Soluzioni Esercizi Capitolo 3

Soluzioi Esercizi Capitolo 3 Esercizio 1 a. I u mazzo di carte fracesi lo spazio campioario è costituito da 52 elemeti. Nel caso dell'estrazioe di u fate, il umero di eveti favorevoli è 4, per cui la probabilità di estrarre u fate è 4 / 52.08. b. I questo caso il umero di eveti favorevoli è 3, per cui la probabilità del successo è 3 / 52.06 c. I questa situazioe ci troviamo di frote al caso di eveti disgiuti (cogiuzioe "o"), per cui utilizzeremo il pricipio della somma. Prima, però, occorre valutare se gli eveti siao o meo mutuamete escludetisi, ossia, se vi siao elemeti dello spazio campioario che li soddisfao etrambi. I questo caso o ve e soo, dato che essu fate è ache u asso o viceversa, per cui possiamo scrivere: p(j A) p(j) + p(a) 4/52 + 4/52,15 d. Ache i questa situazioe ci troviamo di frote al caso di eveti disgiuti (cogiuzioe "o"), ma differetemete dal puto (c) vi è ua carta che soddisfa sia la codizioe "fate" sia quella "figura di cuori", che è il fate di cuori. Per questo motivo, oltre a sommare le probabilità dei due eveti (4/52 e 3/52) dovremo sottrarre la probabilità che i due eveti si verifichio cogiutamete (1/52). Per cui: p(j Figura ) p(j) + p(figura ) p(j Figura ) 4/52 + 3/52 1/52,12 e. I questa situazioe ci troviamo di frote al caso di eveti cogiuti (cogiuzioe "e"), per cui utilizzeremo il pricipio del prodotto. Prima, però, occorre valutare se gli eveti siao o meo dipedeti fra loro, ossia, se il verificarsi dell'uo modifica la probabilità di verificarsi dell'altro. Poiché le estrazioi soo co reiserimeto o è questo il caso, per cui la soluzioe è: p(j A) p(j) p(a) 4/52 4/52,0059 f. Ache questa situazioe ci troviamo di frote al caso di eveti cogiuti (cogiuzioe "e"), ma poiché l'estrazioe è seza reiserimeto i due eveti soo dipedeti, i quato il verificarsi dell'uo modifica lo spazio campioario dell'altro. La soluzioe è quidi: p(j A) p(j A J) p(j) p(a J) 4/52 4/51,0060 Esercizio 2 a. Otteere sei volte cosecutive la faccia 5 sigifica otteerla al primo lacio e al secodo lacio e al terzo lacio e al sesto lacio. La cogiuzioe "e" suggerisce che dobbiamo utilizzare il pricipio del prodotto, i quato si tratta di eveti cogiuti. Poiché la Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

probabilità che esca ua certa faccia o è modificata dagli esiti dei laci precedeti, la soluzioe è: Successo faccia 5; p(successo) 1/6; p(6 successi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 (1/6) 6,000021 b. U umero pari, el caso del lacio di u dado, è u eveto composto, dato che il successo è rappresetato dalle facce 2, 4 e 6. La probabilità del successo è quidi 3 / 6,50. p(3 successi),50,50,50 (,50) 3,125 c. Se il successo è rappresetato dall'otteere esattamete 8 volte la faccia 1 i laci, soo sequeze favorevoli tutte quelle che, idipedetemete dall'ordie, presetao esattamete 8 volte la faccia 1. I questo caso dobbiamo avvalerci della distribuzioe biomiale e utilizzare la formula: p( k) p k k k q dove k umero successi, umero prove, p probabilità a priori del successo, q 1 p, ovvero probabilità a priori dell isuccesso. Ricordiamo che:! k k!( k)! I questo caso la probabilità del successo è 1/6, per cui quella dell'isuccesso sarà 1 1/6 5/6. Il umero di prove è, quello di successi k 8, per cui: 8 8 p (5) 1/ 6 5/ 6 8 Svolgiamo prima il coefficiete biomiale: C k Il risultato è quidi: p(5 successi) 252,000129,401878,013 d. Se il successo è rappresetato dall'otteere almeo 8 volte la faccia 1 i laci, sigifica che il successo è rappresetato o solo dall'otteerla 8 volte, ma ache dall'otteerla 9 e volte. Questo sigifica che per rispodere alla domada o basterà calcolare la probabilità relativa ad 8 successi, ma dovremo calcolare ache quella relativa a 9 e, per cui avremo che: p(almeo 8 successi) p(8 successi) + p(9 successi) + p( successi) ossia 8 8 9 9 8 1/ 6 5/ 6 8 + 1/ 6 9 5/ 6 + 1/ 6 5/ 6 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

