Matteo Luca Ruggiero DISAT@Politecnico di Torino Anno Accademico 2011/2012 (7 Maggio - 11 Maggio 2012)
Sintesi Abbiamo introdotto riformulato il teorema dell energia cinetica in presenza di forze non conservative, considerando anche il lavoro della forze vincolari. Abbiamo generalizzato il teorema dell energia cinetica per un sistema di particelle, facendo riferimento, in particolare, ad un sistema rigido e abbiamo formulato il teorema di König, che permette di scomporre l energia cinetica di un sistema in energia cinetica del centro di massa più energia cinetica del moto relativo al centro di massa. Abbiamo quindi studiato il concetto di forze impulsive, e visto come le leggi di conservazione si possano applicare per studiare i vari tipi di urti. 1 Esercizi svolti ad Esercitazione Esercizio 7.1 Figura 1: Esercizio 7.1 Un punto materiale di massa m è vincolato a scivolare senza attrito su un piano inclinato, che al suo termine si raccorda con una guida circolare di raggio R. Il punto parte dalla posizione P i a una quota h rispetto all asse x. (1) Calcolare la minima quota (h) min di partenza affinchè esso possa effettuare il giro della morte senza mai perdere contatto con la guida (2) Dopo il giro m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 2
della morte, la guida prosegue orizzontalmente (retta y = R); dunque il punto continua a scivolare senza fine sulla retta y = R. Quanto vale la minima velocità (costante) V del punto? Soluzione Commentata. Osserviamo innanzitutto che il moto del punto materiale avviene sotto l azione di forze conservative (la forza peso) o di forze che non compiono lavoro (le reazioni vincolari). Quindi, possiamo senz altro sfruttare il fatto che si conserva, in tutto il moto, l energia meccanica. Dal punto di vista fisico, affinché effettui il giro della morte la velocità deve essere sufficientemente elevata, in modo da assicurare il contatto del punto materiale con la guida circolare anche nella posizione di massima altezza P f. D altra parte, la velocità con cui arriva nella posizione P f dipenderà dalla quota di partenza. Detto questo iniziamo determinando la minima velocità (v f ) min che deve avere il punto P nella posizione P f per non perdere contatto con la guida, dopo di che cerchiamo di determinare la minima quota (h) min necessaria perchè il punto materiale raggiunga la posizione P f con la minima velocità (v f ) min. Nella posizione P f l equazione di moto del nostro punto materiale è mgj + Φ y j = ma (1) dove Φ y j è la reazione vincolare esercitata dalla guida. Tenendo conto del fatto che nella posizione P f il nostro punto materiale sta descrivendo una circonferenza di raggio R con velocità v f, la componente dell equazione (1) lungo l asse y è: ( ) mg + Φ y = m v2 f R Φ y = m g v2 f R Si osservi che il punto mantiene il contatto con la guida nella posizione P f soltanto se la guida esercita una reazione vincolare non nulla, e precisamente diretta verso il basso. La condizione di contatto è dunque Φ y < 0, ovvero: (2) g v2 f R < 0 v f > gr (3) Dunque (v f ) min = gr: questa è la minima velocità necessaria a mantenere il contatto con la guida nel punto P f. (1) L energia meccanica nella configurazione iniziale i è uguale all energia meccanica nella configurazione finale f: U i = T f + U f (4) m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 3
