Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso Cenni sulla programmazione lineare Illustriamo le idee di fondo della programmazione lineare, disciplina matematica che è stata trattata sistematicamente solo in tempi recenti, a partire dalla fine del secondo conflitto mondiale. La programmazione lineare si pone come obiettivo quello di determinare delle strategie che consentano di rendere massimo il profitto di un attività, di un processo o di rendere minimi i costi. Invece di una trattazione sistematica, procediamo ad illustrare i metodi elementari attraverso la soluzione di problemi specifici. Problema. Un fornaio produce torte al cioccolato e torte alla frutta. Dalla vendita di ogni torta al cioccolato egli ricava 3 Euro, da quella di ogni torta alla frutta egli ricava 2 Euro. Ogni torta al cioccolato richiede l impiego di 4 unità di farina e due unità di burro, mentre ogni torta alla frutta richiede 6 unità di farina ed 1 di burro. Se il fornaio può disporre giornalmente di un quantitativo massimo pari a 96 unità di farina a 24 unità di burro, trovare la strategia da adottare per massimizzare il profitto. Anzitutto occorre precisare cosa è una strategia in questo contesto. Si tratta della scelta del numero x di torte al cioccolato e del numero y di torte alla frutta da produrre in un giorno. La strategia migliore è quella che rende massimo il profitto, per quanto vaga resti quest ultima affermazione. Scelte le incognite x ed y, dobbiamo tradurre analiticamente il problema. Osserviamo anzitutto che x ed y non possono essere numeri negativi per cui debbono valere le ovvie restrizioni { x 0 (1) y 0. I vincoli sul consumo massimo di farina e burro si formalizzano con disequazioni che tengono conto della farina e del burro necessari al confezionamento di una singola torta. Usando i dati forniti abbiamo { 4x + 6y 96 (2) 2x + y 24.
Le coppie (x, y) che soddisfano le disequazioni (1) e (2) si possono rappresentare nel piano cartesiano (x, y). Anzitutto, i vncoli (1) restringono subito l attenzione al primo quadrante, dove entrambe le coordinate sono non negative. Per descrivere graficamente le restrizioni imposte da (2), osserviamo che l equazione 4x + 6y = 96 (3) rappresenta una retta di coefficiente angolare m 1 = 2 3 che interseca gli assi coordinati nei punti (24, 0) e (0, 16). L insieme dei punti del piano le cui coordinate soddisfano la disequazione 4x + 6y 96 formano il semipiano limitato dalla retta (3) e contenente l origine le cui coordinate x = y = 0 verificano la disequazione. Similmente, i punti del piano che verificano 2x + y 24 sono quelli del semipiano limitato dalla retta 2x + y = 24 (4) che contiene l origine. Osserviamo che tale retta ha coefficiente angolare m 2 = 2 e passa per i punti di coordinate (12, 0) e (0, 24). I punti che soddisfano tutti i vincoli (1) e (2) sono quelli del primo quadrante che giacciono nell intersezione tra i semipiani ora determinati. Graficamente, essi sono rappresentati dalla regione ombreggiata della Figura 1. y 24 16 P r max x 12 24 Figura 1: Rappresentazione grafica dei vincoli. La regione ombreggiata è quella in cui i vincoli (1) e (2) sono soddisfatti. I segmenti di retta tratteggiati appartengono alle rette (3) e (4). Lungo le rette a tratto leggero e continuo il ricavo è costante e, traslando le rette nel verso indicato dalla freccia, il ricavo aumenta. La retta r max (tratto pesante) passante per il punto P di intersezione tra (3) e (4) corrisponde al massimo ricavo ottenibile rispettando i vincoli imposti.