Risolviamo i coefficieti biomiali: metre sappiamo già che gli altri due soo uguali a e 1 perché cui avremo che: e 1, per 1 p(almeo 8 successi) [45,00000060,02777778] + [,000000,16666667] + + [1,00000002 1],000019 Esercizio 3 Per risolvere questo esercizio dobbiamo iazitutto costruire la tabella di cotigeza richiesta i base alle iformazioi forite. Le femmie soo il 70% di 150, quidi,70 150 5 Completiamo la tabella: Titolo di studio Geere Liceza Media Diploma Laurea Totale Femmia 5 Maschio 26 12 Totale 50 60 150 Titolo di studio Geere Liceza Media Diploma Laurea Totale Femmia 33 24 48 5 Maschio 7 26 12 45 Totale 40 50 60 150 a. I maschi soo 45 su 150, per cui p(maschio) 45 / 150,30 b. I laureati soo 60 su 150, per cui p(laureato) ) 60 / 150,40 c. I questa situazioe ci troviamo di frote al caso di eveti disgiuti (cogiuzioe "o"), per cui utilizzeremo il pricipio della somma. Prima, però, occorre valutare se gli eveti siao o meo mutuamete escludetisi, ossia, se vi siao elemeti dello spazio campioario che li soddisfao etrambi. I effetti vi soo 12 maschi che soo ache laureati, la cui probabilità di essere estratti è 12 / 150,08. La soluzioe quidi è: p(m Laureato) p(maschio) + p(laureato) p(maschio Laureato),30 +,40,08,62 d. La codizioe "almeo diplomato" idica che possiamo cosiderare come successo sia i diplomati che i laureati, per cui il umero di casi favorevoli è 50 + 60 1. La soluzioe quidi è: p(almeo diplomato) p(diplomato) + p(laureato) (50 / 150) + (60 / 150),73 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

e. I questa situazioe ci troviamo di frote al caso di eveti cogiuti (cogiuzioe "e"), per cui utilizzeremo il pricipio del prodotto. Poiché l'estrazioe è co reiserimeto, gli eveti soo idipedeti fra loro, e duque lo spazio campioario rimae ivariato ad ogi estrazioe. p(1a M 2a F) p(m) p(f) (45 / 150) (5 / 150),21 f. I questa situazioe ci troviamo di frote al caso di eveti cogiuti (cogiuzioe "e"), per cui utilizzeremo il pricipio del prodotto. Poiché l'estrazioe è seza reiserimeto, gli eveti o soo idipedeti fra loro, e duque lo spazio campioario cambia ad ogi estrazioe. I questo caso particolare, però, oltre allo spazio campioario ad ogi estrazioe successiva cambia ache il umero di eveti favorevoli, dato che se si è estratto u maschio alla prima estrazioe, alla secoda estrazioe ci sarà u soggetto i meo ma ache u maschio i meo, per cui: p(1a M 2a M) p(1a M [2a M 1a M]) (45 / 150) (44 / 149),09 g. Il modo più semplice è quello di cosiderare che la codizioe "é maschio é laureato" el caso i questioe idetifica come successi le sole femmie diplomate e co liceza media, che soo 33 + 24 57. Oppure potremmo cosiderare che: p(é Maschio é Laureato) 57 / 150,38 p(no Maschio) 1 p(maschio) 1,30,70; p(no Laureato) 1 p(laureato) 1,40,60; Poiché gli eveti o soo mutuamete escludetisi, calcoliamo ache la probabilità: p(no Maschio Laureato) 1,08,92 Per cui: p(no Maschio No laureato) p(no Maschio) + p(no Laureato) p(no Maschio Laureato),70 +,60,92,38 Esercizio 4 a. Poiché utilizziamo tutti i test a disposizioe, la soluzioe si ottiee col calcolo della permutazioi ( P ), ossia!. I questo caso 8, per cui: 8P 8 8! 8 7 6 5 4 3 2 1 40320 b. Come riportato ell'approfodimeto 3.1, il quadrato latio bilaciato viee costruito a partire dal seguete algoritmo: 1 2 1 3 2 4 3 5 4 etc. Le sequeze successive vegoo otteute sommado 1 ad ogi cifra della prima riga. Poiché i questo caso 8 avremo che la prima sequeza è: Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