Assumendo la retta orizzontale passante per O (asse x) come luogo dove il potenziale del peso si annulla, l energia potenziale del punto P vale U = mgy. Quindi la (4) diviene: mgh = 1 2 mv2 f + mgr h = 1 2 v 2 f g + R (5) Ricordando che la condizione per il contatto è v f > gr, possiamo concludere che per effettuare il giro della morte il punto materiale deve partire da una quota h soddisfacente alla condizione h > 1 gr 2 g + R = 3 2 R (6) Dunque (h) min = (3/2)R. (2). Utilizziamo ancora una volta la conservazione dell energia meccanica: Esercizio 7.2 U i = T + U mg 3 2 R = 1 2 mv 2 mgr (7) g 3 2 R = 1 2 V 2 g R V = 5gR (8) Figura 2: Esercizio 7.2 Un cilindro omogeneo di massa m, raggio r e centro di massa G, è vincolato a rotolare senza strisciare su un piano inclinato, che al suo termine si raccorda con una guida circolare di raggio R > r. Inizialmente, il centro di massa del m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 4
G del disco ha una quota h rispetto all asse x. Il disco parte dalla quiete. (1) Calcolare la minima velocità (v f ) min che deve avere il centro di massa G del disco nella posizione più alta G f affinchè il disco non perda il contatto con la guida circolare nemmeno nella posizione più rischiosa G f. (2) Calcolare la minima quota h di partenza del centro di massa G rispetto all asse x affinchè esso possa effettuare il giro della morte senza perdere contatto con la guida. Soluzione Commentata. (1) Scriviamo la componente dell equazione del risultante lungo l asse y nel punto più alto G f del centro di massa, tenendo conto del fatto che in tale punto G sta descrivendo una circonferenza di raggio R r con velocità v f : mg + Φ y = m v2 f R r (9) Risolviamo rispetto a Φ y e imponiamo che Φ y < 0 (cioè che anche nel punto più alto la guida eserciti una componente verticale di reazione diretta verso il basso): ( ) Φ y = m g v2 f < 0 (v f ) min = g (R r) (10) R r (2) Poichè le forze attive sono conservative e il vincolo di puro rotolamento, l energia meccanica si conserva; quindi l energia meccanica nella configurazione i è uguale all energia meccanica nella configurazione f: U i = T f + U f (11) (i) Tenendo presente il teorema di König, l energia cinetica del disco, in funzione della velocità v del centro di massa, vale: T = 1 2 mv2 + 1 mr 2 2 2 θ 2 = 1 2 mv2 + 1 mv 2 2 2 = 3 4 mv2 ; (12) (ii) assumendo la retta orizzontale passante per O (asse x) come luogo dove il potenziale del peso si annulla, l energia potenziale del disco vale U = mgy. Quindi la (11) diviene: mgh = 3 4 mv2 f + mg (R r) (13) ovvero, prendendo il valore minimo di v f dato dalla (10): mgh = 3 4 mg (R r) + mg (R r) h = 7 (R r) (14) 4 m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 5
Esercizio 7.3 Un punto materiale si muove lungo una retta sotto l effetto di un campo di forze la cui energia potenziale è U(x) = αx 2 + βx, essendo α, β R due costanti. (1) Calcolare la posizione di equilibrio x eq del sistema. (2) Si ponga α > 0; se il il punto materiale viene posto in quiete in x = 2x eq, studiare il moto del punto materiale (3) Calcolare la velocità massima che esso può raggiungere. Soluzione Commentata. (1) A partire dall energia potenziale, è possibile ricavare la forza (conservativa), tramite la relazione F = U U x i U y j U z k (15) In particolare, in questo caso dato che l energia potenziale dipende solo dalla variabile x, si ottiene F = ( 2αx β)i (16) Di conseguenza, l equazione del moto (seconda legge di Newton), si scrive ma = F ma = ( 2αx β)i (17) Proiettando nella direzione del moto, l asse x, essendo a = ẍi, otteniamo l equazione differenziale mẍ = 2αx β (18) La posizione x eq è quella che rende nulla l accelerazione, per cui 0 = 2αx β, x eq = β 2α (19) (2) Andando a sostituire l espressione della posizione di equilibrio (19), possiamo quindi scrivere l equazione del moto nella forma la cui soluzione è mẍ = 2α (x x eq ) ẍ + 2α m (x x eq) = 0, (20) x(t) = x eq + A cos (ωt + ϕ), (21) avendo posto ω 2 = 2α/m, essendo α > 0. Derivando la (21), otteniamo la velocità v(t) ẋ(t) = ωa sin (ωt + ϕ). (22) Le due costanti arbitrarie A, ϕ si determinano imponendo nella legge oraria x(t = 0) = 2x eq, e nell espressione della velocità v(t = 0) = 0. Si ottiene quindi A = x eq, ϕ = 0, in modo che la legge oraria assume la forma x(t) = x eq [1 + cos (ωt + ϕ)], (23) m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 6
