4 πi, 2 3 πi. Esercizio 27. Determinare parte reale e immaginaria di e ez. Esercizio 28. Per quali valori di z si ha che e z vale 2, 1, i, i 2, 1 i? Esercizio 29. Verificare che Log(z) è olomorfa su tutto C \ {Re(z) <, Im(z) = } e calcolare la sua funzione derivata. (Suggerimento. Ricordarsi che il Teorema delle Derivate delle Funzioni Inverse è valido anche per le funzioni complesse olomorfe.) Esercizio 3. Determinare tutti i valori di 2 i, i i, ( 1) 2i. Esercizio 31. Dato w C, risolvere l equazione tan z = w. Determinare poi un ramo regolare della cosa (= funzione multivoca ) arctan w ( 1 ), provare che è olomorfo e calcolare esplicitamente la derivata. 1 Con l espressione ramo regolare si intende una qualunque funzione olomorfa che è ottenuto restringendo una cosa ( = funzione multivoca ) ad un opportuno dominio e facendo opportune scelte fra i valori assunti dalla cosa in modo da ottenere una funzione ben definita e olomorfa. Ad esempio, la funzione Log, definita sul dominio è un ramo regolare della cosa log(z). C \ {Re(z) <, Im(z) = },
4 Esercizio 32. Determinare un ramo regolare f(z) della funzione F (z) = log(z z 2 ) che sia olomorfo in z = 1 2 e tale che Imf ( 1 2) = 2π. Specificare in quale dominio è definito il ramo regolare considerato. Esercizio 33. Calcolare x dz nel caso in cui a) è il segmento orientato da a 1 + i; b) è la circonferenza z = r percorsa in senso antiorario. Esercizio 34. a) Calcolare z =1 z 1 dz. b) Mostrare esplicitamente che, dati z o C e r >, si ha che z z dz = 2πr, verificando in questo modo che o =r z z dz o =r coincide con la lunghezza della circonferenza z z o = r. Esercizio 35. Sia : I C una curva chiusa di classe C 1 a tratti e f(z) una funzione olomorfa su una regione U che contiene (I). Provare che f(z)f (z) dz è immaginario puro ( 2 ). Questo è l ultimo degli esercizi relativi ai contenuti delle lezioni tenute fino al 15/12/16. Esercizio 36. Calcolare z =r x dz nel senso positivo di percorrenza in due modi: a) usando un parametro; b) osservando che sulla circonferenza z = r si ha x = 1 2 (z + z) = 1 r2 2 (z + z ). dz Esercizio 37. Calcolare z =2 nel verso positivo di percorrenza. z 2 +1 Suggerimento. Decomporre l integrando in fratti semplici. Esercizio 38. Sia f : U C olomorfa, con U aperto connesso, tale che f(z) 1 < 1 per ogni z U. Provare che f (z) f(z) dz = per ogni curva chiusa e di classe C 1 a tratti contenuta in U ( 3 ). 2 Si assuma come vera la seguente proprietà, che verrà dimostrata in seguito: per ogni funzione olomorfa f, la sua derivata complessa f è anch essa una funzione derivabile in senso complesso ed è in particolare continua. 3 Vedi nota (2).
5 Esercizio 39. Calcolare z =r dz z a 2, a r. Suggerimento. Osservare che se è data dalla circonferenza z = r, si ha che sui punti di quella curva vale l uguaglianza z z = r 2 e che per ogni funzione complessa f si verifica f dz = ir f dz z. Esercizio 4. Calcolare e z z a) dz con data dalla circonferenza z = 1 percorsa in senso antiorario, e b) e z σ dz con σ data dalla circonferenza z = 2 percorsa in senso z 2 1 antiorario. Esercizio 41. Mostrare che se P (z) è un polinomio e è data dalla circonferenza z a = R percorsa in senso antiorario, allora P (z) d z = 2πiR 2 P (a). Esercizio 42. Calcolare e z dz, (n 1) zn dove è una curva data dalla circonferenza z = 1 percorsa in senso antiorario. Esercizio 43. Sia f olomorfa su tutto C e tale che per z C \ { z 1 } si ha che f(z) C z k per qualche k N fissato. Provare che f è un polinomio. Esercizio 44. Sia f olomorfa su tutto C e tale che Re f(z) M per ogni z C. Provare che f è costante. Suggerimento. Considerare la funzione g(z) = e f(z). Esercizio 45. Sia f : U C olomorfa su una regione U C e sia R () U. Mostrare che se sup z R () f(z) M allora vale la seguente stima sulle derivate n-esime: per ogni r < R e per ogni z r () d n f dz n Mn!R z (R r) n+1. Esercizio 46. Provare che se f, g : U C sono olomorfe in una regione U e f(z)g(z) = per ogni z U, allora f oppure g.