1 8 2 7 3 6 4 5 A partire da questa prima sequeza aggiugiamo altre sette righe, e il umero i ogi cella è uguale a quello superiore ella stessa coloa più uo. Naturalmete, ogi volta che la cifra ella cella superiore ella coloa è 8, il coteggio riparte da 1: 1 8 2 7 3 6 4 5 2 1 3 8 4 7 5 6 3 2 4 1 5 8 6 7 4 3 5 2 6 1 7 8 5 4 6 3 7 2 8 1 6 5 7 4 8 3 1 2 7 6 8 5 1 4 2 3 8 7 1 6 2 5 3 4 I questo modo di soddisfa la codizioe che ogi test è preceduto e seguito da oguo degli altri lo stesso umero di volte c. Per gruppi distiti si itede il umero di gruppi distiti per la preseza di almeo u elemeto, ossia le combiazioi. Essedo i test 8, avremo che: d. Per categorie ordiate si itede il umero di gruppi distiti per la preseza di almeo u elemeto e per l'ordie degli elemeti, ossia le disposizioi. Essedo i test 8, avremo che: e. I questo caso dobbiamo teere coto del fatto che i quattro test per la validità di costrutto covergete possoo essere disposti i 4! modi, e che a loro volta i quattro test per la validità di costrutto discrimiate possoo essere disposti i 4! modi. A questo puto basta moltiplicare i due risultati per otteere la soluzioe al quesito: 4! 4! 576. f. I questo caso possoo adare bee i segueti ordii (NB: C covergete; D discrimiate): C D C D C D C D D C D C D C D C g. Ora, i quattro test per la validità covergete possoo essere disposti elle rispettive caselle i 4! modi, e lo stesso vale per i quattro test per la validità discrimiate. Quidi, avremo che per ogua delle due sequeze illustrate i modi possibili soo 4! 4! 576. Poiché le sequeze soo due: 576 2 1152. Esercizio 5 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

a. Per campioi distiti per almeo u elemeto si itedoo le combiazioi. Poiché siamo el caso seza ripetizioe, dobbiamo utilizzare la seguete formula: C k Per cui, dato che 30 e k, avremo:! k!( k)! b. Per campioi distiti per almeo u elemeto si itedoo le combiazioi. Poiché siamo el caso co ripetizioe, dobbiamo utilizzare la seguete formula: C k + k 1 ( + k 1)! ( + k 1)! k k![( + k 1) k]! k!( 1)! Per cui, dato che 30 e k, avremo: c. Per campioi distiti per almeo u elemeto e per l'ordie degli elemeti si itedoo le disposizioi. Poiché siamo el caso seza ripetizioe, dobbiamo utilizzare la seguete formula: D k Per cui, dato che 30 e k 20, avremo:! ( k)! d. Per campioi distiti per almeo u elemeto e per l'ordie degli elemeti si itedoo le disposizioi. Poiché siamo el caso co ripetizioe, dobbiamo utilizzare la seguete formula: k D k Per cui, dato che 30 e k 20, avremo: D k 20 30 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

