Generalità Introduttive L'obiettivo della geometria analitica è quello di classificare e rappresentare rette, curve, enti geometrici in genere che soddisfano certe condizioni.ad ogni fatto geometrico corrisponde un fatto algebrico e ad ogni fatto algebrico corrisponde un fatto geometrico. Ciò significa che ad ogni punto, ad ogni retta, ad ogni curva, in sostanza a tutto ciò che si può rappresentare graficamente all'interno di assi cartesiani, corrisponde sempre e comunque una rappresentazione algebrica (coppia di numeri, equazione, etc ) che cambia ovviamente a seconda di ciò che si rappresenta. Il primo a enunciare questo principio fu il francese Cartesio che disse che, tracciate due rette incidenti non necessariamente perpendicolari e individuato un punto P, se numeriamo le due rette e congiungiamo il punto a entrambe troviamo due valori, quello che troviamo sulla retta che va in senso verticale lo chiamiamo y 0 e quello che troviamo sulla retta che va in senso orizzontale lo chiamiamo x 0. Quindi partendo da un entità geometrica (punto) abbiamo individuato 2 numeri, abbiamo cioè individuato il fatto algebrico (numeri) corrispondente al fatto geometrico (punto). Quanto appena esposto è valido per ogni entità algebrica. Per chiarire meglio quanto esposto in merito alla teoria di Cartesio, guardate la figura che segue: In virtù di quanto detto, possiamo concludere che essendo le curve e le rette entità geometriche rappresentabili in assi cartesiani, ad ogni curva e ad ogni retta corrisponde un'equazione algebrica, ma come vedremo non sempre ad un'equazione algebrica corrisponde una curva o, meglio, capita spesso che sia necessario fissare delle condizioni affinchè ciò possa avvenire. Dire che una curva corrisponde a un'equazione significa che se prendiamo le coordinate x e y di un punto che appartiene alla curva e le sostituiamo alle incognite x e y dell'equazione che la rappresenta, vediamo che l'equazione che corrisponde alla curva si trasforma in identità, cioè ciò che sta a sinistra dell'uguale è uguale a ciò che sta a destra. Le equazioni corrispondenti a un fatto geometrico possono essere fornite in due forme: - forma esplicita, ad esempio y=3x+5 (una delle due variabili è posta a sinistra dell'uguale ed è esplicitata in funzione dell'altra variabile; in generale, y=f(x)); - forma implicita, ad esempio x 2 +y 2-5=0 (tutto a sinistra dell'uguale, nessuna variabile è esplicitata; in generale: f(x,y)=0).
LA RETTA Il primo obiettivo da raggiungere a proposito della retta è quello di individuare qual è la sua equazione corrispondente. EQUAZIONE DELLA RETTA IN FORMA ESPLICITA L'equazione della retta passante per l'origine Si consideri la seguente figura: Osserviamo che l'angolo a è comune ai due triangoli disegnati, che hanno anche un altro angolo certamente uguale, cioè quello che si forma dall'intersezione del cateto opposto ad a con l'asse delle ascisse (x), infatti questo angolo è retto in entrambi i triangoli. Essendo la somma degli angoli interni di un triangolo necessariamente 180, è ovvio che se questi triangoli hanno due angoli uguali, anche il terzo dovrà esserlo. Quindi i due triangoli hanno tutti gli angoli uguali, si dice cioè che sono triangoli simili. Caratteristica importante dei triangoli simili è che il rapporto tra i lati omologhi è costante, cioè, nel nostro caso: y 1 : x 1 = y 2 : x 2 : Questo rapporto sempre costante tra il cateto verticale e quello orizzontale, cioè tra y e x, lo chiamiamo m: y/x = m. Da cui si ricava:y=mx e proprio questa è l' equazione della retta passante per l'origine: y=mx. Questa equazione però non può essere usata per la retta passante per l'origine coincidente con l'asse delle ordinate (y). Vediamo perché. In questo caso la coordinata x (l'ascissa) di ogni punto della retta sarebbe 0, la coordinata y sarebbe un numero reale qualsiasi, quindi il rapporto tra y e x non si può fare (il denominatore è nullo). Quindi, la retta coincidente con l'asse delle ordinate non può essere rappresentata dall'equazione appena vista. Ma facciamo un passo indietro. Abbiamo appurato che a questa categoria di rette (cioè alle rette che passano per l'origine