(3) Dalla conservazione dell energia meccanica, deve essere E m (i) = E m (f). Allora, essendo E m (i) = U(i) = 4αx 2 eq + 2βx eq, (24) La velocità massima si raggiunge quando tutta l energia potenziale è diventata energia cinetica, ovvero quando E m (f) = T(f): 4αx 2 eq + 2βx eq = 1 2 mv2 max, (25) da cui Esercizio 7.4 v max = m 2 ( 4αx 2 eq + 2βx eq ) (26) Figura 3: Esercizio 7.4 Un corpo di massa m è appeso ad un filo ideale, il quale, passando su una carrucola di massa trascurabile, all altro estremo è legato ad una massa M, in quiete su una superficie orizzontale scabra, avente coefficiente di attrito statico µ S. La massa m è posta in oscillazione a partire da una ampiezza iniziale α. Calcolare il valore massimo che può assumere α senza che la massa M si muova. Soluzione Commentata. Facciamo riferimento alla Figura 4 per scrivere le forze in gioco. Sulla massa m agiscono la forza peso mg e la tensione della fune T 2 ; sulla massa M agiscono la forza peso Mg, la reazione normale del piano N, la forza di attrito F, e la tensione della fune T 1. m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 7
Figura 4: Esercizio 7.4: Forze agenti Pertanto possiamo scrivere la seconda equazione di Newton per entrambi i corpi ma = mg + T 2 (27) MA = Mg + N + F + T 1 (28) Consideriamo l equilibrio della massa M, deve essere A = 0; proiettando lungo gli assi x, y l equazione (28), all equilibrio otteniamo 0 = F + T 1 F = T 1 (29) 0 = N Mg N = Mg. (30) L equazione (30) ci dice solo che la massa è vincolata a muoversi lungo il piano; l equazione (29), invece, ci dice che la massa non scivola fino a quando la forza di attrito equilibra la tensione della fune. Tuttavia, esiste un valore massimo che la forza di attrito può assumere, F µ S N, ovvero, grazie alla (30), F µ S Mg. Questo vuol dire che se la tensione nella fune varia il suo modulo per effetto del moto della massa m, la massa M resta in equilibrio fino a che il modulo della tensione nella fune non supera il valore massimo T 1,max = µ S Mg. Consideriamo ora l equazione del moto della massa m (27): fino a quando la massa M non si muove, il moto della massa m è vincolato a svolgersi a distanza costante dal punto O (Figura 5). Pertanto, possiamo proiettare l equazione del moto (27) nella direzione normale individuata dal versore n in Figura 5, e ottenere ma n = T 2 mg cos α. (31) m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 8
Figura 5: Esercizio 7.4: Moto Vincolato della Massa m In particolare, a n = v 2 /L, essendo L = OP. Possiamo determinare la velocità in una posizione arbitraria grazie alla conservazione dell energia meccanica. Indicando con α 0 la posizione iniziale della massa m, possiamo scrivere l energia meccanica iniziale E m (i) = U(i) = mgl (1 cosα 0 ) (32) In una posizione arbitraria individuata dall angolo α > α 0 E m (α) = U(α) + T(α) = mgl (1 cos α) + 1 2 mv2 (33) Essendo E m (i) = E m (α), si può ricavare v dalla mgl (1 cos α 0 ) = mgl (1 cosα) + 1 2 mv2, (34) m v2 L = 2mg (cosα cos α 0) (35) espressione positiva, dato che α > α 0. Andando a sostituire nella (31), otteniamo T 2 (α) = 3mg cosα 2mg cos α 0. (36) Tale espressione assume il suo valore massimo quando α = 0: T 2,max = 3mg 2mg cosα 0. (37) Dato che la fune è inestensibile e di massa trascurabile T 1 = T 2. Allora, se imponiamo che la tensione massima nella fune sia tale da garantire l equilibrio della massa M, possiamo scrivere 3mg 2mg cosα 0 µ s Mg, (38) m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.it Pagina 9