e. I modi che hao gli studeti di disporsi tutti attoro ad u tavolo rappresetao le permutazioi circolari, la cui formula è: P circolati ( 1)! (30 1)! 29! f. Se vogliamo calcolare i quati modi gli studeti possoo disporsi egli otto posti della prima fila dell'aula, dobbiamo cosiderare che occorre fare gruppi di 8 studeti da u isieme di 30 che siao distiti sia da almeo u elemeto che dall'ordie di questi elemeti. Per cui, si tratta di disposizioi: Esercizio 6 Avedo quattro alterative di risposta, delle quali solo ua corretta, la probabilità che ha lo studete di rispodere correttamete solo per caso è 1/4,25, che costituirà la probabilità del successo. Coseguetemete, la probabilità dell'isuccesso, ossia della risposta errata, sarà 1,25,75. a. La probabilità di rispodere correttamete alle prime sei domade corrispode a rispodere correttamete alla prima domada, e alla secoda, e alla terza, e alla quarta, e alla quita, e alla sesta domada, e o rispodere correttamete e alla settima, e all'ottava, e alla oa e alla decima domada. Trattadosi di eveti cogiuti e idipedeti, dobbiamo utilizzare il pricipio del prodotto. No c'è bisogo di fare riferimeto alla distribuzioe biomiale perché vi è ua sola sequeza "vicete". p(risposta corretta alle prime dodici domade),25,25,25,25,25,25,75,75,75,75 (,25) 6 (,75) 4,000077 b. Determiare la probabilità di rispodere correttamete a sei domade ci obbliga a fare riferimeto alla distribuzioe biomiale, dato soo varie le sequeze "viceti". Cosiderado che C corretta, e E errata potremmo avere: CCECECECEC, CCECEEECCC, CCCCECECEE, etc. Il umero di queste sequeze è dato dal coefficiete biomiale (ossia, le combiazioi). Cosiderado poi che p,25 e q,75, avremo che: p(6 risposte corrette) k k p( k) p q p(6),25 k 6, 6 6 75 dove Quidi avremo che k k p( k) p q k p(6),25 6 6,75 6 2,000244,316406,016222 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

c. Rispodere correttamete ad almeo 6 domade sigifica che possiamo cosiderare u successo o il risultato 6, o il risultato 7, o il risultato 8 o il risultato 9 o il risultato, per cui possiamo utilizzare il pricipio della somma, dato che si tratta di eveti disgiuti. Abbiamo già calcolato la probabilità di sei risposte corrette al puto (b), per cui calcoliamo p(7), p(8), p(9) e p(), ossia le barre scure ella figura: Probabilità,30,25,20,15,,05,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Numero risposte corrette 6 p (6),25,75 6 p (7),25, 7 6 7 7 75 2,000244,316406,016222, dove per cui p(7) 120,000061,421875,003090 p (8),25 8, 8 8 75, dove per cui p(8) 45,000015,562500,000386 9 9 (9),25, 75 p, dove, poiché, per cui p(9),000004 9 9 1,750000,000029 (),25, 75 p, dove 1, poiché 1, per cui p() 1,000001 1,000001 Avremo quidi che: p(almeo sei risposte corrette) p(6) + p(7) + p(8) + p(9) + p(),016222 +,003090 +,000386 +,000029 +,000001,019728 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

d. Rispodere correttamete a meo di 3 domade sigifica che possiamo cosiderare u successo o il risultato 2, o il risultato 1, o il risultato 0, per cui possiamo uovamete utilizzare il pricipio della somma, dato che si tratta di eveti disgiuti. I questo caso, poiché p q la distribuzioe o è simmetrica, per cui o possiamo sfruttare le probabilità già calcolate al puto (c) per l'altra coda della distribuzioe. Probabilità,30,25,20,15,,05,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Numero risposte corrette p (2),25 2, 2 2 75, dove per cui p(2) 45,062500,0113,281568 (1) 1,075085,187712 1 1 1,25, 75 p, dove (0) 0,056314 0 0 0,25, 75 p, dove 1 Avremo quidi che:, poiché, per cui p(1),250000 1, poiché 1 0, per cui p(0) 1 1,056314 p(meo di tre risposte corrette) p(2) + p(1) + p(0),281568 +,187712 +,056314,525593 Esercizio 7 a. I primo luogo dobbiamo risalire alla tabella di cotigeza Puteggio Sopra/Sotto Cut-off Diagosi i base ai dati a disposizioe. Ricordiamo che la sesibilità è la proporzioe di soggetti co puteggi al test al di sopra del cut-off che hao il disturbo (ella tabella Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