e non coincidono con l'asse y) corrisponde l'equazione y=mx. Quindi certamente se per ogni punto che sta sulla retta, sostituiamo le sue coordinate all'equazione otteniamo un'identità: ovvero, tutti i punti che stanno sulla retta soddisfano l'equazione. Si può anche dimostrare il viceversa, cioè che data l'equazione y=mx, solo i punti che stanno sulla retta la soddisfano. In conclusione, c'è corrispondenza biunivoca tra la retta e l'equazione y=mx: la retta è rappresentata dall'equazione e nessuna coppia di valori rappresentanti punti esterni alla retta può soddisfare l'equazione. L'equazione della retta non passante per l'origine Cerchiamo ora di vedere qual è l'equazione di una retta che non passa per l'origine, di una retta qualsiasi. Guardate la figura che segue:
Abbiamo fatto passare una retta per un punto che si trova sull'asse delle ordinate (y) senza far passare la retta per l'origine. In quel punto la coordinata x è 0, la y è uguale a q, dato che abbiamo posto che il valore della coordinata y di quel punto fosse q. Quindi se usassimo l'equazione appena trovata y = mx, sostituendo le coordinate di P otterremmo: q=m*0, cioè q=0, che non è vero (nel nostro disegno q è un numero positivo; in generale, è sicuramente diverso da 0 perché abbiamo detto che consideriamo rette non passanti per l'origine). Come si può fare allora per far appartenere quel punto alla retta? Dovrei aggiungere a destra qualcosa che abbia lo stesso valore della coordinata y del punto. Questo qualcosa è proprio q, dato che abbiamo posto uguale a q la coordinata y del punto. Vediamo quindi che utilizzando l'equazione:y = mx + q andando nuovamente a sostituire le coordinate di P, si ottiene un'identità: q=m*0 + q, cioè q=q.questa nuova equazione, y=mx+q è corrispondente alla retta non passante per l'origine. E' ovvio che è valida anche se la retta passa per l'origine, è valida cioè per qualunque retta (basta porre q=0), mentre quella precedente era valida solo per quelle che passavano per l'origine. Anche qui però si pone un problema: neanche questa equazione non rappresenta l'asse delle y, per motivi analoghi a quelli di prima. Pertanto, per concludere questa prima parte, diremo che:y=mx+qrappresenta l'equazione di una retta in forma esplicita. Questa equazione non consente di rappresentare l'asse y e, più in generale, tutte le rette parallele ad esso m è detto coefficiente angolare e fornisce l'inclinazione della retta. Valori notevoli di m: m=0, la retta è l'asse x o una retta ad esso parallela. m=1, la retta è la bisettrice del I e III quadrante o una retta ad essa parallela. m =-1, la retta è la bisettrice del II e IV quadrante o una retta ad essa parallela. Per valori positivi di m, la retta è una funzione crescente, cioè aumentando il valore della x, si ottengono valori via via più grandi per la y.per valori negativi di m, la retta è una funzione decrescente, cioè aumentando il valore della x, si ottengono valori via via più piccoli per la y. L'equazione di una retta in forma implicita Se vogliamo un'equazione che ci rappresenti qualunque retta, passante o no per l'origine e coincidente o no con l'asse delle ordinate, dobbiamo ricorrere ad un'equazione più generale. L'equazione in forma implicita: ax + by + c = 0 è quella che fa al caso nostro. Come si vede, è un'equazione di primo grado nelle due variabili x e y. Vediamo in che modo è legata alla precedente rappresentazione. Ricavando y, si ottiene:y=(-a/b)*x - c/b da cui si ricava che:m=-a/b e q=-c/b. Dalla rappresentazione in forma implicita, si vede anche che, ponendo b=0 si hanno tutte le rette parallele all'asse y (rette verticali ) che sono della forma:x=-c/a. Naturalmente, nella forma implicita, a e b non possono essere contemporaneamente uguali a zero. Relazioni tra rette Analizzate quindi le varie equazioni che rappresentano una retta sul piano cartesiano, vediamo che relazione può sussistere tra due rette. Diciamo subito che esse possono essere incidenti (un punto in comune), parallele (nessun punto in comune) oppure coincidenti (tutti i punti in comune). Determiniamo quando due rette sono incidenti, quando parallele e quando coincidenti.