Sinora ci siamo limitati a tradurre il testo del problema in termini formali. Occorre compiere la stessa operazione per il requisito di massimo profitto. Osserviamo che il ricavo giornaliero r(x, y) ottenuto preparando x torte al cioccolato e y alla frutta è r(x, y) = 3x + 2y. Notiamo poi che, fissata una costante c, i punti del piano che appartengono alla retta di equazione 3x + 2y = c selezionano quelle coppie (x, y) che forniscono un ricavo costante c. Cambiando il valore di c, la retta di ricavo costante 3x + 2y = c trasla, ma non cambia pendenza in quanto il coefficiente angolare è sempre pari a m r = 3 2. Inoltre, facendo crescere c il ricavo aumenta. In Figura 1 sono anche rappresentate alcune rette a ricavo costante, per diversi valori del ricavo. Poiché la generica retta di equazione 3x+2y = c interseca gli assi coordinati nei punti ( c 3, 0) e (0, c 2 ), far crescere c equivale a traslare la retta a ricavo costante nel verso indicato dalla freccia. Il massimo ricavo raggiungibile nel rispetto dei vincoli si ottiene per la retta r max della famiglia 3x+2y = c che passa per il punto P di intersezione delle rette (3) e (4). Infatti, dalla struttura della regione ammissibile mostrata in Figura 1, vediamo che, scelta una retta del tipo 3x + 2y = c che sta sotto r max, il ricavo è certamente minore a quello ottenibile su r max, mentre le rette del tipo 3x + 2y = c che stanno sopra r max non sono ammissibili, dal momento che non intersecano la regione del piano che soddisfa i vincoli (1) e (2). Dunque, per calcolare la strategia ottimale è sufficiente trovare le coordinate di P risolvendo il sistema { 4x + 6y = 96 2x + y = 24 che ha soluzione x = 6 ed y = 12. Il corrispondente ricavo si ottiene calcolando la quantità 3x + 2y con i valori di x ed y ora trovati, ottenendo il ricavo massimo di 42 Euro. Problema 2. Il responsabile di una mensa deve pianificare il pasto degli utenti avendo a disposizione due tipi di cibo: carne e patate. I pasti da preparare debbono soddisfare certi requisiti nutrizionali minimi, in quanto debbono fornire un apporto di almeno 8 unità di carboidrati, 19 unità di vitamine e 7 unità di proteine. Ogni unità di carne fornisce 1 unità di carboidrati, 3 di vitamine e 3 di proteine mentre ogni unità di patate ne fornisce 3 di carboidrati, 4 di vitamine ed 1 di proteine. Il costo di una unità di patate è di 1 Euro, di ogni unità di carne è 2 Euro. Trovare, tra tutti i pasti che soddisfano i requisiti nutrizionali minimi, quello di costo minimo. 3
Chiamiamo x ed y le unità di patate e di carne che compongono un pasto. Con i dati del problema possiamo tradurre analiticamente i vincoli imposti dai requisiti nutrizionali minimi 3x + y 8 4x + 3y 19 x + 3y 7 (5) x 0 y 0, dove le ultime due disequazioni richiedono che la dieta contenga effettivamente patate e carne. La rappresentazione grafica della regione del piano (x, y) costituita dalle coppie che soddisfano i vincoli si ottiene seguendo le linee dell esercizio precedente, intersecando il primo quadrante con i tre semispazi delimitati dalle rette di equazione 3x + y = 8 4x + 3y = 19 x + 3y = 7 e soddisfacenti le prime tre disequazioni del sistema (5). A differenza del problema precedente, la regione ammissibile mostrata in Figura 2 non è limitata. Il costo di un pasto in termini di x ed y si ottiene sfruttando i dati del problema ed è pari a x + 2y. Dunque occorre trovare per quali valori della coppia (x, y) compatibili con il sistema (5) si abbia (6) x + 2y = minimo. Come nell esempio precedente tracciamo le rette parallele del tipo x+2y = c, con c costante. Fissato il valore di c, la retta rappresenta tutte le possibili scelte di x ed y che danno luogo ad un pasto di costo pari a c. Se, cambiando la costante, le rette traslano nel verso indicato dalla freccia in Figura 2, il costo cresce. Dunque, la retta corrispondente al costo minimo è quella che ha in comune con la regione ammissibile solo il vertice P. Infatti, se il costo diminuisse ancora, non sarebbe più possibile rispettare i vincoli. L esame dei coefficienti angolari delle rette (6) e di quello delle rette di tipo x + 2y = c rivela che la retta di minimo costo è quella passante per il punto P di intersezione tra le rette 4x + 3y = 19 e x + 3y = 7, che ha coordinate x = 4 ed y = 1. Il costo minimo è dunque x + 2y = 4 + 2 = 6 Euro. Osservazioni. Il metodo geometrico ora proposto ha una applicabilità limitata, in quanto richiede la presenza di due sole incognite. Problemi più generali in cui il numero di incognite è superiore a 2 richiedono l uso di altri