a ), metre la specificità è la proporzioe di soggetti co puteggi al di sotto del cut-off a + c d che o hao il disturbo (ella tabella b + d ). Diagosi effettiva Cut-off Sì No Sopra a?? b?? Sotto c?? d?? Totale dei malati a + c 50 Totale dei o malati b + d 350 Totale sopra cut-off a + b?? Totale sotto cut-off c + d?? 400 a Poiché sappiamo che,84 e che a + c 50, otteiamo a come a,84 (a + c),84 a + c d 50 42. Allo stesso modo ricaviamo d, poiché,80 e b + d 350, d,79 (b + d) b + d,80 350 280. Per differeza dai totali di coloa ricaviamo c e b, e i totali margiali di riga: Diagosi effettiva Cut-off Sì No Sopra a 42 b 70 Sotto c 8 d 280 Totale dei malati a + c 50 Totale dei o malati b + d 350 Totale sopra cut-off a + b 112 Totale sotto cut-off c + d 288 400 Per calcolare il potere predittivo positivo (PPP) e il potere predittivo egativo (PPN), ossia la proporzioe di soggetti co disturbo sul totale di quelli co puteggio superiore al cut-off e ossia la proporzioe di soggetti seza disturbo sul totale di quelli co puteggio iferiore al cut-off, rispettivamete, utilizziamo le formule: a 42 d 80 PPP,38 PPN, 97 a + b 112 c + d 0 b. Per rispodere a questa domada dobbiamo utilizzare il teorema di Bayes: p( Disturbo > cutoff ) p( Disturbo) p( > cutoff Disturbo) p( Disturbo) p( > cutoff Disturbo) + p( NoDisturbo) p( > cutoff NoDisturbo) Poiché il testo riferisce che la probabilità di osservare u soggetto co disturbo ella popolazioe geerale è il 9%, abbiamo p(disturbo), e p(nodisturbo) 91%. Sappiamo poi che p(>cutoff Disturbo) Sesibilità,84 e p(>cutoff NoDisturbo) 1 Specificità 1,80,20, avremo che:,09,84 p ( Disturbo > cutoff ),29,09,84 +,91,20 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

Esercizio 8 a. I questo caso utilizziamo la distribuzioe biomiale, e calcoliamo la probabilità di otteere almeo successi i 12 prove, il che equivale a dire la probabilità di estrarre, 11 e 12 studeti che svolgoo attività sportiva. Probabilità,30,25,20,15,,05,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 12 Numero studeti che svolgoo attività sportiva Sommeremo quidi p(), p(11) e p(12). I questo caso, poiché p,54, avremo che q 1,54,46. 12 p (),54, 46 12, dove per cui p() 66,0028,211600,029444 12 (11) 11,460000,006284 12 11 11 11,54, 46 12 p, dove 12 12 (12) 12,000615. 12 12 12 12,54, 46 12 p, dove 1 Avremo quidi che:, poiché, per cui p(11) 12,001138 1, poiché 1, per cui p(12) 1,000615 1 p(almeo studeti che svolgoo attività sportiva) p() + p(11) + p(12),029444 +,006284 +,000615,036343 b. I questo caso utilizziamo sempre la distribuzioe biomiale, ma dato l'ampio campioe a disposizioe sfruttiamo la possibilità di approssimare la distribuzioe biomiale alla distribuzioe ormale stadardizzata. Per fare questo dobbiamo calcolare media e deviazioe stadard della distribuzioe biomiale, che soo: Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

µ p 1200,54 648 e σ p q 1200,54,46 17, 26 A questo puto basta covertire i puti z il valore 680 ricordado di sottrarre 0,5 per la correzioe di cotiuità (vedi Approfodimeto 3.3): X µ 675,5 648 z 1,59 σ 17,26 La risposta al quesito la troviamo sulle tavole di z determiado l'area al di là di z (vedi Figura 3.34 el testo) per z 1,59, che è,0559. c. I successi relativamete a questa domada soo rappresetati da 4, 5 e 6 studeti su 8, per cui dovremo sommare le probabilità p(4), p(5) e p(6). Probabilità,30,25,20,15,,05,00 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Numero studeti che svolgoo attività sportiva 8 p (4),54 4, 4 4 46 8, dove per cui p(4) 70,085031,044757,266504 8 p (5),54 5, 5 5 46 8, dove, per cui p(5) 56,045917,097336,250282 8 6 6 (6),54, 46 8 p, dove 6 per cui p(6) 28,024795,146905,146905 Avremo quidi che: Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