6 Esercizio 47. Studiare le singolarità isolate delle seguenti funzioni: z 2 cos 1 z, z 3 + 1 z 2 (z + 1), sin(2z) z 4, z + 1 z 2 3z + 2, 1 e z 1, tan z. Esercizio 48. Sia f olomorfa nella corona circolare 1 z 2 e sia f(z) 3 su z = 1 e f(z) 12 su z = 2. Provare che f(z) 3 z 2 per ogni 1 z 2. Esercizio 49. Calcolare e z (z + π 2 ) 2 dz dove è la curva data dalla circonferenza z = 4 percorsa in senso antiorario. Esercizio 5. Sia f : C, := 1 (), olomorfa su una regione U che contiene e tale che f(z) > 2 se z = 1 e f() = 1. Provare che f necessariamente si annulla in qualche punto di. Esercizio 51. Provare che per ogni R > esiste un numero naturale N > tale che per ogni n > N tutte le radici del polinomio 1 + z + z2 2! + + zn n! si trovano all esterno di R () = { z R}. Esercizio 52. Calcolare e z (z 2 + π 2 ) 2 dz dove è la curva data dalla circonferenza z = 4 percorsa in senso antiorario. Esercizio 53. Stabilire quante sono le radici dell equazione z 7 2z 5 + 6z 3 z + 1 = che sono all interno di = { z < 1}. Suggerimento. Considerare il monomio che ha modulo maggiore su z = 1. Esercizio 54. Provare che per ogni numero reale a > e, l equazione az n = e z ha n radici all interno del disco = { z < 1}. Esercizio 55. Quante radici dell equazione z 4 6z + 3 = hanno modulo compreso tra 1 e 2? Esercizio 56. Calcolare il residuo nelle loro singolarità isolate delle funzioni z 2 cos 1 z, z 3 + 1 z 2 (z + 1), sin(2z) z 4, z + 1 z 2 3z + 2, 1 e z 1, tan z. Esercizio 57. Provare che se z o è un polo per f : U C allora Res z=zo (f ) =.
Esercizio 58. Provare che se f, g : U C sono olomorfe z o è uno zero semplice di g allora ( ) f Res z=zo = f(z o) g g (z o ). Esercizio 59. Siano f, g : U C olomorfe in una regione U e siano a 1,, a n gli zeri di g in U di ordini rispettivamente m 1,, m n. Mostrare che se è un ciclo in Ω, omologo a zero in Ω e che non passa per a 1,, a n, f(z) g (z) n g(z) dz = 2πi m j f(a j )n(, a j ). j=1 7 Esercizio 6. Calcolare i seguenti integrali: 2π cos 3θ 5 4 cos θ dθ, 2π dθ con a > b, a + b sin θ + cos xdx (x 2 + 1)(x 2 + 4). Esercizio 61. Calcolare i seguenti integrali: + x sin x x 2 + 1 dx, + sin(ax) x(x 2 + b 2 dx con a, b >. ) Esercizio 62. Calcolare (motivando bene tutti i passaggi) i seguenti integrali + dx dx, p.v. x(x + 4) x λ (x 4) con < λ < 1. Esercizio 63. Calcolare + ln x 1 + x 2 dx. Suggerimento. Dati < δ < r, usare il cammino chiuso formato dai segmenti da δ ad r e da r a δ sull asse x e dalle semicirconferenze di centro e raggi r e δ contenute nel semipiano Im (z) > e percorse rispettivamente in senso antiorario e in senso orario. Lavorare con un ramo regolare di log z che sia olomorfo su tale cammino e nel suo interno. Provare con precisione cosa succede agli integrali sui vari pezzi del cammino quando si passa al limite. Esercizio 64. Calcolare + ln(1 + x 2 ) x 1+a dx con < a < 2. Suggerimento. Prima integrare per parti. Provare con precisione cosa succede agli integrali sui vari pezzi del cammino quando si passa al limite. Esercizio 65. Mostrare che dati tre punti distinti z 1, z 2, z 3 Ĉ esiste un unica trasformazione di Moebius S : Ĉ Ĉ tale che S(1) = z 1, S() = z 2
8 e S( ) = z 3. Suggerimento. Considerare prima il caso in cui tutti i tre punti z 1, z 2 e z 3 sono diversi da e poi separatamente il caso in cui z 1 =, quello in cui z 2 = e infine quello in cui z 3 =. Per dimostrare l affermazione nel primo caso ci si può ricondurre a mostrare l esistenza e unicità di una trasformazione proiettiva  di CP 1 che verifica ([ ]) [ ] ([ ]) [ ] ([ ]) [ ] 1 z1 z2 1 z3  =,  =,  =. 1 1 1 1 1 Esercizio 66. (Opzionale) Determinare una trasformazione di Moebius che manda il semipiano Imz > sul disco z < 1 in modo che 1 vada in 1 e in 1.