3 QUESITI PROPOSTI O P Q v Figura 6: Quesiti 7.1, 7.2, 7.3 da cui si ottiene cosα 0,max = 3m µ SM (39) 2m Per ogni valore più grande dell angolo iniziale la velocità acquistata dalla massa m durante il moto, fa sorgere una tensione nella fune che non è più equilibrata dalla forza di attrito sulla massa M. 2 Esercizi Proposti Esercizio P.7.1 Un punto materiale di massa m = 1 Kg si muove nel piano sotto l effetto della forza F = kr. Esso è posto inizialmente nella posizione (x 0, y 0 ) = (0, 1m), con velocità (v 0x, v 0y ) = (1m/s, 2m/s). Sia k = 10 N/m. Calcolare la minima e la massima distanza dall origine. 3 Quesiti Proposti 7.1 Una pallina di massa m è legata ad una corda, di lunghezza l, che può ruotare liberamente intorno al punto O, in un piano verticale. La pallina è lasciata libera di muoversi, con velocità nulla, nel punto P. Sia T il modulo della tensione nella corda e g l accelerazione di gravità. Nel punto Q 1. la pallina ha accelerazione nulla m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.itpagina 10
3 QUESITI PROPOSTI 2. la pallina ha un accelerazione diretta da Q a O 3. la pallina ha un accelerazione diretta da O a Q 4. la pallina ha un accelerazione parallela alla velocità 7.2 Una pallina di massa m è legata ad una corda, di lunghezza l, che può ruotare liberamente intorno al punto O, in un piano verticale. La pallina è lasciata libera di muoversi, con velocità nulla, nel punto P. Sia v il modulo della velocità della pallina in Q. Se la lunghezza della corda aumentasse, il modulo della velocità della pallina, nel punto più basso della (nuova) traiettoria 1. sarebbe maggiore di v 2. non ci sono abbastanza elementi per rispondere 3. sarebbe ancora uguale a v 4. sarebbe minore di v 7.3 Una pallina di massa m è legata ad una corda di lunghezza l, che può ruotare liberamente intorno al punto O, in un piano verticale. La pallina è lasciata libera di muoversi, con velocità nulla, nel punto P. Sia T il modulo della tensione nella corda e g l accelerazione di gravità. Allora, nel punto Q 1. T = mg 2. T < mg 3. T > mg 4. T = 0 7.4 Una pallina viene posta nel punto P sul bordo di una guida circolare priva di attrito (rappresentata in sezione in figura 7), e lasciata libera di muoversi, partendo da ferma, in un piano verticale, sotto l azione della forza di gravità. La pallina descriverà un moto periodico. In corrispondenza di quale punto avviene l inversione del moto? 1. 1 2. 2 3. 3 4. 4 m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.itpagina 11
3 QUESITI PROPOSTI 4 P 3 2 1 Figura 7: Quesito 7.4 F α A Δs B Figura 8: Quesito 7.5 m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.itpagina 12
3 QUESITI PROPOSTI 7.5 Una cassa di massa M viene trascinata su un pavimento privo di attrito, mediante l applicazione di una forza F, che forma un angolo α < π/2 con l orizzontale (figura 8). Il centro di massa si sposta di un tratto s, da A a B. 1. Il lavoro della forza F non dipende dall angolo α 2. Il lavoro della forza F cresce al crescere dell angolo α 3. Il lavoro della forza F descresce al crescere dell angolo α 4. Il lavoro della forza F è nullo m Home Page di ML Ruggiero T 0110907329 B matteo.ruggiero@polito.itpagina 13