p(fra i 4 e i 6 studeti che svolgoo attività sportiva) p(4) + p(5) + p(6),266504 +,250282 +,146905,663692 d. Ache i questo caso utilizziamo l'approssimazioe della distribuzioe biomiale alla distribuzioe ormale stadardizzata. Per fare questo dobbiamo calcolare media e deviazioe stadard della distribuzioe biomiale per 800 studeti, che soo: µ p 800,54 432 e σ p q 800,54,46 14, A questo puto basta covertire i puti z i valori 400 e 450 ricordado di sottrarre 0,5 al valore iferiore a aggiugere 0,5 a quello superiore: X µ 399,5 432 X µ 450,5 432 z 1 2,30 z 2 1, 31 σ 14, σ 14, Poiché u valore è egativo e uo è positivo, siamo ella situazioe di Figura 3.37, per cui dovremo sommare le aree comprese fra z e la media per i due valori: p(400 < S < 450) p( 2,30 < z < 1,31) p( 2,30 < z < 0) + p(0 < z < 1,31),4893 +,4049,8942 e. I questo caso siamo i ua situazioe diversa dai precedeti, perché prima si "lavorava" sul umero di eveti, adesso sulla proporzioe. Questo implica che per poter sfruttare l'approssimazioe alla distribuzioe ormale stadardizzata z dobbiamo calcolare l'errore stadard della proporzioe, i base alla formula: π ( 1 π ) π (1 π ) σ P dove π,54. Per cui el ostro caso avremo che: π (1 π ) π (1 π ),54 (1 σ P,05 0 Ora, per trasformare la proporzioe,60 i probabilità dobbiamo utilizzare la formula: P π,60,54 z 1,2 π (1 π ),05 La risposta al quesito è data dall'area al di là di z 1,20, che è,1151. f. La situazioe è aaloga alla precedete, salvo la ecessità di trasformare i puti z due proporzioi. Poiché l'ampiezza campioaria è diversa dal puto (e), dobbiamo ricalcolare l'errore stadard della proporzioe: π (1 π ) π (1 π ),54 (1 σ P,035 200 Ora, per trasformare le proporzioi i probabilità dobbiamo utilizzare la formula:,58,54,62,54 z 1 1,14 z 2 2, 29,035,035 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

La situazioe è aaloga a quella della Figura 3.38 i quato etrambi i valori di z soo positivi: p(,58 < P <,62) p(1,14 < z < 2,29) p(0 < z < 2,29) p(0< z < 1,14),4890,3729,1161 g. La formula per calcolare l'itervallo di fiducia di ua proporzioe campioaria è la seguete: π z π ( 1 π ) π (1 π ) < P < π + z Sappiamo che per u itervallo di fiducia al 95% il valore di z da utilizzare è 1,96 (valore di z che lascia al di là di sé (1,95)/2,025), metre per u itervallo di fiducia al 99% il valor di z è 2,58 (valore di z che lascia al di là di sé (1,99)/2,005) (vedi Figura 3.49). A questo puto basta sostituire i dati ella formula: Campioe di 20 soggetti,54 1,96 < P <,54 + 1,96 IF95%, 32 < P <, 76 20 20,54 2,58 < P <,54 + 2,58 IF99%, 25 < P <, 83 20 20 Campioe di 200 soggetti,54 2,58 < P <,54 + 2,58 IF99%, 45 < P <, 63 200 200,54 1,96 < P <,54 + 1,96 IF95%, 47 < P <, 61 200 200 h. La formula per calcolare l'itervallo di fiducia della proporzioe della popolazioe a partire da quella campioaria è la seguete: P(1 P) P z < π < P + z 1 P(1 P) 1 Per trovare l'itervallo di fiducia al 98% abbiamo bisogo di trovare quel valore di z di là del quale l'area di probabilità vale,01, dato che (1,98) / 2,01. Tale valore è z ± 2,33. Dato che P,54 e 150, avremo che:,54 2,33 < π <,54 + 2,33 150 1, 44 < π <,64 150 1 Esercizio 9 a. Poiché la variabile è misurata su scala ad itervalli equivaleti e la distribuzioe dei puteggi è ormale, possiamo fare riferimeto alla distribuzioe ormale stadardizzata z. Per cui, il primo passo è trasformare i puti z i puteggi 38 e 42: Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