y r min P x Figura 2: Rappresentazione grafica dei vincoli. La regione ombreggiata è quella in cui i vincoli (5) sono soddisfatti. Lungo le rette a tratto leggero e continuo il costo del pasto è costante e, traslando le rette nel verso indicato dalla freccia, il costo del pasto aumenta. La retta r min (tratto pesante) passante per il punto P di coordinate x = 1, y = 4 corrisponde al minimo costo possibile, nel rispetto dei vincoli imposti. algoritmi di soluzione più raffinati che non è possibile descrivere in questa sede. Nei problemi presentati esisteva una sola strategia che risolveva il problema ed il punto corrispondente nel piano cartesiano era uno dei vertici della regione ammissibile, compatibile con i vincoli. Per selezionare il vertice corretto, è cruciale il confronto tra la pendenza delle rette di ugual costo e la pendenza delle rette che delimitano la regione ammissibile. Esercizio 1 Due ragazzi fanno colazione solo con due tipi di cereali, di marca A e B. Ogni unità di cereali A fornisce 1 3mg di ferro e 4mg di proteine, mentre ogni unità di cereali B fornisce 1mg di ferro e 2.5mg di proteine. Gli apporti minimi giornalieri di ferro e proteine ammontano, rispettivamente, a 1mg e a 5mg. Sapendo che un unità di cereali A costa 4 centesimi ed ogni unità di cereali B costa 6 centesimi, trovare la composizione della colazione che ha costo minimo tra tutte quelle che rispettano i requisiti nutrizionali. Esercizio 2. Un fornaio produce due tipi di pane, A e B, ciascuno dei quali richiede l impiego di due tipi di farina, di tipo 1 e tipo 2, rispettivamente. Ogni infornata di pane di tipo A richiede 5kg di farina di tipo 1 e 4kg di 5
farina di tipo 2, mentre ogni infornata di tipo B richiede 4kg di farina di tipo 1 e 6kg di farina di tipo 2. Il fornaio ricava 10 Euro per ogni infornata di tipo A e 20 per ogni infornata di tipo B. Quante infornate di pane A e quante di pane B sono necessarie per rendere massimo il profitto, sapendo che le scorte disponibili sono di 200kg di farina di tipo 1 e 240kg di farina di tipo 2? Esercizio 3. Una distilleria produce due tipi di brandy, etichettati come tipo S e D rispettivamente. Per produrre una botte di brandy S occorre usare un fermentatore per 5 ore e il distillatore per 2 ore, mentre per una botte di tipo D occorrono 3 ore nel fermentatore e 4 nel distillatore. Per svariati motivi il fermentatore ed il distillatore non possono essere impiegati per più di 15 ed 8 ore, rispettivamente. La distilleria ricava 210 Euro dalla vendita di ogni botte di brandy S e 140 Euro dalla vendita di ogni botte di brandy D. Quante botti dei due tipi bisogna produrre per massimizzare il profitto? Il prossimo esercizio è interessante in quanto ammette più soluzioni. Esercizio 4. Il solito fornaio produce due tipi di torta, A e B. Per preparare 10kg di torta A occorrono 2kg di farina, 3kg di zucchero, 3 uova e 4kg di burro, mentre per produrre lo stesso quantitativo di torta B sono necessarî 4kg di farina, 3kg di zucchero, 6 uova ed 1kg di burro. Le scorte giornaliere ammontano a 24kg di farina, 27kg di zucchero, 24 uova e 20kg di burro al giorno. La vendita di 10kg di torta A dà un ricavo di 3 Euro, la vendita di 10kg di torta B dà un ricavo di 6 Euro. Trovare il quantitativo che occorre produrre dei due tipi di torta per rendere massimo il ricavo giornaliero. Suggerimento. L unità di torta, sia di tipo A che di tipo B è pari a 10kg. 6