Per determinare il rapporto che lega due rette bisogna impostare il sistema tra le loro equazioni. Se questo sistema risulta avere una soluzione reale, significa che le due rette sono incidenti e le soluzioni del sistema sono le coordinate del punto di intersezione delle due rette. Se invece il sistema non ha soluzioni reali (impossibile), le due rette sono parallele. Se, infine, il sistema ha infinite soluzioni reali (indeterminato), le due rette sono coincidenti. Alcune considerazioni, basate sulla teoria dei sistemi di equazioni, ci portano a stabilire i seguenti risultati: se i coefficienti angolari (m) delle due rette sono uguali, ma le q delle due rette sono diverse, allora le due rette sono parallele; quando i coefficienti angolari (m) sono uguali e le due intercette (q) sono uguali, le due rette sono coincidenti; quando i coefficienti angolari (m) sono diversi, le due rette sono incidenti (indipendentemente da q) Riassumendo: se le due m sono diverse, le due rette sono incidenti; - se le due m sono uguali: - o se le due q sono uguali, le due rette sono coincidenti; - o se le due q sono diverse le due rette sono parallele. Considerazioni analoghe valgono nel caso si imposti il sistema con le equazioni in forma implicita. In questo caso: se a, b e c di una retta sono multipli secondo lo stesso coefficiente di a, b e c della seconda retta, le rette coincidono. (Caso particolare: a, b e c della prima retta sono uguali ad a, b e c della seconda). se solo a e b di una retta sono uguali o proporzionali ad a e b della seconda, le rette sono parallele. se a e b di una retta non sono legati da una relazione di proporzionalità con a e b dell'altra, le rette sono incidenti. N.B. Dire multipli secondo lo stesso coefficiente significa, ad esempio che a della prima retta è il doppio di a dell'altra retta e, contemporaneamente, b della prima retta è doppio di b dell'altra retta. Condizione di perpendicolarità tra rette Due rette sono perpendicolari, ovvero sono incidenti e formano un angolo di 90, se tra i coefficienti angolari m 1 e m 2 sussiste la relazione: m 1 * m 2 = -1 Nel caso delle rette in forma implicita, la relazione riguarda solo a e b (non c). Con questa rappresentazione, si ha che: i valori sono scambiati e uno di essi è cambiato di segno. Ovvero, se la prima retta ha a=2, b=3, la retta ad essa perpendicolare dovrà avere a=3, b=-2 (oppure: a=-3, b=2). Fasci di rette Per fascio di rette si intende semplicemente un insieme di rette. Esse possono essere in relazione tra loro o no e, quando lo sono, possono esserlo in vario modo. Siamo più precisi. Esistono tre tipi di fascio: proprio, improprio, casuale. Parliamo di fascio proprio quando tutte le rette si incontrano in un unico punto. Parliamo di fascio improprio quando tutte le rette sono tra loro parallele. Parliamo di fascio casuale quando non esiste nessuna relazione tra le rette. Le figure che seguono chiariscono meglio il concetto. Rispettivamente: Fascio proprio - Fascio improprio - Fascio casuale L'equazione di un fascio di rette ridotta in forma normale è un'equazione che ha il membro di sinistra in
funzione di m (in altre parole, a sinistra dell'uguale compaiono delle m) e il membro di destra nullo (cioè 0). Vediamo come bisogna procedere per determinare se, data l'equazione di un fascio di rette, esso è proprio, improprio o casuale. Il procedimento da seguire è il seguente: 1) portare a destra dell'uguale tutti i termini che non contengono la m 2) a sinistra dell'uguale, raccogliere a fattor comune m 3) fare un sistema composto da due equazioni la prima è composta da tutto quello che è rimasto tra parentesi a sinistra dell'uguale dopo aver raccolto a fattor comune m; la seconda equazione è invece composta da tutto quello che ho a destra dell'uguale. 4) se nel sistema che ho appena fatto c'è qualche m, mi fermo qui e concludo che il fascio di rette è un fascio di rette casuale. 5) se invece nel sistema non ci sono m, allora lo svolgo e guardo se ha una soluzione reale (in tal caso il fascio di rette è proprio ed ha come centro un punto che ha per coordinate i valori di x e di y che determino risolvendo il sistema) o se invece è impossibile, ovvero non ha soluzioni reali (in tal caso concludo che il fascio di rette è improprio).