39 50 42 50 z 1 1,1 z 2 0, 8 La situazioe è la stessa della Figura 3.39, i cui etrambi i valori di z soo egativi. La soluzioe, quidi è rappresetata da: p(39 < SE < 42) p( 1,1 < z < 0,8) p(0 < z < 1,1) p(0 < z < 0,8),3643,2881,0762 33 50 b. Trasformiamo 33 i puti z: z 1, 7 Dobbiamo trovare l'area di probabilità al di là di z 1,7, come el caso della Figura 3.35. L'area che cerchiamo è,0446. 77 50 c. Trasformiamo 77 i puti z: z 2, 7 Dobbiamo trovare l'area di probabilità al di là di z 2,7, come el caso della Figura 3.34. L'area che cerchiamo è,0035. 47 50 55 50 d. Trasformiamo 47 e 55 i puti z: z 1 0, 3, z 2 0, 5 Come el caso della Figura 3.37, dobbiamo sommare le aree comprese fra z e la media per i due valori: p(47 < SE < 55) p( 0,3 < z < 0,5) p( 0,3 < z < 0) + p(0 < z < 0,5),1179 +,1915,3094 e. I questo caso o dobbiamo farci igaare dal fatto che ci vega idicato che soo stati estratti 50 soggetti: vogliamo iazitutto sapere la probabilità che u soggetto abbia u puteggio medio compreso fra 51 e 53. Quidi, basta calcolare questa probabilità e moltiplicarla poi per 50 per rispodere al quesito. Trasformiamo 51 e 53 i puti z: 51 50 53 50 z 1 0,1, z 2 0, 3 La situazioe è aaloga a quella della Figura 3.38 i quato etrambi i valori di z soo positivi: p(51 < SE < 53) p(0,1 < z < 0,3) p(0 < z < 0,3) p(0< z < 0,1),1179,0398,0781 A questo puto per rispodere alla domada basta moltiplicare 50,0781 3,91 4. Circa 4 soggetti su 50 avrao u puteggio di SE compreso fra 51 e 53. f. I questa situazioe, ivece, abbiamo effettivamete a che fare co ua media campioaria, per cui facciamo riferimeto alla distribuzioe delle medie campioarie. Questo sigifica che per trasformare a puti z ua media dovremo utilizzare la formula: Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

M µ M M µ M z σ σ M dove µ M e σ M soo rispettivamete la media e la deviazioe stadard della distribuzioe delle medie campioarie. Nel primo caso il valore è uguale a quello della popolazioe (quidi µ M µ 50), el secodo caso di tratta dell'errore stadard, che è uguale ala deviazioe stadard della popolazioe diviso la radice quadrata dell'ampiezza campioaria. Poiché M 1 51 e M 2 53: 51 50 53 50 z 1 0,71, z 2 2, 12 50 50 p(51 < M < 53) p(0,71 < z < 2,12) p(0 < z < 2,12) p(0< z < 0,71),4830,2611,2219 g. I questo caso sapere che vegoo estratti 500 campioi o ci iteressa iizialmete. La situazioe è simile a quella del puto (e). Iazitutto dobbiamo calcolare la probabilità di estrarre u campioe di 30 soggetti co media compresa fra 49 e 52: 51 50 53 50 z 1 0,55, z 2 1, 64 30 p(51 < M < 53) p(0,55 < z < 1,64) p(0 < z < 1,64) p(0< z < 0,55),4495,2088,2407 Poiché la probabilità di estrarre u campioe di 30 elemeti co media compresa fra 51 e 53 è,2407, su 500 campioi possiamo aspettarcee co la stessa caratteristica 500,2407 120,35 120. h. Il rago percetile di u puteggio è la percetuale di valori al di sotto di esso i ua distribuzioe di puteggi. Per calcolare quati puteggi soo iferiori a 75, trasformiamo questo valore i puti z e calcoliamo l'area sottostate la distribuzioe ormale stadardizzata da meo ifiito a quel valore di z: 75 50 z 2,55 I questo caso dobbiamo trovare l'area compresa fra 0 e z 2,55 e aggiugervi l'area compresa fra 0 e meo ifiito (vedi Figura 3.34). Nel secodo caso coosciamo già la risposta, perché è la metà dell'area sottostate la distribuzioe ormale, ossia,5000. Nel primo caso basta trovare sulle tavole di z l'area compresa fra 0 e 2,55, che è,4946, per cui avremo che la proporzioe di puteggi iferiori a 75 è,4946 +,5000,9946. Il valore,9946 rappreseta la proporzioe di puteggi iferiori a 75. Il rago percetile viee calcolato moltiplicado questa proporzioe per 0:,9946 0 99,46, che è la risposta al quesito. Nel caso del puteggio 23, ivece, ci basta calcolare l'area al di là di z perché 23 è sotto alla media (vedi per esempio la Figura 3.35) 23 50 z 2,7 50 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

L'area al di là di z 2,7 è,0035, che moltiplicato per 0 è uguale a,0035 0 0,35, che la soluzioe al quesito. i. Il puteggio che rappreseta il primo quartile (Q1) della distribuzioe di valori è quello che lascia dietro di sé il 25% di tutti gli altri. Dobbiamo quidi trovare quale valore di z ha u'area al di là di esso uguale a,2500, e dal puto z risalire al puteggio di SE. Dalle tavole di z vediamo che è il valore z 0,67 ad avere u'area di (circa),2500 fra sé e più ifiito. I questo caso, però, siamo ella parte della distribuzioe ormale stadardizzata i cui i valori soo egativi, i quato p <,5000, e quidi z < 0. Il valore va quidi preso col sego meo (situazioe simile all'esempio i Figura 3.35). Se quidi: µ z X, avremo che X z σ + µ, per cui X 0,67 + 50 43, 3 σ Il puteggio 43,3 è quidi il primo quartile della distribuzioe dei puteggi di SE. U ragioameto aalogo ci permette di otteere il puteggio che rappreseta il 90 percetile. Il 90 percetile è quel puteggio che lascia dietro di sé il 90% degli altri puteggi. Questo sigifica che dobbiamo trovare il puto z che possiede la caratteristica di avere prima di sé u'area uguale a,9000. Poiché,9000 >,5000, sarà u valore di z positivo, e ci basterà trovare quel valore per cui l'area compresa fra 0 e il valore è,4000, dato che l'area compresa fra 0 e meo ifiito è,5000 (Figura 3.34). Il valore di z co queste caratteristiche è 1,28, per cui: X z σ + µ X 1,28 + 50 62, 8 Il puteggio di SE 6,28 rappreseta duque il 90 percetile. j. I questo caso dobbiamo utilizzare la formula: σ µ M z < M < µ M + z σ I valori di z da iserire ella formula soo quelli che lasciao al di là di sé (1,96) / 2,02 e (1,98) /2,01, ossia 2,05 e 2,33, per cui: IF al 96% : IF al 98% : 50 2,05 < M < 50 + 2,05 44,71< M < 55, 29 15 15 50 2,33 < M < 50 + 2,33 43,98 < M < 56, 02 15 15 Se la popolazioe fosse stata fiita co N 300 avremmo dovuto applicare la correzioe popolazioi fiite, per cui: µ M z σ N σ N < M < µ M + z N 1 N 1 300 15 300 15 IF al 96% : 50 2,05 < M < 50 + 2,05 15 300 1 15 300 1 44,83 < M < 55,17 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia

300 15 300 15 IF al 98% : 50 2,33 < M < 50 + 2,33 15 300 1 15 300 1 44,13 < M < 55,87 k. Poiché > 30, la formula per il calcolo dell'itervallo di fiducia della media della popolazioe a partire da quella campioaria è: s s M z < µ M < M + z 1 1 L'itervallo di fiducia è al 94%, per cui il valore di z di cui abbiamo bisogo è quello che lascia al di là di sé u'area di probabilità uguale a (1,94) / 2,03, ossia z ±1,88. L'itervallo di fiducia per la media della popolazioe è duque: 50 1,88 < µ M < 50 + 1,88 51,45 < µ M < 48, 55 200 1 200 1 Si oti che i realtà abbiamo trovato l'itervallo di fiducia della media della distribuzioe campioaria delle medie per campioi di ampiezza 200 (µ M ), ma poiché sappiamo che questo coicide co la media della popolazioe, possiamo sostituire µ ella soluzioe: 51,45 < µ < 48,55 Carlo Chiorri, Fodameti di psicometria Copyright 20 The McGraw-Hill Compaies S.r.l., Publishig Group Italia